精品解析：福建三明市明溪县第一中学、清流县第一中学2026-2027学年高二第一学期期中学情调研适应性练习数学试题

2026 2027学年第一学期学情调研适应性练习 高二数学 （满分：150分，考试时间：120分钟） 友情提示：1．本试卷5页． 2．考生将自己的姓名、准考证号及所有答案均填写在答题卷上． 3．答题要求见答题卷上的“注意事项”． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的斜率的定义即可求解. 【详解】由题意知，直线l的斜率为， 设直线l的倾斜角为，则， 解得，即直线l的倾斜角为. 故选：A 2. 直线与间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】直线与，将直线化为， 则这两条平行直线间的距离为. 3. 已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以，，； 由，所以，. 因为直线平分圆的面积，所以圆心在直线上。 所以. 所以， 所以，又，所以圆与圆内切. 4. 若直线过点，则的最小值为（） A. 7 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【详解】直线过点，代入得，即，且， 由此解得（），代入目标函数并化简得： ， ， 因为，所以， 所以由基本不等式， 得：， 当且仅当即时取等， 故的最小值为. 5. 已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出动点和动点的坐标，找到动点和动点坐标的关系，再利用相关点法求解轨迹方程即可. 【详解】设，，由中点坐标公式得， 所以，故， 因为A在圆上运动， 所以， 化简得，故B正确. 故选：B 6. 如图，是棱长为1的正方体，若点在平面内，且满足，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用四点共面的充要条件求出，进而得到点坐标，最后利用点到直线的距离公式求解. 【详解】如图，以点为原点，分别为轴建立空间坐标系， 所以，，，， 则，故， 因为点在平面内，所以四点共面. 由空间向量共面定理可知，解得，所以， 直线的方向向量为，，， 所以点到直线的距离. 7. 已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先利用对称性将转化为（为原点关于直线的对称点），从而将问题转化为，求圆上动点到定点的最短距离，再由圆心到定点的距离减去半径即可得到最小值． 【详解】圆的方程为，圆心，半径， 原点关于直线的对称点为，设， 则：，解得，所以， 由对称性，， 所以， 当为线与直线的交点时取等号， 所以问题转化为求圆上的动点到定点距离的最小值， 因为圆心到的距离为， 所以圆上点到 的最小距离为． 所以的最小值为． 8. 已知平面内点到直线的距离为，根据公式解决问题：实数，，，满足，，，则的最大值为（ ） A. B. 14 C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】先把代数条件翻译成几何模型：由两个平方等式得到两点在大圆上，数量积为0推出两向量垂直；然后利用点到直线距离公式，将绝对值的和转化为两点到定直线距离之和；借助直角三角形斜边中线定理确定两点连线中点的轨迹是小圆，再利用圆上动点到定直线距离最值模型（圆心到直线距离加半径）求出中点到直线距离的最大值，最后回代即可求出原式的最大值. 【详解】设， ∵ ，∴点在以原点为圆心，半径为的圆上， 又∵，∴，即， 设点到直线的距离分别为， 则， ∴， 取的中点，则点到直线的距离为： ，即 ， 在 中，，即点在以原点为圆心，半径为的圆上， 设点到直线的距离为， 则点到直线的距离的最大值为，即， ∵， ∴， ， ∴， 即的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若空间中点，，，满足，则，，三点共线 B. 直线的方向向量，平面的法向量，则 C. ，，若，则与的夹角为锐角 D. 对空间任意一点和不共线三点，，，若，则，，，共面 【答案】AD 【解析】 【分析】通过空间向量三点共线、四点共面、线面垂直与向量夹角判定，利用系数和、向量平行、数量积规则判断，同时注意锐角要排除同向共线情况. 【详解】：若，且，则，，三点共线，因为，所以，，三点共线， ：不存在使，所以与不平行，即直线与平面不垂直， ：， 夹角为锐角需要满足：且与不共线， ， 若，共线：，解得：， 所以且， 当时，，错误 ：若，，则，，，四点共面， 因为，所以，，，共面. 10. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与直线互相垂直 C. 两圆与的公共弦所在的直线方程为 D. 已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【详解】对A，直线方程可化为，对，都是该方程的解， 所以直线恒过定点，故A正确； 对B，直线的斜率为， 直线的斜率为，因为，所以两直线互相垂直，故B正确； 对C，圆，圆心，半径； 圆，圆心，半径. 因为，，所以两圆相交. 且公共弦所在的直线方程为：，即，故C错误； 对D，如图，作出符合题意的图形， 连接，，则，所以当最小时，最小. 又，所以，故D正确. 11. 已知曲线的方程为：，下列结论正确的为（ ） A. 曲线关于坐标轴对称 B. 曲线围成的图形面积大于48 C. 曲线上任意两点的距离不超过 D. 若，为曲线与轴的交点，点在曲线上，则的面积最大为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件利用方程的特征，将分别换成可判断A正确，画出图象，分别求出四边形面积和半圆面积可得B错误，由数形结合并利用圆的对称性可知C正确，再根据圆上点到直线距离的最值问题可判断D正确. 【详解】在中，由，得或，由，得或， 则直线与坐标轴有5个公共点， 当时，曲线：是直线右侧半圆，圆心，半径； 当时，曲线：是直线右侧半圆，圆心，半径； 当时，曲线：是直线左侧半圆，圆心，半径； 当时，曲线：是直线左侧半圆，圆心，半径， 对于A，将表达式中替换成，可得，即，因此曲线关于轴对称； 同理将表达式中替换成也满足表达式，即曲线关于轴对称； 综上可知曲线关于坐标轴对称,A正确； 对于B，曲线围成的图形面积，B错误； 对于C，曲线上的任意点到原点距离的最大值为， 因此曲线在圆及内部，则曲线上任意两点的距离不超过，C正确； 对于D，点到轴距离最大值为，而，则的最大面积为，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在长方体中，，则直线与所成角的余弦值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】 根据异面直线所成角的求法求解；或建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量求法求解. 【详解】方法一：如图所示，连接，由，得四边形是平行四边形，所以. 所以即直线与所成的角. 在中，， ， ， 所以. 即异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 方法二：长方体中，以为原点，分别以为轴建立如图空间直角坐标系， 则，所以. 设异面直线与所成角为，则. 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 13. 设m为实数，若方程表示圆，则m的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【详解】若方程表示圆，则，得，故的取值范围为. 14. 某校的几个高二年同学在深入研究选择性必修第一册教材第一章中的习题时发现原来空间直线与平面也有方程．教材中阐述并要求证明下面的两个结论： 在空间直角坐标系中，已知点，向量，． （1）过点且一个法向量为的平面的方程为； （2）过点且方向向量为的直线的方程为． 请利用这两个结论求解下列问题： 已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】求出已知的三个平面的法向量，由直线是两个平面与的交线，求出直线的方向向量，再根据线面角的向量求法，即可得到答案. 【详解】因为平面的方程为，则平面的法向量为， 平面与的法向量分别为，， 直线是两个平面与的交线， 设直线的方向向量为，则，令，则， 设直线与平面所成的角为， 则， 则直线与平面所成角的正弦值是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量. （1）求； （2）求在方向上的投影向量. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量夹角余弦公式进行求解，得到答案； （2）利用求解即可. 【小问1详解】 已知向量 则， ， 所以 【小问2详解】 由（1）知则，， 所以在方向上的投影向量为 . 16. 已知直线l过点，且直线l的倾斜角比直线的倾斜角大． （1）求直线l的方程（一般式表示）； （2）若点在直线l上，且，求的取值范围； （3）求直线l关于点对称的直线方程（一般式表示）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先得到已知直线的斜率，则斜角为，继而得到所求直线倾斜角为，再由点斜式求出直线方程即可； （2）根据几何意义表示与点连线的斜率，结合图象求出范围即可； （3）由点关于对称后为在直线上，再代入求解即可． 【小问1详解】 因为直线的斜率为，所以其倾斜角为， 则l的倾斜角为，可知l的斜率， 所以l的方程为，即； 【小问2详解】 表示与点连线的斜率， 又是直线l在部分上的动点，如下图示： 则，直线AB的斜率不存在，则， 即的取值范围为. 【小问3详解】 点关于对称后为在直线上， 则，即， 所以直线l关于点对称的直线方程为. 17. 如图，平面，，，，，为的中点． （1）证明:； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为平面，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 由已知可得，，，，， 因为为的中点，所以， 所以，， 所以，所以， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，通过计算两直线方向向量的数量积为 0，证明线线垂直； （2）分别求出两个平面的法向量，利用两法向量夹角余弦的绝对值计算平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 设平面的法向量，则，即， 令得，所以． 由平面，得平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们以他的名字命名该种圆，称之为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为． （1）求曲线的标准方程； （2）已知直线与曲线交于，两点（不与原点重合），直线，斜率分别为，，求证为定值； （3）过点作直线与曲线交于，两点，若，求的方程（一般式表示）． 【答案】（1）． （2）设直线与曲线C的交点为，， 联立消去y，可得0， ，所以， 其中 ， ， . （3） 【解析】 【分析】（1）根据几何性质可求曲线方程，化简后可得曲线的标准方程； （2）联立直线方程和圆的方程，结合韦达定理化简目标代数式可证定值； （3）设，联立直线方程和圆的方程结合韦达定理可求的值，从而可求直线方程. 【小问1详解】 设点，因为，所以，整理得． 【小问2详解】 证明：设直线与曲线的交点为，，则， 联立消去， 可得， ，所以， 其中，， 所以 【小问3详解】 当斜率为零时，即，此时或，不符合题意； 故可设其方程为，设，， 由消去得， 所以， ①，②． 由，，得， 所以，，③， 联立①②③，可得，即， ∴直线的方程为． 19. 定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“”的“钻石点”.已知圆A：，P为圆A的“黄金点” （1）求点P所在曲线的方程. （2）已知圆B：，P，Q均为圆“”的“钻石点”. （ⅰ）求直线的方程. （ⅱ）若圆H是以线段为直径的圆，直线l：与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ）存在， 【解析】 【分析】（1）根据新定义建立方程，化简即可判断轨迹为圆，得出轨迹方程； （2）（ⅰ）根据P，Q均为圆“”的“钻石点”，可知为两圆的公共弦，作差即可得解； （ⅱ）由题意求出圆H的方程为，假设存在，根据及根与系数的关系化简为是否对任意成立，即可得解. 【小问1详解】 因为点P为圆A的“黄金点”， 所以，即， 所以点P的轨迹是以A为圆心，为半径的圆， 故点P所在曲线的方程为 【小问2详解】 （ⅰ）因为P为圆B的“黄金点”，则 所以，即点P在圆上， 则P是圆和的交点. 因为P，Q均为圆“”的“钻石点”， 所以直线即为圆和的公共弦所在直线，两圆方程相减可得， 故直线的方程为. ( ii )设的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为. 直线的方程为，得的中点坐标为， 点S到直线的距离为， 则，所以圆H的方程为. 假设轴上存在点满足题意，设，. 若轴平分，则，即， 整理得 又，所以代入上式可得， 整理得①， 由可得， 所以，代入①并整理得， 此式对任意的都成立，所以. 故轴上存在点，使得轴平分. 【点睛】关键点点睛：在（2）( ii )中，求出圆圆H的方程为后，假设存在点满足题意，能够转化为，再由斜率公式化为，利用根与系数的关系代入后得，题目对运算能力要求很高，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 2027学年第一学期学情调研适应性练习 高二数学 （满分：150分，考试时间：120分钟） 友情提示：1．本试卷5页． 2．考生将自己的姓名、准考证号及所有答案均填写在答题卷上． 3．答题要求见答题卷上的“注意事项”． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 直线与间的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 4. 若直线过点，则的最小值为（） A. 7 B. C. 6 D. 5. 已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是棱长为1的正方体，若点在平面内，且满足，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 8. 已知平面内点到直线的距离为，根据公式解决问题：实数，，，满足，，，则的最大值为（ ） A. B. 14 C. D. 12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若空间中点，，，满足，则，，三点共线 B. 直线的方向向量，平面的法向量，则 C. ，，若，则与的夹角为锐角 D. 对空间任意一点和不共线三点，，，若，则，，，共面 10. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与直线互相垂直 C. 两圆与的公共弦所在的直线方程为 D. 已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为2 11. 已知曲线的方程为：，下列结论正确的为（ ） A. 曲线关于坐标轴对称 B. 曲线围成的图形面积大于48 C. 曲线上任意两点的距离不超过 D. 若，为曲线与轴的交点，点在曲线上，则的面积最大为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在长方体中，，则直线与所成角的余弦值为_____. 13. 设m为实数，若方程表示圆，则m的取值范围为______ 14. 某校的几个高二年同学在深入研究选择性必修第一册教材第一章中的习题时发现原来空间直线与平面也有方程．教材中阐述并要求证明下面的两个结论： 在空间直角坐标系中，已知点，向量，． （1）过点且一个法向量为的平面的方程为； （2）过点且方向向量为的直线的方程为． 请利用这两个结论求解下列问题： 已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量. （1）求； （2）求在方向上的投影向量. 16. 已知直线l过点，且直线l的倾斜角比直线的倾斜角大． （1）求直线l的方程（一般式表示）； （2）若点在直线l上，且，求的取值范围； （3）求直线l关于点对称的直线方程（一般式表示）． 17. 如图，平面，，，，，为的中点． （1）证明:； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们以他的名字命名该种圆，称之为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为． （1）求曲线的标准方程； （2）已知直线与曲线交于，两点（不与原点重合），直线，斜率分别为，，求证为定值； （3）过点作直线与曲线交于，两点，若，求的方程（一般式表示）． 19. 定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“”的“钻石点”.已知圆A：，P为圆A的“黄金点” （1）求点P所在曲线的方程. （2）已知圆B：，P，Q均为圆“”的“钻石点”. （ⅰ）求直线的方程. （ⅱ）若圆H是以线段为直径的圆，直线l：与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $