1.2.1 圆的标准方程 导学案-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“圆的标准方程”，通过回顾平面两点间距离公式等旧知，构建数形结合学习支架，引导学生探究方程推导过程，明确圆心、半径与方程参数的关系，初步辨识点与圆的位置关系。 资料以“温故知新”衔接知识脉络，课前自测涵盖选择、多选等多样化题型，反思环节设拓展与思考问题，助力学生发展几何直观的数学眼光和推理意识的数学思维，提升用数学语言表达几何关系的能力，适合自主学习与教学评估。

1.2.1 圆的标准方程 预习提要 1.回顾平面两点间距离公式，感受利用距离条件构建曲线方程的数形结合思路，为推导圆的方程做好知识铺垫. 2.研读课本，探究圆的标准方程推导过程，明确圆心、半径与方程参数的关系，能根据条件写出圆标准方程并初步辨识点与圆的位置关系. 【温故】 1.两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，若两点为，，两点间的距离公式 . 2.点到直线的距离公式：点到直线的距离公式 （其中不全为0）. 【知新】 1.圆的标准方程： 就是以点为圆心，为半径的圆的方程，称此方程为圆的标准方程． 2.点与圆的位置关系：对于点和圆，可得点在圆上 ；点在圆内 ；点在圆外 ． 3.圆的简单几何性质： （1）范围：由圆的方程可得圆上任意一点都满足不等式 ， ． （2）对称性：圆既是关于轴和轴的 图形，也是关于 的中心对称图形． 课前自测 1.圆心在y轴上，半径为1，且过点的圆的标准方程是( ) A. B. C. D. 2.已知点在圆内部，那么a的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.方程表示的圆( ) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于直线对称 D.关于直线对称 4.圆心为，且经过原点的圆的方程是( ) A. B. C. D. 5.（多选）下列说法错误的有( ) A.圆的圆心为，半径为5 B.圆的圆心为，半径为b C.圆的圆心为，半径为 D.圆的圆心为，半径为 反思 【拓展】 圆的标准方程核心要素为圆心坐标与半径，确定两个参数即可确定唯一圆. 特殊地，圆心在原点时方程简化为. 可通过代入点坐标，快速判断点在圆上、圆内或圆外，解题简洁直观、适用性极强. 柏拉图说：圆是世间最完美的几何图形. 圆的标准方程以简洁对称的代数形式，精准诠释圆形均衡规整的几何之美. 将曲线几何特征转化为精准的坐标方程，实现形与数的完美融合. 深耕圆的方程规律，能提升数形转化、参数建模的能力，锤炼严谨规范的解析几何思维. 【思考】 1.圆的标准方程中，圆心坐标符号与方程括号内符号为何相反？ 2.如何利用圆的标准方程快速判断点在圆上、圆内、圆外？ 答案及解析 【温故】 1. 2. 【知新】 1. 2. 3. 轴对称 原点 课前自测 1.答案：A 解析：设圆的圆心为，则，所以，所以圆的标准方程是. 2.答案：A 解析：由题意得，即，解得. 3.答案：D 解析：易得圆心，即圆心在直线上，所以该圆关于直线对称.故选D. 4.答案：A 解析：因为圆心为，所以设圆的方程为，因为圆经过原点，所以，所以，所以所求圆的方程为.故选A. 5.答案：ABD 解析：圆的圆心为，半径为，A错误；圆的圆心为，半径为，B错误；C正确；圆的圆心为，半径为，D错误.故选ABD. 学科网（北京）股份有限公司 $