2.4.1 直线与圆锥曲线的交点-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

058 课堂检测 固双基 1.若抛物线x=-my2的焦点到准线的距离为2,5.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶 则m= () 点在抛物线y=2px(p>0)上，求这个正三角形 A.-4 B子 C.-1 D.±4 1 的边长 2.已知抛物线y=4x2上一点P到焦点的距离为 1,则点P的纵坐标为 C.1o D.1 16 3.若点P在抛物线y2=x上，点Q在圆M:(x- 3)2+y2=1上，则1PQ1的最小值是() A.3-1 B.0-1 2 C.2 0T, 4.(2023·全国乙理，13)已知点A(1,√5)在抛物 夯基提能作业 线C:y2=2px上，则A到C的准线的距离为 请同学们认真完成练案[15 §4直线与圆锥曲线的位置关系 4.1直线与圆锥曲线的交点 素养目标定方向 课标要求 核心素养 1.掌握直线与圆锥曲线交点 1.类比两直线、直线与圆的交点、理解两曲线的交点，即以两曲线 个数与位置关系之间的联 方程组的实数解为坐标的点. 系（相交，相切，相离）. 2.曲线的位置关系有多种，在初学阶段应当打好基础，学会研究的 2.会求直线与圆锥曲线的 方法.本节主要讲最基本的、最有代表性的关系一直线与圆锥 交点 曲线的位置关系， 3.通过交点个数会求参数3.类比直线与圆的位置关系及其判定，把握直线与圆锥曲线的位 问题 置关系，特别是直线与抛物线、双曲线的位置关系 必备知识 探新知 知识点 直线与圆锥曲线交点 相交一交于两点(4>0) 直线与椭圆的位置关系 相切 只有一个公共点（△=0） 相离 没有公共点（△<0） .059 交于两点（△>0） 相交 交于一点（二次方程二次项系数为零，直线与渐近线平行） 直线与双曲线的位置关系 相切一只有一个公共点(4=0) 相离一没有公共点(4<0) 交于两点(4>0) 相交 交于一点（二次方程二次项系数为零，直线与对称轴平行）】 直线与抛物线的位置关系 相切 只有一个公共点(4=0)】 相离一没有公共点(4<0)】 关键能力 攻重难 ●题型探究 题型一 直线和椭圆的交点问题 规律方法： 判断直线与椭圆 例1离心率为5的稀圆c:装+卡-1(a>6>0)的左，右焦点分别为 的位置关系的方法 联立精国与直线方程组 F(-1,0),F(1,0),0是坐标原点 成方程组 (1)求椭圆C的方程； 顶食冰如牙 关于或的 程，并计算判别式的位 (2)若直线x=y+3与C交于相异两点M,N,求k的范围 >0←→直线和精圆相交； 注意：方程组解 的个数与直线与椭圆 的公共点的个数之间 是等价关系 [规律方法] 】对点训练1 若直线y=位+1与焦点在：轴上的椭圆写+=1总有公共点，求m的 m 取值范围。 060 题型二直线和双曲线的交点问题 例2直线)=+1与双曲线3x-子=1相交于A,B两点，当为何值时， 规律方法： A,B在双曲线的同一支上？当k为何值时，A,B分别在双曲线的两 与双曲线只有一 支上？ 个公共点的直线有两 [分析]将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于 种.一种是与渐近线 x或y的方程. 平行的直线，另一种 是与双曲线相切的 直线 规律方法： 将直线的方程与 抛物线的方程联立成 一[规律方法]方程组，消元转化为 对点训练2 关于x或y的方程. 过点P(万，5)与双曲线号-5=1有且只有一个公共点的直线有儿条， 1.若方程为一元 一次方程，则直线和 分别求出它们的方程 抛物线的对称轴平 行，直线和抛物线有 一个交点，但不相 切，该交点不是切点. 2.若为一元二次 方程，则 (1)若△>0，则 直线和抛物线相交， 题型三直线和抛物线的交点问题 有两个交点（或两个 例3.已知抛物线的方程为=4：直线1过定点P(-2,1),斜率为么当6公共点)， 为何值时，直线1与抛物线y2=4x只有一个公共点；有两个公共点；没 (2)若△=0，则 有公共点？ 直线和抛物线相切， 有一个切点： (3)若△<0，则 直线和抛物线相离， 无公共点 [规律方法] ●061 )对点训练3 已知直线y=(a+1)x-1与y2=ax恰有一个公共点，求实数a的值， ●易错警示 误认为直线与抛物线有一个公共点时只有直线与抛物线相切的情况而致误 例 4.过定点P(-1,1),且与抛物线y=2x只有一个公共点的直线1的方程为 [错解]当直线1的斜率不存在时，显然不满足题意； 当直钱1的斜率存在时，设直线1的方程为y-1=6(x+1)(≠0)，由(x+1)+1 y2=2x, 消去x, 得y2-2y+2k+2=0. 因为抛物线与直线1只有一个公共点，所以4=4-4h(2k+2)=0,解得k=-1±5， 2 故所求直线1的方程为（√3-1）x-2y+3+1=0或(1+3)x+2y+3-1=0 [辨析]错解中忽略了与抛物线对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点的情况，故产生 漏解。 [正解] 课堂检测 固双基 1.直线y=x+1与椭圆 4=1的位置关系是 A.一条B.两条 C.三条D.四条 4.直线y=x+1与抛物线y2=4x的公共点坐标 ( 为 A.相交 B.相切 5.(2024·北京卷)若直线y=k(x-3)与双曲线 C.相离 D.无法判断 2.过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2=4x仅有 [年-y=1只有一个公共点，则的一个取值 一个公共点，这样的直线有 ) 为 A.1条B.2条 C.3条 D.4条 ⑧过双曲线一。三1的右焦点作直线与双曲线 交于A,B两，点，若IAB|=16,则这样的直线有 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[16]故所求抛物线的标准方程是x2=8y或x2=-16y ∴.k>1或k<-1,即k的取值范围为(-∞，-1)U(1,+∞). 课堂检测固双基 对点训练1：因为直线y=kx+1过定点A(0,1), 1.D抛物线x=-m2的标准方程为y2=-x,焦点到准线 m 由题查，点A在椭圆号+云1内或圆上， 的距离为 1 1 2m ,由已知得 2m =2,解得m=±4 所吗+ -≤1，即m≥1. 2C根据抛物线方程可水得焦点坐标为(0,6)，准线方程为y 又椭圆焦点在x轴上，所以m<5, 故m的取值范围为[1,5). 15 =-16,根据抛物线定义心p+6=1,解得p=16 例2：把y=kx+1代人3x2-y2=1整理得(3-2)x2-2kx 3.D将本题转化为求抛物线上的点到圆心的最小距离.设 -2=0,当k≠±5时，4=24-42，由4>0得-6<k<6且 P(06,6),由(x-3)2+y=1可知圆心坐标为M(3,0),半径r=1,k≠±时， 则1PM1=√(%-3)+%=√(6)-5%+9 方程有两个不相等的解，直线与双曲线有两个交点.设 A(x1y1),B(x2）, √(-引+平因光N1的最小值为从面1PO1的 2 若A,B在双曲线的同一支，需名=二3>0，所以k< 最小值为T-1,故选D 2 -3或k>√3. 9 4. 由题意可得：(5)2=2p×1,则2p=5,抛物线的方程为同一支上； 故当-6<k<-3或5<k<√6时，A,B两点在双曲线的 y2=5x, 当-5<k<3时，A,B两点在双曲线的两支上 雅线方程为x=上子，点A到C的准线的距离为1- 对点训练2：若直线的斜率不存在，则x=√万，此时仅有一个 (-)=号放答案为程 交点（√7,0），满足条件， 若直线的斜率存在，设直线的方程为y-5=(x-√7)， 5.如图，设正三角形OAB的顶点A,B在抛物线 y2=2x(p>0)上，且坐标分别为(x,y), 则y=+5-,号-+52 25 =1 (x2,y2),则y斤=2x1,y2=2px2 所以25x2-7(kx+5-7k)2=7×25,(25-72)2-14h(5- 又因为IOAI=IOB1, √7k)x-7(5-√7)2-7×25=0， 所以号+y斤=x+2,即x号-号+2x1-2px2 =0. 当-5时，方程无解，不满足条件： 所以(x1-x2)(x1+x2+2p)=0. 因为x1>0,x2>0,2印>0，所以x1+:+2印≠0，x1=为2， 当：5时，方程有一解，满足条件： 7 即A,B两点关于x轴对称，则∠AOx=30 所以上轴，所以方=6m30P= 当≠时，令4=[146(5-k万]2-4(25-7)[-7(5 -k7)2-175]=0,化简后得k无解 又因为名=2p ，所以y=25m 所以不满足条件。 所以1AB1=2y1=45p,即为所求正三角形的边长. 所以满足条件的直线有两条：=万和y=-5气+10。 7 §4直线与圆锥曲线的位置关系 例3：由题意，设直线l的方程为y-1=k(x+2), 由方程组1=(x+2)《。) 4.1直线与圆锥曲线的交点 y2=4x, 消去x,可得2-4y+4(2k+1)=0. ① 关键能力攻重难 (1)当k=0时，由方程①得y=1.把y=1代人y2=4x,得 c=1, ix= 1 例1：(1)依题意得 c= 5 a 5, a2=b2+c2, 这时，直线1与抛物线只有一个公共点（行，） 解得a=5,b=2,c=1. (2)当k≠0时，方程①的判别式为4=-16(22+k-1). :椭圆方程为兮+芹-1 1由4-0，即2+k-1-0,解得6=-1，或4=宁 (2)将直线与椭圆方程联立， +=1消去x,整理得 于是，当k=-1,或k=2时，方程①只有一个解，从而方程 Lx=ky+3, 组(*)只有一个解 (4k2+5)y2+24y+16=0, 这时，直线1与抛物线只有一个公共点， :直线与椭圆C交于相异两点，即4=(24k)2-64(42+ 5)>0, b.由4>0，即22+k-1<0,解得-1<k<2 一312 于是，当-1<k<2,且k≠0时，方程①有两个不相等的 线的两交点分别在左、右两支上时这样的直线应该有两条，共 三条 解，从而方程组(*)有两个解 这时，直线（与抛物线有两个公共点。 4.(1,2) 由+1得-2+1=0=1，y=2 Iy2=4x, c.由△<0，即22+k-1>0,解得k<-1或k>2 5. 2(或-分，答案不唯-） 联立4 -子=1，化简并整理 于是，当k<-1,或>2时，方程①没有实数解，从而方程 y=k(x-3), 得：(1-42)x2+242x-36k2-4=0, 组(*)没有实数解. 由题意得1-42=0或4=(24k2)2+4(362+4)(1-42) 这时，直线！与抛物线没有公共点！ =0, 综上可得，当k=-1,或k=了或6=0时，直线1与抛物线 解得么=士分或无解，即k=±了，经检验，符合题意故答案 只有一个公共点： 当-1<k<分，且k≠0时，直线1与抛物线有两个公共点， 为：2（或-2，答案不唯一 当k<-1或k>2时，直线1与抛物线没有公共点。 4.2直线与圆锥曲线的综合问题 对点训练3：联立方程(a+1)x-L, 必备知识探新知 =ax. 知识点1(1)平行（或重合）(2)>= < 当a=0时，此方程组恰有一组解为=1， 知识点21.√个+1x1-2 1 ly=0. I+ly-xI 当a0时得-y-1=0 关键能力攻重难 例1：设椭圆方程为mx2+y2=1(m>0,n>0,m≠n), ①若+1=0，即a=-1,则方程为-y-1=0,得=-P(x).Q(》 a ly=-1: ②若9+1≠0，即a≠-1，由4=0，得1+4(a+山=0，解得 由+1， ,得(m+n)x2+2nx+n-1=0, Imx2+ny2=1, 4=4n2-4(m+n)(n-1)>0,即m+n-mm>0. a- 由OP⊥OQ,得x1x2+y1y2=0, 这时直线与曲线相切，只有一个公共点。 即2x12+(x1+x2)+1=0, 综上可知，当a=0,-1,-号时，直线y=(a+1)x-1与 2n-D-2n+1=0m+n=2. ① m+n m +n =ar恰有一个公共点， 又1PQ12=(x1-x2)）2+(y1-2)2=2[(x1+x2)2-4x1x2] 例4：y=1或(5-1)x-2y+5+1=0或(1+3)x+2y+ =8(m+n-mn) (m+n)2 3-1=0当直线1的斜率不存在时，显然不满足题意 当直线（的斜率存在时，若直线！与抛物线的对称轴平行， 将m+n=2代人得m=子 ② 则直线1的方程为y=1,此时直线1与抛物线只有一个公共点； 3 若直线！与抛物线的对称轴不平行，则同错解得所求直线！ m二2' 「m= 2 由①②式，得{ 或 的方程为(5-1)x-2y+5+1=0或(1+5)x+2y+5-1= 3 1 n=2 0综上所述，所求直线1的方程为y=1或(，万-1)x-2y+5+1 n=2 =0或(1+3)x+2y+5-1=0. 放椭圆方程为号+=1或+号=1 课堂检测固双基 对点训练1：A令直线与抛物线交于点A(x1,y),B(x2, 「y=x+1, 1.A解法一：联立直线与椭圆的方程，得{之，上」 消去.2，由2得4-8x+1=0有+=2=子 5+4=1 1y2=12x, 得9x2+10x-15=0,4=100-4×9×(-15)>0,所以直线与 .1AB1=√(1+2)(x-名2)尸 椭圆相交 =√5[(x1+x2)2-4x1x2J=15. 解法二：直线过点(0,1)，而点(0,1)在椭圆内部，所以直线与 例2：设弦的两端点分别为A(x1,y1）,B(2,y2),AB中点为 椭圆相交 R(x,y),则2x=x1+x2,2y=y1+y2 2.C:点(0,1)在抛物线y2=4x外部，∴.过点(0,1)与抛物线 又A,B两点均在椭圆上， y2=4x相切的直线为两条，过点(0,1)与x轴平行的直线y= 故有x7+4y7=16,x号+4y2=16. 1与抛物线y2=4x只有一个公共点，故选C. 两式相减，得(x1+x2)(x1-2)=-4(y1+y2)(y1-y2). 3c过右焦点且垂直于实轴的弦长为28=2×8=16， 微到器奶卖 X1+x2 1AB1=16,当直线1与双曲线的两交点都在右支上时这 x I 样的直线只有一条.又实轴长为2,16>2，…当直线1与双曲 （1)由s=一y=2,得所求轨迹方程为-2y-4=0 一313