2.2.2 双曲线的简单几何性质(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

该高中数学导学案聚焦双曲线的简单几何性质，通过冷却水塔实际问题导入，对比椭圆性质提出范围、对称性等探究问题，搭建从椭圆到双曲线的学习支架，引导学生系统掌握标准方程、焦点、范围等几何性质。 以直观想象和数学运算为核心，结合实际情境激发学习兴趣，通过对比椭圆培养数学思维，题型分层设计（母题探究、一题多解）提升解题能力，自我诊断与随堂检测强化应用意识，助力学生构建知识体系，发展数学核心素养。

2.2　双曲线的简单几何性质 课标 要求 1.了解双曲线的几何图形及简单几何性质（直观想象）. 2.通过双曲线的方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解双曲线的简单应用（数学运算）. 　　 　　如图，冷却水塔的外形是双曲线的一部分，那么如何利用双曲线的性质，研究建造冷却水塔呢？ 　 【问题】　（1）从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么是否与椭圆一样有范围限制？ （2）双曲线是不是轴对称图形？对称轴是哪条直线？是不是中心对称图形？对称中心是哪个点？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　双曲线的几何性质 标准方程 －＝1（a＞0，b＞0） －＝1（a＞0，b＞0） 性质 图形 焦点 　　　　　 　　　　　 焦距 　　　　　 范围 　　　　　　或 　　　　　　，y∈　　　　　 　　　　　　或 　　　　　　，x∈　　　　 对称性 对称轴：　　　　；对称中心：　　　　 顶点 　　　　　 　　　　　 轴 实轴：线段　　　　，长：　　； 虚轴：线段　　　　，长：　　； 实半轴长：　　，虚半轴长：　　 离心率 e＝　　　　∈　　　　 渐近线 　　　 　　　 提醒：（1）椭圆与双曲线的离心率都是e，但其范围不一样，椭圆的离心率0＜e＜1，而双曲线的离心率e＞1；（2）当双曲线C的方程确定后，该双曲线就存在两条直线l及l'，使得双曲线C趋向无穷远处时，与直线l、l'愈来愈近，但始终不相交，则直线l与l'为双曲线C的渐近线；（3）实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其方程可写为x2－y2＝m（m＞0），它的渐近线方程为y＝±x. 【想一想】 1.椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画了双曲线的什么几何特征？ 2.椭圆的离心率越大越扁平，双曲线的离心率与开口大小有什么关系？ 3.在双曲线－＝1（a＞0，b＞0）中，焦点F1（c，0）到渐近线的距离是多少？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）共渐近线的双曲线的离心率相同.（　　） （2）双曲线－＝1与－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线相同.（　　） （3）实轴和虚轴相等的双曲线的渐近线互相垂直，离心率e＝.（　　） （4）双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点.（　　） 2.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是（　　） A.x2－y2＝8 B.x2－y2＝4 C.y2－x2＝8 D.y2－x2＝4 3.〔一题多解〕（2022·北京卷12题）已知双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝　　　　. 4.若双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是　　　　. 　　 题型一　双曲线的几何性质 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程. 尝试解答 【母题探究】 　（变条件、变设问）若将本例中双曲线的方程变为nx2－my2＝mn（m＞0，n＞0），求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程. 通性通法 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 （1）把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键； （2）由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值； （3）由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质. 提醒：求性质时一定要注意焦点的位置. 已知双曲线－＝1与－＝1，下列说法正确的是（　　） A.两个双曲线有公共顶点 B.两个双曲线有公共焦点 C.两个双曲线有公共渐近线 D.两个双曲线的离心率相等 题型二　求双曲线的渐近线 如图，已知F1，F2为双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，则双曲线的渐近线方程为　　　　. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 1.已知双曲线的标准方程求渐近线方程的方法 （1）当焦点在x轴上时，即－＝1（a＞0，b＞0），则该双曲线的渐近线方程为y＝±x； （2）当焦点在y轴上时，即－＝1（a＞0，b＞0），则该双曲线的渐近线方程为y＝±x. 2.共渐近线的双曲线方程的设法 已知双曲线方程－＝1（a＞0，b＞0），渐近线方程为－＝0，与其共渐近线的双曲线方程为－＝λ. （1）当λ＞0时，双曲线的焦点在x轴上； （2）当λ＜0时，双曲线的焦点在y轴上. 特别地，当λ＝－1时，双曲线－＝1（a＞0，b＞0）与－＝1（a＞0，b＞0）互为共轭双曲线； 当x2－y2＝λ（λ≠0）时，该双曲线称为等轴双曲线，它的渐近线为y＝±x. 1.设双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（　　） A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±2x D.y＝±x 2.已知双曲线－＝1（b＞0）的焦点到渐近线的距离为5，则该双曲线的渐近线方程为　　　　. 题型三　双曲线的离心率 （1）已知椭圆C1：＋＝1与双曲线C2：－＝1（a＞0，b＞0）有共同的焦点F1，F2，且曲线C1，C2在第一象限内的公共点记为P，若∠F1PF2＝，则双曲线C2的离心率为（　　） A.　　　 B. C.　 　 D. （2）〔一题多解〕（2024·新高考Ⅰ卷12题）设双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若｜F1A｜＝13，｜AB｜＝10，则C的离心率为　　　　. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 求双曲线离心率的两种方法 （1）直接法：若已知a，c，可直接利用e＝求解，若已知a，b，可利用e＝ 求解； （2）方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e＝，转化为关于e的方程求解. 1.已知F1，F2分别为双曲线E：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过原点O的直线l与E交于A，B两点（点A在第一象限），延长AF2交E于点C，若｜BF2｜＝｜AC｜，∠F1BF2＝，则双曲线E的离心率为（　　） A.　　 　 B.2 C.　　 　 D. 2.双曲线－＝1（a＞1，b＞0）的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（－1，0）到直线l的距离之和s≥c，则双曲线的离心率e的取值范围为　　　. 1.已知双曲线C：－＝1的渐近线方程为2x±y＝0，则该双曲线的焦点坐标分别为（　　） A.（3，0），（－3，0） B.（0，3），（0，－3） C.（1，0），（－1，0） D.（0，1），（0，－1） 2.在平面直角坐标系中，经过点P（2，－）且渐近线方程为y＝±x的双曲线的标准方程为（　　） A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 3.若双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（　　） A.x±y＝0 B.x±y＝0 C.x±y＝0 D.x±y＝0 4.已知点（2，3）在双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）上，C的焦距为4，则它的离心率为　　　　. 完成课后作业　第二章　§2　2.2 答案 2.2　双曲线的简单几何性质 【基础落实】 新知初探 知识点 F1（－c，0），F2（c，0）　F1（0，－c），F2（0，c）　｜F1F2｜＝2c　x≤－a　x≥a　R　y≤－a　y≥a　R　坐标轴　原点　A1（－a，0），A2（a，0）　A1（0，－a），A2（0，a）　A1A2　2a　B1B2　2b　a　b　　（1，＋∞）　y＝±x　y＝±x 想一想 1.提示：双曲线的离心率刻画了双曲线的“开口”大小. 2.提示：e＝＝＝＝，又为双曲线渐近线方程的斜率，因此越小，e越小，双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄，即e越小，双曲线的“开口”越小. 3.提示：双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0，则点F1（c，0）到渐近线y＝x的距离为＝＝b. 自我诊断 1.（1）×　（2）×　（3）√　（4）× 2.A　令y＝0，得x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点为（－4，0），∴c＝4，a2＝b2＝c2＝×16＝8，故选A. 3.－3　解析：法一（通解）　依题意得m＜0，双曲线的方程可表示为y2－＝1，此时双曲线的渐近线的斜率为±＝±，解得m＝－3. 法二（优解）　依题意得m＜0，令y2－＝0，得y＝±x＝±x，解得m＝－3. 4.　解析：由题意知渐近线与x轴的夹角θ＝，∴＝tan＝1，∴e＝＝. 【典例研析】 【例1】　解：双曲线的方程化为标准形式是－＝1， ∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝. 又双曲线的焦点在x轴上，∴顶点坐标为（－3，0），（3，0）， 焦点坐标为（－，0），（，0）， 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4， 离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x. 母题探究 解：把方程nx2－my2＝mn（m＞0，n＞0）化为标准方程为－＝1（m＞0，n＞0）， 由此可知，实半轴长a＝，虚半轴长b＝，c＝， 焦点坐标为（，0），（－，0），离心率e＝＝＝， 顶点坐标为（－，0），（，0），所以渐近线方程为y＝±x，即y＝±x. 跟踪训练 C　双曲线－＝1的焦点和顶点都在x轴上，而双曲线－＝1的焦点和顶点都在y轴上，因此可排除选项A、B；双曲线－＝1的离心率e1＝＝，而双曲线－＝1的离心率e2＝＝，因此可排除选项D；易得C正确. 【例2】　y＝±x　解析：设F2（c，0）（c＞0），P（c，y0），则－＝1，解得y0＝±.∴｜PF2｜＝.在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，则｜PF1｜＝2｜PF2｜，①.由双曲线的定义，得｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，②.由①②得｜PF2｜＝2a.∵｜PF2｜＝，∴2a＝，即b2＝2a2.∴＝.∴双曲线的渐近线方程为y＝±x. 跟踪训练 1.B　由已知可得2b＝2，2c＝2，∴b＝1，c＝，∴a＝＝＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x＝±x.故选B. 2.5x±2y＝0　解析：由题意，知b＝5，故该双曲线的渐近线方程为5x±2y＝0. 【例3】　（1）A　（2）　解析：（1）因为椭圆和双曲线有共同的焦点，所以a2＋b2＝49－7＝42，｜F1F2｜＝2，P为两曲线的公共点，所以｜PF1｜＋｜PF2｜＝2＝14，｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，联立得｜PF1｜＝7＋a，｜PF2｜＝7－a，因为∠F1PF2＝，所以 cos∠F1PF2＝＝－，解得a＝，则双曲线的离心率为e＝＝.故选A. （2）法一（直接法） 由｜AB｜＝10及双曲线的对称性得｜AF2｜＝＝5，因为｜AF1｜＝13，所以2a＝｜AF1｜－｜AF2｜＝13－5＝8，2c＝｜F1F2｜＝＝＝12，所以a＝4，c＝6，则C的离心率e＝＝＝. 法二（二级结论） 因为｜AB｜＝10，所以＝10，所以＝＝5，又｜AF1｜＝13，所以｜F1F2｜＝2c＝＝12，得c＝6，所以a2＋5a－36＝0，得a＝4，所以C的离心率e＝＝＝. 跟踪训练 1.A　结合双曲线的对称性可知，∠F1AF2＝，｜AF1｜＝｜AC｜，所以△ACF1为等边三角形，则｜AF1｜＝｜CF1｜，则AC⊥F1F2.由双曲线的定义，得｜AF1｜－｜AF2｜＝2a，所以｜AF1｜＝4a，｜AF2｜＝2a，则＝＝tan＝. 2.　解析：由题意知，直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.由点到直线的距离公式，且a＞1，得点（1，0），（－1，0）到直线l的距离分别为d1＝，d2＝，s＝d1＋d2＝＝.由s≥c，得≥c，即5a≥2c2.于是，得5≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0.解不等式，得≤e2≤5.由于e＞1，故e的取值范围是. 随堂检测 1.B　双曲线C：－＝1的渐近线方程为y＝±x，即2x±by＝0，所以b＝，得b2＝5，所以c2＝a2＋b2＝4＋5＝9.又双曲线C的焦点在y轴上，所以该双曲线的焦点坐标分别为（0，3），（0，－3）.故选B. 2.B　∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴设所求双曲线的方程为2x2－y2＝k.又点P（2，－）在双曲线上，∴k＝16－2＝14，即双曲线的方程为2x2－y2＝14，∴双曲线的标准方程为－＝1. 3.B　由题意可知，e＝2，即＝＝1＋＝4，∴＝，＝，代入渐近线方程y＝±x，得到x±y＝0.故选B. 4.2　解析：由题意知－＝1，c2＝a2＋b2＝4，解得a＝1，所以e＝＝2. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $