微专题求抛物线的标准方程与焦点、准线导学案-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

微专题：求抛物线的标准方程与焦点、准线 教师解析版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：抛物线的标准方程只有四种形状，全部收在一个参数 上。教材先由定义「到定点与到定直线的距离相等」推出 ，再把开口方向换一换，得到另外三条。这一节的任务是把四张图与四个方程对应起来，并用 的那一个几何含义串起来：焦点到准线的距离。 考查形式：这一型是抛物线的入口题，选填 5 分，大题第一问。考法集中在三处：给焦点或准线写方程、给一个过点求方程、由方程读焦点准线再算焦半径。前面两处各有一个固定陷阱——给焦点时容易把开口方向弄反，给过点时容易漏掉另一个解。「过点」的题若不限定对称轴，一个点最多能给出两条抛物线，答案必须并列。 第二部分　记·模型与结论 一、四张图、四个方程， 是焦点到准线的距离 顶点在原点、焦点在坐标轴上的抛物线，标准方程只有四条：、、、，其中 。哪一条对应哪个开口，看一次项的性质： 是一次项、系数为正，开口向右；系数为负，开口向左； 是一次项、系数为正，开口向上；系数为负，开口向下。 不是焦点坐标，而是焦点到准线的距离。 的焦点是 ，准线是 ，两数相减的绝对值恰为 。题干给「焦点到准线的距离」就等于给了 ；给焦点坐标给的是 。这两个数差一倍，是本节第一处高频错。 对称轴由平方项决定： 是一次的平方，说明 可以取两种符号而 非负，图形关于 轴对称，落在 轴两侧； 是平方项时同理关于 轴对称。判断对称轴不必记方程，看哪个字母被平方即可。 二、由焦点或准线写方程：先定开口，再算 给焦点 时， 开口向右、 开口向左，两种情形分别写 与 ，其中 。给准线 时，焦点必在 轴上且与准线分居原点两侧， 时准线在右侧、开口向左， 时开口向右。 竖着的焦点与准线全部换成 那一族，规则照搬。焦点 与准线 是一对，开口向上；焦点 与准线 是一对，开口向下。焦点与准线永远分居原点两侧，这一条可以用来检查符号是否写反。 一步校验：把写出的方程化成标准形，读出 ，与题目给的焦点横坐标（或准线位置）对一对；再把准线位置代进去看是否与焦点异号。两处都对，方向就不会错。 三、过一点求方程：一个点最多给出两条 题干只说「顶点在原点、经过点 」而没有交代对称轴时， 可以落在关于 轴对称的那一族上，也可以落在关于 轴对称的那一族上，于是有两条。若 的横坐标为 、纵坐标为 ，代入 得 ，要求 与 同号；代入 得 ，要求 与 同号。 一旦其中一个坐标为零，就只剩一族： 在 轴上时只能落在关于 轴对称的抛物线上，在 轴上时只能落在另一族。题目若补一句「对称轴为 轴」或「焦点在 轴上」，也就把这层分类去掉了。 算出的 若为负，说明开口方向与设的形式相反，此时不必另立新式，把 的负号直接写进方程即可，写成 且 ；若要求 的标准形，就改写成 。两种写法是同一条曲线。 四、焦半径：一条竖线或横线的距离 焦半径公式的来历是定义：抛物线上一点到焦点的距离等于它到准线的距离。开口向右时准线是 ，点 到准线的距离是 ，故 。开口向左时准线在 ，距离变成 。 竖直方向照抄：开口向上 ，开口向下 。四个式子的共同点是「坐标加或减半个 」，加减由开口方向决定，与点的位置无关。 这一条把「距离」换成了「坐标」，后面凡是涉及焦点弦、焦点三角形、面积最值的题，第一步都是做这个替换。反过来，题目给 求点坐标时，也只需解一个一次方程得到横坐标（或纵坐标），另一个坐标由方程本身给出，且通常有正负两个。 五、三处固定丢分点 第一处是把 当成焦点坐标，方程写成 或 。标准形式的一次项系数是 ，焦点是 ，三个数依次差一倍，写完方程回读一遍就能发现。 第二处是过点求方程只写一条。分类讨论的触发词是「对称轴未定」；题干出现「对称轴为坐标轴」「顶点在原点，经过点」，两种情形都要试，试出两个 就写两个答案。 第三处是焦半径的加减用反。可靠的办法是不背公式，画一条准线，看点与准线的相对位置：点在准线右侧，距离就是横坐标减准线横坐标，一定是正的。判正负比背口诀稳。 这三处的共同点是「数值差一倍」，所以最有效的自检是把答案代回题干：焦点坐标是不是题给的那个，准线是不是题给的那条，过点是不是真在曲线上。三问都过，答案就立住了。 第三部分　破·典型题型 题型一　由焦点或准线写标准方程 【解题技巧】先看焦点（或准线）落在哪条轴上，定下用 还是 ；再由 求 ；最后用「焦点与准线分居原点两侧」校验符号。 【教学提醒】典例 1-1 的焦点在 轴负半轴，开口向下，正好和「开口向上」形成对照。变式 1-1 改给准线，训练从准线反推开口。变式 1-2 给的是「焦点到准线的距离」，这个数直接等于 ，与前面两题的 差一倍。 【典例1-1】（原创改编） 已知抛物线的顶点在原点，焦点为 。求它的标准方程、准线方程。 解析：焦点在 轴负半轴上，故对称轴为 轴、开口向下，方程形如 。 由 得 ，方程为 ；准线为 。焦点 与准线 分居原点两侧，符号无误。 回验：取 得 ，，点 到焦点距离为 ，到准线 的距离为 ，两者相等，符合定义。 参考答案：，准线为 。 【学情易错提醒】把焦点纵坐标直接当成 ，写成 ，是这一型最常见的错。标准形里系数是 ，焦点是 ，三个数各不相同。 【变式1-1】（原创改编） 已知抛物线的顶点在原点，准线为 。求它的标准方程与焦点坐标。 解析：准线是竖直线 ，故对称轴为 轴；准线在原点的右侧，焦点必在左侧，开口向左，方程形如 。 由准线 得 ，方程为 ，焦点为 。焦点与准线分居原点两侧，符合。 回验：取 得 ，。点 到焦点 的距离为 ，到准线 的距离为 ，相等，符合定义。 参考答案：，焦点为 。 【学情易错提醒】看到准线 就写开口向右，是把准线的位置当成了焦点的位置。准线在右侧，抛物线整体退到左侧，开口只能向左。 【变式1-2】（原创改编） 已知抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为 ，且开口向上。求它的标准方程与焦点坐标。 解析：焦点到准线的距离就是 ，故 。开口向上时方程形如 ，即 。 焦点为 ，准线为 。两者相距 ，符合题设。 回验：取 得 ，。点 到焦点 的距离为 ，到准线 的距离为 ，相等。 参考答案：，焦点为 。 【学情易错提醒】把「焦点到准线的距离 」当成 ，得到的 焦点在 ，焦点到准线已是 ，与题设不符。这一型给的是 ，不是 。 题型二　过一点求方程：分类与筛选 【解题技巧】题干没定对称轴时，两种族都要试：代入 与 ，各解出一个 。 与对应坐标同号才算合法，解出两个正的就写两个答案，解出一个就写一个。题干若指定对称轴，只试一族。 【教学提醒】典例 2-1 给的点在第一象限，两个族都能过，答案两条，这是本型的核心。变式 2-1 指定了对称轴为 轴，只试一族，解出 后要注意把负号写进方程。变式 2-2 指定焦点在 轴上，同理。 【典例2-1】（原创改编） 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且经过点 。求它的标准方程。 解析：对称轴未定，两种族都要试。先设 ，代入得 ，，方程为 。 再设 ，代入得 ，，方程为 。 两条都合法： 的横坐标与纵坐标都为正，与 不矛盾。回验：，，点确实都在两条曲线上。故答案有两条。 参考答案： 或 。 【学情易错提醒】只写 是这一型最主要的失分。题干的「对称轴为坐标轴」是两种可能，不是「对称轴为 轴」。两条曲线的形状完全不同，不能互相代替。 【变式2-1】（原创改编） 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 轴，且经过点 。求它的标准方程。 解析：对称轴为 轴，只设 （ 可正可负）。代入 ：，即 ，得 。 说明开口向左。把 代回，方程为 ；若要求写成 的形式，则为 ，即 ，两式相同。 回验： 时 ，， 确在曲线上；焦点为 ，准线为 ，开口向左，与 的横坐标为负一致。 参考答案：。 【学情易错提醒】算出 后写成 却仍说「开口向右」，是只看方程不看符号。 中 与 是同一条曲线，方向由一次项系数的正负决定。 【变式2-2】（原创改编） 已知抛物线的顶点在原点，焦点在 轴上，且经过点 。求它的标准方程。 解析：焦点在 轴上，方程形如 ， 可正可负。代入 ：，即 ，得 。 方程为 ，开口向下，与 在第四象限相符。焦点为 ，准线为 。 回验： 时 ，， 确在曲线上；点 到焦点 的距离为 ，到准线 的距离为 ，相等。 参考答案：。 【学情易错提醒】「焦点在 轴上」只说明对称轴是 轴，不说明开口朝上。 的纵坐标为负，开口只能向下；若仍设 且强行取 ，解出的方程与点不符。 题型三　由方程读焦点、准线与焦半径 【解题技巧】先把方程化成标准形，读出 ： 的焦点是 ，准线是 。焦半径用定义换成坐标：开口向右 ，开口向左 。 【教学提醒】典例 3-1 给出 反求点坐标，横坐标是一次方程，纵坐标有两个值，正好说明「一个焦半径对应两点」。变式 3-1 是纯读数题，用来确认 与 的区别。变式 3-2 把「到 轴的距离」与「到焦点的距离」并列，两个条件合起来定 。 【典例3-1】（原创改编） 已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上，且 。求点 的坐标。 解析：由 得 ，，。焦点 ，准线 ，开口向右。 由焦半径公式 ，得 。代入 得 ，。 故 或 。回验： 到 的距离为 ，到准线 的距离为 ，两者相等。 参考答案： 或 。 【学情易错提醒】只写一个点，是漏掉了纵坐标的两个取值。抛物线上同一个横坐标对应上下两点，除非题目另加「在第一象限」这类限制，否则都要写。 【变式3-1】（原创改编） 求抛物线 的焦点坐标与准线方程。 解析：方程形如 ，比较系数得 ，，。 一次项为负，开口向下，焦点在 轴负半轴，为 ；准线为 。焦点与准线分居原点两侧，相距 。 回验：取 得 ，。点 到焦点 的距离为 ，到准线 的距离为 ，相等。 参考答案：焦点为 ，准线为 。 【学情易错提醒】把 当成 ，焦点写成 ，准线写成 。比较系数时先除以 ，再取一半，两步各除一次，容易漏一步。 【变式3-2】（原创改编） 已知抛物线 上一点 到焦点的距离为 ，到 轴的距离为 。求 的值与抛物线的方程。 解析： 时抛物线开口向右，点 的横坐标即为它到 轴的距离，故 。 由焦半径公式 得 ，故 ，方程为 。 回验： 时 ，。点 到焦点 的距离为 ，到 轴的距离为 ，两个条件都满足。 参考答案：，方程为 。 【学情易错提醒】把「到 轴的距离」当成 却忘了开口方向，若 则点横坐标为负，距离写法要变成 。本题先由 定下方向，这一步不能省。 题型四　由几何条件反求 【解题技巧】这类题的入口是把几何条件翻译成「焦点在哪、准线在哪」。焦点必须在对称轴上，所以「焦点在直线 上」要与坐标轴求交；准线是一条与对称轴垂直的直线，过某点即定其位置；与圆相切则用圆心到准线的距离等于半径。 【教学提醒】典例 4-1 的直线与两条坐标轴各有一个交点，两个交点给出两条抛物线，本型的分类意识在这里立起来。变式 4-1 由「准线过点」定准线，再回推 ，注意 可能是负的。变式 4-2 把相切条件用点到直线距离翻译，得到两个准线位置。 【典例4-1】（原创改编） 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且焦点在直线 上。求它的标准方程。 解析：焦点在对称轴上，对称轴为坐标轴，故焦点必是直线与坐标轴的交点。令 得 ，交点为 ；令 得 ，交点为 。 取 ：焦点在 轴负半轴，开口向左，、，方程为 ，准线 。 取 ：焦点在 轴正半轴，开口向上，、，方程为 ，准线 。两解都满足「焦点在已知直线上」，故有两条。 参考答案： 或 。 【学情易错提醒】只取直线与 轴的交点，漏掉 轴那个，是这一型的固定失分点。对称轴为坐标轴包含两条轴，直线与每条轴各交一点，两点各给一条抛物线。 【变式4-1】（原创改编） 已知抛物线 的准线经过点 。求 的值与抛物线的方程。 解析： 的准线为竖直线 。它过点 ，故准线为 。 由 得 。 说明开口向左，方程为 ，焦点为 。 回验：准线 与焦点 分居原点两侧，相距 ，符合标准形的结构。 参考答案：，方程为 。 【学情易错提醒】由准线过 直接写 ，是把 坐标当了准线位置。准线是竖直线，位置由横坐标决定，纵坐标取什么都无关。 【变式4-2】（原创改编） 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 轴，且它的准线与圆 相切。求它的标准方程。 解析：配方得圆的方程为 ，圆心 ，半径 。抛物线的准线垂直于 轴，形如 。 直线 与圆相切，等价于圆心到它的距离等于半径：，故 或 。 准线为 。 时 ，方程为 ； 时 ，方程为 。两解都开口向下，准线在原点上方。 参考答案： 或 。 【学情易错提醒】解 只取 ，漏掉 。绝对值方程必有两解，圆的上下两条水平切线各对应一条抛物线。 第四部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（选择）抛物线 的准线方程是（　　） A． B． C． D． 解析：由 得 ，，。开口向右，准线在左，为 。 选项 A 是焦点横坐标，D 是把 当成了 。准线位置是 ，不是 。 参考答案：B 2．（选择）焦点为 的抛物线的标准方程是（　　） A． B． C． D． 解析：焦点在 轴负半轴，开口向左，方程形如 ，且 ，。 故 。选 B 是方向写反，选 D 是把焦点坐标当成了 ，选 C 是把对称轴当成了 轴。 参考答案：A 3．（选择）抛物线 的焦点坐标是（　　） A． B． C． D． 解析：方程形如 ，，，。一次项为负，开口向下，焦点在 轴负半轴。 故焦点为 。D 是把 直接当了焦点纵坐标。 参考答案：B 4．（填空）已知抛物线的顶点在原点，焦点在 轴负半轴上，且经过点 ，则它的标准方程为 ______。 解析：焦点在 轴负半轴，开口向左，设 。代入 ：，。 故方程为 。回验： 时 ，确过 ；焦点 在 轴负半轴，符合。 参考答案： 5．（填空）抛物线 上一点到焦点的距离为 ，则该点的纵坐标为 ______。 解析：由 得 ，，，开口向上，焦点为 。 焦半径公式为 。由 得 。 回验： 时 ，，点 到焦点 的距离为 ，符合。 参考答案： 6．（多选）关于抛物线 ，下列说法正确的是（　　） A．焦点为 B．准线为 C．焦点到准线的距离为 D．点 在抛物线上 解析：，，。焦点 ，准线 ，A、B 都正确。 焦点到准线的距离为 ，C 正确。把 代入，左边 、右边 ，不相等，D 错误。 参考答案：ABC 7．（解答）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 轴，焦点到准线的距离为 。（1）写出它的所有标准方程；（2）若它经过点 ，确定是哪一个方程。 解析：（1）焦点到准线的距离即 。对称轴为 轴，开口可向右也可向左，故 或 。 （2）把 代入 ：左边 、右边 ，成立；代入 ：左边 、右边 ，不成立。故为 。 回验： 的焦点为 ，准线为 ，两者相距 ，符合题设；点 到焦点距离为 ，到准线距离为 ，符合定义。 参考答案：（1） 或 ；（2）。 二、培优小练（15 分钟） 8．（选择）已知抛物线的顶点在原点，焦点为椭圆 的右焦点，则该抛物线的标准方程为（　　） A． B． C． D． 解析：椭圆中 ，，右焦点为 。 抛物线的焦点在 轴正半轴，开口向右，，，方程为 。B 项漏了系数 ，D 项把焦点挪到了 轴。 参考答案：A 9．（填空）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 轴，被直线 截得的弦长为 ，则它的标准方程为 ______。 解析：抛物线关于 轴对称，直线 与它的两个交点关于 轴对称，弦长为 时两端点为 与 。 设 ，代入 ：，，方程为 。 若开口向左， 在原点右侧，没有交点，故只有一解。回验： 时 ，，弦长为 ，符合。 参考答案： 10．（解答）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 轴，焦点到准线的距离为 。（1）写出它的所有标准方程；（2）若焦点在 轴正半轴上，求抛物线上到焦点距离为 的点的坐标。 解析：（1），对称轴为 轴时开口可向右也可向左，故 或 。 （2）焦点在 轴正半轴，取 ，此时 ，焦点为 。焦半径公式给出 ，。 代入 得 ，。回验：点 到焦点 的距离为 ，符合。 参考答案：（1） 或 ；（2） 或 。 11．（填空）抛物线 关于直线 对称的曲线方程为 ______。 解析：关于 对称，相当于把方程里的 与 互换。原方程 互换后为 。 几何上对一对：原抛物线开口向上，顶点在原点，焦点 ；对称后的抛物线开口向右，焦点 ，正是 。 参考答案： 12．（解答）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 轴，且经过点 。（1）求它的标准方程；（2）求它的焦点坐标与准线方程。 解析：（1）对称轴为 轴，设 。代入 ：，。方程为 。 （2），。开口向上，焦点为 ，准线为 。 回验：点 到焦点 的距离为 ，到准线 的距离为 ，相等。 参考答案：（1）；（2）焦点为 ，准线为 。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题：求抛物线的标准方程与焦点、准线 学生版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：抛物线的标准方程只有四种形状，全部收在一个参数 上。教材先由定义「到定点与到定直线的距离相等」推出 ，再把开口方向换一换，得到另外三条。这一节的任务是把四张图与四个方程对应起来，并用 的那一个几何含义串起来：焦点到准线的距离。 考查形式：这一型是抛物线的入口题，选填 5 分，大题第一问。考法集中在三处：给焦点或准线写方程、给一个过点求方程、由方程读焦点准线再算焦半径。前面两处各有一个固定陷阱——给焦点时容易把开口方向弄反，给过点时容易漏掉另一个解。「过点」的题若不限定对称轴，一个点最多能给出两条抛物线，答案必须并列。 第二部分　记·模型与结论 一、四张图、四个方程， 是焦点到准线的距离 顶点在原点、焦点在坐标轴上的抛物线，标准方程只有四条：、、、，其中 。哪一条对应哪个开口，看一次项的性质： 是一次项、系数为正，开口向右；系数为负，开口向左； 是一次项、系数为正，开口向上；系数为负，开口向下。 不是焦点坐标，而是焦点到准线的距离。 的焦点是 ，准线是 ，两数相减的绝对值恰为 。题干给「焦点到准线的距离」就等于给了 ；给焦点坐标给的是 。这两个数差一倍，是本节第一处高频错。 对称轴由平方项决定： 是一次的平方，说明 可以取两种符号而 非负，图形关于 轴对称，落在 轴两侧； 是平方项时同理关于 轴对称。判断对称轴不必记方程，看哪个字母被平方即可。 二、由焦点或准线写方程：先定开口，再算 给焦点 时， 开口向右、 开口向左，两种情形分别写 与 ，其中 。给准线 时，焦点必在 轴上且与准线分居原点两侧， 时准线在右侧、开口向左， 时开口向右。 竖着的焦点与准线全部换成 那一族，规则照搬。焦点 与准线 是一对，开口向上；焦点 与准线 是一对，开口向下。焦点与准线永远分居原点两侧，这一条可以用来检查符号是否写反。 一步校验：把写出的方程化成标准形，读出 ，与题目给的焦点横坐标（或准线位置）对一对；再把准线位置代进去看是否与焦点异号。两处都对，方向就不会错。 三、过一点求方程：一个点最多给出两条 题干只说「顶点在原点、经过点 」而没有交代对称轴时， 可以落在关于 轴对称的那一族上，也可以落在关于 轴对称的那一族上，于是有两条。若 的横坐标为 、纵坐标为 ，代入 得 ，要求 与 同号；代入 得 ，要求 与 同号。 一旦其中一个坐标为零，就只剩一族： 在 轴上时只能落在关于 轴对称的抛物线上，在 轴上时只能落在另一族。题目若补一句「对称轴为 轴」或「焦点在 轴上」，也就把这层分类去掉了。 算出的 若为负，说明开口方向与设的形式相反，此时不必另立新式，把 的负号直接写进方程即可，写成 且 ；若要求 的标准形，就改写成 。两种写法是同一条曲线。 四、焦半径：一条竖线或横线的距离 焦半径公式的来历是定义：抛物线上一点到焦点的距离等于它到准线的距离。开口向右时准线是 ，点 到准线的距离是 ，故 。开口向左时准线在 ，距离变成 。 竖直方向照抄：开口向上 ，开口向下 。四个式子的共同点是「坐标加或减半个 」，加减由开口方向决定，与点的位置无关。 这一条把「距离」换成了「坐标」，后面凡是涉及焦点弦、焦点三角形、面积最值的题，第一步都是做这个替换。反过来，题目给 求点坐标时，也只需解一个一次方程得到横坐标（或纵坐标），另一个坐标由方程本身给出，且通常有正负两个。 五、三处固定丢分点 第一处是把 当成焦点坐标，方程写成 或 。标准形式的一次项系数是 ，焦点是 ，三个数依次差一倍，写完方程回读一遍就能发现。 第二处是过点求方程只写一条。分类讨论的触发词是「对称轴未定」；题干出现「对称轴为坐标轴」「顶点在原点，经过点」，两种情形都要试，试出两个 就写两个答案。 第三处是焦半径的加减用反。可靠的办法是不背公式，画一条准线，看点与准线的相对位置：点在准线右侧，距离就是横坐标减准线横坐标，一定是正的。判正负比背口诀稳。 这三处的共同点是「数值差一倍」，所以最有效的自检是把答案代回题干：焦点坐标是不是题给的那个，准线是不是题给的那条，过点是不是真在曲线上。三问都过，答案就立住了。 第三部分　破·典型题型 题型一　由焦点或准线写标准方程 【解题技巧】先看焦点（或准线）落在哪条轴上，定下用 还是 ；再由 求 ；最后用「焦点与准线分居原点两侧」校验符号。 【典例1-1】（原创改编） 已知抛物线的顶点在原点，焦点为 。求它的标准方程、准线方程。 【变式1-1】（原创改编） 已知抛物线的顶点在原点，准线为 。求它的标准方程与焦点坐标。 【变式1-2】（原创改编） 已知抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为 ，且开口向上。求它的标准方程与焦点坐标。 题型二　过一点求方程：分类与筛选 【解题技巧】题干没定对称轴时，两种族都要试：代入 与 ，各解出一个 。 与对应坐标同号才算合法，解出两个正的就写两个答案，解出一个就写一个。题干若指定对称轴，只试一族。 【典例2-1】（原创改编） 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且经过点 。求它的标准方程。 【变式2-1】（原创改编） 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 轴，且经过点 。求它的标准方程。 【变式2-2】（原创改编） 已知抛物线的顶点在原点，焦点在 轴上，且经过点 。求它的标准方程。 题型三　由方程读焦点、准线与焦半径 【解题技巧】先把方程化成标准形，读出 ： 的焦点是 ，准线是 。焦半径用定义换成坐标：开口向右 ，开口向左 。 【典例3-1】（原创改编） 已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上，且 。求点 的坐标。 【变式3-1】（原创改编） 求抛物线 的焦点坐标与准线方程。 【变式3-2】（原创改编） 已知抛物线 上一点 到焦点的距离为 ，到 轴的距离为 。求 的值与抛物线的方程。 题型四　由几何条件反求 【解题技巧】这类题的入口是把几何条件翻译成「焦点在哪、准线在哪」。焦点必须在对称轴上，所以「焦点在直线 上」要与坐标轴求交；准线是一条与对称轴垂直的直线，过某点即定其位置；与圆相切则用圆心到准线的距离等于半径。 【典例4-1】（原创改编） 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且焦点在直线 上。求它的标准方程。 【变式4-1】（原创改编） 已知抛物线 的准线经过点 。求 的值与抛物线的方程。 【变式4-2】（原创改编） 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 轴，且它的准线与圆 相切。求它的标准方程。 第四部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（选择）抛物线 的准线方程是（　　） A． B． C． D． 2．（选择）焦点为 的抛物线的标准方程是（　　） A． B． C． D． 3．（选择）抛物线 的焦点坐标是（　　） A． B． C． D． 4．（填空）已知抛物线的顶点在原点，焦点在 轴负半轴上，且经过点 ，则它的标准方程为 ______。 5．（填空）抛物线 上一点到焦点的距离为 ，则该点的纵坐标为 ______。 6．（多选）关于抛物线 ，下列说法正确的是（　　） A．焦点为 B．准线为 C．焦点到准线的距离为 D．点 在抛物线上 7．（解答）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 轴，焦点到准线的距离为 。（1）写出它的所有标准方程；（2）若它经过点 ，确定是哪一个方程。 二、培优小练（15 分钟） 8．（选择）已知抛物线的顶点在原点，焦点为椭圆 的右焦点，则该抛物线的标准方程为（　　） A． B． C． D． 9．（填空）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 轴，被直线 截得的弦长为 ，则它的标准方程为 ______。 10．（解答）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 轴，焦点到准线的距离为 。（1）写出它的所有标准方程；（2）若焦点在 轴正半轴上，求抛物线上到焦点距离为 的点的坐标。 11．（填空）抛物线 关于直线 对称的曲线方程为 ______。 12．（解答）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 轴，且经过点 。（1）求它的标准方程；（2）求它的焦点坐标与准线方程。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $