微专题抛物线焦点弦经典模型导学案-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

微专题：抛物线焦点弦经典模型 学生版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：教材在抛物线一节给出定义、标准方程、焦点与准线，焦点弦的几条定值式没有单列。它们藏在例题与习题里：一端坐标之积为常数、弦长写成横坐标之和加 、焦半径的倒数和为定值。本专题把这几条一次收齐，后面算弦长、算面积都要用到。 考查形式：全国卷与新高考卷里，本考点多以小题出现：给倾斜角求弦长、给弦长反求角、给焦半径之间的比求弦长，也有以“定值”“最值”设问的多选题。解答题中它常是第（1）问的铺垫，第（2）问再叠加中点或面积。 第二部分　记·模型与结论 一、两个积式：过焦点的弦，两端坐标之积为常数 设 、 是抛物线 上两点，直线 过焦点 。把 写成 （ 时即垂直于对称轴的弦，这个设法不必另分情形），代入抛物线得 ，两根之积就是 。 第二条由 直接推出：；两条合起来，，与 无关。反向使用时要当心： 是过焦点的充要条件，而 只必要不充分， 那一族弦同样满足它，却过的是准线与对称轴的交点。 二、弦长：横坐标之和加 ，或写成一个角 焦半径等于点到准线的距离，、，两式相加即得横坐标形式。若设 的倾斜角为 ，用 联立算出 与 ，再化作 ，就得到角度形式。 时 ，弦长取最小值 ，这条最短的焦点弦叫通径，垂直于对称轴； 越接近 ，弦越贴近对称轴，长度没有上界。开口向上的 走同一条推导，得 ： 是直线与 轴的夹角，而对称轴竖直，两者差一个余角——开口向上时取到最小值的通径是水平弦，对应 ，不是 。 三、焦半径：倒数和是定值 把 、 相乘，展开后用 与 替换，交叉项恰好凑成 。 用途是“给一段求另一段”：知道 与 ， 由一个一次方程解出，不必求坐标、不必韦达。两条式子的右端都只含 ，与倾斜角、与开口方向都无关；给两段之比，弦长随之定下。 四、准线上的射影：一个垂直与两个相切 设 、 是 、 在准线上的射影，则 、，四边形 是直角梯形。焦点到准线的距离为 ，两射影的横坐标都是 ，于是 、，数量积 。 梯形中位线长为 ，正好是半径，故以 为直径的圆与准线相切，切点是弦中点向准线所作垂线的垂足。同一条路再走一遍：以 为直径的圆，圆心横坐标与半径都等于 ，故它与顶点处的切线相切。 五、中点：轨迹仍是一条抛物线 设弦 的斜率为 ，直线写成 ，代入得 。于是中点纵坐标 ，横坐标再由直线方程回代，得 。 消去 得 ，轨迹是以焦点为顶点的抛物线：弦垂直于对称轴时中点为 本身，正对应顶点。两条互相垂直的焦点弦，长分别为 与 ，相加得 ，最小值 在 取到；两弦长之积最小为 ，也在同一个角。 第三部分　破·典型题型 题型一　两个积式与过焦点的判定 【解题技巧】过焦点的弦，两端记为 、。直线设作 代入，两根之积给出 ，再由 换成 。三题一正两反：给一端求另一端与积式，给积式判直线位置。判定只看 ，它是充要条件。 【典例1-1】（原创改编） 已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线与抛物线交于 、 两点，且 。（1）求 与 ；（2）求 ，其中 为坐标原点。 【变式1-1】 已知抛物线 上两点 、 满足 ，求证：直线 过焦点 。 【变式1-2】 已知抛物线 上两点 、，且 。（1）判断直线 是否一定过焦点，并说明理由；（2）若 过焦点 ，求 。 题型二　焦点弦长与焦半径 【解题技巧】弦长有两条路： 依韦达， 依角度。给倾斜角走后者，给横坐标之和走前者；开口向上的抛物线把 换作 。焦半径的倒数和恒为 ，与 配合，不联立亦可解出两段长。 【典例2-1】（原创改编） 已知抛物线 的焦点为 ，过 作倾斜角为 的弦 。（1）求 ；（2）若另一条焦点弦 的长为 ，求 的倾斜角。 【变式2-1】 已知抛物线 的焦点为 ，过 的弦 的倾斜角为 。（1）求 ；（2）求 。 【变式2-2】 已知抛物线 的焦点弦 的长为 。（1）求 的倾斜角；（2）求 ，以及 与 的倒数之和。 题型三　准线上的射影与相切 【解题技巧】端点向准线作垂线，两个射影与焦点所连的两条线互相垂直，依据是 。判断圆与直线相切，只比圆心到直线的距离与半径两个量。中点向准线作垂线，其长等于梯形中位线 ，与该圆半径相等，故相切。 【典例3-1】（原创改编） 已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交抛物线于 、 两点，、 分别是 、 在准线上的射影。（1）证明 ；（2）判断以 为直径的圆与准线的位置关系。 【变式3-1】 设 是抛物线 的焦点，过 的直线交抛物线于 、 两点。证明：以 为直径的圆与 轴相切。 【变式3-2】 已知抛物线 的焦点弦 的长为 ，、 是 、 在准线上的射影，求 与 的倾斜角。 题型四　中点轨迹与垂直弦 【解题技巧】中点坐标 、，消去 得轨迹 ，顶点即焦点。垂直弦用角度式最省：两弦长之和为 ，最小值 ；两弦长之积为 ，最小值 。 【典例4-1】（原创改编） 已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交抛物线于 、 两点，求线段 中点的轨迹方程。 【变式4-1】 已知抛物线 的焦点为 ，、 是两条互相垂直的焦点弦，求 的最小值。 【变式4-2】 已知抛物线 的焦点弦 的中点的纵坐标为 ，求 所在直线的斜率与 。 第四部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（单选）已知抛物线 的焦点弦长为 ，则这条弦的中点的横坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（单选）已知抛物线 的焦点为 ，过 的弦 交抛物线于 、 两点，则 与 的倒数之和为（　　） A． B． C． D．随 的倾斜角变化 3．（单选）已知抛物线 的焦点弦 所在直线的斜率为 ，则 中点的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 4．（单选）抛物线 的焦点弦 长为 ，以 为直径的圆与准线的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．与弦的倾斜角有关 5．（填空）已知抛物线 的焦点弦 的中点纵坐标为 ，则 所在直线的方程为______。 6．（多选）已知抛物线 的焦点为 ，则下列说法正确的是（　　） A．焦点为 B．准线方程为 C．过 的弦长的最小值为 D．过 的弦 满足 7．（解答）已知抛物线 的焦点为 ，过 且倾斜角为 的直线与抛物线交于 、 两点。（1）求 ；（2）求 ；（3）求 与 的倒数之和。 二、培优小练（15 分钟） 8．（单选）已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交抛物线于 、 两点，则 的值为（　　） A． B． C． D． 9．（单选）已知抛物线 的焦点为 ，过 的弦 满足 ，则 为（　　） A． B． C． D． 10．（多选）已知抛物线 ，则下列说法正确的是（　　） A．焦点为 B．通径的长为 C．过焦点的弦的中点轨迹为 D．过焦点的弦长的最小值为 11．（填空）已知抛物线 的焦点为 ，过 的弦 交抛物线于 、 两点，则 ______， 与 的倒数之和为______。 12．（解答）已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线与抛物线交于 、 两点。（1）求 的最小值；（2）若 ，求 的倾斜角；（3）在（2）的条件下求 。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题：抛物线焦点弦经典模型 教师解析版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：教材在抛物线一节给出定义、标准方程、焦点与准线，焦点弦的几条定值式没有单列。它们藏在例题与习题里：一端坐标之积为常数、弦长写成横坐标之和加 、焦半径的倒数和为定值。本专题把这几条一次收齐，后面算弦长、算面积都要用到。 考查形式：全国卷与新高考卷里，本考点多以小题出现：给倾斜角求弦长、给弦长反求角、给焦半径之间的比求弦长，也有以“定值”“最值”设问的多选题。解答题中它常是第（1）问的铺垫，第（2）问再叠加中点或面积。 第二部分　记·模型与结论 一、两个积式：过焦点的弦，两端坐标之积为常数 设 、 是抛物线 上两点，直线 过焦点 。把 写成 （ 时即垂直于对称轴的弦，这个设法不必另分情形），代入抛物线得 ，两根之积就是 。 第二条由 直接推出：；两条合起来，，与 无关。反向使用时要当心： 是过焦点的充要条件，而 只必要不充分， 那一族弦同样满足它，却过的是准线与对称轴的交点。 二、弦长：横坐标之和加 ，或写成一个角 焦半径等于点到准线的距离，、，两式相加即得横坐标形式。若设 的倾斜角为 ，用 联立算出 与 ，再化作 ，就得到角度形式。 时 ，弦长取最小值 ，这条最短的焦点弦叫通径，垂直于对称轴； 越接近 ，弦越贴近对称轴，长度没有上界。开口向上的 走同一条推导，得 ： 是直线与 轴的夹角，而对称轴竖直，两者差一个余角——开口向上时取到最小值的通径是水平弦，对应 ，不是 。 三、焦半径：倒数和是定值 把 、 相乘，展开后用 与 替换，交叉项恰好凑成 。 用途是“给一段求另一段”：知道 与 ， 由一个一次方程解出，不必求坐标、不必韦达。两条式子的右端都只含 ，与倾斜角、与开口方向都无关；给两段之比，弦长随之定下。 四、准线上的射影：一个垂直与两个相切 设 、 是 、 在准线上的射影，则 、，四边形 是直角梯形。焦点到准线的距离为 ，两射影的横坐标都是 ，于是 、，数量积 。 梯形中位线长为 ，正好是半径，故以 为直径的圆与准线相切，切点是弦中点向准线所作垂线的垂足。同一条路再走一遍：以 为直径的圆，圆心横坐标与半径都等于 ，故它与顶点处的切线相切。 五、中点：轨迹仍是一条抛物线 设弦 的斜率为 ，直线写成 ，代入得 。于是中点纵坐标 ，横坐标再由直线方程回代，得 。 消去 得 ，轨迹是以焦点为顶点的抛物线：弦垂直于对称轴时中点为 本身，正对应顶点。两条互相垂直的焦点弦，长分别为 与 ，相加得 ，最小值 在 取到；两弦长之积最小为 ，也在同一个角。 第三部分　破·典型题型 题型一　两个积式与过焦点的判定 【解题技巧】过焦点的弦，两端记为 、。直线设作 代入，两根之积给出 ，再由 换成 。三题一正两反：给一端求另一端与积式，给积式判直线位置。判定只看 ，它是充要条件。 【教学提醒】板演先把 这个设法写清楚，说明它把竖直弦含在 里，不必分情形。三题讲完，把两个积式并排留在黑板上，第三题的 用准线与对称轴的交点标出来，学生看见两族弦落在不同位置，对“哪一条能反推”就有依据了。 【典例1-1】（原创改编） 已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线与抛物线交于 、 两点，且 。（1）求 与 ；（2）求 ，其中 为坐标原点。 解析：，故 ，焦点 。由 得 ，即 。 由 得 、，故 ，与 一致。 ，，两者之积为 。 核对：、 与 三点共线，斜率都是 ；又 。 参考答案：（1），；（2） 【学情易错提醒】把 记成 的最多，本题会写出 与 。两根之积由常数项 给出，与一次项系数 不是一回事；用 复核一次即可筛掉。 【变式1-1】 已知抛物线 上两点 、 满足 ，求证：直线 过焦点 。 解析：，，焦点 。 设 ，代入得 ，两根之积 ，故 。 直线 对任意 都过点 ，即过焦点 ，证毕。 附带得到 ，与结论互相对应。 参考答案：证明见解析（） 【学情易错提醒】设 的，遇到垂直于对称轴的弦要另行讨论；本题 时 仍然成立，写成 一处收尽。另有一类错误是把 的符号丢掉，解出 后仍旧宣称过焦点，而 是准线与对称轴的交点。 【变式1-2】 已知抛物线 上两点 、，且 。（1）判断直线 是否一定过焦点，并说明理由；（2）若 过焦点 ，求 。 解析：设 ，代入得 ，故 ，，即 或 。 时直线过 ，即焦点 ； 时直线过 ，那是准线与对称轴的交点。 反例：取 、，直线 与抛物线交于两点，代入得 ，判别式 ，两根之积为 ，对应 ，而这条直线不过焦点。 （2）过焦点时 ，故 。 参考答案：（1）不一定， 时过点 ；（2） 【学情易错提醒】由 直接宣布“过焦点”的，漏掉 这一族。两条积式里只有 是充要条件；题目给 的积式又问位置关系，答案必然带“不一定”。 题型二　焦点弦长与焦半径 【解题技巧】弦长有两条路： 依韦达， 依角度。给倾斜角走后者，给横坐标之和走前者；开口向上的抛物线把 换作 。焦半径的倒数和恒为 ，与 配合，不联立亦可解出两段长。 【教学提醒】板演 的来处要画图：焦点到准线距离为 ，准线在 ，所以点到焦点的距离等于它到准线的距离。三题各走一条路——角度式、韦达、倒数定值，讲完在黑板角上留一行“角度式里的 是直线的倾斜角，与 轴所成的角；对称轴竖直时取等号的角随之改成 ”，求距离最值时还要回头引用。 【典例2-1】（原创改编） 已知抛物线 的焦点为 ，过 作倾斜角为 的弦 。（1）求 ；（2）若另一条焦点弦 的长为 ，求 的倾斜角。 解析：，。由 ，得 。 （2）由 得 ，。 倾斜角取 或 ，两条弦关于对称轴对称。 核对： 时 ，是焦点弦的最小值，即通径长 。 参考答案：（1）；（2） 或 【学情易错提醒】把 写成 的（少一个平方），第（1）问得 ，恰好等于第（2）问的已知弦长，于是以为两问答案互为倒数。平方的位置单独抄一遍，再取 检验：只有带平方的式子才回到 。 【变式2-1】 已知抛物线 的焦点为 ，过 的弦 的倾斜角为 。（1）求 ；（2）求 。 解析：，，故 。 由 得 。 核对：直线 代入得 ，两根之和为 ；，。 参考答案：（1）；（2） 【变式2-2】 已知抛物线 的焦点弦 的长为 。（1）求 的倾斜角；（2）求 ，以及 与 的倒数之和。 解析：，。由 得 ，倾斜角为 或 。 。 ，与 一致。 参考答案：（1） 或 ；（2）， 【学情易错提醒】倒数和的定值写成 的不少。取通径验一次即可定夺：两段焦半径都是 ，倒数和为 。本题 ，答案是 而不是 。 题型三　准线上的射影与相切 【解题技巧】端点向准线作垂线，两个射影与焦点所连的两条线互相垂直，依据是 。判断圆与直线相切，只比圆心到直线的距离与半径两个量。中点向准线作垂线，其长等于梯形中位线 ，与该圆半径相等，故相切。 【教学提醒】板演先画梯形 ，把 、 标在图上，再补中位线，学生看见“中位线等于半径”这一步，相切的结论不必背。第三题把 用勾股表示，是梯形里另一条常用关系，讲到这里可以顺势复习 。 【典例3-1】（原创改编） 已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交抛物线于 、 两点，、 分别是 、 在准线上的射影。（1）证明 ；（2）判断以 为直径的圆与准线的位置关系。 解析：，，焦点 ，准线为 ，故 、。 ，，数量积为 。 过焦点的弦满足 ，故数量积为 ，两条线垂直。 （2）由抛物线定义 、，相加得 。设 的中点为 ， 到准线的距离等于梯形中位线长 ，正好是半径，故圆与准线相切。 参考答案：（1）证明见解析；（2）相切 【学情易错提醒】数量积算到 就停下的，是没把 接上去。另有把 的横坐标写成 的：准线在 ， 是焦点横坐标的一半，两处容易串。 【变式3-1】 设 是抛物线 的焦点，过 的直线交抛物线于 、 两点。证明：以 为直径的圆与 轴相切。 解析：，，焦点 ，准线为 ，故 。 以 为直径的圆，圆心为 的中点 ，半径为 。 点 在抛物线上，，故圆心横坐标为正，圆心到 轴的距离等于 ，与半径相等。 所以圆与 轴相切。 轴正是抛物线在顶点处的切线，这条结论对任何 都成立。 参考答案：证明见解析 【学情易错提醒】圆心横坐标写成 的，漏掉了焦点横坐标的一半；半径写成 的，忘了取一半。两个量都含 与 各一项，写全才相等。 【变式3-2】 已知抛物线 的焦点弦 的长为 ，、 是 、 在准线上的射影，求 与 的倾斜角。 解析：，。由 得 ，倾斜角为 或 。 在直角梯形 中，，而 ，展开得 。 代入得 ，即 。 核对： 时 ，，与射影之间的距离为 一致。 参考答案：；倾斜角 或 题型四　中点轨迹与垂直弦 【解题技巧】中点坐标 、，消去 得轨迹 ，顶点即焦点。垂直弦用角度式最省：两弦长之和为 ，最小值 ；两弦长之积为 ，最小值 。 【教学提醒】板演先写 与两根之和，把 、 一步一步落到 上，再消元。垂直弦一题在黑板上画两条互相垂直的弦，让学生看见 与 的关系，不必记结论。第三题是反用：给中点坐标求斜率，回到 一句即得。 【典例4-1】（原创改编） 已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交抛物线于 、 两点，求线段 中点的轨迹方程。 解析：，，焦点 。设 的斜率为 ，直线写成 。 代入得 ，故 ，。 消去 ：。 所求轨迹为抛物线 。弦垂直于对称轴（即通径）时中点为 ，恰是这条抛物线的顶点，轨迹不缺这一点。 参考答案： 【学情易错提醒】答成 的，是把 当成了 、又认为顶点仍在原点。平移后的抛物线标准式里 不变，顶点跟着焦点走；把 代进所写方程，顶点算出来才落地。 【变式4-1】 已知抛物线 的焦点为 ，、 是两条互相垂直的焦点弦，求 的最小值。 解析：，。设 的倾斜角为 ，则 的倾斜角为 。 ，，相加得 ，即 。 ，故和大于等于 ； 时两条弦长都是 ，和正好是 。 参考答案： 【学情易错提醒】把“两弦长之和的最小值”答成 的，是套用了单条弦的最小值（通径长 ）。另一处常错在化简：，那个 翻上去便是 ，漏掉就成了 。 【变式4-2】 已知抛物线 的焦点弦 的中点的纵坐标为 ，求 所在直线的斜率与 。 解析：，，焦点 。设 的斜率为 ，直线写成 。 代入得 ，故 ，由 得 。 此时 ，直线为 ，确实过焦点。 。 参考答案：， 【学情易错提醒】由 直接写出 的，是把中点当成了在直线 上。纵坐标只由 定，横坐标还要叠上 与 两项。 第四部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（单选）已知抛物线 的焦点弦长为 ，则这条弦的中点的横坐标为（　　） A． B． C． D． 解析：，。由 得 。 中点横坐标为 。核对： 给出 ，这样的弦确实存在。 参考答案：B 2．（单选）已知抛物线 的焦点为 ，过 的弦 交抛物线于 、 两点，则 与 的倒数之和为（　　） A． B． C． D．随 的倾斜角变化 解析：，，倒数和为定值 ，与倾斜角无关。 核对：取通径，两段焦半径都等于 ，倒数和为 。 参考答案：A 3．（单选）已知抛物线 的焦点弦 所在直线的斜率为 ，则 中点的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 解析：，。由 得 。 核对：，，中点横坐标 ，满足 。 参考答案：B 4．（单选）抛物线 的焦点弦 长为 ，以 为直径的圆与准线的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．与弦的倾斜角有关 解析：圆与准线相切是焦点弦的固定性质，与弦长无关：中点向准线作垂线，垂足到中点的距离等于梯形中位线 ，即 ，也就是半径。 核对：， 给出 或 ，长为 的焦点弦确实存在。 参考答案：B 5．（填空）已知抛物线 的焦点弦 的中点纵坐标为 ，则 所在直线的方程为______。 解析：，。由 得 ，直线过焦点 。 方程为 ，整理得 。核对：代入得 ，两根之和为 ，中点纵坐标确为 。 参考答案： 6．（多选）已知抛物线 的焦点为 ，则下列说法正确的是（　　） A．焦点为 B．准线方程为 C．过 的弦长的最小值为 D．过 的弦 满足 解析：，，焦点为 ，A 正确。 准线方程为 ，B 正确。 通径是过焦点的最短弦，长为 ，C 写成 ，错误。 由 得 ，D 正确。 参考答案：ABD 7．（解答）已知抛物线 的焦点为 ，过 且倾斜角为 的直线与抛物线交于 、 两点。（1）求 ；（2）求 ；（3）求 与 的倒数之和。 解析：，，焦点 。 （1）。 （2）。 （3），与 一致。 核对：直线 代入得 ，两根之和为 ，；，两问互证。 参考答案：（1）；（2）；（3） 二、培优小练（15 分钟） 8．（单选）已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交抛物线于 、 两点，则 的值为（　　） A． B． C． D． 解析：，，焦点为 ，准线为 。 设 ，代入得 ，故 ，即 。 开口向上时两个积式互换： 的积为 ， 的积为 。本题 。 参考答案：A 9．（单选）已知抛物线 的焦点为 ，过 的弦 满足 ，则 为（　　） A． B． C． D． 解析：，，由 与 得 ，即 ，故 。 ，。 核对： 给出 ；取 ，两段焦半径正是 与 ，比值 。 参考答案：B 10．（多选）已知抛物线 ，则下列说法正确的是（　　） A．焦点为 B．通径的长为 C．过焦点的弦的中点轨迹为 D．过焦点的弦长的最小值为 解析：，，焦点为 ，准线为 ，A 正确。 通径长为 ，B 正确。 中点的纵坐标 ，横坐标 ，消去 得 ，C 正确。 焦点弦的最小值就是通径长 ，D 写成了 ，错误。 参考答案：ABC 11．（填空）已知抛物线 的焦点为 ，过 的弦 交抛物线于 、 两点，则 ______， 与 的倒数之和为______。 解析：方程化为 型，，，焦点为 ，准线为 。 设 ，代入得 ，故 ，即 ；，即 。 倒数和为 ，与开口方向无关。 参考答案：； 12．（解答）已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线与抛物线交于 、 两点。（1）求 的最小值；（2）若 ，求 的倾斜角；（3）在（2）的条件下求 。 解析：，，焦点为 ，准线为 。开口向上， 是直线与 轴的夹角，。 （1），故 ； 时取等号，此时弦为水平弦、垂直于对称轴（ 轴），长 。注意取等号的是 ： 的直线平行于对称轴，与抛物线只有一个交点，构不成焦点弦。 （2），得 ，倾斜角为 或 。 （3）。 核对：直线 代入得 ，两根之和为 、之积为 ，故 、，于是 。 参考答案：（1）；（2） 或 ；（3） 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $