微专题 椭圆与双曲线共焦点交汇模型 导学案-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

微专题：椭圆与双曲线共焦点交汇模型 学生版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜结·方法模型｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题把两条曲线放进同一个坐标系。前面的内容各守一条线：一类题把曲线从条件里求出来，一类题只研究一条弦；本讲让椭圆与双曲线共用一对焦点——椭圆与双曲线共用一对焦点时，两边的「半轴关系」只差一个符号：椭圆是 ，双曲线是 。教材在椭圆、双曲线的几何性质之后各设一处「探究」，把两条曲线画在同一组焦点上比较，本讲就是把那两页的图变成一组可算的结论。 考查形式：共焦点在卷面上有三个落点。一是求方程：给一条曲线与一个附加条件，用同一个 定参数，属 4–5 分的小题；二是交点问题：两曲线交于 ，求 、、三角形的周长或面积，选填的压轴位置常见，因为要同时调用两个定义；三是切线：交点处两条切线互相垂直，是圆锥曲线里少见的「与参数无关恒成立」的结论，常在解析几何大题第二问出现。三类题共用一张结论表，所以本讲先立表、再分型。 第二部分　记·模型与结论 一、两张「半轴关系」合成一句 椭圆与双曲线共用焦点，意思只有一件：两者的焦距相同，也就是 相同。椭圆里 最大，故 ；双曲线里 最大，故 。两式右边是同一个 ，于是本讲的出发点就一句话：。做题时把它写成两段，左边一段带减号、右边一段带加号，中间画等号，符号方向就不容易记反。 由此还能读出三个换算：，椭圆里能确定的只有「 最大」， 与 谁大谁小并不固定（ 当且仅当 ， 当且仅当 ， 时两者相等）；，双曲线里 最大， 与 之间同样没有固定的大小关系， 可以比 大；遇到只给 与 的题，就从这两式反求 。焦点在 轴上时整张表照用，只要把 理解成焦点所在轴的半轴长。 拿一组数对照着看更清楚。取 ，椭圆取 、， 得 ；双曲线取 、， 也得 。同一个 之下，一个 是 、一个是 ，相差很大，这不是算错。但别把椭圆读成 ：此例 ， 已经比 大；把椭圆换成 、， 仍是 ，此时 。椭圆里唯一不变的是 最大， 与 谁大谁小随离心率而变，双曲线的 更是没有约束。 二、交点坐标：横 、纵 设交点 。把 、 当成两个未知量，两条曲线方程就成了二元一次方程组： 与 。消元时留意第二式的 项前面是负号，正是这个负号让最后的分母变成 。 解出 、。两个都是平方，所以交点有四个，关于两条坐标轴对称；取第一象限的那个，坐标就是横坐标两个「」相乘除以 、纵坐标两个「」相乘除以 。这条式子在后面每一型里都要用，写一遍即可。 还有一个副产品要留下：把两式的 系数凑成一样再相减，会得到 。这个比值在第五节的切线证明里还要用一次，两处合起来才把「垂直」证完。若只需要纵坐标，也可以先解 再回代，但回代式里带根号，不如把两个式子当作结论直接用。 三、两条焦半径：和是 、差是 椭圆的定义给 ，双曲线的定义给 。两条焦半径正好是两个未知量，两式一加一减就解完，不需要联立曲线方程。 落在双曲线右支上时，它离左焦点远，故 取正号。两式相加得 ，相减得 ，于是较大的那条等于 、较小的那条等于 。若 在左支，两条互换，结论的「形状」不变。 这两个结果也可以用距离公式验一遍。 展开是 四项，把 换成 之后，四项整理起来正好配成 ，开方即得。这条代数路线不必背，但走过一遍，就知道两个结论有据可依，不是凭空出现的。 四、交点三角形：面积恒为 三角形 的底是 ，高是 到 轴的距离，也就是 的绝对值 。面积是二分之一乘底再乘高， 在上面、也在下面，正好约掉，剩下 。所以这个面积只由两个「」决定，与 无关、与 也无关；反过来，给面积再加一条曲线，就能反求另一条的 。 张角另有判据。由两条焦半径得 。直角要求它等于 ，故 ；把 、 代入，得 。这条链建议单独抄下来： 与 是同一件事的两个说法。 顺带还能得到离心率的关系。 写成 ，分子就是 ； 时它等于 ，故整个分式的值是 ，与曲线的具体参数无关。这个数在选填里反复出现，答案恒为 。 五、交点处两条切线恒垂直 对椭圆 两边求导，得 ，故 处切线斜率 。对双曲线 同样求导，只是 项前面是负号，移项后变正：。一负一正，正因为两条曲线在 处一个「向里弯」、一个「向外弯」。 两式相乘得 。把第二节留下的 代进去，四个量成对约光，乘积恒为 。所以垂直与 、、 的具体取值无关，是「共焦点」这个条件的必然推论。 写切线方程用「以点代平方」的公式：椭圆是 ，双曲线是 。两处只差中间那个符号，双曲线用减号。写成加号是这一型最常见的一处错：错完之后两条切线斜率都变负，乘积成了 ，却仍然写着「垂直」。 第三部分　破·典型题型 题型一　由共焦点定曲线：先定 ，再定参数 【解题技巧】共用一对焦点，等价于两条半轴关系相等：椭圆的 与双曲线的 都等于 。步骤固定：由已知曲线的 、 算 ，椭圆相减、双曲线相加；把 代入待求曲线的关系式，解出所缺参数；写出标准方程并回代核对焦点。所给若是 ，用 或 ；所给若是 或 ，直接代入。动笔前先标明待求的是椭圆还是双曲线，可免去大半符号错。 【典例1-1】（原创改编） 已知双曲线 与椭圆 共焦点，且椭圆 的短半轴长为 。求椭圆 的标准方程。 【变式1-1】 已知双曲线 与椭圆 共焦点，且 的短半轴长为 。求椭圆 的离心率。 【变式1-2】 已知曲线 ：，其中 且 。（1）说明 的焦点与 无关，并写出焦点坐标；（2）当 时，写出 的方程，并说明焦点在哪条坐标轴上。 题型二　两条焦半径：和是 、差是 【解题技巧】设 为两曲线的一个交点。椭圆给 ，双曲线给 （ 在右支），两条焦半径即两个未知量，一加一减直接解出 与 。动笔前先画图定 的位置，判断哪条焦半径更长，符号即不会反。再补 ，三角形三边齐备。要交点坐标时直接用横 、纵 ，不必联立两条曲线。 【典例2-1】（原创改编） 已知椭圆 与双曲线 的左、右焦点分别为 、， 是两曲线在第一象限的交点。（1）求 与 ；（2）求 的周长与面积。 【变式2-1】 已知椭圆 与双曲线 共焦点 、， 是两曲线的一个交点。（1）求 、；（2）求 在第一象限的坐标。 【变式2-2】 已知椭圆 与双曲线 共焦点 、，且 。 是两曲线的一个交点，，。（1）求 及两条曲线的标准方程；（2）求 的面积。 题型三　交点三角形：面积恒为 【解题技巧】三角形 的底为 ，高为 的纵坐标 ，乘以二分之一后 约去，面积即 。故知两条曲线的 便可直接得面积，不必求交点；反之，给面积与一条曲线，可反求另一条的 。张角有专门判据：，它等于 当且仅当 ，此时所张为直角。判断张角用此判据，不必绕道余弦定理。 【典例3-1】（原创改编） 已知椭圆 与双曲线 交于 （第一象限）。（1）求 的面积；（2）判断 是否为直角，并说明理由。 【变式3-1】 已知椭圆 与双曲线 共焦点，两曲线交于 ，且 的面积为 。求双曲线 的标准方程。 【变式3-2】 已知椭圆 与双曲线 共焦点 、， 是两曲线的一个交点，且 。（1）证明 ；（2）求 的值。 题型四　交点处的切线：两条切线恒垂直 【解题技巧】交点 处，椭圆切线斜率为 ，双曲线为 ，一负一正。相乘后代入 ，四个量成对约去，恒得 ：垂直与参数无关，是共焦点的必然结果。写切线方程用「以点代平方」：椭圆 ，双曲线 ，两处只差中间那个符号。 【典例4-1】（原创改编） 已知椭圆 与双曲线 在第一象限的交点为 。（1）求 的坐标；（2）求两条曲线在 处的切线方程，并验证两条切线互相垂直。 【变式4-1】 已知椭圆 与双曲线 共焦点， 是第一象限的交点。（1）求 的坐标；（2）求两条曲线在 处的切线方程，并求两条切线的夹角。 【变式4-2】 设椭圆 与双曲线 共焦点， 是它们的一个交点。证明：两条曲线在 处的切线互相垂直。 第四部分　结·方法模型 四个题型的入口各不相同，出口都是同一个等式 ：动笔第一行先把它写下来，再决定往哪个方向用。 一、求曲线：先算 ，再定所缺参数 椭圆相减、双曲线相加，是这两条关系式唯一的区别；把 代入待求曲线，解出的参数须回代一次验焦点。 所给条件若是 ，直接用 或 换算，不必绕道求 。 二、焦半径：两定义式一加一减 设交点为 。椭圆给和、双曲线给差，两个式子联立即得 与 。 先用图形判断 落在双曲线的哪一支，符号才不会反；要坐标时直接用横坐标 、纵坐标 。 三、交点三角形：面积只与两条 有关 面积恒为 ，与 无关，求面积不必先求交点，这是本类题省时的关键。 张直角的判据是 ，不是看离心率大小；判据用错，四个选项会一起看错。 四、切线：垂直与参数无关 交点处两条切线斜率之积恒为 ，对一切共焦点的椭圆与双曲线都成立，不必代入具体参数。 写切线方程用「以点代平方」：把 、 分别换成 、，一次项按半量处理。 四类题共同的失分点不在公式，而在第一步判断： 在哪条曲线、哪一支上。判断错了，后面的运算越熟，错得越整齐。 第五部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（单选）已知椭圆 与双曲线 ，则两曲线的公共焦点坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（单选）与双曲线 共焦点、且长轴长为 的椭圆的标准方程是（　　） A． B． C． D． 3．（单选）已知双曲线 与椭圆 共焦点 、， 是两曲线的一个交点，则 等于（　　） A． B． C． D． 4．（单选）已知椭圆 与双曲线 共焦点， 是两曲线的一个交点，则 的面积为（　　） A． B． C． D． 5．（多选）设椭圆 与双曲线 共焦点 、， 是两曲线的一个交点。下列说法正确的是（　　） A．两曲线的焦距相等 B． 处的两条切线互相垂直 C． 的面积等于 D． 恒等于 6．（填空）与椭圆 共焦点、且离心率为 的双曲线的标准方程为 ______。 7．（解答）已知椭圆 与双曲线 共焦点 、， 是两曲线在第一象限的交点。（1）求 、；（2）求 的周长与面积。 二、培优小练（25 分钟） 8．（单选）已知椭圆 与双曲线 共焦点 、， 是两曲线的一个交点。若 ，则 与 的关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 9．（单选）椭圆 与双曲线 的交点横坐标的绝对值是（　　） A． B． C． D． 10．（多选）设椭圆 与双曲线 共焦点 、， 为它们的一个交点。下列说法正确的是（　　） A． 的坐标满足 、 B． 的面积为 C． D．若 ，则两条曲线的离心率相等 11．（填空）已知椭圆 与双曲线 的交点中，位于第一象限的点为 ，则 的坐标为 ______。 12．（解答）已知椭圆 与双曲线 共焦点 、， 是两曲线在第一象限的交点。（1）证明 ；（2）求 的面积，并求 的值。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题：椭圆与双曲线共焦点交汇模型 教师解析版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜结·方法模型｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题把两条曲线放进同一个坐标系。前面的内容各守一条线：一类题把曲线从条件里求出来，一类题只研究一条弦；本讲让椭圆与双曲线共用一对焦点——椭圆与双曲线共用一对焦点时，两边的「半轴关系」只差一个符号：椭圆是 ，双曲线是 。教材在椭圆、双曲线的几何性质之后各设一处「探究」，把两条曲线画在同一组焦点上比较，本讲就是把那两页的图变成一组可算的结论。 考查形式：共焦点在卷面上有三个落点。一是求方程：给一条曲线与一个附加条件，用同一个 定参数，属 4–5 分的小题；二是交点问题：两曲线交于 ，求 、、三角形的周长或面积，选填的压轴位置常见，因为要同时调用两个定义；三是切线：交点处两条切线互相垂直，是圆锥曲线里少见的「与参数无关恒成立」的结论，常在解析几何大题第二问出现。三类题共用一张结论表，所以本讲先立表、再分型。 第二部分　记·模型与结论 一、两张「半轴关系」合成一句 椭圆与双曲线共用焦点，意思只有一件：两者的焦距相同，也就是 相同。椭圆里 最大，故 ；双曲线里 最大，故 。两式右边是同一个 ，于是本讲的出发点就一句话：。做题时把它写成两段，左边一段带减号、右边一段带加号，中间画等号，符号方向就不容易记反。 由此还能读出三个换算：，椭圆里能确定的只有「 最大」， 与 谁大谁小并不固定（ 当且仅当 ， 当且仅当 ， 时两者相等）；，双曲线里 最大， 与 之间同样没有固定的大小关系， 可以比 大；遇到只给 与 的题，就从这两式反求 。焦点在 轴上时整张表照用，只要把 理解成焦点所在轴的半轴长。 拿一组数对照着看更清楚。取 ，椭圆取 、， 得 ；双曲线取 、， 也得 。同一个 之下，一个 是 、一个是 ，相差很大，这不是算错。但别把椭圆读成 ：此例 ， 已经比 大；把椭圆换成 、， 仍是 ，此时 。椭圆里唯一不变的是 最大， 与 谁大谁小随离心率而变，双曲线的 更是没有约束。 二、交点坐标：横 、纵 设交点 。把 、 当成两个未知量，两条曲线方程就成了二元一次方程组： 与 。消元时留意第二式的 项前面是负号，正是这个负号让最后的分母变成 。 解出 、。两个都是平方，所以交点有四个，关于两条坐标轴对称；取第一象限的那个，坐标就是横坐标两个「」相乘除以 、纵坐标两个「」相乘除以 。这条式子在后面每一型里都要用，写一遍即可。 还有一个副产品要留下：把两式的 系数凑成一样再相减，会得到 。这个比值在第五节的切线证明里还要用一次，两处合起来才把「垂直」证完。若只需要纵坐标，也可以先解 再回代，但回代式里带根号，不如把两个式子当作结论直接用。 三、两条焦半径：和是 、差是 椭圆的定义给 ，双曲线的定义给 。两条焦半径正好是两个未知量，两式一加一减就解完，不需要联立曲线方程。 落在双曲线右支上时，它离左焦点远，故 取正号。两式相加得 ，相减得 ，于是较大的那条等于 、较小的那条等于 。若 在左支，两条互换，结论的「形状」不变。 这两个结果也可以用距离公式验一遍。 展开是 四项，把 换成 之后，四项整理起来正好配成 ，开方即得。这条代数路线不必背，但走过一遍，就知道两个结论有据可依，不是凭空出现的。 四、交点三角形：面积恒为 三角形 的底是 ，高是 到 轴的距离，也就是 的绝对值 。面积是二分之一乘底再乘高， 在上面、也在下面，正好约掉，剩下 。所以这个面积只由两个「」决定，与 无关、与 也无关；反过来，给面积再加一条曲线，就能反求另一条的 。 张角另有判据。由两条焦半径得 。直角要求它等于 ，故 ；把 、 代入，得 。这条链建议单独抄下来： 与 是同一件事的两个说法。 顺带还能得到离心率的关系。 写成 ，分子就是 ； 时它等于 ，故整个分式的值是 ，与曲线的具体参数无关。这个数在选填里反复出现，答案恒为 。 五、交点处两条切线恒垂直 对椭圆 两边求导，得 ，故 处切线斜率 。对双曲线 同样求导，只是 项前面是负号，移项后变正：。一负一正，正因为两条曲线在 处一个「向里弯」、一个「向外弯」。 两式相乘得 。把第二节留下的 代进去，四个量成对约光，乘积恒为 。所以垂直与 、、 的具体取值无关，是「共焦点」这个条件的必然推论。 写切线方程用「以点代平方」的公式：椭圆是 ，双曲线是 。两处只差中间那个符号，双曲线用减号。写成加号是这一型最常见的一处错：错完之后两条切线斜率都变负，乘积成了 ，却仍然写着「垂直」。 第三部分　破·典型题型 题型一　由共焦点定曲线：先定 ，再定参数 【解题技巧】共用一对焦点，等价于两条半轴关系相等：椭圆的 与双曲线的 都等于 。步骤固定：由已知曲线的 、 算 ，椭圆相减、双曲线相加；把 代入待求曲线的关系式，解出所缺参数；写出标准方程并回代核对焦点。所给若是 ，用 或 ；所给若是 或 ，直接代入。动笔前先标明待求的是椭圆还是双曲线，可免去大半符号错。 【教学提醒】第一题把两条关系式并排写在黑板上，左边一列椭圆、右边一列双曲线，让学生自己填 ，填完再问「 该往哪一列代」。第二题改求离心率，多一步开方，重点提醒 要化到 ，否则离心率写不成最简。第三题是含参曲线系，学生容易只讨论 的情形，讲的时候先把 代进去让他看见「这一支是双曲线」，再回到一般情形说清 为什么与 无关。 【典例1-1】（原创改编） 已知双曲线 与椭圆 共焦点，且椭圆 的短半轴长为 。求椭圆 的标准方程。 解析：双曲线里 、，故 ，，焦点为 。 椭圆与它共焦点，故焦点也在 轴上，且 。 又 ，故 ，代入得 。 故椭圆 的方程为 。核对：，，与题给一致。 参考答案： 【学情易错提醒】把双曲线的 套到椭圆上，写成 ，得 ，卡在这里却仍往下写。另一处是把「短半轴长为 」当成 ，于是 ，方程写成 ——回代一算 也成立，光看 查不出错，必须回代 才发现。 【变式1-1】 已知双曲线 与椭圆 共焦点，且 的短半轴长为 。求椭圆 的离心率。 解析：双曲线里 、，故 ，。 椭圆 的 ，故 ，。 离心率 ，代入得 ，化简为 。 核对：，符合椭圆；又 的 ，与双曲线一致。 参考答案： 【学情易错提醒】把离心率写成 ，得 ，而椭圆的离心率必须小于 ，这一步可以立刻自查。另一处是算成 ——把椭圆的关系式写成了双曲线的形式， 与「半轴长为正」矛盾。还有一处是把 直接留着不化简，离心率写成 ，形式上不算错，但选填会判错。 【变式1-2】 已知曲线 ：，其中 且 。（1）说明 的焦点与 无关，并写出焦点坐标；（2）当 时，写出 的方程，并说明焦点在哪条坐标轴上。 解析：（1）分两种情形。若 ，则 ， 是椭圆，。 若 ，则 ，把 改写成 ，是双曲线，。 两种情形都有 ，故焦点是 ，与 的取值无关。 时焦点在 轴上（椭圆的长轴在这条轴上）， 时双曲线的实轴也在 轴上。 （2） 时 ，故 为 ，是双曲线，焦点在 轴上。 参考答案：（1）焦点为 ，与 无关；（2），焦点在 轴上 【学情易错提醒】只讨论 的情形，漏掉 那一支，于是「与 无关」这句没有证完。另一处是 时把方程写成 ，符号没改就对不上双曲线的标准形式， 也就算成了 。还有一处是看到 就以为焦点跑到了 轴上—— 落在 那一项上，焦点始终在 轴。 题型二　两条焦半径：和是 、差是 【解题技巧】设 为两曲线的一个交点。椭圆给 ，双曲线给 （ 在右支），两条焦半径即两个未知量，一加一减直接解出 与 。动笔前先画图定 的位置，判断哪条焦半径更长，符号即不会反。再补 ，三角形三边齐备。要交点坐标时直接用横 、纵 ，不必联立两条曲线。 【教学提醒】第一题把两个定义式上下并排写在黑板上，让学生自己相加、相减，两条焦半径一屏就出来；随后追问「为什么是 更长」，把「 是远焦点」这层画在图上。第二题多问一步交点坐标，提醒纵坐标是两个「」相乘除以 ，不是 。第三题是逆向：给了直角与一条焦半径，先用勾股定出另一条，再回到 、；讲完顺带指出 ，为第四型埋一个伏笔。 【典例2-1】（原创改编） 已知椭圆 与双曲线 的左、右焦点分别为 、， 是两曲线在第一象限的交点。（1）求 与 ；（2）求 的周长与面积。 解析：椭圆 ，双曲线 ，。 在第一象限，落在双曲线的右支上，离左焦点更远，故 。 椭圆给 。两式相加得 ，故 ；回代得 。 周长 ，三段依次是 、、，相加得 。这个数等于 ，与 在交点中的哪一个无关。 面积用底乘高：底 ，高是 的纵坐标。由交点公式 ，故 ，得 ，与 一致。 参考答案：（1），；（2）周长 ，面积 【学情易错提醒】双曲线那一式写成 ，与椭圆的定义混在一起，两式再相加就没有意义。另一处是符号取反，写成 ，解出 、，等于把 挪到了左支，而题给的 在第一象限。面积那一步若改用 、 与夹角去算，先得 ，再求正弦、开方，比用交点纵坐标多三步还容易算错。 【变式2-1】 已知椭圆 与双曲线 共焦点 、， 是两曲线的一个交点。（1）求 、；（2）求 在第一象限的坐标。 解析：椭圆 、，双曲线 、，两边的 都是 ，。 （1），。核对：和为 ，等于 ；差为 ，等于 。 （2）由交点公式，横坐标 ，纵坐标 ，即 。 回代核对： 得 ， 得 ，相加为 ，在椭圆上； 得 ，在双曲线上。 参考答案：（1），；（2） 【学情易错提醒】把双曲线的 看成 （方程是 ，实半轴长是 ， 属于 ），于是 ，整题带根号。另一处是纵坐标用 时把 取成 ，得 ，回代双曲线立刻不成立。还有一处是选择联立消元，解出 后忘了开方，把 当纵坐标。 【变式2-2】 已知椭圆 与双曲线 共焦点 、，且 。 是两曲线的一个交点，，。（1）求 及两条曲线的标准方程；（2）求 的面积。 解析：由 与 得 。 （1）焦半径的和与差反推半轴长：，。 ，故 ，。椭圆为 ，双曲线为 。 （2）两条焦半径正好是直角边，，得 ，与 一致。这里 ，正是结论四里「 相等则张直角」的那一组。 参考答案：（1），椭圆 ，双曲线 ；（2）面积 【学情易错提醒】由直角直接写 ，把斜边当成了一条直角边与另一条直角边之差。另一处是 ——套了双曲线的算法，椭圆里 必须相减。还有一处是双曲线的方程写成 之后又约成 ，把分母 丢了。 题型三　交点三角形：面积恒为 【解题技巧】三角形 的底为 ，高为 的纵坐标 ，乘以二分之一后 约去，面积即 。故知两条曲线的 便可直接得面积，不必求交点；反之，给面积与一条曲线，可反求另一条的 。张角有专门判据：，它等于 当且仅当 ，此时所张为直角。判断张角用此判据，不必绕道余弦定理。 【教学提醒】第一题两条路都走一遍：先用 算（恰好是直角），再用底乘高算，两个 对上，结论四才会被真正接受。第二题是反求，重点在「面积除以 得 」这一步，学生常把它和 弄混。第三题是纯证明，先让学生用具体数字验一组，再把 、 代进去，符号抵消的那一下要写在黑板上。 【典例3-1】（原创改编） 已知椭圆 与双曲线 交于 （第一象限）。（1）求 的面积；（2）判断 是否为直角，并说明理由。 解析：椭圆 、，双曲线 、，两边 都是 ，。 （1）两条焦半径：，；底 。 焦半径正好是直角边，，得 。用底乘高验一遍：， 也是 。 （2）是直角。理由是比较平方：，而 ，两边相等，由勾股定理的逆定理得 。也可以直接看 ，按结论四， 相等就是张直角。 参考答案：（1）面积 ；（2）是直角，理由见解析 【学情易错提醒】判定直角时算出 就下结论，没有与 比较——勾股定理的逆定理必须两边都写出来。另一处是面积用 ，却把这个角当成 ，得 ；既然已经算出是直角，正弦就是 。还有一处是把高当成 （漏了除以 ），面积变成 。 【变式3-1】 已知椭圆 与双曲线 共焦点，两曲线交于 ，且 的面积为 。求双曲线 的标准方程。 解析：椭圆 、，故 ，，。 面积等于 ，故 ，得 ，。 双曲线的 ，故 的方程为 。 核对：，与椭圆的 相同；两条 分别是 与 ，乘起来确实是 。 参考答案： 【学情易错提醒】把面积当成 ，用 得 ，这是拿 当高（高应当是 ）。另一处是解出 之后写成 ，符号又反了，得到的方程 与椭圆对不上。还有一处是把 当成 ，面积除下来 。 【变式3-2】 已知椭圆 与双曲线 共焦点 、， 是两曲线的一个交点，且 。（1）证明 ；（2）求 的值。 解析：（1）由两条焦半径 、，平方相加得 。 直角给 ，两式比较得 ，即 。 代入 、，左边变成 ，与右边相等，故 ，即 。 （2） 写成 ，分子是 ，故值为 。这个 与两条曲线的具体参数无关。 参考答案：（1）证明见解析；（2） 【学情易错提醒】由 直接断言 ，中间的代入一步没写，逻辑上缺一环。另一处是把 写成 （平方只加了一半），值算成 ，与 对不上。还有一处是用余弦定理绕：先算 ，得 之后又回头去求余弦，绕了一圈回到原处。 题型四　交点处的切线：两条切线恒垂直 【解题技巧】交点 处，椭圆切线斜率为 ，双曲线为 ，一负一正。相乘后代入 ，四个量成对约去，恒得 ：垂直与参数无关，是共焦点的必然结果。写切线方程用「以点代平方」：椭圆 ，双曲线 ，两处只差中间那个符号。 【教学提醒】第一题两条切线都算出来，再把斜率乘一遍，让学生看见 是「约」出来的，不是碰巧。第二题换成带根号的交点，重点在 里 别漏根号；两条切线的夹角直接用「垂直」下结论，不必再套夹角公式。第三题是证明，先让学生用一组具体数字验，再把 与 的比值单独提出来——这一步是整道题的关节，写在黑板正中。 【典例4-1】（原创改编） 已知椭圆 与双曲线 在第一象限的交点为 。（1）求 的坐标；（2）求两条曲线在 处的切线方程，并验证两条切线互相垂直。 解析：椭圆 、，双曲线 、，。 （1）横坐标 ，纵坐标 ，故 。 （2）椭圆切线用 ，代入得 ，即 ，斜率为 。 双曲线切线用 ，代入得 ，即 ，斜率为 。两斜率之积为 ，故两条切线互相垂直。 参考答案：（1）；（2） 与 ，两线垂直 【学情易错提醒】双曲线切线套了椭圆的加号，写成 ，斜率变成 ，与 相乘得 ，却仍然写「垂直」。另一处是纵坐标 里把 取成 （那是 ），得 。还有一处是切线方程化简时把 算成 ，漏了分母上那个 ，方程变成 。 【变式4-1】 已知椭圆 与双曲线 共焦点， 是第一象限的交点。（1）求 的坐标；（2）求两条曲线在 处的切线方程，并求两条切线的夹角。 解析：椭圆 、，双曲线 、，两边 都是 ，。 （1）横坐标 ，纵坐标 ，即 ，故 。 （2）椭圆切线 ，化简得 ，斜率为 。 双曲线切线 ，化简得 ，斜率为 。两斜率之积为 ，故夹角为 。 参考答案：（1）；（2） 与 ，夹角 【学情易错提醒】把 写成 ，横坐标变成 ，代回椭圆方程立刻不成立——这一步可以用「把 代回原方程」自查。另一处是双曲线切线用加号，得 ，斜率 ，与 相乘为 。还有一处是求夹角时把两条斜率代进正切的夹角公式，算出分母接近 就停了；分母为 恰好说明两线垂直，可直接下结论。 【变式4-2】 设椭圆 与双曲线 共焦点， 是它们的一个交点。证明：两条曲线在 处的切线互相垂直。 解析：由交点公式，、，两式相除得 。 对椭圆求导得 ，对双曲线求导得 。 相乘：。把上面那个比值代入，得 ，即 。 两条切线的斜率都存在（交点不在 轴上，），乘积为 ，故两条切线互相垂直。结论对任何一对共焦点的椭圆与双曲线都成立。 参考答案：证明见解析 【学情易错提醒】只用一组具体数字验完就写「故成立」，把特例当成了证明——必须把 的比值提出来，证明才覆盖所有参数。另一处是双曲线斜率写成 ，两条都是负的，乘积成了 ，结论反了。还有一处是忘了交代 ：斜率存在是相乘的前提，交点落在 轴上时两条切线都竖直，应当单独说一句。 第四部分　结·方法模型 四个题型的入口各不相同，出口都是同一个等式 ：动笔第一行先把它写下来，再决定往哪个方向用。 一、求曲线：先算 ，再定所缺参数 椭圆相减、双曲线相加，是这两条关系式唯一的区别；把 代入待求曲线，解出的参数须回代一次验焦点。 所给条件若是 ，直接用 或 换算，不必绕道求 。 二、焦半径：两定义式一加一减 设交点为 。椭圆给和、双曲线给差，两个式子联立即得 与 。 先用图形判断 落在双曲线的哪一支，符号才不会反；要坐标时直接用横坐标 、纵坐标 。 三、交点三角形：面积只与两条 有关 面积恒为 ，与 无关，求面积不必先求交点，这是本类题省时的关键。 张直角的判据是 ，不是看离心率大小；判据用错，四个选项会一起看错。 四、切线：垂直与参数无关 交点处两条切线斜率之积恒为 ，对一切共焦点的椭圆与双曲线都成立，不必代入具体参数。 写切线方程用「以点代平方」：把 、 分别换成 、，一次项按半量处理。 四类题共同的失分点不在公式，而在第一步判断： 在哪条曲线、哪一支上。判断错了，后面的运算越熟，错得越整齐。 第五部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（单选）已知椭圆 与双曲线 ，则两曲线的公共焦点坐标为（　　） A． B． C． D． 解析：椭圆：，，焦点在 轴上，为 。 双曲线：，，焦点也在 轴上，与椭圆一致。 是 当成 ， 是把 开方。 参考答案：A 2．（单选）与双曲线 共焦点、且长轴长为 的椭圆的标准方程是（　　） A． B． C． D． 解析：双曲线 、，故 ，。 长轴长 故 ，，方程为 。 把长短轴放反了； 直接把 当成 ； 用 算 ，减的是 而不是 。 参考答案：A 3．（单选）已知双曲线 与椭圆 共焦点 、， 是两曲线的一个交点，则 等于（　　） A． B． C． D． 解析：双曲线实半轴长 （方程写成 ， 属于 ），故差为 。 椭圆只提供和：。两条式子联立可得 与 ，差确实是 。 是和而不是差， 是 。 参考答案：A 4．（单选）已知椭圆 与双曲线 共焦点， 是两曲线的一个交点，则 的面积为（　　） A． B． C． D． 解析：面积等于 ：、，故面积为 。 用底乘高验一遍：，， 也是 。 是 的值（把面积当成了 ）， 是 ， 是把高取成 时的 ——高必须是 ，不能直接用 。 参考答案：A 5．（多选）设椭圆 与双曲线 共焦点 、， 是两曲线的一个交点。下列说法正确的是（　　） A．两曲线的焦距相等 B． 处的两条切线互相垂直 C． 的面积等于 D． 恒等于 解析： 项：共焦点的定义就是焦距相同，正确。 项：两切线斜率之积恒为 ，与参数无关，正确。 项：底 、高 ，面积化简为 ，正确。 项错：由椭圆定义得到的是 ，差对应双曲线，是 。两处一加一减，正好反了。 参考答案：ABC 6．（填空）与椭圆 共焦点、且离心率为 的双曲线的标准方程为 ______。 解析：椭圆 ，。双曲线与它共焦点，故 。 离心率 ，故 ，。 方程为 。核对：，，两处都对。 参考答案： 7．（解答）已知椭圆 与双曲线 共焦点 、， 是两曲线在第一象限的交点。（1）求 、；（2）求 的周长与面积。 解析：椭圆 、，双曲线 、，两边 都是 ，。 （1） 在第一象限，落在双曲线右支上，故 ，。 （2）周长 得 ；面积等于 。 用底乘高验面积：， 也是 。 参考答案：（1），；（2）周长 ，面积 二、培优小练（25 分钟） 8．（单选）已知椭圆 与双曲线 共焦点 、， 是两曲线的一个交点。若 ，则 与 的关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 解析：由两条焦半径得 ，直角又给出它等于 ，故 。 代入 、，得 ，故 。 例证： 与 共焦点，，交点处确实是直角；反过来 时张的就不是直角。 参考答案：A 9．（单选）椭圆 与双曲线 的交点横坐标的绝对值是（　　） A． B． C． D． 解析：、，、，两边的 都是 ，故交点横坐标的绝对值是 。 也可以联立消 ：由椭圆得 ，由双曲线得 ，两式相等后两边同除 ，得 ，整理得 ，故 ，。 是纵坐标（）， 是 ， 是把 写反了。 参考答案：A 10．（多选）设椭圆 与双曲线 共焦点 、， 为它们的一个交点。下列说法正确的是（　　） A． 的坐标满足 、 B． 的面积为 C． D．若 ，则两条曲线的离心率相等 解析： 项：把 、 当未知量解二元一次方程组，即得这两个式子，正确。 项：底 、高 ，面积化简为 ，正确。 项：这正是椭圆的定义， 在椭圆上，故和恒为 ，正确。 项错： 只说明 ，两个半焦距相同而半长轴不同， 与 一般不相等。例如 与 ，、。 参考答案：ABC 11．（填空）已知椭圆 与双曲线 的交点中，位于第一象限的点为 ，则 的坐标为 ______。 解析：椭圆 、，双曲线 、，两边 都是 ，。 横坐标 ，即 ；纵坐标 ，即 。故 。 回代核对： 得 ，为 ； 得 ，也在双曲线上。 参考答案： 12．（解答）已知椭圆 与双曲线 共焦点 、， 是两曲线在第一象限的交点。（1）证明 ；（2）求 的面积，并求 的值。 解析：椭圆 、，双曲线 、，两边 都是 ，。两条曲线的 相等，按结论四，交点处应当张直角，下面把它算出来。 （1），。平方相加： 中的交叉项相消，得 ，即 。 而 ，两边相等，由勾股定理的逆定理得 。 （2）两条焦半径是直角边，，用平方差得 ，即 ，与 一致。 离心率：、，故 ，得 。 本题把本讲的四条结论串了一遍： 是从 与 都等于 读出来的；直角是由两条焦半径的平方和得出，没有回到交点坐标；面积用 一步到位；离心率的倒数和用 化成 。四个量各自独立，任意两问的答案都可以拿来验剩下两问，考场上正是靠这层互检挡住符号错。 若把第（1）问改成交点坐标，答案应是 ：横坐标 ，纵坐标 ，回代两条曲线都能成立。这个坐标不必单列，但算一遍能说明「 相等推直角」与「坐标公式」两条路彼此吻合。 参考答案：（1）证明见解析；（2）面积 ， 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $