微专题双曲线离心率与渐近线综合导学案-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

微专题：双曲线离心率与渐近线综合 学生版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题接在“双曲线的简单几何性质”之后。教材把渐近线、离心率分两处给出，留下的是两条孤立的公式；实际考题里两者互为翻译：给渐近线就是给 ，给离心率就是给 ，而 与 由 一条式子连接。这一讲把这条连接线摆到台面上，再补三个常用推论：焦点到渐近线的距离恒为 、共渐近线族用 一个字母写全、通径 与顶角的三角关系。 考查形式：近五年全国卷与新高考卷中，本考点几乎年年出现在选填位置：一是给渐近线（或夹角）求离心率，一是给焦点到渐近线的距离与另一条件求方程，偶尔以多选题形式把共轭双曲线、通径、渐近线混在一道里。解答题多放在第（1）问，作为联立求解的前置，一步之差会让后一问的 、 全错。 第二部分　记·模型与结论 一、渐近线的斜率就是离心率的钥匙 焦点在 轴上时，渐近线为 ，斜率 ，于是 。反过来给 求斜率，。这条式子把两个“性质”压成一个字：斜率开方加一。 焦点在 轴上时 ，斜率是 ，公式变成 。只给“渐近线为 ”而不说明焦点位置，理论上两个解，题干一般会点明焦点所在的轴。 二、焦点到渐近线的距离恒为 b 渐近线写成一般式 ，焦点 ，代入点到直线距离公式，分子是 ，分母是 ，两者相消只剩 。四个焦点到两条渐近线的距离一律相等，与 、 的取值无关。 这条推论的价值在反用：题目给出“焦点到渐近线的距离”，就等于直接给出了 。配合焦距或离心率中的任一条，、 立刻定下，方程随之写出。 三、共渐近线族与共轭双曲线 与 有共同渐近线的双曲线，一律写成 （）。代入一个已知点定出 ： 焦点在 轴， 焦点在 轴， 不必是 。 把 换成 得到共轭双曲线 ，它的实半轴是 、虚半轴是 ，焦距与原曲线相同， 不必好看，但恒有 。 四、通径与顶角共用一个直角三角形 过焦点作垂直于实轴的弦，弦长 ，叫通径。设上端点为 ，则 是直角三角形，两条直角边分别是 与 ，于是 。 一个角对应一个 ： 给 ， 给 ， 给 。反之给通径与 、 的关系（等于焦距、等于实轴长的 倍）也是同一式子的变形，只需把 换成 。 五、求离心率的三条主路 一是方程法：由条件列出只含 、、 的齐次式，两边同除 的最高次，化成 的方程，解完丢掉 的根。二是几何法：把条件翻译成直角三角形、通径、焦半径，直接读出 或 。三是不等式法：由焦半径下界、三角形不等式或判别式得到 的范围。 无论走哪条路，最后一步都用 回验：把 、、 的具体值代回题干，看每一个条件是否同时成立。离心率只有一个答案，回验却能把“两解取一”的取舍讲清楚。 第三部分　破·典型题型 题型一　渐近线定离心率 【解题技巧】焦点在 轴上时，斜率 ，；给 求斜率则 。焦点在 轴上时斜率是 ，公式随之改成 。题干的“焦点在 轴上”这句话决定了用哪一个，删掉它就是两个答案。 【典例1-1】（原创改编） 已知双曲线的焦点在 轴上，两条渐近线的方程为 ，求该双曲线的离心率。 【变式1-1】 已知双曲线的焦点在 轴上，两条渐近线的方程为 ，求该双曲线的离心率。 【变式1-2】 求双曲线 的渐近线方程与离心率。 题型二　焦点到渐近线的距离恒为 【解题技巧】渐近线 与焦点 之间，距离 。这个结论与 、 的具体值无关，四个焦点、两条渐近线，四条距离全等于 。因此题干一给“焦点到渐近线的距离”，就等于给了 。 【典例2-1】（原创改编） 已知双曲线 ，求它的右焦点到两条渐近线的距离。 【变式2-1】 已知双曲线的焦点在 轴上，焦距为 ，焦点到渐近线的距离为 ，求该双曲线的离心率。 【变式2-2】 已知双曲线的焦点在 轴上，焦点到渐近线的距离为 ，离心率为 ，求该双曲线的标准方程。 题型三　共渐近线族与共轭双曲线 【解题技巧】与 共渐近线的双曲线一律设作 ，代一个点定 ，不必再算 、。共轭双曲线把 取 ：实半轴变 、虚半轴变 ，焦距不变，且 。 【典例3-1】（原创改编） 已知双曲线与 有共同的渐近线，且经过点 ，求该双曲线的方程。 【变式3-1】 已知双曲线 的离心率为 ，共轭双曲线的离心率为 ，求 、，并验证 。 【变式3-2】 已知双曲线与 有共同的渐近线，且经过点 ，求该双曲线的方程。 题型四　通径与顶角定离心率 【解题技巧】过焦点垂直于实轴的弦长为 。取上端点 ，则 中 ：给角求 、给 求角都用它。若条件改成“通径等于焦距”“通径是实轴长的 倍”，把 换成 ，仍是同一式子。 【典例4-1】（原创改编） 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，过 作垂直于 轴的直线，与双曲线在第一象限交于点 。求双曲线的离心率与 。 【变式4-1】 已知双曲线的左、右焦点分别为 、，过 作垂直于实轴的直线与双曲线交于 、 两点。若 ，求该双曲线的离心率。 【变式4-2】 已知双曲线的通径长等于它的焦距，求该双曲线的离心率。 第四部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（单选）双曲线 的渐近线方程是（　　） A． B． C． D． 2．（单选）已知双曲线的焦点在 轴上，渐近线方程为 ，则离心率为（　　） A． B． C． D． 3．（单选）双曲线 的焦点到渐近线的距离为（　　） A． B． C． D． 4．（单选）双曲线 的共轭双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 5．（填空）等轴双曲线 的离心率为______，渐近线方程为______。 6．（多选）已知双曲线 ，则下列说法正确的是（　　） A．离心率为 B．渐近线方程为 C．焦点到渐近线的距离为 D．焦点到渐近线的距离为 7．（解答）双曲线 。（1）求离心率；（2）求渐近线方程；（3）求焦点到渐近线距离。 二、培优小练（15 分钟） 8．（填空）已知双曲线的焦点在 轴上，渐近线与实轴的夹角为 ，则离心率为______。 9．（填空）双曲线 的焦点到渐近线的距离为______。 10．（多选）已知双曲线 ，则下列说法正确的是（　　） A．离心率为 B．渐近线方程为 C．存在与该双曲线共渐近线且经过点 的双曲线 D．焦点到渐近线的距离为 11．（填空）已知双曲线的通径长是实轴长的 倍，则该双曲线的离心率为______。 12．（解答）已知双曲线的焦点在 轴上，它的渐近线方程为 ，焦距为 。（1）求双曲线的方程；（2）求离心率；（3）求焦点到渐近线的距离。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题：双曲线离心率与渐近线综合 教师解析版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题接在“双曲线的简单几何性质”之后。教材把渐近线、离心率分两处给出，留下的是两条孤立的公式；实际考题里两者互为翻译：给渐近线就是给 ，给离心率就是给 ，而 与 由 一条式子连接。这一讲把这条连接线摆到台面上，再补三个常用推论：焦点到渐近线的距离恒为 、共渐近线族用 一个字母写全、通径 与顶角的三角关系。 考查形式：近五年全国卷与新高考卷中，本考点几乎年年出现在选填位置：一是给渐近线（或夹角）求离心率，一是给焦点到渐近线的距离与另一条件求方程，偶尔以多选题形式把共轭双曲线、通径、渐近线混在一道里。解答题多放在第（1）问，作为联立求解的前置，一步之差会让后一问的 、 全错。 第二部分　记·模型与结论 一、渐近线的斜率就是离心率的钥匙 焦点在 轴上时，渐近线为 ，斜率 ，于是 。反过来给 求斜率，。这条式子把两个“性质”压成一个字：斜率开方加一。 焦点在 轴上时 ，斜率是 ，公式变成 。只给“渐近线为 ”而不说明焦点位置，理论上两个解，题干一般会点明焦点所在的轴。 二、焦点到渐近线的距离恒为 b 渐近线写成一般式 ，焦点 ，代入点到直线距离公式，分子是 ，分母是 ，两者相消只剩 。四个焦点到两条渐近线的距离一律相等，与 、 的取值无关。 这条推论的价值在反用：题目给出“焦点到渐近线的距离”，就等于直接给出了 。配合焦距或离心率中的任一条，、 立刻定下，方程随之写出。 三、共渐近线族与共轭双曲线 与 有共同渐近线的双曲线，一律写成 （）。代入一个已知点定出 ： 焦点在 轴， 焦点在 轴， 不必是 。 把 换成 得到共轭双曲线 ，它的实半轴是 、虚半轴是 ，焦距与原曲线相同， 不必好看，但恒有 。 四、通径与顶角共用一个直角三角形 过焦点作垂直于实轴的弦，弦长 ，叫通径。设上端点为 ，则 是直角三角形，两条直角边分别是 与 ，于是 。 一个角对应一个 ： 给 ， 给 ， 给 。反之给通径与 、 的关系（等于焦距、等于实轴长的 倍）也是同一式子的变形，只需把 换成 。 五、求离心率的三条主路 一是方程法：由条件列出只含 、、 的齐次式，两边同除 的最高次，化成 的方程，解完丢掉 的根。二是几何法：把条件翻译成直角三角形、通径、焦半径，直接读出 或 。三是不等式法：由焦半径下界、三角形不等式或判别式得到 的范围。 无论走哪条路，最后一步都用 回验：把 、、 的具体值代回题干，看每一个条件是否同时成立。离心率只有一个答案，回验却能把“两解取一”的取舍讲清楚。 第三部分　破·典型题型 题型一　渐近线定离心率 【解题技巧】焦点在 轴上时，斜率 ，；给 求斜率则 。焦点在 轴上时斜率是 ，公式随之改成 。题干的“焦点在 轴上”这句话决定了用哪一个，删掉它就是两个答案。 【教学提醒】这一型只有一条式子，讲评的力气应花在“斜率是 还是 ”。先让全班把 的渐近线写一遍，再算 ，最后用 回验，三步都在黑板上走完。后两题可放手让学生独立完成，只用回验核对。 【典例1-1】（原创改编） 已知双曲线的焦点在 轴上，两条渐近线的方程为 ，求该双曲线的离心率。 解析：渐近线斜率 ，由 得 。 回验：取 、，则 ，，渐近线正是 。 若取 、，， 仍是 ——离心率与“同乘一个倍数”无关，这也是验算时可以随便取值的理由。 参考答案： 【学情易错提醒】把斜率当成 的会把 算成 。两个答案都很“整齐”，单看数字分不出对错，只能回验：先定 、，再算 与 ，与题目给的斜率对一次。 【变式1-1】 已知双曲线的焦点在 轴上，两条渐近线的方程为 ，求该双曲线的离心率。 解析：斜率 ，。 回验：取 、，，，渐近线为 ，与题设一致。 这一型斜率越大，离心率越大：渐近线越陡，双曲线张口越开， 随之增大，可作为判断答案量级的一条经验。 参考答案： 【变式1-2】 求双曲线 的渐近线方程与离心率。 解析：，，渐近线为 。 ，。 用斜率公式核对：，与定义算出的结果一致。这是本型唯一一道“由方程出发”的题，方向与前两题相反，正好把式子两个方向都走一遍。 参考答案：渐近线 ，离心率 题型二　焦点到渐近线的距离恒为 【解题技巧】渐近线 与焦点 之间，距离 。这个结论与 、 的具体值无关，四个焦点、两条渐近线，四条距离全等于 。因此题干一给“焦点到渐近线的距离”，就等于给了 。 【教学提醒】板演只需点到直线距离公式一行，写完立刻追问：换左焦点、换另一条渐近线，结果变不变。让学生自己代入一次，比讲三遍更牢。变式2-1 与变式2-2 是这一结论的正反两用，一题由 、 求 ，一题由 、 求方程，可同时叫两名学生上黑板，写完互相核对。 【典例2-1】（原创改编） 已知双曲线 ，求它的右焦点到两条渐近线的距离。 解析：，，，渐近线为 与 ，右焦点 。 ；代入另一条渐近线，分子仍为 ，距离同为 。 左焦点 对称，两条距离也都是 。四条距离全等于 ，这就是“距离恒为 ”的具体样子。 参考答案：两条渐近线各 【学情易错提醒】把距离算成 或 的都见过。前者忘了除分母，后者把分母写成 ；两种错法的结果恰好都是整数，回验时须代回一般式重算一次距离。 【变式2-1】 已知双曲线的焦点在 轴上，焦距为 ，焦点到渐近线的距离为 ，求该双曲线的离心率。 解析：由结论，距离即 ，故 ；焦距 给 。 ，于是 。 回验：渐近线 ，右焦点 到它的距离 ，与题设相符。 参考答案： 【变式2-2】 已知双曲线的焦点在 轴上，焦点到渐近线的距离为 ，离心率为 ，求该双曲线的标准方程。 解析：距离为 ，故 ；由 设 、（）。 由 得 ，即 ，。于是 ，，。 所求方程为 。回验：，距离 ，两项都对。 参考答案： 题型三　共渐近线族与共轭双曲线 【解题技巧】与 共渐近线的双曲线一律设作 ，代一个点定 ，不必再算 、。共轭双曲线把 取 ：实半轴变 、虚半轴变 ，焦距不变，且 。 【教学提醒】讲这一型的关键一句话是“ 一个字母吃掉整族曲线”。学生常用设 的老办法，多一层 ，运算量翻倍还容易漏 。变式3-1 的 可由定义直接推出，不必背，推一遍再让学生用它检验前两题。 【典例3-1】（原创改编） 已知双曲线与 有共同的渐近线，且经过点 ，求该双曲线的方程。 解析：设所求双曲线为 （），代入 ：，故 。 整理得 ，焦点在 轴上。 回验：，点确实在曲线上；渐近线 即 ，与原曲线相同， 也相同。 参考答案： 【学情易错提醒】把 当成“新 ”的最多：写成 后代入 ，解出 却把方程写成 ，只改了 忘了改 ，回代时点 就不在曲线上了。 【变式3-1】 已知双曲线 的离心率为 ，共轭双曲线的离心率为 ，求 、，并验证 。 解析：原曲线 、、，。 共轭双曲线为 ，实半轴 、虚半轴 、，。 验证：。一般地 ，，两者相加正是 。 参考答案：， 【变式3-2】 已知双曲线与 有共同的渐近线，且经过点 ，求该双曲线的方程。 解析：设所求为 ，代入 ：。 故 ，两边同乘 的倒数，得 。 回验：；渐近线 即 ，与原曲线的 一致。 参考答案： 题型四　通径与顶角定离心率 【解题技巧】过焦点垂直于实轴的弦长为 。取上端点 ，则 中 ：给角求 、给 求角都用它。若条件改成“通径等于焦距”“通径是实轴长的 倍”，把 换成 ，仍是同一式子。 【教学提醒】三题共用一个直角三角形，两条直角边 与 ，板演把这个三角形画出来，再把 推一遍，后面的题都靠它。变式4-1 讲完可以加一句：若把条件换成“ 为等边三角形”，由对称性 恰为 ，答案回到 ，与典例同解——这一问留给学生自己发现。 【典例4-1】（原创改编） 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，过 作垂直于 轴的直线，与双曲线在第一象限交于点 。求双曲线的离心率与 。 解析：，，，。 ，，故 ，即 ，与题设相符。 用通式核对：，两条路径给出同一个角。 参考答案：， 【学情易错提醒】把 写成 的最多——那是椭圆通径的一半的记法，双曲线中过焦点的竖直弦半长是 。两者在 时才相等，双曲线里永远不等，可用此自查。 【变式4-1】 已知双曲线的左、右焦点分别为 、，过 作垂直于实轴的直线与双曲线交于 、 两点。若 ，求该双曲线的离心率。 解析：由 与 ，得 。 解得 ，由 舍去 ，故 。 回验：，与 相符。 参考答案： 【变式4-2】 已知双曲线的通径长等于它的焦距，求该双曲线的离心率。 解析：通径长 ，焦距 ，由题设 ，即 。 把 代入，得 ；两边同除 ，得 。 解得 （另一个根小于 ，舍去）。这是黄金比的又一个出处：通径与焦距相等时，离心率恰为 。 参考答案： 第四部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（单选）双曲线 的渐近线方程是（　　） A． B． C． D． 解析：，，渐近线为 。 ，，核对 ，开方正是斜率。 参考答案：A 2．（单选）已知双曲线的焦点在 轴上，渐近线方程为 ，则离心率为（　　） A． B． C． D． 解析：斜率 ，。 若误按焦点在 轴上处理，会得 ，恰是选项 。题干点明“焦点在 轴”，正是为了排掉这一支。 参考答案：B 3．（单选）双曲线 的焦点到渐近线的距离为（　　） A． B． C． D． 解析：由结论，焦点到渐近线的距离等于 ，此处 。 代数核对：渐近线 ，右焦点 ，距离 。 参考答案：C 4．（单选）双曲线 的共轭双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 解析：共轭双曲线为 ，实半轴 、虚半轴 、。 。原曲线 （选项 是它的值），两者满足 。 参考答案：A 5．（填空）等轴双曲线 的离心率为______，渐近线方程为______。 解析：，，。 渐近线 。等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率恒为 ，两条都是它的标志。 参考答案：； 6．（多选）已知双曲线 ，则下列说法正确的是（　　） A．离心率为 B．渐近线方程为 C．焦点到渐近线的距离为 D．焦点到渐近线的距离为 解析：A ，，，，正确。 B 斜率 ，正确。 C、D 由结论距离等于 ，故 C 正确、D 错误。 参考答案：ABC 7．（解答）双曲线 。（1）求离心率；（2）求渐近线方程；（3）求焦点到渐近线距离。 解析：（1），，，。 （2）渐近线 ，即 。 （3）右焦点 ，到 的距离 。用 核对斜率，两问自洽。 参考答案：（1）；（2）；（3） 二、培优小练（15 分钟） 8．（填空）已知双曲线的焦点在 轴上，渐近线与实轴的夹角为 ，则离心率为______。 解析：渐近线与实轴的夹角即为 ，故 。 。夹角越靠近 ， 越大；夹角为 时 ，恰是等轴双曲线。 参考答案： 9．（填空）双曲线 的焦点到渐近线的距离为______。 解析：由结论，距离等于 。 代数核对：，渐近线 的系数平方和为 ，距离 。 参考答案： 10．（多选）已知双曲线 ，则下列说法正确的是（　　） A．离心率为 B．渐近线方程为 C．存在与该双曲线共渐近线且经过点 的双曲线 D．焦点到渐近线的距离为 解析：A ，，，，正确。 B 斜率 ，正确。 C 把 代入共渐近线族 ，得 ，而 ，故这样的双曲线不存在——该点正落在渐近线上，错误。 D 距离等于 ，正确。 参考答案：ABD 11．（填空）已知双曲线的通径长是实轴长的 倍，则该双曲线的离心率为______。 解析：通径长 ，实轴长 ，由题设 ，即 。 代入 得 ，故 。 回验：取 、，，通径 ，恰为实轴长 的两倍。 参考答案： 12．（解答）已知双曲线的焦点在 轴上，它的渐近线方程为 ，焦距为 。（1）求双曲线的方程；（2）求离心率；（3）求焦点到渐近线的距离。 解析：（1）由渐近线 设 、（）；焦距 给 。 由 得 ，，故 、，方程为 。 （2）。（3）距离等于 。回验：，开方正是斜率 。 参考答案：（1）；（2）；（3） 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $