2.1.2 椭圈的简单几何性质-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

039 1.2椭圆的简单几何性质 素养目标 定方向 课标要求 核心素养 1.掌握椭圆的几何性质，掌握a,b,c,e的几 1.理解并熟练掌握椭圆的几何性质，理清长、短 何意义及a,b,c,e之间的相互关系， 轴，焦半径对离心率的影响 2.尝试利用椭圆的方程研究椭圆的几何 2.深挖椭圆的几何特性，借助数形结合思想解决相关 性质。 问题，提升直观想象、数学运算、逻辑推理等核心 3.尝试利用椭圆的知识解决简单的实际问题 素养 必备知识 探新知 知识点1椭圆的几何性质 以若+片-1(a>6>0)为简来研究椭圆的几付性质 (1)范围 x=-d 由椭圆的标准方程知，椭圆上点的坐标(x,）满足不等式 1.22 v-h s1,x2 ≤a2,y2≤b2, ∴.lxl≤a,lyl≤b. 说明椭圆位于直线 所围成的矩形内. (2)对称性 ①判断曲线关于原，点x轴y轴对称的依据 若把方程中的x换成一x,y换成-y,方程不变，则曲线关于 对称； 若把方程中的y换成-y,方程不变，则曲线关于 轴对称； 若把方程中的x换成-x,方程不变，则曲线关于 轴对称. ②椭圆既关于原点对称，也关于x轴y轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中 心，这个中心称为 (3)顶点 确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标 ①在椭圆的标准方程中，令x=0,得y=±b,则B(0,-b),B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.同理令 y=0得x=±a,即A,(-a,0),A,(a,0)是椭圆与x轴的两交点.所以椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个 交点叫作椭圆的 ②线段A1A2,B,B2分别叫作椭圆的 ,它们的长分别为2a和2b,a和b分别叫作椭圆的 和 ③椭圆的短轴端点到焦点的距离为a.如图，在Rt△OB2F2中，IOB2|=b,1OF2I= c,IB,F,I=a. (4)离心率 ①椭圆的焦距与长轴长的比e= a .'a>c>0,∴.0<e<1. ②椭圆离心率的变化反映了椭圆的 当e越接近于1时，c越接近于a,从而b=√a2-c越小，因此椭圆越 当e越接近于0时，c越接近于0，从而b=√a2-c越大，因此椭圆越接近 当且仅当a=b时，c=0,两焦点重合，图形就变为圆，方程为x2+y=a2. ③椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与椭圆的焦点所在的坐标轴无关 0409 知识点2两个标准方程的几何性质与特征比较 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 B B 标准方程 普茶=1a>6>0 范围 -b≤x≤b,-a≤y≤u A1(-a,0),A2 A ,A2(0,a) 顶点 B ,B2(0,b) B1(-b,0),B2 轴长 长轴长为 短轴长为 焦点 F(-c,0),F2(c,0) F(0,-c),F2(0,c) 焦距 2e 对称性 对称轴： ,对称中心： 离心率 e= (0<e<1) 关键能力 攻重难 ●题型探究 题型一椭圆的简单几何性质 例L.求椭圆m+4m=1(m>0)的长轴长，短轴长焦点坐标，顶点坐标和离心率 041 )对点训练1 x 知椭圆C:0+41,设椭圆C,与椭圆G,的长轴长、短轴长分引 规律方法： 1.已知椭圆的几 等，且椭圆C,的焦点在y轴上 何性质，求其标准方程 (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； 主要采用待定系数法】 (2)写出椭圆C2的方程，并写出它的长轴长，短轴长，离心率。 解题步骤为 (1)确定焦点所 在的位置，以确定椭圆 标准方程的形式： (2)确立关于 a,b,c的方程 (组)，求出参裁a, 题型二利用椭圆的几何性质求标准方程 b,c: 例2求适合下列条件的椭圆的标准方程， (3)写出标准 方程 (1)椭圆过点(3,0)，离心率e=6; 3； 2.注意事项：当 椭圆的焦点位置不确 (2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端，点的连线互相垂直，且焦距为8. 定时，通常要分类讨 [分析]1.求椭圆的标准方程要先确定椭圆的焦点位置，不能确定的要 论，分别设出标准方 分情况讨论，然后设出标准方程，再用待定系数法确定a、b、c. 程求解，可确定类型 2.(1)中由离心率e=c,及a2=b+c2可知椭圆的标准方程中只有一个 的量有焦点、顶点： 而不能确定类型的量 待定系数，再由过点(3,0)可求之 有长轴长、短轴长、 (2)设短轴端点为A,F为一个焦点，由条件知△OAF为等腰直角三角离心率、焦距. 形，于是a,b,c可求之 [规律方法] )对点训练2 已知椭圆的对称轴是坐标轴，高心率为，长轴长为12，则椭圆方程为 () 144*281或，+ 32 128+144=1 4s1 6 C+e 之>子一 D.+=1 46 6=1或。+4三 042 题型三求椭圆的离心率 规律方法： 例3为椭圆的两个焦点过不的直线交椭圆于P,Q两点，PF1PO 求椭圆离心率的 且IPFI=PQI,求椭圆的离心率. 值或取值范围问题，先 将已知条件转化为a, [分析]由题目可获取以下主要信息：①已知椭圆上两点与焦点连线的几b,c的方程或不等式 何关系.②求椭圆的离心率解答本题的关键是把已知条件化为α，b,c之间的再求解. 关系 1)若已知a,c 可直接代入e=C 求得 (2)若已知a,b 则使用e= 6 √1- 求解： （3)若已和b, c,则求a,再利用 (1)求解： （4)若已知a, b,c的关系，可转化 为关于离心率e的方 程（不等式）求值 (范围). （5)给出图形的 问题，先由图形和条 件我到a,b,c的关 系，再列方程（不等 式)求解. ·[规律方法] 由于a,b,c之 间是平方关系，所以 对点训练3 在求e时，常常光平 方再求解. 已知点F,上分别是椭圆。+之1(>6>0)的左、石焦点，过F且甄 规律方法： 解决椭圆中点孩 直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离 问题的三种方法 心率e是 ( (1)根与系数的 关系法：联立直线方 A 2 B② 03 程和椭圆方程构成方 2 c号 3 程组，消去一个未知 数，利用一元二次方 题型四中点弦问题 程根与系数的关系以 例4.P(1,1)为椭圆 及中点坐标公式 +,=1内一定点经过P引一弦.使此弦在P点 解决. (2)点差法：利 平分，求此弦所在的直线方程， 用端点在曲线上，坐 [分析]本题涉及弦的中点，属于中点弦问题，采用点差法求解较简便， 标满足方程，将端点 坐标分别代入椭圆方 程，然后作差，构造 出中点坐标和斜率的 关系 (3)共线法：利 用中点坐标公式，如 果弦的中点为 P(xo,yo),设其一交 点为A(x,y),则另 一交点为B(2x0-x, 2y0-y）,则 (26-x)2(2%-y）2 a2+ =1, 2 两式作差即得所 ·[规律方法] 求直线方程 043 )对点训练4 椭圆)+y=1的弦被点 11 22 平分，则这条弦所在的直线方程是 ●易错警示 忽略椭圆的范围致错 例5设稀圆的中心是华标原点，焦点在轴上，离心率。-月.已知点P0,引到鞘圆上一点的最 远距离是万，求椭圆的标准方程 [错解] 软超意可设指圆的海准方程为号+学=1(@>6>0)。 ,y2 a2 设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d, f=+-}=1-+y-3y+是=-++46+(-6≤y≤6). 当y=-2时，d最大，即4+3=76=1心-4奶=4，横回的标准方程是香+y=1 [辨析】易忽略椭圆方程中y的取值范围，而直接得：当y=~)时，F有最大值.事实上，由于 点(x,y)在椭圆上，所以有-b≤y≤b,因此在求的最大值时，应分类讨论 [正解] 课堂检测 固双基 1.已知椭圆C:16x2+4y2=1,则下列结论正确的 F2,上、下顶点分别为B,B2,则四边形 是 B,F,B2F2的面积为 A长轴长为号 5.已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率 B焦距为 e一号求m的伯及罐圆的长轴长，短轴长焦 点坐标、顶点坐标 C焦点坐标为0， D肉心率为号 2已知椭圆C:号+亏-1(a>3)的离心率为号 9 则a= () A.5 B.6 C.7 D.8 3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成 个正三角形，则该椭圆的离心率为（) A B. 2 D.6 4 夯基提能作业 4.巳知椭四写+号=1的左，右焦点分别为R, 请同学们认真完成练案[11]又圆P过点B,.IPBI=T, 又.·圆P与圆A内切，圆A的半径为10. .两圆的圆心距IPA1=10-r, 即IPAI+IPBI=1O(大于IABI). ∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆. .2a=10,2c=1AB1=6, a=5,c=3.b=a2-c2=25-9=16. “点P的税志方程为结+名=1 对点训练2：如图所示，M是AQ的垂直平分线与CQ的 点，连接MA,则1MQI=IMA1, ∴.IMC1+IMAI=IMCI+IMQI=ICQI=5,且IACI=2, ∴动点M的轨迹是椭圆，且其焦点为C,A, 5 易知2a=5,2c=2,a=2,c=1, 6=2-c2=25-1-2头 4 4, 六动点M的轨迹方程为号+号 925+2=1 44 例3：(1)设1PF1=m,1PF21=n, 由题意知a2=100,62=64, 则c2=a2-b2=36,故a=10,c=6. 根据椭圆的定义，有m+n=20, 在△FP5,中，由余弦定理，得m2+n2-2mcos受=14 3 .m2+n2-mn=144. ∴.(m+n)2-3mn=144. 六400-3mn=14.m=2 3 San=1 PEPE,,1m∠PPR,=子×× 3 =643 3 (2):a=10,根据椭圆的定义，有1PF,1+1PF2I=20 P,Ip1(E生P=( 2 =100, 当且仅当1PF,1=IPF2I时“=”号成立. IPF,IIPF2I的最大值是100. 对点训练3：由余弦定理得 os600=PEI2+1PE,12-4e2 2IPF IIPF2I 1PF2+1PF2I2-25 2IPF IIPF,I .IPF I.IPF,I =IPF 12+IPF,12-25 =(IPF I+IPF21)2-21PF IIPF2I -25 31PFI·1PF2I=(2×5)2-25=75, .IPFI·IPF2I=25, 六Sa听=之1PE,I1Pf,15m60 =255 4 r5-k>0, k<5 例4：由题意，得{k-3>0,解得{k>3, 5-k≠k-3, Lk≠4. 所以k的取值范围是(3,4)U(4,5). 课堂检测固双基 交1.C因为A(-5,0),B(5,0), 所以1ACI+IBCI=10=IABI,知点C的轨迹是线段AB.故 选C. 2.Ac=1,由点P(2,0)在椭圆上，可得a=2, 桃圆的方程为号+兮 =1. 3 3.D方程+2.即号+兰1表不焦点在)编上的刷 k 圆名>2，枚0<<1.放远 42或号稀圆2+6=1转换为标准形式兰 1 当焦点在x轴上时，e2=1-太，即2c=2√1-=万，解得 4=2,当焦点在)轴上时，c2-太-1，即2c=2√ 1-1=2, 解得-子 5.设动圆圆心M的坐标为(x,y),动圆M的半径为r,由题意得 1MC1+1MC21=(13-r）+(3+r)=16>8=1C,C21, 由椭圆的定义可知，圆心M的轨迹是以C,C2为焦点的椭 圆，2a=16,2c=8, 0=8e4,6=4后所求的轨连方程为后+东-1 1.2椭圆的简单几何性质 必备知识探新知 知识点1(1)x=±a,y=±b(2)①原点xy②椭 圆的中心(3)①顶点②长轴和短轴长半轴长短半轴长 (4)②圆扁程度扁圆 知识点2 长+31a≥6>0 -a≤x≤a,-b≤y≤b (a,0)(0,-b)(0,-a)(b,0)2a2bx轴，y轴 原点 a 关键能力攻重难 例1：已知得片+ y -=1(m>0), m24m2 因为0<m2<4m2,所以>L 所以国的点在箱上并祖a小六c易 m 所以橘圆的长轴长20=品，知轴长2沙=六焦点坐标为 m ( 305 顶点坐标为（品0(-a0小(0，(02动）离心-12 2e 3 化简得3e2+25e-3=0, 率e= 2m√3 a-1 2 3 解得e=-5(舍去)，或e=号，故选D, m 22 例4：解法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方 对点训练1：()由椭圆C:10+64=l, 程为y-1=k(x-1),弦的两端点为A(x1,y),B(x2,y2), 可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6,0)， y-1=k(x-1), （-6,0,离心率e=号 由{x2y2 4+2=1, 消去y得， (2)椭圆G:10+4=1.它的长轴长是20，短轴长是16， (2k2+1)x2-4k(k-1)x+2(k2-2k-1)=0, 离心率是e=子 西+5=(k-1) 2h2+1, 例2：(1)若焦点在x轴上，则a=3, 又：有+6=2，=2，得k=子枚弦所在直线 2k2+1 e==6 a c=662=a2-62=9-6=3. 1 方程为y-1=-2(x-1),即x+2y-3=0, 辉圆的方程为号+苦=1 解法二：由于此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k,且 设弦的两端点坐标为(x,少)，(x2,y2), 若焦点在y轴上，则b=3, .'e=c 则+号=1，+受1，两式相碱 (x+)x1-)++)(1-）=0, 2 ·椭圆的方程为+)=1 x1+2=2,y1+y2=2, 综上可知椭圆方程为 2 1或」 2 g+31 X27+9 =1. 425+01-为)=06=2=-2 2 2没锅圆的方程为号+若=1a60 3X1-X2 “此弦所在直线方程为y-1=-(x-1), 如图所示，△AFA2为等腰直角三 即x+2y-3=0. 角形， 对点训练4：2x+4y-3=0设这条弦的两端点为A(x1, OF为斜边AA2的中线（高） y1),B(x2y2),斜率为k, 且IOFI=c,IA1A2I=2b, .c=b=4,a2=62+c2=32, 2+斤=1 则 两式相减再变形得5+k(+2)=0, 故所求简圆的方程为员+后=1 2 2+=1 对点训练2：C由条件知a=6,e=C a 3 又弦中点为（分）故=， .c=2, 62=a2-c2=32,故选C 放这条弦所在的直线方程)-子=-(：-），整理得 例3：如图所示，设1PF,1=m,则1PQ1=m,1F,Q=2m.由2x+4y-3=0. 椭圆定义得IPFI+IPF2I=IQFI+IQF2I=2a. 所以IPFI+IPQI+IFQI=4a. 例5，依题整可设横圆的标准方程为号+台1a>60)。 即(2+2)m=4a.所以m=(4- 则号1号所以g即a=2 a 22)a. 设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则P=x2+ 又IPfl=2a-m=(22-2)a.在 Rt△PF,F,中， (-2)=（-）+y-3+号=-3+2+46+3 IPF 12+1PF,12=IFE12. (-b≤y≤b). 即(22-2)2a2+(4-22)2a2=4c2 若6<7，则当y=-6时，心有最大值，从而山有最大值， 所以号=9-62=3(5-1只.所以e=。=6-瓦 于是(72=(b+2),解得6=±万-子，与0<6<2矛盾 对点训练3：D把x=-c代人椭圆的方程可得y=尽 所以必有6≥7，此时当y=-子时，心有最大值，从而d 1AE1= 名，由m30°=5=M5是-足=c-正 3=1FF2=2ac 2ac 有最大值，即462+3=(7)2，解得62=1，所以a2=4. 枚所求椭圆的标准方程是子+少2=1. 306 课堂检测固双基 知识点2(1)号-若=1a>0,6>0) x 1.D椭圆方程16成+4y=1化为标准方程为千+ -存=1(a> 1 =1,焦点 0,b>0) 164 关键能力攻重难 在y轴上，所以a= 1 2,6= 1 3 4,c ,所以长轴长为2a=1,焦距 例1：(1)存在..1FF21=10,而6<10 4 .满足条件的曲线是双曲线。 为2=,熊点坐标为0，± ,离心率为e= 2 ,故选D. (2)存在.1FF21=10,而10=10， a ∴.满足条件的是以F,F为端点的两条射线。 2B因为椭圆C:行+ =1(a>3)的离心率为 (3)不存在..·1FF2I=10,而12>10， 9 ∴.满足该条件的曲线不存在 所以(-1是所以。=6故选B 对点训练1：D当a=3时，2a=6,此时lAB1=10 .点P的轨迹为双曲线的一支（靠近点B). 3.A不妨设椭圆的左、右焦点分别为F, :111 当a=5时，2a=10,此时lAB1=10, F2,B为椭圆的上顶点。 ∴.点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线。 依题意可知，△BFF,是正三角形 在Rt△OBF2中，IOF2I=c, 例2：(1)设双线为程为号-卡-1@>06>0 IBF2I=a,∠OF2B=60°， .c0s60°==1 a=21 则a=25空告=1，幅得=6， a 1 即椭圆的离心率e=2,故选A 则双商线的标准方程为号后-山 (2)设双曲线方程为mx2-y2=1, 4.22根据题意，设四边形B,F,B,F2 y外 1 的面积为S, r49m-72n=1解得 m=25' 则有 防圆的标准方程为号+号=1，其中 28m-9n=1, 1 n=75' a=5,b=2, 则双曲线的标准方程为；方=1， 则c=3-2=1 对点训练2：(1)因为焦点在x轴上， 则F(-1,0),F2(1,0),B,(0,2), 可设双曲线方程为5- B2(0,-2), F-F=1(a>0,b>0), 即10F,1=I0E2I=1,I0B,I=10B2I=2, 164 则S=4×5am=4x(分×10B,1×0r）=22 将，点(4，-2)和(2√6,2√2)代入方程得 5椭圆方程可化为上+ .a2 m -=1(m>0), m 解得a2=8,b2=4, m+3 .'m--m m+3 -m(m+22>0m>m 所以双宿线的新准方程为后一学1 m+3 +3 (2)设双曲线的方程为Ax2+By2=1,AB<0. a2=m,62=m +3c=√-6- /m(m+2) 因为点P,Q在双曲线上. m+3 1+8=1, A=-16 则 解得 256 1 A+25B=1, 1 9 B9 之椭圆的标准方程为+兰=1，a=1,6= 2,c= 2 放双周线的标准方程为号-。-1 ∴.椭圆的长轴长为2，短轴长为1； 例3：5+25如图， 两焦点坐标分别为(-小(，0小：四个顶点坐标分别为 由双曲线号-=1，得。=3,6=1， (-1,0.1,0(0,-2）)0,2} ∴.c2=a2+b2=4,则c=2, 则F2(2,0), §2双曲线 .IPFI-IPF2I=23,∴.IPFI=2√3+IPF,I IPQI +IPF I=IPQI+IPF21+23, 2.1双曲线及其标准方程 连接QF,交双曲线右支于P, 必备知识探新知 则此时IPQ1+IPF2I最小等于IQF2I, 知识点1(1)常数（小于IFF2I且不等于零） Q的坐标为(-2,3)，F2(2,0), (2)MIIIMF,I-IMF,II =2a(0<2a<IF F,1) .1QF21=√/(-2-2)2+(3-0)2=5， 307