微专题椭圆焦半径公式及其应用导学案-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

微专题：椭圆焦半径公式及其应用 教师解析版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课堂微突破 / 二轮补漏专项 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：选择性必修第一册第二章“圆锥曲线”椭圆的简单几何性质之后，衔接焦点弦、离心率与最值问题的必备工具。 考查形式：选择题、填空题直接考焦半径的取值与最值；解答题中作为“设点不求点”的中间步骤，把 一步写成 的一次式，省去两次距离公式。 第二部分　记·模型与结论 一、坐标式： 设椭圆 ，焦点 、，离心率 ，点 在椭圆上。把 中的 用 换掉，开方即得： 二、角度式： 记 与 轴正向夹角为 ，则 。 三、焦点弦长：角度式的两段相加 过 的弦 与 轴正向夹角为 ，得： 取 得通径 ，这是焦点弦的最小值；取 得 ，即长轴，这是最大值。焦点弦的长度只能落在 里，超过这个区间的弦必然不过焦点。 四、由两个一次式直接读出的四个结论 ① （恒成立，与 的位置无关）； ② 的取值范围是 ，端点分别在右、左顶点取得； ③ ，取值范围 ，最小值在长轴端点、最大值在短轴端点取得； ④ ，取值范围 。 三条路径各对一类设问：求和用 ，求最值看 的端点，求焦点弦长才用角度式。选错路径的根源只有一个——未先判定弦是否过焦点，判定之后路径即定。 第三部分　破·典型题型 题型一　坐标式求焦半径与反求坐标 【解题技巧】本组处理“已知横坐标求长度”与“已知长度反求横坐标”两类设问，皆系一次式的正用与反用。设问的关键在符号：， 越靠右，到左焦点的距离越大。若题给纵坐标或一般位置，先解出 再代公式；直接对 平方展开虽可行，却要用到 ，反而绕远。 【教学提醒】板书按三列推进：坐标式、代入过程、回代校验。请一名学生板演变式1-2，另一名用距离公式重算典例1-1，两种算法的差别集中在开方次数上，对照即明。 【典例1-1】 已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，点 在椭圆上，求 与 。 解析：由方程得 ，，，。 直接用坐标式：，。 校验：，与定义相符。 以距离公式计算可得同样的值，但需两次开方；坐标式的用途正在于免除这两步。 参考答案：， 【变式1-1】 条件同上，若椭圆上一点 满足 ，求点 的横坐标。 解析：由 得 。 解得 。因 ，点在椭圆上，符合要求。 设问只要求横坐标， 无须解出；若要求写出点的坐标，则须补上 。 参考答案： 【变式1-2】 已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，点 在椭圆上，且 ，求点 的横坐标。 解析：由 ，，得 ，。 设 ，则 ，。 由 得 ，即 ，。 校验：此时 ，，和为 ，符合。 参考答案： 题型二　焦半径的取值范围与最值 【解题技巧】焦半径关于 是一次函数，最值必在 处取得，无须求导；乘积与平方和是 的二次式，最值落在 或 。答题时须写明端点对应的几何位置（哪条轴上的顶点），该处为评分点。 【教学提醒】只板书 一步，其余由学生补全。讲评聚焦最小值的由来，可给 、 一组数值，由学生自行撞出 这个错误下界。 【典例2-1】 已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，点 在椭圆上。（1）求 的取值范围；（2）若 ，求 及点 的坐标。 解析：（1）由 ，，，，得 ，其中 。 故 的取值范围是 ：（左顶点）时取 ，（右顶点）时取 。 （2）由 得 。 又 ，得 。代入椭圆方程得 ，即 。 所以 。 参考答案：（1）；（2）， 【变式2-1】 条件同上，点 在椭圆上，求 的取值范围，并指出取到最值时点 的位置。 解析：。 因 ，故乘积的取值范围是 。 （上、下顶点）时取最大值 ，此时 ，与“短轴端点对两焦点张角最大”一致；（长轴端点）时取最小值 。 易错点在最小值不是 ：焦半径恒正， 最小只到 ，乘积的最小值即为 。 参考答案：；最大值在短轴端点，最小值在长轴端点 【变式2-2】 条件同上，求 的取值范围。 解析：把两个焦半径相加：。 代入 ，，得 。 由 得取值范围 ； 时取 ，此时两端值分别为 与 ，与 的端点吻合。 参考答案： 题型三　角度式与焦点弦长 【解题技巧】焦点弦的判别标志只有一个：弦是否过焦点。过焦点时以 一步得出，亦可由弦长反解倾斜角；不过焦点则联立用一般弦长公式。另一常用换算为 ，把两条焦半径之和转化为一条弦长。 【教学提醒】先不给公式，先问“这条弦过不过焦点”，由学生判断路径。再以极角 与 的两段示意说明通分过程，公式的分子与分母各由何处得来即清楚。 【典例3-1】 已知椭圆 的左焦点为 ，过 的直线 与椭圆交于 、 两点，且 的倾斜角为 ，求 。 解析：由 ，，，得焦点弦长公式 。 代入 ，，得 。 校验：，落在焦点弦的长度区间 内。 联立验证： 代入得 ，弦长公式同样给出 。 参考答案： 【变式3-1】 条件同上，若过 的弦 满足 ，求直线 的倾斜角。 解析：由 ，即 ，得 。 所以 ，，即 或 。 倾斜角的取值范围为 ，两个解均须写出。只写 是本类设问最常见的失分点：方程对 求解，正负两支各对应一条合法直线。 参考答案： 或 【变式3-2】 条件同典例3-1，、 在椭圆上且弦 过 ，求 。 解析：由定义，，，两式相加得 。 代入 ，，得 。 该换算对任意过焦点的弦均成立：两条焦半径之和由定义拆为 与弦长之差，无须分别求两段。 参考答案： 第四部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（单选）椭圆 上一点 到左焦点的距离为 ，则 到右焦点的距离为（　　） A． B． C． D． 解析：由方程得 ，。 由椭圆定义，两焦半径之和恒为 ，故所求距离为 。 参考答案：B 2．（单选）椭圆 的左焦点为 ，点 在椭圆上，则 （　　） A． B． C． D． 解析：由 ， 得 。 由坐标式 。 参考答案：B 3．（单选）椭圆 上一点 到左焦点 的距离的最大值为（　　） A． B． C． D． 解析：由 ，， 得 。 最大值 在左顶点取得，此时 与 分居长轴两端。 参考答案：C 4．（单选）过椭圆 的左焦点且垂直于长轴的弦长为（　　） A． B． C． D． 解析：这条弦就是通径，长度为 。 代入 ，，得 。 也可直接代入 ：，得 ，，弦长 。 参考答案：B 5．（多选）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，点 在椭圆上，则下列结论正确的是（　　） A． B． 的最大值为 C． 的最小值为 D． 恒为 解析：A 由定义成立。 B 中 ， 时取 ，成立。 C 中最小值为 ，在右顶点取得，成立。 D 中 ，取值范围 ，不是定值，错误。 参考答案：ABC 6．（填空）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，点 在椭圆上，且 ，则点 的横坐标为 ______。 解析：由 且 得 。 由 ，解得 。 参考答案： 7．（解答）已知椭圆 的左焦点为 ，过 的直线 与椭圆交于 、 两点。（1）若 垂直于长轴，求 ；（2）求 的取值范围。 解析：由 ， 得 ，。 （1） 垂直于长轴时 为通径，。 （2）设 的倾斜角为 ，由焦点弦长公式 。 当 （）时取最小值 ；当 （，即长轴）时取最大值 。 故 的取值范围是 。 参考答案：（1）；（2） 二、培优小练（15 分钟） 8．（单选）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，点 在椭圆上且 ，则 （　　） A． B． C． D． 解析：由 ，，，得 ，。 由勾股定理 。 两式相减：，故乘积为 。 另解：，而 ，一样是 。 参考答案：A 9．（单选）已知椭圆 的左焦点为 ，过 的弦 交椭圆于 、 两点，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 解析：由定义，。 又 ，故 。 校验：焦点弦的长度不小于通径 、不大于 ， 落在区间内。 参考答案：C 10．（多选）已知椭圆 的左焦点为 ， 是过 的弦，则 的取值可能是（　　） A． B． C． D． 解析：焦点弦的取值范围是 。 A 为通径，取得到；B 为长轴， 时取得到；D 在区间内，取得到。 C 中 ，小于最小值，取不到。 参考答案：ABD 11．（填空）已知椭圆 的右焦点为 ，右准线为 ，点 在椭圆上且 ，则点 到右准线的距离为 ______。 解析：由 且 ，得 。 椭圆上点到焦点的距离与到对应准线的距离之比等于 ，故所求距离 。 回头核一下：由 得 ，，对得上。 参考答案： 12．（解答）已知椭圆 的左焦点为 ，过 的直线 与椭圆交于 、 两点， 的倾斜角为 。（1）求 关于 的表达式；（2）求 的最小值及此时 的值；（3）若 ，求 。 解析：由 ，，，得焦点弦长公式 。 （1），其中 。 （2）分母最大时 最小：，即 时，（通径）。 （3）由 得 ，即 ，。 倾斜角的取值范围为 ，故 或 ，两条直线关于长轴对称，弦长相同。 参考答案：（1）；（2）最小值 ，；（3） 或 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题：椭圆焦半径公式及其应用 学生版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课堂微突破 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：选择性必修第一册第二章“圆锥曲线”椭圆的简单几何性质之后，衔接焦点弦、离心率与最值问题的必备工具。 考查形式：选择题、填空题直接考焦半径的取值与最值；解答题中作为“设点不求点”的中间步骤，把 一步写成 的一次式，省去两次距离公式。 第二部分　记·模型与结论 一、坐标式： 设椭圆 ，焦点 、，离心率 ，点 在椭圆上。把 中的 用 换掉，开方即得： 二、角度式： 设 与 轴正向夹角为 ，则 、 。 三、焦点弦长：角度式的两段相加 过 的弦 与 轴正向夹角为 ，得: 取 得通径 ，这是焦点弦的最小值；取 得 ，即长轴，这是最大值。焦点弦的长度只能落在 里，超过这个区间的弦必然不过焦点。 四、由两个一次式直接读出的四个结论 ① （恒成立，与 的位置无关）； ② 的取值范围是 ，端点分别在右、左顶点取得； ③ ，取值范围 ，最小值在长轴端点、最大值在短轴端点取得； ④ ，取值范围 。 三条路径各对一类设问：求和用 ，求最值看 的端点，求焦点弦长才用角度式。选错路径的根源只有一个——未先判定弦是否过焦点，判定之后路径即定。 第三部分　破·典型题型 题型一　坐标式求焦半径与反求坐标 【解题技巧】本组处理“已知横坐标求长度”与“已知长度反求横坐标”两类设问，皆系一次式的正用与反用。设问的关键在符号：， 越靠右，到左焦点的距离越大。若题给纵坐标或一般位置，先解出 再代公式；直接对 平方展开虽可行，却要用到 ，反而绕远。 【典例1-1】 已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，点 在椭圆上，求 与 。 【变式1-1】 条件同上，若椭圆上一点 满足 ，求点 的横坐标。 【变式1-2】 已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，点 在椭圆上，且 ，求点 的横坐标。 题型二　焦半径的取值范围与最值 【解题技巧】焦半径关于 是一次函数，最值必在 处取得，无须求导；乘积与平方和是 的二次式，最值落在 或 。答题时须写明端点对应的几何位置（哪条轴上的顶点），该处为评分点。 【典例2-1】 已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，点 在椭圆上。（1）求 的取值范围；（2）若 ，求 及点 的坐标。 【变式2-1】 条件同上，点 在椭圆上，求 的取值范围，并指出取到最值时点 的位置。 【变式2-2】 条件同上，求 的取值范围。 题型三　角度式与焦点弦长 【解题技巧】焦点弦的判别标志只有一个：弦是否过焦点。过焦点时以 一步得出，亦可由弦长反解倾斜角；不过焦点则联立用一般弦长公式。另一常用换算为 ，把两条焦半径之和转化为一条弦长。 【典例3-1】 已知椭圆 的左焦点为 ，过 的直线 与椭圆交于 、 两点，且 的倾斜角为 ，求 。 【变式3-1】 条件同上，若过 的弦 满足 ，求直线 的倾斜角。 【变式3-2】 条件同典例3-1，、 在椭圆上且弦 过 ，求 。 第四部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（单选）椭圆 上一点 到左焦点的距离为 ，则 到右焦点的距离为（　　） A． B． C． D． 2．（单选）椭圆 的左焦点为 ，点 在椭圆上，则 （　　） A． B． C． D． 3．（单选）椭圆 上一点 到左焦点 的距离的最大值为（　　） A． B． C． D． 4．（单选）过椭圆 的左焦点且垂直于长轴的弦长为（　　） A． B． C． D． 5．（多选）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，点 在椭圆上，则下列结论正确的是（　　） A． B． 的最大值为 C． 的最小值为 D． 恒为 6．（填空）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，点 在椭圆上，且 ，则点 的横坐标为 ______。 7．（解答）已知椭圆 的左焦点为 ，过 的直线 与椭圆交于 、 两点。（1）若 垂直于长轴，求 ；（2）求 的取值范围。 二、培优小练（15 分钟） 8．（单选）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，点 在椭圆上且 ，则 （　　） A． B． C． D． 9．（单选）已知椭圆 的左焦点为 ，过 的弦 交椭圆于 、 两点，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 10．（多选）已知椭圆 的左焦点为 ， 是过 的弦，则 的取值可能是（　　） A． B． C． D． 11．（填空）已知椭圆 的右焦点为 ，右准线为 ，点 在椭圆上且 ，则点 到右准线的距离为 ______。 12．（解答）已知椭圆 的左焦点为 ，过 的直线 与椭圆交于 、 两点， 的倾斜角为 。（1）求 关于 的表达式；（2）求 的最小值及此时 的值；（3）若 ，求 。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $