微专题抛物线的中点弦与弦长导学案-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

微专题：抛物线的中点弦与弦长 学生版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题接着 11、12 两讲，把研究对象从“过焦点的弦”与“单个动点的距离”换回“一般弦的中点”。教材在直线与圆锥曲线一节里用联立加韦达处理弦的问题，点差法是另一条路：不解出两个端点，只用中点坐标就把弦的斜率定下来，再由判别式判断这条弦是否真的存在。 考查形式：近五年全国卷与新高考卷中，本考点以小题与解答题第（1）问为主：给中点求弦所在直线、给中点求弦长、由中点坐标反求参数范围、给一族平行弦求中点的轨迹。解答题常在第（2）问叠加面积或定值，本讲只做到弦长为止。 第二部分　记·模型与结论 一、点差法：中点把斜率定下来 设弦 的两个端点为 、，中点为 。把两端点代入 后相减，得 ，弦的斜率由此只由中点纵坐标决定。开口向左时式子带一个负号；开口向上、向下时被平方的坐标换成 ，斜率由中点横坐标决定。 四个方向的差别只在符号与所用坐标：开口向左时 ，开口向下时 。（开口向上、向下时是 ）时上式无意义，对应的弦垂直于对称轴，写成 或 即可，它仍是一条真实存在的弦。 二、中点弦方程：一步写到位 把斜率与中点代进点斜式，整理后得到中点弦的一般形式。以 为例，弦所在直线为 ； 时把 、 对调，写成 。 这两个式子的好处是不必先算斜率，把中点坐标直接代进去就能读出直线。开口向左、向下时把右端的 换成 。写完回代一次，确认中点满足直线方程，也确认直线与抛物线确实有两个交点，后一步由第三条接管。 三、存在性：判别式是一把筛子 点差法只给出“如果有这条弦，它该是什么斜率”，并不能保证弦真的存在。把直线写成 再代入 ，两根之和为 ，判别式为 ，因此中点落在抛物线内侧才有弦。 等号成立时中点在抛物线上，弦退化成一个点；小于号时中点在抛物线外侧，点差法算出的直线与抛物线没有交点。开口向左、向下时写成 与 。这一步与双曲线的 判据是同一类检验，但抛物线只有一支，不需判同支跨支。 四、中点定弦长 中点不只定斜率，还把弦长一并定下。 的两个端点的纵坐标是 ，两点距离化简后只含 、、。 开口向上时把 与 对调，负方向时把括号里的 换成 。这个式子把弦长公式 提前算完了：中点已知，就不必再联立求两根。竖直弦 时它给出 ，取 即为通径长 。 五、中点的轨迹：直径与过定点的弦 斜率固定为 的一族平行弦，其中点都在一条平行于对称轴的直线上，这条直线称为抛物线的直径： 上是 ， 上是 。反过来，过定点 的一族弦，中点轨迹是另一条抛物线。 直径与焦点弦中点的轨迹 不是一回事：那里约束的是“弦过焦点”，这里约束的是“弦的斜率固定”或“弦过定点”。两条轨迹都要去掉落在抛物线外侧的部分，判据仍是第三条的不等式。 第三部分　破·典型题型 题型一　点差法求中点弦方程 【解题技巧】先由中点坐标写出斜率，再落点斜式；开口向上、向下时用中点横坐标，开口向左、向下时带负号。 时改用垂直于对称轴的弦 。写完把直线代回抛物线，用判别式确认有两个交点。 【典例1-1】（原创改编） 已知抛物线 的一条弦 的中点为 ，求弦 所在直线的方程。 【变式1-1】 已知抛物线 的一条弦的中点为 ，求这条弦所在直线的方程。 【变式1-2】 已知抛物线 的一条弦的中点为 ，求这条弦所在直线的方程。 题型二　中点弦的存在性检验 【解题技巧】点差法给出的是候选直线，判别式才决定它是不是弦。把中点代进 （开口向左、向下时换成 ）；等于零时中点在抛物线上，弦退化成一点，小于零时无弦。带参数的问题把不等式解出来就是参数范围。 【典例2-1】（原创改编） 已知抛物线 ，分别判断以 、、 为中点的弦是否存在；存在的求出弦所在直线的方程。 【变式2-1】 已知点 是抛物线 某条弦的中点，求 的取值范围。 【变式2-2】 已知点 是抛物线 某条弦的中点，求 的取值范围。 题型三　中点定弦长 【解题技巧】中点在抛物线内侧时，两个端点的纵坐标是 ，两点距离化简为 。反求中点时把弦长平方，解出 再回代验一次判别式。 【典例3-1】（原创改编） 已知抛物线 的一条弦的中点 在直线 上，且弦长为 ，求点 的坐标与弦所在直线的方程。 【变式3-1】 已知抛物线 的一条弦的中点为 ，求这条弦的长。 【变式3-2】 已知抛物线 的一条弦的中点为 ，求这条弦的长。 题型四　中点的轨迹：直径与过定点的弦 【解题技巧】斜率固定为 的一族平行弦，由 得中点都在 上； 时是 。过定点 的一族弦，把直线 过点 的条件与 联立消去 ，得 。两条轨迹都要用第三条的不等式去掉外侧部分。 【典例4-1】（原创改编） 已知抛物线 ，求斜率为 的一族平行弦的中点所在的直线，并写出中点的横坐标范围。 【变式4-1】 已知抛物线 ，求斜率为 的一族平行弦的中点所在的直线，并写出中点的纵坐标范围。 【变式4-2】 已知抛物线 ，求过定点 的弦的中点 的轨迹方程。 第四部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（单选）抛物线 上以 为中点的弦的斜率为（　　） A． B． C． D． 2．（单选）抛物线 上以 为中点的弦长为（　　） A． B． C． D． 3．（单选）若 是 某弦的中点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（单选） 上斜率为 的平行弦的中点在（　　） A．直线 上 B．直线 上 C．直线 上 D．直线 上 5．（多选）关于抛物线 ，下列说法正确的是（　　） A．以 为中点的弦存在 B．以 为中点的弦的斜率为 C．以 为中点的弦存在 D．斜率为 的平行弦的中点在 上 6．（填空）已知抛物线 的一条弦的中点为 ，则这条弦的长为______。 7．（解答）已知抛物线 的一条弦以 为中点。（1）判断这条弦是否存在；（2）若存在，求弦所在直线的方程与弦长。 二、培优小练（15 分钟） 8．（单选）抛物线 上以 为中点的弦的斜率为（　　） A． B． C． D． 9．（单选）抛物线 上以 为中点的弦长为（　　） A． B． C． D． 10．（多选）关于抛物线 ，下列说法正确的是（　　） A．以 为中点的弦存在 B．以 为中点的弦的斜率的三倍为 C．斜率为 的平行弦的中点在 上 D．过定点 的弦的中点轨迹为 11．（填空）若点 是抛物线 某条弦的中点，则 的取值范围是______。 12．（解答）已知抛物线 的一条弦 以 为中点。（1）求弦所在直线的方程与弦长；（2）求过定点 的弦的中点轨迹方程。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题：抛物线的中点弦与弦长 教师解析版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题接着 11、12 两讲，把研究对象从“过焦点的弦”与“单个动点的距离”换回“一般弦的中点”。教材在直线与圆锥曲线一节里用联立加韦达处理弦的问题，点差法是另一条路：不解出两个端点，只用中点坐标就把弦的斜率定下来，再由判别式判断这条弦是否真的存在。 考查形式：近五年全国卷与新高考卷中，本考点以小题与解答题第（1）问为主：给中点求弦所在直线、给中点求弦长、由中点坐标反求参数范围、给一族平行弦求中点的轨迹。解答题常在第（2）问叠加面积或定值，本讲只做到弦长为止。 第二部分　记·模型与结论 一、点差法：中点把斜率定下来 设弦 的两个端点为 、，中点为 。把两端点代入 后相减，得 ，弦的斜率由此只由中点纵坐标决定。开口向左时式子带一个负号；开口向上、向下时被平方的坐标换成 ，斜率由中点横坐标决定。 四个方向的差别只在符号与所用坐标：开口向左时 ，开口向下时 。（开口向上、向下时是 ）时上式无意义，对应的弦垂直于对称轴，写成 或 即可，它仍是一条真实存在的弦。 二、中点弦方程：一步写到位 把斜率与中点代进点斜式，整理后得到中点弦的一般形式。以 为例，弦所在直线为 ； 时把 、 对调，写成 。 这两个式子的好处是不必先算斜率，把中点坐标直接代进去就能读出直线。开口向左、向下时把右端的 换成 。写完回代一次，确认中点满足直线方程，也确认直线与抛物线确实有两个交点，后一步由第三条接管。 三、存在性：判别式是一把筛子 点差法只给出“如果有这条弦，它该是什么斜率”，并不能保证弦真的存在。把直线写成 再代入 ，两根之和为 ，判别式为 ，因此中点落在抛物线内侧才有弦。 等号成立时中点在抛物线上，弦退化成一个点；小于号时中点在抛物线外侧，点差法算出的直线与抛物线没有交点。开口向左、向下时写成 与 。这一步与双曲线的 判据是同一类检验，但抛物线只有一支，不需判同支跨支。 四、中点定弦长 中点不只定斜率，还把弦长一并定下。 的两个端点的纵坐标是 ，两点距离化简后只含 、、。 开口向上时把 与 对调，负方向时把括号里的 换成 。这个式子把弦长公式 提前算完了：中点已知，就不必再联立求两根。竖直弦 时它给出 ，取 即为通径长 。 五、中点的轨迹：直径与过定点的弦 斜率固定为 的一族平行弦，其中点都在一条平行于对称轴的直线上，这条直线称为抛物线的直径： 上是 ， 上是 。反过来，过定点 的一族弦，中点轨迹是另一条抛物线。 直径与焦点弦中点的轨迹 不是一回事：那里约束的是“弦过焦点”，这里约束的是“弦的斜率固定”或“弦过定点”。两条轨迹都要去掉落在抛物线外侧的部分，判据仍是第三条的不等式。 第三部分　破·典型题型 题型一　点差法求中点弦方程 【解题技巧】先由中点坐标写出斜率，再落点斜式；开口向上、向下时用中点横坐标，开口向左、向下时带负号。 时改用垂直于对称轴的弦 。写完把直线代回抛物线，用判别式确认有两个交点。 【教学提醒】板演时把 整行写出来，再用 换掉，学生才看得见“中点”是从哪一步进来的。三题分别落在开口向右、向右、向上，第三题把 、 对调的那一行单独圈出， 的公式照搬过去就会换错坐标。 【典例1-1】（原创改编） 已知抛物线 的一条弦 的中点为 ，求弦 所在直线的方程。 解析：，。由 、 相减得 。 ，故 ，直线为 ，即 。 检验：把 代入 得 ，判别式 ，两交点存在；两根之和为 ，中点横坐标为 ，与 一致。 参考答案： 【学情易错提醒】把点差法写成 的，得到 ，直线成了 。相减后是 ，斜率与中点纵坐标成反比；把 代回抛物线得 ，中点是 ，与 不符。 【变式1-1】 已知抛物线 的一条弦的中点为 ，求这条弦所在直线的方程。 解析：，，由 得 。 直线为 ，即 。 代入得 ，判别式 ，两根之和为 ，中点横坐标为 ，与 一致。 参考答案： 【学情易错提醒】用中点弦公式 时把 写成 的，得到 ，斜率变成 。标准式是 ，这里的 ， 是 。 【变式1-2】 已知抛物线 的一条弦的中点为 ，求这条弦所在直线的方程。 解析：，，开口向上时 。 直线为 ，即 。 代入 得 ，判别式 ，两根之和为 ，中点横坐标为 ，与 一致。 参考答案： 【学情易错提醒】把 仍按 处理，用 的，直线过不了中点检验：代入后两根之和不是 。开口方向变了，被平方的那个坐标也跟着变。 题型二　中点弦的存在性检验 【解题技巧】点差法给出的是候选直线，判别式才决定它是不是弦。把中点代进 （开口向左、向下时换成 ）；等于零时中点在抛物线上，弦退化成一点，小于零时无弦。带参数的问题把不等式解出来就是参数范围。 【教学提醒】板演把三个中点画在同一张图上：一个在抛物线内侧、一个在外侧、一个落在曲线上，再逐一算判别式，学生能看见“点差法照样给出一条直线，但它与曲线没有两个交点”。第三题是参数范围，把不等式解完再回代一个边界值验一次，边界取不到这一点落到纸上。 【典例2-1】（原创改编） 已知抛物线 ，分别判断以 、、 为中点的弦是否存在；存在的求出弦所在直线的方程。 解析：，，判据为 。 ：，弦存在，，直线为 ；代入得 ，判别式 。 ：，中点落在抛物线外侧，弦不存在。此时点差法仍给出 ，直线 与抛物线没有交点。 ：，但 ，弦垂直于对称轴，为 ，端点为 与 。 参考答案： 存在，； 不存在； 存在， 【学情易错提醒】对 直接写 就收笔的，没有验判别式：把 代入 得 ，判别式 ，交点根本不存在。点差法只负责定斜率，不负责保证弦在。 【变式2-1】 已知点 是抛物线 某条弦的中点，求 的取值范围。 解析：，，判据为 。 解得 。 时 落在抛物线上（），弦退化成一点，不能取等号。 取 回代： 对应的弦斜率为 ，直线 ，代入得 ，两根为 与 ，中点为 ，成立。 参考答案： 【学情易错提醒】写成 的，是把“退化成一点”也算作弦；另有一类把判据写成 ，得 ，少了系数 。相减后是 ，判别式里是 而不是 。 【变式2-2】 已知点 是抛物线 某条弦的中点，求 的取值范围。 解析：，，开口向上时判据为 。 解得 ； 时 落在抛物线上，弦退化成一点。 取 回代：，直线 ，代入得 ，两根为 与 ，中点为 ，成立。 参考答案： 【学情易错提醒】把开口向上的判据仍写成 的，得 ，范围完全不同。被平方的坐标是 ，判据里该减的是 ，该乘 的是 。 题型三　中点定弦长 【解题技巧】中点在抛物线内侧时，两个端点的纵坐标是 ，两点距离化简为 。反求中点时把弦长平方，解出 再回代验一次判别式。 【教学提醒】板演先不落公式，把 、 设出来，用两根之和与两根之积反推 ，学生看得见根号里的量就是判别式的四分之一。第一题是反求，先把弦长平方再解方程；后两题是正用，一题开口向右、一题开口向上，正好把 、 对调的规则用一次。 【典例3-1】（原创改编） 已知抛物线 的一条弦的中点 在直线 上，且弦长为 ，求点 的坐标与弦所在直线的方程。 解析：，，设 ，判据为 ，即 。 由弦长公式，。 解得 ，，满足 ，故 。 斜率 ，直线为 ，即 。代入得 ，判别式 ，两根之和为 ，中点为 。 参考答案：， 【学情易错提醒】把弦长公式里的 写成 的，会解出无理数横坐标，与题意不合。根号里第一个括号来自 ，而 ，所以是 ；只有开口向上时才换成 。 【变式3-1】 已知抛物线 的一条弦的中点为 ，求这条弦的长。 解析：，，，弦存在。 。 核对：，直线 ，代入得 ，两根差为 ，故 。 参考答案： 【学情易错提醒】把 写成 后漏掉 ，只报 的，是把横坐标之差当成了弦长。两点距离要按斜率把两个方向的差都算进去。 【变式3-2】 已知抛物线 的一条弦的中点为 ，求这条弦的长。 解析：，，开口向上时 。 ，故 。 核对：，直线 ，代入得 ，两根差为 ，。 参考答案： 题型四　中点的轨迹：直径与过定点的弦 【解题技巧】斜率固定为 的一族平行弦，由 得中点都在 上； 时是 。过定点 的一族弦，把直线 过点 的条件与 联立消去 ，得 。两条轨迹都要用第三条的不等式去掉外侧部分。 【教学提醒】板演把两组弦画在同一张图上：一组平行线，一组过同一点的线束，中点的落点一个是直线、一个是抛物线，两条轨迹的形状并不相同。第三题的消元过程写全三行——先写 、再写 、最后消去 ，轨迹方程由这三行读出来。收尾时与焦点弦中点的轨迹并排写一行，约束条件不同，轨迹就不同。 【典例4-1】（原创改编） 已知抛物线 ，求斜率为 的一族平行弦的中点所在的直线，并写出中点的横坐标范围。 解析：，。由 得 ，故所有中点都在直线 上。 由存在性判据 得 ，所以轨迹是直线 上 的那一段。 核对：取 ，直线为 ，即 ，代入得 ，两根之和为 ，中点为 ，在 上。 参考答案： 【学情易错提醒】把直径写成 的，是把对称轴的方向弄反了： 的对称轴是 轴，平行弦的中点纵坐标固定，轨迹是一条水平线。另有一类漏掉 ，把整条直线都算作轨迹，外侧那一段对应的弦并不存在。 【变式4-1】 已知抛物线 ，求斜率为 的一族平行弦的中点所在的直线，并写出中点的纵坐标范围。 解析：，，由 得 ，中点都在直线 上。 由 得 ，轨迹是 上 的那一段。 核对：取 ，直线 ，即 ，代入得 ，两根之和为 ，中点为 ，在 上。 参考答案： 【学情易错提醒】把 写成 的，在 时数值同为 ，看不出错；把斜率换成 再试一次，两个式子分别给 与 ，差别立刻现形。开口向上时 ，乘除位置与 相反。 【变式4-2】 已知抛物线 ，求过定点 的弦的中点 的轨迹方程。 解析：，。设过 的弦所在直线为 ，由 在直线上得 。 代入 得 ，两根之和为 ，故 ，即 。 又 ，整理得 。 即轨迹为 ；由判据 恒成立， 在抛物线内侧，这族弦都真实存在。竖直弦 的中点正是 ，也在轨迹上。 参考答案： 第四部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（单选）抛物线 上以 为中点的弦的斜率为（　　） A． B． C． D． 解析：，，，弦存在。 ，直线为 ；代入得 ，两根之和为 ，中点为 。 参考答案：B 2．（单选）抛物线 上以 为中点的弦长为（　　） A． B． C． D． 解析：，，。 。 参考答案：B 3．（单选）若 是 某弦的中点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 解析：，，判据为 。 解得 ； 时 落在抛物线上，弦退化成一点，等号取不到。 参考答案：A 4．（单选） 上斜率为 的平行弦的中点在（　　） A．直线 上 B．直线 上 C．直线 上 D．直线 上 解析：，，由 得 。 中点都在直线 上，且由 得 。 参考答案：A 5．（多选）关于抛物线 ，下列说法正确的是（　　） A．以 为中点的弦存在 B．以 为中点的弦的斜率为 C．以 为中点的弦存在 D．斜率为 的平行弦的中点在 上 解析：，，判据为 。 A： 给 ，弦存在；B：，正确。 C： 给 ，弦不存在，错误。 D：由 得 ，正确。 参考答案：ABD 6．（填空）已知抛物线 的一条弦的中点为 ，则这条弦的长为______。 解析：，，。 。 参考答案： 7．（解答）已知抛物线 的一条弦以 为中点。（1）判断这条弦是否存在；（2）若存在，求弦所在直线的方程与弦长。 解析：，，开口向下，判据为 。 （1），弦存在。 （2）开口向下时 ，直线为 ，即 。 代入 得 ，两根差为 ，故 。 参考答案：（1）存在；（2）， 二、培优小练（15 分钟） 8．（单选）抛物线 上以 为中点的弦的斜率为（　　） A． B． C． D． 解析：，，判据 ，弦存在；，直线为 。 参考答案：B 9．（单选）抛物线 上以 为中点的弦长为（　　） A． B． C． D． 解析：，，判据 ，。 参考答案：B 10．（多选）关于抛物线 ，下列说法正确的是（　　） A．以 为中点的弦存在 B．以 为中点的弦的斜率的三倍为 C．斜率为 的平行弦的中点在 上 D．过定点 的弦的中点轨迹为 解析：，，判据为 ；A 中 给 ，弦不存在，A 错误。 B 中 给 ，，故 ，B 正确。 C 中 时 ，正确；D 中由 得 ，正确。 参考答案：BCD 11．（填空）若点 是抛物线 某条弦的中点，则 的取值范围是______。 解析：，，判据 ，解得 ；端点处 落在抛物线上，弦退化成一点。 参考答案： 12．（解答）已知抛物线 的一条弦 以 为中点。（1）求弦所在直线的方程与弦长；（2）求过定点 的弦的中点轨迹方程。 解析：，，开口向左，判据 ，弦存在。 （1），直线为 ，即 。 代入 得 ，两根差为 ，故 。 （2）设过 的弦为 ，由 得 ；代入 得 ，两根之和为 ，故 。 由 得 ，即轨迹为 。 核对：取 ，直线为 ，代入得 ，两根之和为 ，故中点 ；，，该点在轨迹上。 竖直弦 的中点正是 ，也在轨迹上；由判据 可去掉轨迹上落在抛物线外侧的部分。 参考答案：（1），；（2） 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $