精品解析：福建三明市五县联盟2025-2026学年上学期期中质量检测高二数学试题

2025—2026学年上学期五县联盟期中质量检测 高二数学 （满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：1．本试卷6页． 2．考生将自己的姓名、准考证号及所有答案均填写在答题卷上． 3．答题要求见答题卷上的“注意事项”． 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，点到平面的距离等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在空间直角坐标系中，点到平面的距离，即为点的坐标的绝对值， 所以点到平面的距离. 2. 经过两点，的直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为直线的倾斜角为， 所以直线的斜率. 又因为直线经过两点，，且两点横坐标不相等（即）， 由斜率公式可得. 解得，即，解得. 当时，，，斜率，倾斜角为，符合题意. 3. 已知两条直线：和：，若，则与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两直线平行求出参数，再代入两平行线间的距离公式即可得出答案. 【详解】因为，所以它们的系数满足： ， 即：， 交叉相乘得： ， 即，解得：或； 当时： ，，此时两直线平行，符合题意； 当时： （化简为） （化简为） 此时两直线方程完全相同，即两直线重合，不符合的要求， 所以，， 将代入原方程，得到两直线方程： ，， 两平行线之间的距离为： . 4. 已知，，，且，，，四点共面，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】四点共面等价于对应向量共面，利用共面向量定理建立坐标方程组，解方程组即可求出参数值. 【详解】根据共面向量定理：若三个向量共面，则其中一个向量可由另外两个不共线的向量线性表示， 设 ，代入向量坐标得 对应坐标相等，列出方程组得， 先解后两个方程，得， 代入第一个方程得， 因此. 5. 已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线过点，则入射光线所在直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得点的对称点，然后利用点斜式方程求解直线方程即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则满足，解得，即， 所以直线，即， 即入射光线所在直线方程为. 6. 过点作的切线，切点分别为，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】求出和的长以及夹角即可求解数量积. 【详解】由题可知，，， 则， 故 故选：B. 7. 空间向量，，，向量，其中，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造四点共面，当平面时，有最小值，求出平面的一个法向量，利用点到面的距离公式求解即可． 【详解】设，， 则， 因为，所以四点共面， 当平面时，有最小值． 可得，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 所以到平面的距离. 所以的最小值为. 8. 数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线：就是其中之一（如图）．曲线与轴交于、两点，点为曲线上一动点，给出下列四个结论，其中正确的结论是（） A. 点在曲线内部 B. C. D. 点的纵坐标的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】将点代入方程即可判断A；由曲线及两点间的距离公式得，当曲线上的点位于轴下方时，，此时该和式小于4，可判断B；利用基本不等式可判断C；将曲线的方程视为关于的一元二次方程，由判别式，可判断D. 【详解】已知曲线的方程为：， 令，可得，即，所以曲线与轴交于，两点， 选项A：代入， 得， 说明点在曲线外部，所以A错误； 选项B：设， ， 由曲线方程知，代入上式得：， 当曲线上的点位于轴下方时，，此时， 所以B错误； 选项C：已知曲线方程为， 由重要不等式知：，解得：， 由此得出，当且仅当时，不等式取等号， 联立，解得：， 故的最大值为，又因为，所以选项C错误； 选项D：将曲线方程视为关于的一元二次方程： ， 由于为实数，该方程必须有实数解，故判别式， ， 解得：，即， 当时，，此时，即， 因此点的纵坐标最大值为，所以选项D正确. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知为直线的方向向量，，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【详解】对于选项A，若，则，故A正确； 对于选项B，若，则，故B正确； 对于选项C，若，则，故C错误； 对于选项D，若，则或，故D错误. 10. 已知圆：与圆：，下列说法正确的是（ ） A. 与的公切线恰有条 B. 与相交弦的方程为 C. 与相交弦的弦长为 D. 若，分别是圆，上的动点，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】由已知，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 对于A，所以，故两圆相交， 则与的公切线恰有条，故A正确； 对于B，，，两式作差得，故B正确； 对于C，到的距离为， 所以与相交弦的弦长为，故C错误； 对于D，，故D正确. 11. 铁蒺藜在古代能抵挡敌人骑兵的进攻，有一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图，也可由正方体切割而成，如图，在如图所示的“蒺藜形多面体”中，若，则（ ） A. 该几何体的表面积为 B. 直线与直线所成的角为 C. 该几何体的体积为 D. 二面角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正三角形面积公式及几何体表面积算法可判断A选项，利用割补法结合正方体与三棱锥体积公式可判断C选项，建立空间直角坐标系，利用向量法求空间角，可判断BD选项. 【详解】A选项，由已知，则，即正三角形面积为，所以几何体表面积，A选项正确； C选项，易知三棱锥的体积，又， 则几何体的体积，C选项正确； BD选项，如图所示建立空间直角坐标系，则，，，，，，， 即，，，，， 则， 即直线，所成角余弦值为，所成角为，B选项错误； 设平面的法向量， 则，令，则， 设平面的法向量， 则，令，则， 则， 又二面角为钝二面角，则其余弦值为，D选项正确. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，，若，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再根据可得，利用空间向量垂直的坐标运算列式可求的值. 【详解】因为，，所以， 由得，又， 所以，解得. 故答案为： 13. 已知，，，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【详解】直线的斜率为， 则直线的方程为，即， 所以到直线的距离， 因为， 所以的面积为. 14. 若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】． 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式以及圆的方程，可将问题转化成可看作半圆弧上的任意一点到直线的距离大于或等于，进一步转化为圆心到直线的距离即可求解. 【详解】原不等式可化为：对恒成立． 记直线，半圆弧 ， 则可看作半圆弧上的任意一点到直线的距离大于或等于，也就是原点半圆弧所在圆的圆心到直线的距离大于或等于． 而原点到直线的距离：，解得：，即实数的取值范围是． 故答案为： 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 求适合下列条件的直线方程： （1）经过点,并且其倾斜角等于直线的倾斜角的倍的直线方程; （2）求经过点并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是的直线方程. 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【小问1详解】 因为直线的斜率为,所以其倾斜角为, 故所求直线的倾斜角为,其斜率为, 又所求直线经过点,所以其方程为, 即. 【小问2详解】 由题可知直线不经过原点且其斜率存在,故可设直线方程为,则 , 解得或, 故所求的直线方程为:或. 16. 已知正四面体的棱长为，点是的重心，点是线段的中点． （1）用，，表示，并求出； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由向量加法的三角形法则表示，再把平方即可得到答案. （2）由向量的线性运算可得，利用向量法可求得异面直线与所成角的余弦值． 【小问1详解】 因为点是线段的中点，点是的重心， 所以， 因为， 所以 ， ； 【小问2详解】 ． 设直线与直线成角为，， 所以． 所以异面直线与所成角的余弦值为. 17. 已知圆:． （1）求过点且与圆相切的直线方程; （2）求圆心在直线上,且经过圆与圆:的交点的圆的方程; （3）已知,,三点,点在圆上运动,求的最大值和最小值. 【答案】（1）或 （2） （3）最大值，最小值． 【解析】 【分析】（１）用斜截式求直线方程时注意讨论斜率不存在时． （２）求圆的方程时多利用几何性质找关系． （３）求最值时消元利用函数得解． 【小问1详解】 圆的圆心为，半径， 当直线斜率不存在时,则,此时直线与圆相切,满足题意. 当直线斜率存在时,设切线方程为,即, ∵圆心到切线的距离等于半径,∴,解得, 此时切线方程为,故切线方程为或. 【小问2详解】 联立,解得或, 则圆与圆的交点为,线段的中点为，， 所以垂直平分线的斜率为，方程为, 由得,故所求圆的圆心为,半径为, 因此所求圆的方程为. 【小问3详解】 设,则, ∵点在圆上运动,则, ∴当时,取得最大值. 当时,取得最小值. 18. 已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1） 证明：法一：分别取、的中点、，连接、、， 由题意可知点、分别为线段、的中点．所以，， 因为，所以，所以点、、、四点共面， 因为、分别为、的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为，平面，平面，所以平面， 又因为，、平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面； 法二：因为为正方形，且平面，所以、、两两互相垂直， 以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 所以，易知平面的一个法向量， 所以，所以， 又因为平面，所以平面． （2） （3） 假设存在点，使得，其中， 则， 由（2）得平面的一个法向量为， 由题意可得， 整理可得．即， 因为，解得或，所以，或． 【解析】 【分析】（1）法一：分别取、的中点、，连接、、，证明出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立； 法二：以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立； （2）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值； （3）假设存在点，使得，其中，求出向量的坐标，利用空间向量法可得出关于的方程，解之即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设平面的法向量，，， 则，取，可得， 所以平面的一个法向量为， 易知平面的一个法向量，设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角余弦值为； 【小问3详解】 略 19. 在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点P及直线上任意一点Q，称的最小值为点P到的“切比雪夫距离”，记作. （1）已知点和点，直线：，求和. （2）已知圆C：和圆E：. （i）若两圆心的切比雪夫距离，判断圆C和圆E的位置关系； （ii）若，圆E与x轴交于M，N两点，其中点M在圆C外，且，过点M任作一条斜率不为0的直线与圆C交于A，B两点，记直线为，直线为，证明：. 【答案】（1），； （2）（i）内切； （ii）圆E与x轴交于M，N两点， 则方程，即（*）有两个不等的实数解， 所以，解得，又，所以， ，方程（*）的两解为，则， 由韦达定理有， 所以，解得或（舍去）， 时方程（*）为，解得，，交点为和， 点M在圆C外，则，因此，， 设直线的方程为，设， 由得， ，， ，， ， 所以，因此直线关于轴对称， 直线上任意一点与直线上点关于轴对称，它们是一一对应的关系， ，， 即， 所以的最小值与的最小值相等，即． 【解析】 【分析】（1）根据新定义直接计算，设是上一点，分类讨论计算出，再确定最小值得； （2）（i）求出圆心坐标，根据切比雪夫距离的定义，由或求得参数，并检验是否满足题意，然后根据圆心距判断两圆位置关系； （ii）由已知求出，得出两点坐标，设直线方程为，，直线方程代入圆方程后，应用韦达定理得，从而证明，得直线与关于轴对称，然后由直线上任意一点与直线上点关于轴对称，它们是一一对应的关系，且，则其最小值也相等，从而证得结论成立， 【小问1详解】 ，，，所以， 直线方程为，是上一点，， 当，即时，， 当，即或时，， 所以的最小值是2，所以； 【小问2详解】 （i）圆标准方程是，圆心为，半径为2， 圆的圆心为，半径为， ， 若，则或， 时，，不合题意，时，，满足题意， 此时，，因此两圆内切； 若，则或， 时，，不合题意，时，，满足题意， 此时，，两圆内切． 所以圆C和圆E内切； （ii）略 【点睛】方法点睛：本题第（2）小题的第（ii）问，证明点到两条直线的“切比雪夫距离”相等，如果单纯从“切比雪夫距离”角度考虑，这个“距离”没法求解，换个角度，在直线与圆相交问题中，利用韦达定理证得直线的斜率是相反数，它们关于轴对称，而点在轴上，因此我们可得出这两条直线上的点与点的“切比雪夫距离”所组成的集合相等，从而最小值相等，最小值即为点线间的“切比雪夫距离”，完成证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年上学期五县联盟期中质量检测 高二数学 （满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：1．本试卷6页． 2．考生将自己的姓名、准考证号及所有答案均填写在答题卷上． 3．答题要求见答题卷上的“注意事项”． 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，点到平面的距离等于（ ） A. B. C. D. 2. 经过两点，的直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知两条直线：和：，若，则与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，且，，，四点共面，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线过点，则入射光线所在直线的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 过点作的切线，切点分别为，则（ ） A. B. C. D. 2 7. 空间向量，，，向量，其中，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线：就是其中之一（如图）．曲线与轴交于、两点，点为曲线上一动点，给出下列四个结论，其中正确的结论是（） A. 点在曲线内部 B. C. D. 点的纵坐标的最大值为 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知为直线的方向向量，，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知圆：与圆：，下列说法正确的是（ ） A. 与的公切线恰有条 B. 与相交弦的方程为 C. 与相交弦的弦长为 D. 若，分别是圆，上的动点，则 11. 铁蒺藜在古代能抵挡敌人骑兵的进攻，有一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图，也可由正方体切割而成，如图，在如图所示的“蒺藜形多面体”中，若，则（ ） A. 该几何体的表面积为 B. 直线与直线所成的角为 C. 该几何体的体积为 D. 二面角的余弦值为 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，，若，则的值为______. 13. 已知，，，则的面积为________． 14. 若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 求适合下列条件的直线方程： （1）经过点,并且其倾斜角等于直线的倾斜角的倍的直线方程; （2）求经过点并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是的直线方程. 16. 已知正四面体的棱长为，点是的重心，点是线段的中点． （1）用，，表示，并求出； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 17. 已知圆:． （1）求过点且与圆相切的直线方程; （2）求圆心在直线上,且经过圆与圆:的交点的圆的方程; （3）已知,,三点,点在圆上运动,求的最大值和最小值. 18. 已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由． 19. 在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点P及直线上任意一点Q，称的最小值为点P到的“切比雪夫距离”，记作. （1）已知点和点，直线：，求和. （2）已知圆C：和圆E：. （i）若两圆心的切比雪夫距离，判断圆C和圆E的位置关系； （ii）若，圆E与x轴交于M，N两点，其中点M在圆C外，且，过点M任作一条斜率不为0的直线与圆C交于A，B两点，记直线为，直线为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $