第3章 圆（练习卷1） 2026-2027学年苏科版数学九年级上学期期中复习（江苏南京）

2026-2027学年苏科版数学九年级上学期 南京期中 第3章 圆（练习卷1） 参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1. A 2. B 3. C 4. B 5. A 6. C 7. C 8. B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请把答案直接填写在横线上） 9. 10. 11. 12. 13. 110 14. 三、解答题（本大题共6小题，共58分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1） 证明：连接，连接交于点H，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； （2） 16. 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 17. （1） 如图①，和为所作； （2） 如图②，和为所作． 18. （1）54；（2）；（3） 19. （1） 解：， ． ， ． ． （2） 解：连接． ， ． ． ． 20. （1） （2） （3） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年苏科版数学九年级上学期 南京期中 第3章 圆（练习卷1） 考试时间：60 分钟　　满分：100分　　命题范围：第3章 圆 班级：________　姓名：________　学号：________　得分：________ 注意事项： 1. 本卷共 3 大题，20 小题，满分 100分，考试时间 60分钟。 2. 答题前请将班级、姓名、学号填写在密封线内。 3. 选择题用 2B 铅笔填涂，非选择题用 0.5mm 黑色签字笔作答。 4. 作图题先用铅笔作图，确认后再用签字笔描黑。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1. （2025 建邺 期中）已知的直径为，点在外，则长可能是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，在中，以为圆心，为半径画分别交，于点，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，的周长为26，，与三边分别相切于点，，，若，则的长为（　　） A. 4 B. C. 5 D. 4. （2025 秦淮 期中）如图，在地球上，两地经度相同，纬度分别为（即）和（即）．已知地球的半径约为，则地球表面两地的距离（即的长）约为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，将沿着弦所在直线折叠，交弦于点，连接．若 ，则的长度是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，C，D是上位于异侧的两点．若C是的中点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. （2025 南京 联合体 期中）如图，是的直径，弦半径于点E，P为直径上一动点，若C为的中点，，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. 6 D. 8. 如图，四边形是的内接四边形，若，，则等于( ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请把答案直接填写在横线上） 9. 四边形是的内接四边形，若，则______． 10. （2025 建邺 期中）如图，在正八边形中，若，则_______． 11. 如图，在四边形中，，若，，则______． 12. 如图，弓形纸片所在的半径为为弦．将纸片沿折叠，若折叠后与相切，则的取值范围是_______． 13. （2025 秦淮 期中）如图，四边形内接于，延长交于点．若，则________°． 14. 已知，是的弦，，，若，则的半径是________． 三、解答题（本大题共6小题，共58分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （2025 建邺 期中）如图，是的直径，点在上，是的中点，过点作，垂足为点．（8分） （1）求证：是的切线； （2）过点作弦，若，求的长． 16. 如图，点在上，，．求证．（8分） 17. 已知是的弦，分别根据下列要求，用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．（10分） （1）如图①，点在上，作弦，使； （2）如图②，点在内，过点作弦，使． 18. （1）某冰激凌纸筒展开后得到半径为，弧长为的扇形，则该纸筒的侧面积为____；（10分） （2）如图①，某纸杯展开它的侧面得到扇环（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分），其中的长为的长为的长为．求扇环的面积： （3）如图②，梯形面积为，扇环面积为，且等于的长，等于的长，，则______（选填“”、“”或“”）． 19. 如图，点A，B，C，D在上，．分别交，于点E，F．（10分） （1）求证：； （2）求证：． 20. （2025 建邺 期中）某型号路由器的信号覆盖范围是半径为的圆形区域．现需要为正方形场地布置该型号的路由器，使信号覆盖场地的每个区域．（12分） （1）如图①，在点处布置一台路由器，则正方形场地边长的最大值是______； （2）如图②，在点处各布置一台路由器，且．请画出最大正方形场地的示意图，并求此时正方形场地的边长： （3）若布置三台路由器，则正方形场地边长的最大值是_____． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年苏科版数学九年级上学期 南京期中 第3章 圆（练习卷1） 考试时间：60 分钟　　满分：100分　　命题范围：第3章 圆 班级：________　姓名：________　学号：________　得分：________ 注意事项： 1. 本卷共 3 大题，20 小题，满分 100分，考试时间 60分钟。 2. 答题前请将班级、姓名、学号填写在密封线内。 3. 选择题用 2B 铅笔填涂，非选择题用 0.5mm 黑色签字笔作答。 4. 作图题先用铅笔作图，确认后再用签字笔描黑。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1. （2025 建邺 期中）已知的直径为，点在外，则长可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查了点和圆的位置关系，本题先求解圆的半径，再利用点在圆外，可得，从而可得答案；熟知点和圆的位置与圆的半径的关系是解题的关键． 解：∵的直径为，点在外， ∴的半径为， ∴， ∴长可能是． 故选：A． 2. 如图，在中，以为圆心，为半径画分别交，于点，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解决问题的关键．连接，先根据等腰三角形的性质得出，由可得，则，根据三角形外角的性质得，然后根据三角形内角和定理计算出的度数，即可求解． 解：如图，连接， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 3. 如图，的周长为26，，与三边分别相切于点，，，若，则的长为（　　） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】本题考查的是切线的性质、切线长定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．连接，根据切线长定理得到，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，再根据等边三角形的判定和性质解答即可． 解：如图，连接， ∵的周长为26， ∴， ∵， ∴， ∵与三边分别相切于点D，E，F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵分别与相切于点E，F， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 故选：C． 4. （2025 秦淮 期中）如图，在地球上，两地经度相同，纬度分别为（即）和（即）．已知地球的半径约为，则地球表面两地的距离（即的长）约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查弧长的计算，掌握弧长计算公式是解题的关键． 根据弧长公式计算即可． 解：∵，， ∴， ∴地球表面两地的距离（即的长）约为（）． 故选：B． 5. 如图，在中，将沿着弦所在直线折叠，交弦于点，连接．若 ，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】过点作于点的延长线交于点，连接，由折叠性质得点的对应点为点，则，证明得，在中，根据得，由勾股定理得，则，在中，由勾股定理得，据此即可得出的长． 解：过点作于点的延长线交于点，连接，如图所示： ， 由折叠性质得：点的对应点为点， ， ∴四边形内接于， ， 又 ∵， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即的长度是． 故选：A． 此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，圆周角定理，勾股定理，理解图形的翻折变换及其性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，灵活运用含有角的直角三角形性质及勾股定理进行计算时解决问题的关键． 6. 如图，是的直径，C，D是上位于异侧的两点．若C是的中点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键；连接，由题意易得，然后根据圆周角定理可进行求解． 解：连接，如图所示： ∵是的直径，点C是的中点， ∴， ∴； 故选C． 7. （2025 南京 联合体 期中）如图，是的直径，弦半径于点E，P为直径上一动点，若C为的中点，，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. 6 D. 【答案】C 【解析】本题主要考查轴对称的性质、垂径定理、弧、圆心的关系及含30度直角三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质、垂径定理、弧、圆心的关系及含30度直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，过点C作，并延长，交于点H，则有当点O与点P重合时，有最小值，进而问题可求解． 解：∵， ∴， ∵点C为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点C作，并延长，交于点H，如图所示： ∴， ∴点C与点H关于对称， ∴， ∴， ∴点E、O、H三点共线， 由轴对称的性质可知：的最小值为点O与点P重合时，如图，即最小值为， ∴， 即的最小值为6； 故选C． 8. 如图，四边形是的内接四边形，若，，则等于( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的性质求出，再根据三角形内角和定理求出． 解：四边形是的内接四边形， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请把答案直接填写在横线上） 9. 四边形是的内接四边形，若，则______． 【答案】 【解析】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角． 根据圆内接四边形的性质得，，则利用可计算出，然后利用互补计算出． 解：∵四边形是的内接四边形， ∴，， ∵， 设，则，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 10. （2025 建邺 期中）如图，在正八边形中，若，则_______． 【答案】 【解析】本题考查正多边形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理． 连接、、，易知四边形为正方形，根据正方形的性质即可求解． 解：如图，连接、、， 在正八边形中， ∵，，， ∴（）， ∴，， ∴， 同理，， ∴四边形为正方形， ∴． 故答案为：． 11. 如图，在四边形中，，若，，则______． 【答案】 【解析】此题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．根据得点A，B，C在以点O为圆心，以为半径的圆上，再根据圆心角与圆周角的关系得，然后根据三角形的内角和定理即可求解． 解：∵， ∴点A，B，C在以点O为圆心，以为半径的圆上，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 12. 如图，弓形纸片所在的半径为为弦．将纸片沿折叠，若折叠后与相切，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】根据折叠图形轴对称的性质，设折叠后的圆心G，然后构造，证明，推出，易证是的中位线，从而求出关于的数量关系，进而根据轴对称的性质求出的长度，再由勾股定理求出，即可由垂径定理求出的长度，最后根据的取值范围得出的取值范围． 解：如图，折叠后与相切于点F，设点G为的圆心，点E为中点，连接，延长交于点P，交于点M， 设， 根据题意，得点G与点O关于对称，， ∵，点E为中点， ∴， ∵， ∴， ∵折叠后与相切， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，即点为的中点，点为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵点G与点O关于对称， ∴，， ∴点M是中点， 在中，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 本题考查了图形的折叠，轴对称图形的性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理等知识点，求出关于长度的数量关系是解答本题的难点． 13. （2025 秦淮 期中）如图，四边形内接于，延长交于点．若，则________°． 【答案】110 【解析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆周角定理得到，进而求出，再根据圆内接四边形的性质计算即可． 解：∵是的直径， ， ， 四边形内接于， ， ， 故答案为：110． 14. 已知，是的弦，，，若，则的半径是________． 【答案】 【解析】本题主要考查垂径定理及全等三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理及全等三角形的性质与判定是解题的关键；如图，过点O分别作，垂足分别为E、F，由题意易得，，，然后可证，进而根据勾股定理可进行求解． 解：如图，过点O分别作，垂足分别为点E、F， ∵，，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的半径是； 故答案为． 三、解答题（本大题共6小题，共58分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （2025 建邺 期中）如图，是的直径，点在上，是的中点，过点作，垂足为点．（8分） （1）求证：是的切线； （2）过点作弦，若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，连接交于点H，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； （2） 【解析】（1）连接，连接交于点H，连接，证明，由垂径定理得出，得出，由切线的判定定理可得出答案； （2）连接根据勾股定理求出的长，过点D作出直角三角形斜边上的高，用面积法求出这个高，再利用题目给出的平行，结合（1）中的结论能够推出全等的三角形，再根据垂径定理得出结论． 略 解：连接，延长交于点M，过点D作，G为垂足， ∴， ∵， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴． 本题考查了圆心角定理，垂径定理，切线的判定定理，全等三角形的判定与性质，用面积法求高，题目的综合性很强． 16. 如图，点在上，，．求证．（8分） 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．根据圆心角、弧、弦的关系，先由得，由得，则，求出，即可得出结论． 略 17. 已知是的弦，分别根据下列要求，用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．（10分） （1）如图①，点在上，作弦，使； （2）如图②，点在内，过点作弦，使． 【答案】（1） 如图①，和为所作； （2） 如图②，和为所作． 【解析】本题考查了作图——基本作图，过圆外一点，作圆的切线，线段的垂直平分线，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了点与圆的位置关系，垂径定理． （1）如图①，以P点为圆心，的长为半径画弧交于点Q、点，则和满足条件； （2）先过O点作于E点，再以O点为圆心，的长为半径作圆，接着连接，再作的垂直平分线得到的中点F，然后以F点为圆心，的长为半径作圆交半径为的圆于G、Q点，直线交于C、D两点，直线交于两点，则和满足条件． 略 解：由作图知是半径为的圆的切线，切点分别为点，点， ∴，， 连接，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 同理，得． 18. （1）某冰激凌纸筒展开后得到半径为，弧长为的扇形，则该纸筒的侧面积为____；（10分） （2）如图①，某纸杯展开它的侧面得到扇环（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分），其中的长为的长为的长为．求扇环的面积： （3）如图②，梯形面积为，扇环面积为，且等于的长，等于的长，，则______（选填“”、“”或“”）． 【答案】（1）54；（2）；（3） 【解析】本题考查了扇形的面积，扇形面积计算公式为或（其中圆心角是，圆的半径为R的扇形面积为S，l为扇形的弧长）．也考查了弧长公式和梯形的面积公式． （1）直接利用扇形的面积公式计算即可； （2）设，根据弧长公式得到，进而求出，再利用扇形的面积公式得到扇环的面积，则可计算出扇环的面积； （3）设梯形的高为h，由（2）得，根据梯形的面积公式得到，然后利用，即可得到结论． 解：（1）该纸筒的侧面积为； 故答案为：54； （2）设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴扇环的面积为 ， ∵， ∴扇环的面积为； （3）设图形的高为h， 由（2）得， ∵等于的长，等于的长， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 19. 如图，点A，B，C，D在上，．分别交，于点E，F．（10分） （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 解：， ． ， ． ． （2） 解：连接． ， ． ． ． 【解析】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，则，又因为，证明，故，即可证明． （2）根据，得，再结合圆周角定理得出，即可证明． 略 略 20. （2025 建邺 期中）某型号路由器的信号覆盖范围是半径为的圆形区域．现需要为正方形场地布置该型号的路由器，使信号覆盖场地的每个区域．（12分） （1）如图①，在点处布置一台路由器，则正方形场地边长的最大值是______； （2）如图②，在点处各布置一台路由器，且．请画出最大正方形场地的示意图，并求此时正方形场地的边长： （3）若布置三台路由器，则正方形场地边长的最大值是_____． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）根据圆内接正方形性质，利用为等腰直角三角形直接求解即可． （2）根据轴对称的性质，判定正方形的中心为线段的中点，过点O分别作正方形的两条对角线与两圆的交点即可确定最大内接正方形． （3）为使三台路由器覆盖范围内接正方形最大，另三台路由器采用等边三角形布放且边长等于每台路由器的覆盖半径，利用三台路由器的覆盖范围为轴对称图形，作等边的外接正方形，且正方形的定点在覆盖区域的边缘上，再利用正方形对角线的长度即可求解正方形边长的最大值． 解：如图，正方形为内接正方形． 根据题意正方形场地为路由器覆盖的圆形内接正方形，则为等腰直角三角形． ∴正方形边长． 故答案为：． 解：如图，设点O为中点，直线交内接正方形于E，F， ∵正方形是轴对称图形， ∴点O为对角线和的交点， 设正方形边长， ∵和为等腰直角三角形，点为与的切点， ∴， ∴． 在中，， ∴，即， 解得， 则． 故此时正方形场地的边长为． 解：为使内接正方形最大，三台路由器P、Q、R按照等边三角形布放，且．如图所示， 则，为等边三角形， 连接并延长交于点A，分别连接并延长交于点B、点D， 由于三个圆围成的区域关于直线对称， 则，为等腰直角三角形． 又∵， ∴四边形为正方形， ∵为等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 本题考查了圆的基本性质，切线的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，轴对称的性质等知识点，熟练应用轴对称图形的性质是解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $