微专题求双曲线的标准方程 导学案-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

微专题：求双曲线的标准方程 学生版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：求双曲线的标准方程，是双曲线这一章的入口题。教材给出的顺序是：先用定义或几何条件定 、、 中的两个量，再按焦点所在的轴写出 或 。椭圆那一节的习惯可以整段搬过来，只有一处必须改：椭圆是 ，双曲线是 ， 永远是最大的那个。 考查形式：这一型在选填里占 5 分，在大题里几乎固定是第一问。选填的考法有三种：给两个焦点与一条「距离之差为定值」的条件；给渐近线与一个过点；给「与某椭圆共焦点」再加一个条件。大题的考法则把它和后面的弦长、面积连在一起，第一问算错，第二问全废。真正拉开差距的不是计算量，而是分类是否穷尽：渐近线只说明 与 的比，不说明焦点在哪条轴上，所以由渐近线出发的题常常有两解；「距离之差」少了绝对值，答案就只剩一支。 第二部分　记·模型与结论 一、定义法：先把绝对值与 两件事看清 双曲线的定义是 ，两个竖线一个都不能少。少了外层绝对值，动点只落在一支上——哪一支由「到哪个焦点的距离更大」决定。少了内层的差，写成「距离之和」，那是椭圆。 另一个前提是 。若 ，轨迹退化为两条射线；若 ，这样的点不存在。题目把这两个数给得很接近时，这一步就是考点。 由定义定出 与 之后，，不是 。这一步抄椭圆的公式，后面所有数都会错，而且错得不显眼——方程长得仍然像双曲线。检验的办法是把顶点代进去：双曲线 的顶点是 ，到焦点的距离之差恰为 。 二、待定系数：先定焦点在哪条轴，再列两个方程 焦点在 轴上设 ，焦点在 轴上设 。两个方程的区别只在 压在哪一项，而 是实半轴，对应「顶点所在的轴」。题干里出现「实轴在 轴上」「焦点为 」「顶点为 」，都属于已经把位置说清了。 条件不够时，用 补一个方程：给焦距就多一个 ，给离心率就多一个 ，给渐近线就多一个 。两个方程两个未知量，解出 、 即可。解得两个正根时，要拿「」去筛，多余的那个根正是这一类题刻意留下的分支。 位置没说明、又只过两个点时，可以设 ，其中 、 异号。这样写不必先猜焦点在哪条轴上，代入两点解二元一次方程组即可；解完看谁为正，就知道实轴落在哪条轴上。 时实轴在 轴， 时实轴在 轴。 三、渐近线只定形状，不定位置 双曲线 的两条渐近线是 ，这里 是斜率的绝对值，焦点在哪条轴上并不影响这两条直线的样子。所以「渐近线为 」这一个条件，对应 与 两种可能，方程有两解。 「与已知双曲线有共同渐近线」的题，不必回头算 ，直接把已知方程写成 ，代入过点定 。 时焦点在与原曲线相同的轴上， 时焦点换到另一条轴——这正是同渐近线双曲线系的作用。 的符号还有一个用处：判断过点落在「原曲线那一支的两侧」还是「另一条轴的方向上」。代进去算出的 为负，说明所求双曲线与原来的共轭，焦点已经换轴，这时答案要按换轴后的形式写。 四、共焦点： 是两家共用的那个量 椭圆 （）的 ，双曲线与它共焦点，就有同一个 ，且焦点同在 轴上。双曲线这边 ，于是 ， 一定小于 ——这条不等式是筛根的依据。 设 ，把 代进「过点」的条件，得到的通常是一个关于 的二次方程。两个根里有一个大于 ，对应 ，必须舍去。解得 之后回代求 ，再用 核一遍。 共焦点的题还有一种问法：不求方程，只问「这样的双曲线有几条」。 在 内连续取值，每条 对应一条，所以答案往往是「有无数条」或「恰有两条」，取决于题目对离心率或过点加了什么限制。 五、三处固定丢分点 第一处是焦点位置判断反了。检查办法很省事：把求出的方程里 所在的项拿出来，若 在 底下，焦点就在 轴上，此时渐近线是 ，与 恰好互为倒数。 第二处是比例式平方时写反。由 得 ，平方后是 ，也可以写成 ；写成 对应的其实是 ，代进去就把两条半轴弄颠倒了。验法很简单：取 、 代进自己写的那一式，两边不等就是写反了。 第三处是「距离之差」题里漏掉范围。若条件给的是 而没有绝对值，轨迹只是靠近 的那一支，答案后面必须跟一句 ；不写这一句，轨迹就多出一整支。 这三处的共同点是「答案看起来仍然像一个标准方程」，所以自我检查不能只看形式，要把一个具体点代回去。代入曲线的顶点或题目给的那个点，两边相等，才算过。 第三部分　破·典型题型 题型一　定义法：由距离之差写方程 【解题技巧】先把两个数摆清： 是差， 是两焦点间距。判断 之后再算 。有绝对值即两支，无绝对值只剩一支，答案末尾的范围须随之写出。 【典例1-1】（原创改编） 已知双曲线 的两个焦点为 、，动点 满足 。求 的标准方程。 【变式1-1】（原创改编） 已知双曲线 的两个焦点为 、，动点 满足 。求 的标准方程。 【变式1-2】（原创改编） 在 中，、，且 。求顶点 的轨迹方程。 题型二　待定系数：焦点定位后列两个方程 【解题技巧】先读题干中的位置词：焦距、实轴、顶点、焦点坐标，任何一处出现都说明轴已定。位置未定时改用 。解出两个正根时，以 筛去其一。 【典例2-1】（原创改编） 已知双曲线的焦点在 轴上，焦距为 ，且经过点 。求它的标准方程。 【变式2-1】（原创改编） 已知双曲线的焦点在 轴上，且经过点 与 。求它的标准方程。 【变式2-2】（原创改编） 已知双曲线的焦点在 轴上，实轴长为 ，且经过点 。求它的标准方程。 题型三　由渐近线定形状，过点定大小 【解题技巧】渐近线给出的是 的比值，不含焦点位置，故答案常有两解。「与已知双曲线共渐近线」直接设 ，代入过点解 ； 为负时须换成共轭形式。 【典例3-1】（原创改编） 求与双曲线 有共同渐近线，且经过点 的双曲线方程。 【变式3-1】（原创改编） 已知双曲线的两条渐近线为 ，焦距为 。求它的标准方程。 【变式3-2】（原创改编） 求与双曲线 有共同渐近线，且经过点 的双曲线方程。 题型四　与椭圆共焦点、由离心率定参 【解题技巧】共焦点意味着 相同：椭圆的 ，双曲线须满足 。设 后代入过点条件，解出的两根以 筛。给离心率的题同样只剩一个自由量，。 【典例4-1】（原创改编） 已知双曲线与椭圆 有共同的焦点，且经过点 。求双曲线的标准方程。 【变式4-1】（原创改编） 已知双曲线与椭圆 有共同的焦点，且经过点 。求双曲线的标准方程。 【变式4-2】（原创改编） 已知双曲线 的离心率为 ，且经过点 。求它的标准方程。 第四部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（选择）双曲线 的焦距为（　　） A． B． C． D． 2．（选择）焦点在 轴上，且 、 的双曲线的标准方程是（　　） A． B． C． D． 3．（选择）双曲线 的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 4．（填空）已知双曲线的两条渐近线为 ，且经过点 ，则它的标准方程为 ______。 5．（填空）已知双曲线的焦点在 轴上，实轴长为 ，一条渐近线为 ，则它的标准方程为 ______。 6．（多选）关于双曲线 ，下列说法正确的是（　　） A．焦点为 与 B．渐近线方程为 C．离心率为 D．实轴长为 7．（解答）已知双曲线的焦点在 轴上，焦距为 ，两条渐近线为 。（1）求它的标准方程；（2）求它的焦点坐标与离心率。 二、培优小练（15 分钟） 8．（选择）设 、 为两个定点，动点 满足 ，其中 。则 的轨迹是（　　） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．不存在 9．（填空）已知双曲线的两条渐近线为 ，焦距为 ，则它的标准方程为 ______。 10．（解答）已知双曲线 的离心率为 ，焦距为 。（1）求 的标准方程；（2）若 的焦点在 轴上，求 的渐近线方程。 11．（填空）与双曲线 有共同渐近线，且经过点 的双曲线方程为 ______。 12．（解答）已知 、，动点 满足 。（1）求 的轨迹方程；（2）求 的最小值。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题：求双曲线的标准方程 教师解析版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：求双曲线的标准方程，是双曲线这一章的入口题。教材给出的顺序是：先用定义或几何条件定 、、 中的两个量，再按焦点所在的轴写出 或 。椭圆那一节的习惯可以整段搬过来，只有一处必须改：椭圆是 ，双曲线是 ， 永远是最大的那个。 考查形式：这一型在选填里占 5 分，在大题里几乎固定是第一问。选填的考法有三种：给两个焦点与一条「距离之差为定值」的条件；给渐近线与一个过点；给「与某椭圆共焦点」再加一个条件。大题的考法则把它和后面的弦长、面积连在一起，第一问算错，第二问全废。真正拉开差距的不是计算量，而是分类是否穷尽：渐近线只说明 与 的比，不说明焦点在哪条轴上，所以由渐近线出发的题常常有两解；「距离之差」少了绝对值，答案就只剩一支。 第二部分　记·模型与结论 一、定义法：先把绝对值与 两件事看清 双曲线的定义是 ，两个竖线一个都不能少。少了外层绝对值，动点只落在一支上——哪一支由「到哪个焦点的距离更大」决定。少了内层的差，写成「距离之和」，那是椭圆。 另一个前提是 。若 ，轨迹退化为两条射线；若 ，这样的点不存在。题目把这两个数给得很接近时，这一步就是考点。 由定义定出 与 之后，，不是 。这一步抄椭圆的公式，后面所有数都会错，而且错得不显眼——方程长得仍然像双曲线。检验的办法是把顶点代进去：双曲线 的顶点是 ，到焦点的距离之差恰为 。 二、待定系数：先定焦点在哪条轴，再列两个方程 焦点在 轴上设 ，焦点在 轴上设 。两个方程的区别只在 压在哪一项，而 是实半轴，对应「顶点所在的轴」。题干里出现「实轴在 轴上」「焦点为 」「顶点为 」，都属于已经把位置说清了。 条件不够时，用 补一个方程：给焦距就多一个 ，给离心率就多一个 ，给渐近线就多一个 。两个方程两个未知量，解出 、 即可。解得两个正根时，要拿「」去筛，多余的那个根正是这一类题刻意留下的分支。 位置没说明、又只过两个点时，可以设 ，其中 、 异号。这样写不必先猜焦点在哪条轴上，代入两点解二元一次方程组即可；解完看谁为正，就知道实轴落在哪条轴上。 时实轴在 轴， 时实轴在 轴。 三、渐近线只定形状，不定位置 双曲线 的两条渐近线是 ，这里 是斜率的绝对值，焦点在哪条轴上并不影响这两条直线的样子。所以「渐近线为 」这一个条件，对应 与 两种可能，方程有两解。 「与已知双曲线有共同渐近线」的题，不必回头算 ，直接把已知方程写成 ，代入过点定 。 时焦点在与原曲线相同的轴上， 时焦点换到另一条轴——这正是同渐近线双曲线系的作用。 的符号还有一个用处：判断过点落在「原曲线那一支的两侧」还是「另一条轴的方向上」。代进去算出的 为负，说明所求双曲线与原来的共轭，焦点已经换轴，这时答案要按换轴后的形式写。 四、共焦点： 是两家共用的那个量 椭圆 （）的 ，双曲线与它共焦点，就有同一个 ，且焦点同在 轴上。双曲线这边 ，于是 ， 一定小于 ——这条不等式是筛根的依据。 设 ，把 代进「过点」的条件，得到的通常是一个关于 的二次方程。两个根里有一个大于 ，对应 ，必须舍去。解得 之后回代求 ，再用 核一遍。 共焦点的题还有一种问法：不求方程，只问「这样的双曲线有几条」。 在 内连续取值，每条 对应一条，所以答案往往是「有无数条」或「恰有两条」，取决于题目对离心率或过点加了什么限制。 五、三处固定丢分点 第一处是焦点位置判断反了。检查办法很省事：把求出的方程里 所在的项拿出来，若 在 底下，焦点就在 轴上，此时渐近线是 ，与 恰好互为倒数。 第二处是比例式平方时写反。由 得 ，平方后是 ，也可以写成 ；写成 对应的其实是 ，代进去就把两条半轴弄颠倒了。验法很简单：取 、 代进自己写的那一式，两边不等就是写反了。 第三处是「距离之差」题里漏掉范围。若条件给的是 而没有绝对值，轨迹只是靠近 的那一支，答案后面必须跟一句 ；不写这一句，轨迹就多出一整支。 这三处的共同点是「答案看起来仍然像一个标准方程」，所以自我检查不能只看形式，要把一个具体点代回去。代入曲线的顶点或题目给的那个点，两边相等，才算过。 第三部分　破·典型题型 题型一　定义法：由距离之差写方程 【解题技巧】先把两个数摆清： 是差， 是两焦点间距。判断 之后再算 。有绝对值即两支，无绝对值只剩一支，答案末尾的范围须随之写出。 【教学提醒】板演时把「焦点在哪条轴」单写一行。两个焦点都在 轴上时， 要压在 底下，这是本节第一次换轴，正好用来立规矩。变式 1-2 是三角形背景，去掉绝对值，专门训练单支与范围。 【典例1-1】（原创改编） 已知双曲线 的两个焦点为 、，动点 满足 。求 的标准方程。 解析：先核两个数：，而差的绝对值为 ，满足 ，故轨迹是双曲线，且 、、。 由 得 。两个焦点都在 轴上，故实轴在 轴上，方程为 。 回验：取顶点 ，它到 的距离为 ，到 的距离为 ，差为 ，与题设一致；再取 得 ，，到 的距离为 ，到 的距离为 ，差为 ，仍成立。 参考答案：。 【学情易错提醒】把 写成 ，是抄椭圆公式的后果。双曲线里 最大， 一定为正，算出来是负数就说明公式用错了。 【变式1-1】（原创改编） 已知双曲线 的两个焦点为 、，动点 满足 。求 的标准方程。 解析：，故 、，。 两条轴换位：焦点在 轴上， 压在 底下，方程为 。 回验：顶点 到 、 的距离分别为 与 ，差为 ，符合；渐近线为 ，与 一致。 参考答案：。 【学情易错提醒】焦点在 轴上时仍写成 ，是把「 是实半轴」误当成「 一定在 项底下」。实半轴对应顶点所在的轴，顶点在哪条轴上， 就压在哪一项。 【变式1-2】（原创改编） 在 中，、，且 。求顶点 的轨迹方程。 解析：没有外层绝对值，说明 到 的距离比到 的距离大， 靠近 ，轨迹只是靠近 的那一支。，故 、、。 焦点在 轴上，方程为 。又因 在靠近 的一侧，。顶点 确实满足 ，但它落在 上，、、 三点共线，构不成三角形，须排除，故 。 回验：取 得 ，。取 ，，，差为 ，成立。 参考答案：。 【学情易错提醒】只写 而不写范围，等于把另一支也算进了轨迹；写成 又会把 上的点 算进来，正确的范围是 。题干没有绝对值，这半个平面与端点的开闭都得由条件本身补回来。 题型二　待定系数：焦点定位后列两个方程 【解题技巧】先读题干中的位置词：焦距、实轴、顶点、焦点坐标，任何一处出现都说明轴已定。位置未定时改用 。解出两个正根时，以 筛去其一。 【教学提醒】典例 2-1 会解出 与 两个根， 使 ，必须舍。这一步让学生自己判断，比教师直接说「舍去」有用。变式 2-1 用两点定方程，正好演示 的省事之处。 【典例2-1】（原创改编） 已知双曲线的焦点在 轴上，焦距为 ，且经过点 。求它的标准方程。 解析：焦距 给出 、，故 。设 ，则 ，且 。 代入 ：，去分母得 ，整理为 ，即 。 使 ，舍去； 时 。 故方程为 。回验：，点确在曲线上；，焦距确为 。 参考答案：。 【学情易错提醒】两个根都留下，写出两条双曲线，是这一型最常见的错。双曲线的 必须小于 ， 即可判定不合，判断依据要写在卷面上。 【变式2-1】（原创改编） 已知双曲线的焦点在 轴上，且经过点 与 。求它的标准方程。 解析：焦点在 轴上，设 。代入 得 ，即 。 再代入 ：，得 ，故 。 故方程为 。回验：，第二点确在曲线上；，，焦点为 ，在 轴上，与题设一致。 参考答案：。 【学情易错提醒】点 落在 轴上，它到原点的距离正好是实半轴 ，所以这一问实际上把 直接送了出来。若没看出这一点，改设 也能解，只是多算一步。 【变式2-2】（原创改编） 已知双曲线的焦点在 轴上，实轴长为 ，且经过点 。求它的标准方程。 解析：实轴长 ，故 、。设方程为 。 代入 ：，得 ，故 。 故方程为 ，这是一条等轴双曲线，离心率 。回验：，成立。 参考答案：。 【学情易错提醒】把「实轴长」当成 ，是这类题最普遍的一处。实轴长是 ，顶点之间的距离；只有「实半轴长」才等于 。数字恰好凑成 时，后面全盘偏移。 题型三　由渐近线定形状，过点定大小 【解题技巧】渐近线给出的是 的比值，不含焦点位置，故答案常有两解。「与已知双曲线共渐近线」直接设 ，代入过点解 ； 为负时须换成共轭形式。 【教学提醒】变式 3-1 只给渐近线与焦距，两解必须都写。教师可以把两条曲线画在同一坐标里，两条渐近线完全相同，学生才会接受「渐近线不定轴」这件事。变式 3-2 演示 时换轴。 【典例3-1】（原创改编） 求与双曲线 有共同渐近线，且经过点 的双曲线方程。 解析：同渐近线的双曲线可统一写成 ， 时就是已知的那条。 代入 ：，故 。 方程为 ，即 。回验：，点在曲线上；两渐近线为 ，与原曲线相同。 参考答案：。 【学情易错提醒】直接把 当成 或 往上套，是最容易出错的一步。 只是这个系的参数，化成标准形式还要把右边除以 ，、 而不是 、。 【变式3-1】（原创改编） 已知双曲线的两条渐近线为 ，焦距为 。求它的标准方程。 解析：焦距 给 。渐近线只定 的比值，焦点在哪条轴上要分两种情形。 情形一，焦点在 轴上：，即 ，代入 得 、、，方程为 。 情形二，焦点在 轴上：此时渐近线为 ，故 ，即 ，得 、、，方程为 。两解互为一对共轭双曲线，渐近线完全相同。 参考答案： 或 。 【学情易错提醒】只写一个解，是渐近线型题目的固定失分点。题干没有说焦点在哪条轴上，而渐近线本身关于两条轴都对称，两种位置都合法，答案必须并列写出。 【变式3-2】（原创改编） 求与双曲线 有共同渐近线，且经过点 的双曲线方程。 解析：设 。代入 ：，故 。 为负，说明所求曲线与已知曲线共轭，焦点换到 轴上。把 代回，得 。 回验：，点在曲线上；渐近线由 得 ，与原来那两条相同。 参考答案：。 【学情易错提醒】算出 后仍写成 就交卷，形式上没错但没化成标准式，焦点位置也没交代。标准方程要求右边是 ，把负号搬到左边即可。 题型四　与椭圆共焦点、由离心率定参 【解题技巧】共焦点意味着 相同：椭圆的 ，双曲线须满足 。设 后代入过点条件，解出的两根以 筛。给离心率的题同样只剩一个自由量，。 【教学提醒】典例 4-1 与变式 4-1 都会出现「一根超过 」，两次重复是为了让学生形成条件反射。变式 4-2 改由离心率给关系， 一句话就把两个未知量压成一个。 【典例4-1】（原创改编） 已知双曲线与椭圆 有共同的焦点，且经过点 。求双曲线的标准方程。 解析：椭圆中 ，，焦点为 。双曲线与它共焦点，故焦点也在 轴上，且 。 设 ，，代入 ：，去分母得 ，整理为 ，即 。 ，使 ，舍去； 时 。方程为 。回验：；，与椭圆同焦点。 参考答案：。 【学情易错提醒】共焦点题里最容易错的是把 也算成 。椭圆与双曲线的 是同一个量，但椭圆里 最大、双曲线里 最大，两边的 、 含义并不相通，只能共用 。 【变式4-1】（原创改编） 已知双曲线与椭圆 有共同的焦点，且经过点 。求双曲线的标准方程。 解析：椭圆中 ，焦点为 ，故双曲线满足 且焦点在 轴上。 设 ，，代入 ：，去分母得 ，整理为 ，即 。 舍去， 时 。方程为 。回验：；，确与椭圆同焦点。 参考答案：。 【学情易错提醒】筛根的依据要写出来：双曲线的 给出 。 与 一比即可，不必真的把 算出来。 【变式4-2】（原创改编） 已知双曲线 的离心率为 ，且经过点 。求它的标准方程。 解析： 给出 ，故 。两个未知量压成一个，方程可写成 。 代入 ：，即 ，故 、。 方程为 。回验：，点在曲线上；，，与题设一致。 参考答案：。 【学情易错提醒】由 直接写 、 是错的。离心率只管比值， 与 同时放大两倍， 不变。正确做法是保留 ，用 把 换掉。 第四部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（选择）双曲线 的焦距为（　　） A． B． C． D． 解析：，故 ，焦距 。 选项 C 是 ，来自把 算错；本题 。 参考答案：B 2．（选择）焦点在 轴上，且 、 的双曲线的标准方程是（　　） A． B． C． D． 解析：焦点在 轴上，实半轴压在 底下，故写成 ，即 。 检查 ：，，符合双曲线中 最大的要求。B 项把 、 换位， 与 也算得通，但实轴就变成 而不是 ；D 项是椭圆。 参考答案：A 3．（选择）双曲线 的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 解析：焦点在 轴上，渐近线为 。这里 、，故 、，。 所以 。A 项是把 当成了 ，那是对焦点在 轴的情形。 参考答案：B 4．（填空）已知双曲线的两条渐近线为 ，且经过点 ，则它的标准方程为 ______。 解析： 或 ，两种位置都给同两条渐近线。先试焦点在 轴上，此时 ，设 。 代入 ：，故 ，方程为 。 再试焦点在 轴上，设 ，代入得 ，，无解。故只有一解。 参考答案： 5．（填空）已知双曲线的焦点在 轴上，实轴长为 ，一条渐近线为 ，则它的标准方程为 ______。 解析：实轴长 ，故 。焦点在 轴上时渐近线为 ，由 得 。 方程为 。回验：渐近线由 得 ，符合；顶点 到原点的距离为 ，也对。 参考答案： 6．（多选）关于双曲线 ，下列说法正确的是（　　） A．焦点为 与 B．渐近线方程为 C．离心率为 D．实轴长为 解析：、，故 、、、，焦点为 ，A 正确。 渐近线 ，B 正确。离心率 ，C 的 是 ，错误。实轴长 ，D 正确。 参考答案：ABD 7．（解答）已知双曲线的焦点在 轴上，焦距为 ，两条渐近线为 。（1）求它的标准方程；（2）求它的焦点坐标与离心率。 解析：（1）焦距 给 。焦点在 轴上时渐近线为 ，故 ，即 。 代入 ：，即 ，得 、。方程为 。 （2），焦点在 轴上，故焦点为 与 ；。回验：渐近线由 得 ，与题设一致。 参考答案：（1）；（2）焦点为 ，离心率 。 二、培优小练（15 分钟） 8．（选择）设 、 为两个定点，动点 满足 ，其中 。则 的轨迹是（　　） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．不存在 解析：外层有绝对值， 到两定点的距离之差可以是 ，也可以是 ，两种情形各给一支，合起来是完整的双曲线。 若去掉外层绝对值，条件只保留「到 更远」，轨迹就只剩一支，即选项 B。若 ，轨迹退化为两条射线，对应选项 C。 参考答案：A 9．（填空）已知双曲线的两条渐近线为 ，焦距为 ，则它的标准方程为 ______。 解析：焦距 给 ，故 。渐近线不含焦点位置，须分两种情形。 焦点在 轴上：，设 、，由 得 ，、，方程为 。 焦点在 轴上：，设 、，同样得 ，、，方程为 。两解互为共轭。 参考答案： 或 10．（解答）已知双曲线 的离心率为 ，焦距为 。（1）求 的标准方程；（2）若 的焦点在 轴上，求 的渐近线方程。 解析：（1）焦距 给 ；，故 、，。 焦点位置未定，两解： 或 。回验：两式的 ，，均符合。 （2）焦点在 轴上时取 ，渐近线为 。 参考答案：（1） 或 ；（2）。 11．（填空）与双曲线 有共同渐近线，且经过点 的双曲线方程为 ______。 解析：设所求方程为 。代入 ：，故 。 方程为 ，即 。回验：，点在曲线上。 参考答案： 12．（解答）已知 、，动点 满足 。（1）求 的轨迹方程；（2）求 的最小值。 解析：（1），故 、、。没有外层绝对值， 到 更远，轨迹是靠近 的那一支。方程为 。 （2）由条件 ，要使 最小，只需 最小。 在右支上，到右焦点 的距离最小值为 ，在顶点 处取到。 故 的最小值为 。回验：取 ，、，差为 ，符合。 参考答案：（1）；（2）。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $