微专题双曲线焦点三角形模型 导学案-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

微专题：双曲线焦点三角形模型 教师解析版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题安排在“双曲线的简单几何性质”之后，与 01 椭圆焦点三角形互为对照。椭圆的骨架是“和为定值”，双曲线换成“差为定值”，三角形的三条边关系随之改写：面积由 变为它的倒数 ；顶角没有上界；两条焦半径不再受 约束，而受“点在哪一支”约束。这四处差别讲透，学生手里就有一张可对照的表，不必另起一套记法。 考查形式：近五年全国卷与新高考卷中，本考点以三种形式出现：选填题给顶角或面积，一问一步，数值多含 ；解答题把它放在第（1）问，作为后续联立的前置；多选题常把“某点是否存在”与面积、离心率混在一道里，判分点在于是否用 这个下界做检验。 第二部分　记·模型与结论 一、差为定值，符号看支 双曲线的定义给出的是差：右支上 ，左支上 。求两条焦半径，把这一式与题给的倍数、和或差并列，解一次方程组即可，符号由 所在的支决定。 由定义还能读出两条焦半径的下界：右支上 ，，左支相反。解出的值小于对应下界，说明这样的点不存在——多选题的“是否存在”一类，几乎都靠这一句判。 二、面积是椭圆版的倒数 设 。由余弦定理与 相减，得两条焦半径之积；再乘 ，面积公式随之落定。 与椭圆的 只差“ 在分子还是分母”。混用时代入 自检：两式都应给出 ，此时分不出对错，须换一个角再试。 三、顶角没有上界 取遍 ：面积 可以任意大，也可以任意接近 ，对应的顶角随之从接近 走到接近 。这一点与椭圆不同，后者顶角有最大值，由 与 的大小决定。 所以双曲线的题目不问“顶角的最大值”，只问“给顶角求面积”“给面积求顶角”“是否存在某个顶角”。见到“最大顶角”一类的设问，通常是把椭圆的做法套了过来。 四、内切圆切于实轴顶点 设内切圆与 相切于 。由切线长相等， 与 、 的差只差一个 ，代入定义即得 ，于是 的横坐标为 （右支）或 （左支），与 的位置无关。 半径仍用 ，其中 。两条焦半径之和不像椭圆那样恒为 ，须先由面积或顶角求出，再回代。 五、面积与坐标互为翻译 以 为底，高就是 的纵坐标的绝对值，故面积只与 和 有关。给面积求坐标，先得 ，再回代方程解 ；给坐标求面积，代一次即可。 开方后按象限取舍：题干写明“第一象限”就取正；只说“在双曲线上”，则两支各有一点，共四个解，答题时须写全。 第三部分　破·典型题型 题型一　定义拆分：差为定值 【解题技巧】双曲线的定义给的是差，不是和。求两条焦半径，先把 与题给的倍数关系并列，解一次方程组；符号由支决定，右支取 ，左支相反。解出后回验下界 （右支），小于它说明该点不存在。 【教学提醒】板演把两支的等式并排写出，右支一行、左支一行，再让学生判断题给的倍数关系落在哪一支。变式1-2 给的是具体长度而非倍数，考的是“已知一条求另一条”这一步，讲评时只核对回验，不重复解的方程。 【典例1-1】（原创改编） 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线的右支上，且 ，求 。 解析：由定义，右支上 。 代入 得 ，于是 。 回验：，右支上 的最小值为 ， 合乎要求，点 存在。 参考答案：（此时 ） 【学情易错提醒】把 当成 是这一题的高频错误：由 得差值 ，解出 ，恰好也大于下界 ，回验查不出来，只有把答案代回双曲线方程才露破绽。 【变式1-1】 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线的左支上，且 ，求 。 解析：左支上 ，代入 得 ，。 回验：，左支上 的最小值为 ， 合乎要求。若题给的倍数使 ，则该点不存在，这是判断“是否存在”的入口。 参考答案：（此时 ） 【变式1-2】 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线的右支上，且 ，求 与 。 解析：，，右支上 。 ，故 。 回验：右支上 的最小值为 ， 合乎要求。三条边 、、 满足三角形不等式，三角形确实存在。 参考答案：， 题型二　焦点三角形的面积 【解题技巧】面积公式为 ，与椭圆的 恰成倒数。给顶角求面积、给面积求顶角，均一步可得，无须先求两条焦半径。 时两式都给出 ，可作校验，但验不出分子分母是否颠倒，须再代一个角。 【教学提醒】板演先写双曲线版，再把椭圆版并排写在右侧，让学生找出两式的差别。讲评时给一个 的例子演算一遍错解——用椭圆版会得 ，比正解小得多，这一对照比讲三遍公式有效。变式2-1 与变式2-2 一正一反，并排写。 【典例2-1】（原创改编） 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线上，且 ，求 的面积。 解析：，，代入 得 。 另一条路：，，两路一致。 此时 ，由 得 ，点 确实存在。 参考答案： 【学情易错提醒】把公式记成椭圆的 ： 时恰好也得 ，自查不出来；换成 才露馅——错式给 ，正解是 ，相差三倍。 【变式2-1】 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线上，且 ，求 的面积。 解析：，，。 校验：，，与上式一致。 参考答案： 【变式2-2】 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线上，若 的面积为 ，求 。 解析：，由 得 。 故 ，。 这一问是上一型的反向使用，解出后可用 复核面积。 参考答案： 题型三　内切圆切于实轴顶点 【解题技巧】设内切圆与 相切于 ，由切线长相等得 ，故 的横坐标为 （右支）或 （左支），与 无关。半径仍由 求得，此处半周长含两条焦半径之和，不像椭圆那样恒为 。 【教学提醒】这一结论的证明只用切线长与定义两件事，适合整段交给学生上黑板。教师只写三条切线长等式，化简留给学生，最后一步 由学生自己得到。变式3-1 把半径并入，需先由顶角求两条焦半径之和，运算量比前两题大，可安排同桌互查。 【典例3-1】（原创改编） 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线的右支上，求 内切圆与 轴的切点坐标。 解析：设内切圆与 相切于 ，与 、 分别相切于 、。由切线长相等，，，。 ，又 ，故 。 、，，，故 的横坐标为 ，即切点为 ，恰为右顶点。 参考答案： 【学情易错提醒】把切点算成原点或焦点的都有：前者是把 当成 ，后者是把切线长与焦半径混为一谈。判别办法很直接——切点必在 之间，而 轴上只有顶点同时属于双曲线与线段 。 【变式3-1】 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线的右支上，且 ，求 内切圆的半径。 解析：由切点结论，内切圆与 轴切于 ，半径即为圆心纵坐标，须由 求出。 ，，；，又 ，故 ，。 半周长 ，于是 。 参考答案： 【变式3-2】 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线的左支上，求 内切圆与 轴的切点坐标。 解析：左支上 ，同法得 ，又 。 解得 ，， 在 左侧 处，横坐标为 。 切点为 ，恰为左顶点。两支的结论统一写作“切于所在支的顶点”。 参考答案： 题型四　面积与坐标的互推 【解题技巧】以 为底，高为 ，故 。给面积求坐标，先得 再回代方程；给坐标求面积，代一次即可。开方后按象限取舍，题干未限定象限时两支的解都要写出。 【教学提醒】板演把三角形面积算式写全（底 、高 ），学生常把底写成 ，结果差一倍。变式4-1 与变式4-2 的 分别是 与 ，回代后一个 为有理数、一个带根号，正好对照“何时开得尽”，可让学生先猜再算。 【典例4-1】（原创改编） 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在第一象限内的双曲线上，且 的面积为 ，求点 的坐标。 解析：，由 得 。 在第一象限，取 。 代入双曲线方程：，得 。 故 。回验：，与题设相符。 参考答案： 【学情易错提醒】把面积写成 的最多：底取了 而非 ， 随之翻倍成 ，回代后 变成一个带根号的怪数，与选项对不上。 【变式4-1】 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在第一象限内的双曲线上，且 的面积为 ，求点 的坐标。 解析：，由 得 。 代入得 ，。 故 。这一问开得尽，是因为 恰好是完全平方。 参考答案： 【变式4-2】 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在第一象限内的双曲线上，且 的面积为 ，求点 的坐标。 解析：，由 得 。 代入得 ，。 故 。这一问开不尽，答案带根号，属正常情形，不必回改题目。 参考答案： 第四部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（单选）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线的右支上，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 解析：，，右支上 。 回验：，右支上 的最小值为 ， 合乎要求。 参考答案：A 2．（单选）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线上，且 ，则 的面积为（　　） A． B． C． D． 解析：，，。 与椭圆的 不同，此处 在分母， 时两式同值，故答案仍为 。 参考答案：B 3．（单选）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线上，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 解析：，，。由 ，代入 得 。 回验： 与乘积 联立，解得 、；此时 ，确为 。 干扰项：漏掉分母得 ；把分母写成 得 ；把 一并乘进去得 。 参考答案：D 4．（单选）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线的右支上，则 内切圆与 轴的切点横坐标为（　　） A． B． C． D． 解析：由切点结论，切点横坐标等于 ，即 。 与 的位置无关：，，故 。 参考答案：A 5．（填空）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线上，且 ，则 的面积为______。 解析：，，。 一般地，双曲线焦点三角形在顶角为直角时面积为 ，与椭圆同一结论。 参考答案： 6．（多选）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、， 为坐标原点，点 在双曲线上，则下列说法正确的是（　　） A．离心率为 B．实轴长为 C． 时， 的面积为 D．存在点 ，使 解析：A ，，，正确。 B 实轴长 ，正确。 C ， 时面积为 ，不是 ，错误。 D 时 ，配合 可解出正数解，故存在，正确。 参考答案：ABD 7．（解答）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线的右支上。（1）若 ，求 的面积；（2）若 ，求 与 的面积。 解析：（1），，。 （2）由 得 ，即 ，。 于是 。回验：，两式一致。 参考答案：（1）；（2），面积 二、培优小练（15 分钟） 8．（单选）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线的右支上，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 解析：，，由 与 得 ，。 ，，由余弦定理 。 参考答案：A 9．（单选）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线上，若 的面积为 ，则 （　　） A． B． C． D． 解析：，由 得 。 故 ，。面积比 小，说明顶角大于直角，与 相符。 参考答案：C 10．（多选）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线上，则下列说法正确的是（　　） A．离心率为 B．实轴长为 C． 时， 的面积为 D．存在点 ，使 解析：A ，，，正确。 B 实轴长 ，正确。 C ，顶角为直角时面积为 ，正确。 D 由 与 得 ；但双曲线上 的最小值为 ，，故不存在，错误。 参考答案：ABC 11．（填空）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线上，且 ，则 的面积为______。 解析：，，。 校验：，，一致。 参考答案： 12．（解答）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线的右支上。（1）若 ，求 的面积与 ；（2）若 的面积为 ，求 ；（3）判断 能否为等边三角形，说明理由。 解析：（1），，；。 （2）由 得 ，故 ，。 （3）不能。等边三角形要求 ，而点 在右支上恒有 ，两者矛盾。双曲线的焦点三角形两边之差恒为 ，故它不可能是等腰三角形（以两条焦半径为腰），也不可能是等边三角形。 参考答案：（1）面积 ，；（2）；（3）不能，两条焦半径之差恒为 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题：双曲线焦点三角形模型 学生版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题安排在“双曲线的简单几何性质”之后，与 01 椭圆焦点三角形互为对照。椭圆的骨架是“和为定值”，双曲线换成“差为定值”，三角形的三条边关系随之改写：面积由 变为它的倒数 ；顶角没有上界；两条焦半径不再受 约束，而受“点在哪一支”约束。这四处差别讲透，学生手里就有一张可对照的表，不必另起一套记法。 考查形式：近五年全国卷与新高考卷中，本考点以三种形式出现：选填题给顶角或面积，一问一步，数值多含 ；解答题把它放在第（1）问，作为后续联立的前置；多选题常把“某点是否存在”与面积、离心率混在一道里，判分点在于是否用 这个下界做检验。 第二部分　记·模型与结论 一、差为定值，符号看支 双曲线的定义给出的是差：右支上 ，左支上 。求两条焦半径，把这一式与题给的倍数、和或差并列，解一次方程组即可，符号由 所在的支决定。 由定义还能读出两条焦半径的下界：右支上 ，，左支相反。解出的值小于对应下界，说明这样的点不存在——多选题的“是否存在”一类，几乎都靠这一句判。 二、面积是椭圆版的倒数 设 。由余弦定理与 相减，得两条焦半径之积；再乘 ，面积公式随之落定。 与椭圆的 只差“ 在分子还是分母”。混用时代入 自检：两式都应给出 ，此时分不出对错，须换一个角再试。 三、顶角没有上界 取遍 ：面积 可以任意大，也可以任意接近 ，对应的顶角随之从接近 走到接近 。这一点与椭圆不同，后者顶角有最大值，由 与 的大小决定。 所以双曲线的题目不问“顶角的最大值”，只问“给顶角求面积”“给面积求顶角”“是否存在某个顶角”。见到“最大顶角”一类的设问，通常是把椭圆的做法套了过来。 四、内切圆切于实轴顶点 设内切圆与 相切于 。由切线长相等， 与 、 的差只差一个 ，代入定义即得 ，于是 的横坐标为 （右支）或 （左支），与 的位置无关。 半径仍用 ，其中 。两条焦半径之和不像椭圆那样恒为 ，须先由面积或顶角求出，再回代。 五、面积与坐标互为翻译 以 为底，高就是 的纵坐标的绝对值，故面积只与 和 有关。给面积求坐标，先得 ，再回代方程解 ；给坐标求面积，代一次即可。 开方后按象限取舍：题干写明“第一象限”就取正；只说“在双曲线上”，则两支各有一点，共四个解，答题时须写全。 第三部分　破·典型题型 题型一　定义拆分：差为定值 【解题技巧】双曲线的定义给的是差，不是和。求两条焦半径，先把 与题给的倍数关系并列，解一次方程组；符号由支决定，右支取 ，左支相反。解出后回验下界 （右支），小于它说明该点不存在。 【典例1-1】（原创改编） 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线的右支上，且 ，求 。 【变式1-1】 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线的左支上，且 ，求 。 【变式1-2】 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线的右支上，且 ，求 与 。 题型二　焦点三角形的面积 【解题技巧】面积公式为 ，与椭圆的 恰成倒数。给顶角求面积、给面积求顶角，均一步可得，无须先求两条焦半径。 时两式都给出 ，可作校验，但验不出分子分母是否颠倒，须再代一个角。 【典例2-1】（原创改编） 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线上，且 ，求 的面积。 【变式2-1】 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线上，且 ，求 的面积。 【变式2-2】 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线上，若 的面积为 ，求 。 题型三　内切圆切于实轴顶点 【解题技巧】设内切圆与 相切于 ，由切线长相等得 ，故 的横坐标为 （右支）或 （左支），与 无关。半径仍由 求得，此处半周长含两条焦半径之和，不像椭圆那样恒为 。 【典例3-1】（原创改编） 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线的右支上，求 内切圆与 轴的切点坐标。 【变式3-1】 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线的右支上，且 ，求 内切圆的半径。 【变式3-2】 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线的左支上，求 内切圆与 轴的切点坐标。 题型四　面积与坐标的互推 【解题技巧】以 为底，高为 ，故 。给面积求坐标，先得 再回代方程；给坐标求面积，代一次即可。开方后按象限取舍，题干未限定象限时两支的解都要写出。 【典例4-1】（原创改编） 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在第一象限内的双曲线上，且 的面积为 ，求点 的坐标。 【变式4-1】 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在第一象限内的双曲线上，且 的面积为 ，求点 的坐标。 【变式4-2】 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在第一象限内的双曲线上，且 的面积为 ，求点 的坐标。 第四部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（单选）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线的右支上，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 2．（单选）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线上，且 ，则 的面积为（　　） A． B． C． D． 3．（单选）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线上，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 4．（单选）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线的右支上，则 内切圆与 轴的切点横坐标为（　　） A． B． C． D． 5．（填空）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线上，且 ，则 的面积为______。 6．（多选）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、， 为坐标原点，点 在双曲线上，则下列说法正确的是（　　） A．离心率为 B．实轴长为 C． 时， 的面积为 D．存在点 ，使 7．（解答）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线的右支上。（1）若 ，求 的面积；（2）若 ，求 与 的面积。 二、培优小练（15 分钟） 8．（单选）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线的右支上，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 9．（单选）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线上，若 的面积为 ，则 （　　） A． B． C． D． 10．（多选）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线上，则下列说法正确的是（　　） A．离心率为 B．实轴长为 C． 时， 的面积为 D．存在点 ，使 11．（填空）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线上，且 ，则 的面积为______。 12．（解答）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线的右支上。（1）若 ，求 的面积与 ；（2）若 的面积为 ，求 ；（3）判断 能否为等边三角形，说明理由。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $