1.2.3 直线与圆的位置关系 导学案-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“直线与圆的位置关系”，引导学生回顾圆的方程及点到直线距离公式，通过“温故”铺垫旧知，再“知新”探究几何法（距离与半径比较）和代数法（方程解的情况）两种判定方法，构建知识学习支架。 资料以数形结合思想为核心，设置预习提要明确目标，课前自测覆盖切线、弦长等基础问题，反思环节结合生活科技应用拓展视野，思考问题引导学生比较方法优劣，培养数学思维与应用意识，助力学生自主学习与能力提升。

1.2.3 直线与圆的位置关系 预习提要 1.回顾圆的方程以及点到直线距离公式，体会代数方法研究几何位置关系的数形结合思想，做好知识铺垫. 2.研读课本，探究直线与圆三种位置关系的判定方法，掌握几何法与代数法，尝试利用条件求解切线、弦长相关基础问题. 【温故】 1.圆的标准方程： 就是以点为圆心，为半径的圆的方程，称此方程为圆的标准方程． 2.圆的一般方程：称 （其中）为圆的一般方程． 【知新】 直线与圆的位置关系的判断： （1）几何法：由圆心到直线的距离与半径的大小关系判断：当时，直线与圆 ；当时，直线与圆 ；当时，直线与圆 ． （2）代数法：由方程组解的情况判断：当方程组有两组不同的实数解时，直线与圆 ；当方程组只有一组实数解（两组相等的实数解）时，直线与圆 ；当方程组没有实数解时，直线与圆 ． 课前自测 1.已知过原点的直线l与圆相切，则直线l的斜率为( ) A. B. C. D. 2.已知直线，圆，则直线l与圆C的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 3.过点作圆的切线，则切线的条数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 4.已知直线与圆交于A，B两点，则( ) A. B. C.4 D.8 5.若过点有两条直线与圆相切，则实数m的取值范围是___________. 反思 【拓展】 直线与圆存在相离、相切、相交三种位置关系. 可通过两种方法判定：一是几何法，比较圆心到直线距离与半径大小；二是代数法，联立方程根据判别式正负判断. 相离无交点、相切有唯一交点、相交有两个交点. 其中相切对应切线，相交对应弦，是解题核心模型，两种判定方法需灵活选用. 直线与圆的位置关系在生活与科技领域应用广泛. 雷达探测目标判断、卫星轨道与观测视线分析、圆形构件切线打磨、拱桥弦长测算均依托本节模型. 在建筑圆弧切线设计、光学切线反射原理、计算机图形碰撞检测中，依靠相交、相切、相离规律实现精准判定与工程优化. 【思考】 1.几何法与代数法判定直线和圆位置关系，各自的优缺点和适用场景是什么？ 2.求解圆的切线方程时，为什么必须考虑斜率不存在的特殊直线？ 3.利用垂径定理求解弦长问题的核心思路是什么，简化运算的关键在哪？ 答案及解析 【温故】 1. 2. 【知新】 相交 相切 相离 相交 相切 相离 课前自测 1.答案：D 解析：设切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于圆的半径可求得直线l的斜率.故选D. 2.答案：A 解析：由直线方程可得，因此直线l过定点，设为A，因此.故点A在圆C的内部，从而直线l与圆C相交，故选A. 3.答案：B 解析：因为，所以点在圆上，所以过点所作的圆的切线仅有1条.故选B. 4.答案：B 解析：由题意得圆O的圆心为，半径，圆心O到直线l的距离，所以.故选B. 5.答案： 解析：易知点在圆外，由于方程表示圆，所以解得.所以实数m的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $