第1章 一元二次方程（练习卷1） 2026-2027学年苏科版数学九年级上学期期中复习（江苏南京）

2026-2027学年苏科版数学九年级上学期 南京期中 第1章 一元二次方程（练习卷1） 参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1. C 2. B 3. D 4. A 5. D 6. A 7. A 8. D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请把答案直接填写在横线上） 9. 10. 2 11. 12. 13. ，． 14. 三、解答题（本大题共6小题，共58分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）， （2），． 16. 同意，理由如下： 假设， 则， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根， ∴无论取什么实数，都不等于， ∴同意小明的说法． 17. 18. （1） 证明：∵方程可化为， ∴，． ∵， ∴不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2） 19. （1）24 （2）9元或11元 20. （1） （2） 证明：设原方程为 ，， 其判别式． ∵原方程没有实数根， ∴， 逆方程为，其判别式， ∵， ∴ ∴逆方程也没有实数根． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年苏科版数学九年级上学期 南京期中 第1章 一元二次方程（练习卷1） 考试时间：60 分钟　　满分：100分　　命题范围：第1章 一元二次方程 班级：________　姓名：________　学号：________　得分：________ 注意事项： 1. 本卷共 3 大题，20 小题，满分 100分，考试时间 60分钟。 2. 答题前请将班级、姓名、学号填写在密封线内。 3. 选择题用 2B 铅笔填涂，非选择题用 0.5mm 黑色签字笔作答。 4. 作图题先用铅笔作图，确认后再用签字笔描黑。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1. （2025 建邺 期中）解一元二次方程，下列配方正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 对于一元二次方程为常数，且，下列条件：；②；；若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 3. （2025 秦淮 期中）用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 某商品经过连续两次降价，售价从10元降为8元．设平均每次降价的百分率是，下列方程：①；②；③，其中，符合题意的是（ ） A. ① B. ①② C. ①③ D. ②③ 5. （2025 南京 联合体 期中）用配方法解方程 时，配方所得的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以是（ ） A. B. C. D. 7. 下列方程中，是一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 8. 方程两个实数根恰好是等腰的两条边的边长，则的周长为（ ） A. 7 B. 10 C. 11 D. 10或11 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请把答案直接填写在横线上） 9. （2025 建邺 期中）方程的解是______． 10. 设，是方程的两个根，则________． 11. 关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 12. （2025 建邺 期中）如图，学校计划用长的篱笆围成一个面积为的长方形菜地，菜地的一边利用墙、设菜地垂直于墙的一边长为，可列方程是_______． 13. 已知非零常数满足等式，则关于的一元二次方程的根是______． 14. 方程的解是_______． 三、解答题（本大题共6小题，共58分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 解下列方程：（8分） （1）； （2）． 16. 已知．小明同学作出如下结论：无论取什么实数，都不等于．你是否同意他的说法？并说明你的理由．（8分） 17. （2025 建邺 期中）“燃情苏超”火爆出圈，“欢乐经济”席卷南京．某烧烤店六月份的营业额为1万元，七、八月份的营业额持续上涨，且八月份营业额的增长率是七月份的2倍．若该烧烤店八月份的营业额为3万元，求八月份营业额的增长率．（10分） 18. 关于的方程．（10分） （1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程有两个负数根，求的取值范围． 19. 在“奉献真情，结对帮扶”的爱心义卖活动中，某班级有30件手工作品待售，每件成本4元．调查发现，每件售价7元，所有作品均可售出；售价每增加1元，未售出的作品就增加2件．活动结束后，该班级将剩余作品寄往帮扶学校，并承担每件2元的邮费．另外，制作义卖海报花费6元．（10分） （1）若每件作品售价为10元，则售出_____件作品； （2）若计划在活动中筹集100元善款，则每件作品的售价是多少元？（善款总销售额总支出） 20. （2025 秦淮 期中）将一个常数项不为0的一元二次方程的二次项系数与常数项对调，得到的新的一元二次方程称为原方程的“逆方程”．（12分） （1）写出方程的逆方程； （2）已知某一元二次方程（常数项不为0）没有实数根，求证：其逆方程也没有实数根． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年苏科版数学九年级上学期 南京期中 第1章 一元二次方程（练习卷1） 考试时间：60 分钟　　满分：100分　　命题范围：第1章 一元二次方程 班级：________　姓名：________　学号：________　得分：________ 注意事项： 1. 本卷共 3 大题，20 小题，满分 100分，考试时间 60分钟。 2. 答题前请将班级、姓名、学号填写在密封线内。 3. 选择题用 2B 铅笔填涂，非选择题用 0.5mm 黑色签字笔作答。 4. 作图题先用铅笔作图，确认后再用签字笔描黑。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1. （2025 建邺 期中）解一元二次方程，下列配方正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． ∵， ∴， ∴（添加一次项系数一半的平方）， ∴． 故选：C． 2. 对于一元二次方程为常数，且，下列条件：；②；；若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】本题考查了根的判别式． 通过判别式判断方程有实数根的条件，分析每个条件是否足以保证判别式非负． 解：一元二次方程有实数根的条件是判别式． ①：， ∴，又， ∴，故方程有实数根． ②：， 反例：，则，但，无实数根，故②不能判定． ③：，即， ∴Δ===， ∵， ∴，， ∴，故方程有实数根． ∴正确条件的序号是①和③． 故选：B． 3. （2025 秦淮 期中）用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方计算即可． 解：∵， ∴ ∴， ∴， 故选D． 本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 4. 某商品经过连续两次降价，售价从10元降为8元．设平均每次降价的百分率是，下列方程：①；②；③，其中，符合题意的是（ ） A. ① B. ①② C. ①③ D. ②③ 【答案】A 【解析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 商品连续两次降价，每次降价率相同为x，根据降价公式，原价乘以等于现价． 解：根据题意得：， ∴符合题意的是①． 故选：A． 5. （2025 南京 联合体 期中）用配方法解方程 时，配方所得的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可． 解： ， 故选：D． 6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法是解题的关键；由题意易得，然后可得，然后问题可求解． 解：由题意得：， ∵方程要有实数根， ∴， 解得：； 故选A． 7. 下列方程中，是一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，据此判断每个选项． 解：一元二次方程需满足：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数为2． A、是整式方程，只含未知数x，且x的最高次数为2，符合定义，故该选项符合题意； B、含有两个未知数x和y，不符合定义，故该选项不符合题意； C、化简后为，即，是一元一次方程，不符合定义，故该选项不符合题意； D、是分式方程，不是整式方程，不符合定义，故该选项不符合题意． 故选：A． 8. 方程两个实数根恰好是等腰的两条边的边长，则的周长为（ ） A. 7 B. 10 C. 11 D. 10或11 【答案】D 【解析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，三角形三边关系，分情况讨论是解题的关键．解方程得两根为3和4，根据等腰三角形性质分情况讨论，利用三角形三边关系验证后计算周长． 解：∵ 方程 分解为 ， ∴ 两根为 ， 。 ∵ 两根是等腰的两条边长， ∴ 分两种情况： ① 当腰为3，底为4时，满足三角形三边关系，周长为； ② 当腰为4，底为3时，满足三角形三边关系，周长为． ∴ 的周长为10或11． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请把答案直接填写在横线上） 9. （2025 建邺 期中）方程的解是______． 【答案】 【解析】可通过移项将方程化为一般形式，再利用因式分解法解方程即可得到答案． 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 10. 设，是方程的两个根，则________． 【答案】2 【解析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若，是该方程的两个实数根，则，，据此可得，，代入即可得到答案． 解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴． 故答案为：2． 11. 关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据解答即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 12. （2025 建邺 期中）如图，学校计划用长的篱笆围成一个面积为的长方形菜地，菜地的一边利用墙、设菜地垂直于墙的一边长为，可列方程是_______． 【答案】 【解析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．由篱笆的总长及垂直于墙的篱笆长度，可得出平行于墙的篱笆长为，根据长方形菜地的面积为，即可得出关于x的一元二次方程． 解：∵要用长的篱笆围成一个面积为的长方形菜地，垂直于墙的边长为， ∴平行于墙的边长为， 根据题意，可得． 故答案为：． 13. 已知非零常数满足等式，则关于的一元二次方程的根是______． 【答案】，． 【解析】本题考查的是解一元二次方程，利用换元法求解是解题关键．通过设，将原方程化为关于y的一元二次方程，再利用已知条件求出系数关系，进而求解方程． 解：设，则原方程化为， 由，得， 代入得， 代入方程得， 因，两边除以得， 因式分解得，解得或， 由，得或， 解得：，， 故答案为：，． 14. 方程的解是_______． 【答案】 【解析】本题考查了解一元二次方程，掌握提取公因式进行因式分解是解题的关键． 通过移项将方程化为一元二次方程的一般形式，然后运用因式分解法求解． 解：， 移项得， 因式分解得 ， 解得． 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共58分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 解下列方程：（8分） （1）； （2）． 【答案】（1）， （2），． 【解析】本题主要考查一元二次方程的解法，解题方法多样，关键在于熟练掌握解一元二次方程的步骤，第（2）题要特别注意先进行移项使方程右边为零． （1）根据配方法求解即可； （2）先移项，使方程右边为零，然后将方程左边进行因式分解，使分解后的两个一次因式分别为零，即可解答． 解：整理得， 配方得，即， 开方得， 解得，； 解：整理得， 因式分解得，即可， 则或， 解得，． 16. 已知．小明同学作出如下结论：无论取什么实数，都不等于．你是否同意他的说法？并说明你的理由．（8分） 【答案】 同意，理由如下： 假设， 则， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根， ∴无论取什么实数，都不等于， ∴同意小明的说法． 【解析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是将题意转化为利用根的判别式判断一元二次方程无解问题． 假设，则，利用根的判别式判断一元二次方程无解，从而得出结论无论取什么实数，都不等于． 略 17. （2025 建邺 期中）“燃情苏超”火爆出圈，“欢乐经济”席卷南京．某烧烤店六月份的营业额为1万元，七、八月份的营业额持续上涨，且八月份营业额的增长率是七月份的2倍．若该烧烤店八月份的营业额为3万元，求八月份营业额的增长率．（10分） 【答案】 【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设七月份营业额的增长率为x，则八月份营业额的增长率为，利用该烧烤店八月份的营业额该烧烤店六月份的营业额（七月份营业额的增长率）（八月份营业额的增长率），可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值代入中，即可求出结论． 解：设七月份营业额的增长率为x，则八月份营业额的增长率为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴． 答：八月份营业额的增长率为． 18. 关于的方程．（10分） （1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程有两个负数根，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵方程可化为， ∴，． ∵， ∴不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】本题考查了因式分解法解方程以及根据根的条件求参数范围． （1）通过因式分解方程得到两根，证明它们总不相等即可； （2）利用两根均为负数的条件建立不等式求解即可． 略 解：由（1）得方程的两个根为，． ∵方程有两个负数根， ∴， 解得， ∴的取值范围是． 19. 在“奉献真情，结对帮扶”的爱心义卖活动中，某班级有30件手工作品待售，每件成本4元．调查发现，每件售价7元，所有作品均可售出；售价每增加1元，未售出的作品就增加2件．活动结束后，该班级将剩余作品寄往帮扶学校，并承担每件2元的邮费．另外，制作义卖海报花费6元．（10分） （1）若每件作品售价为10元，则售出_____件作品； （2）若计划在活动中筹集100元善款，则每件作品的售价是多少元？（善款总销售额总支出） 【答案】（1）24 （2）9元或11元 【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用售出的作品数（每件作品的售价），即可求出结论； （2）设每件作品的售价是x元，则售出件，利用善款总销售额总支出，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 解：根据题意得：（件）， ∴若每件作品售价为10元，则售出24件作品． 故答案为：24； 解：设每件作品的售价是x元，则售出件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：每件作品的售价是9元或11元． 20. （2025 秦淮 期中）将一个常数项不为0的一元二次方程的二次项系数与常数项对调，得到的新的一元二次方程称为原方程的“逆方程”．（12分） （1）写出方程的逆方程； （2）已知某一元二次方程（常数项不为0）没有实数根，求证：其逆方程也没有实数根． 【答案】（1） （2） 证明：设原方程为 ，， 其判别式． ∵原方程没有实数根， ∴， 逆方程为，其判别式， ∵， ∴ ∴逆方程也没有实数根． 【解析】本题主要考查了“逆方程”的定义，以及一元二次方程根的判别式等知识． （1）根据“逆方程”的定义求解即可． （2）根据根的判别式证明即可． 解∶ 原方程的二次项系数为2，常数项为1， 对调后得逆方程为． 略 学科网（北京）股份有限公司 $