2.2.2 双曲线的简单几何性质(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

2.2　双曲线的简单几何性质

　　

　　如图，冷却水塔的外形是双曲线的一部分，那么如何利用双曲线的性质，研究建造冷却水塔呢？

　

【问题】　（1）从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么是否与椭圆一样有范围限制？

（2）双曲线是不是轴对称图形？对称轴是哪条直线？是不是中心对称图形？对称中心是哪个点？

　　　　　　　　　　　　　　　　　                                    　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　                                    　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点　双曲线的几何性质

提醒：（1）椭圆与双曲线的离心率都是e，但其范围不一样，椭圆的离心率0＜e＜1，而双曲线的离心率e＞1；（2）当双曲线C的方程确定后，该双曲线就存在两条直线l及l'，使得双曲线C趋向无穷远处时，与直线l、l'愈来愈近，但始终不相交，则直线l与l'为双曲线C的渐近线；（3）实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其方程可写为x2－y2＝m（m＞0），它的渐近线方程为y＝±x.

【想一想】

1.椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画了双曲线的什么几何特征？

2.椭圆的离心率越大越扁平，双曲线的离心率与开口大小有什么关系？

3.在双曲线－＝1（a＞0，b＞0）中，焦点F1（c，0）到渐近线的距离是多少？

1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）共渐近线的双曲线的离心率相同.（　　）

（2）双曲线－＝1与－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线相同.（　　）

（3）实轴和虚轴相等的双曲线的渐近线互相垂直，离心率e＝.（　　）

（4）双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点.（　　）

2.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是（　　）

A.x2－y2＝8 B.x2－y2＝4

C.y2－x2＝8 D.y2－x2＝4

3.〔一题多解〕（2022·北京卷12题）已知双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝　　　　.

4.若双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是　　　　.

　　

题型一　双曲线的几何性质

求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.

尝试解答

【母题探究】

　（变条件、变设问）若将本例中双曲线的方程变为nx2－my2＝mn（m＞0，n＞0），求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.

通性通法

由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤

（1）把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键；

（2）由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；

（3）由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.

提醒：求性质时一定要注意焦点的位置.

已知双曲线－＝1与－＝1，下列说法正确的是（　　）

A.两个双曲线有公共顶点

B.两个双曲线有公共焦点

C.两个双曲线有公共渐近线

D.两个双曲线的离心率相等

题型二　求双曲线的渐近线

如图，已知F1，F2为双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，则双曲线的渐近线方程为　　　　.

尝试解答