精品解析：江苏南京金陵河西学校2026-2027学年上学期九年级数学期中考试试题

2026金陵河西九上数学期中 一、选择题（2×6=12分） 1. 若一元二次方程的一个根是1，则k的值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 2. 如图，⊙O的弦AB=8，OM⊥AB于点M，且OM=3，则⊙O的半径为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（ ） A. B. C. D. 4. 如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车与水面分别交于点，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，是的直径，连接，点M在的延长线上，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点．若MN=2，AB=1，则△PAB周长的最小值是（　　） A. 2+1 B. +1 C. 2 D. 3 二、填空题（4×9=36分） 7. 已知与成反比例，且当时，，则关于的函数解析式为________． 8. 如图，，，是上的点，，垂足为点，且为的中点，若，则________． 9. 如图是小雨学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，已知圆锥底面圆半径为，圆锥母线长为，则围成这个灯罩的铁皮的面积是_________．（不考虑缝隙等因素） 10. 如图，在中，是高线，以点为圆心作，使B，D，C三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则的半径的取值范围是_______． 11. 如图，是的内切圆，切点分别为，连接．，，则______°． 12. 如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴，点C是x轴上一点，若的面积为3，则k的值为_________． 13. 的半径为5，弦，则与间的距离为________． 14. 若关于的一元二次方程的一个根为1，则方程的根是_______． 15. 如图，中，，，，D为内一动点，为的外接圆，直线交于P点，交于E点，，则的最小值为_____． 三、解答题（8×9=72分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 17. 如图，点在的直径的延长线上，点在上，且AC=CD，∠ACD=120°. （1）求证：是的切线； （2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积. 18. 如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接． （1）求的度数； （2）求证：是的切线． 19. 如图，四边形和均为矩形，，休闲区的储水量为3． （1）种菜区的面积为 ,休闲区能接的雨水量为 L（用含有x的代数式表示）； （2）若种菜区每平方米需要水，休闲区接的水恰好够灌溉种菜区，求x的值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴相交于点C，已知点A的坐标为． （1）点F为反比例函数图象上一点，若，求点F的坐标； （2）若点，都在该反比例函数图象上，且．请直接写出，的大小关系． 21. 按要求解题： （1）如图1，已知四边形ABCD是的内接四边形，连接AC、BD，且．试说明：． （2）如图2，请用无刻度直尺和圆规在CD上找一点，使得． 22. 关于x的代数式，若存在实数m，使得当时，代数式的值等于，则称m为这个代数式的“镜像值”．例如：对于代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和都是这个代数式的“镜像值”． （1）判断代数式是否有镜像值．若有，请求出此代数式的镜像值；若没有，则说明理由； （2）关于x的代数式，若此代数式有两个镜像值，且两个镜像值的差为整数，求正整数a的值． 23. 如图，在矩形中，，，点P从点A出发，沿以的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿以速度向点C移动，连接，点P的运动时间为． （1）当的面积等于时，求t的值； （2）以Q为圆心，为半径画： ①当与线段所在直线相切时，求t的值； ②当与线段有两个公共点时，求t的取值范围． 24. 探究圆中折叠． 如图1，是圆的直径，是圆上一点（不与，重合），连接，沿着把翻折交于点，连接，． （1）小浩发现并展示了两种思维方式，请帮他补充完整： 依据：同弧或等弧所对的弦相等 思维方式1 思维方式2 对于，所对两个圆中的弧分别是和______，所以，所以． 如图2，找到点折叠前的对应点，由折叠的性质可知，，所以=______，即可证． （2）如图3，E是的中点． ①若的半径为，连接，的长度是否改变，若不改变，求出的长度，若改变，请说明理由． ②连接，若的最小值为，求的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026金陵河西九上数学期中 一、选择题（2×6=12分） 1. 若一元二次方程的一个根是1，则k的值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】将代入，然后解关于k的方程即可． 【详解】解：将代入，得： ，即， 解得：． 2. 如图，⊙O的弦AB=8，OM⊥AB于点M，且OM=3，则⊙O的半径为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：先由垂径定理求出AM，再由勾股定理求出OA即可． 解：∵OM⊥AB， ∴AM=AB=4， 由勾股定理得：OA===5； 故选C． 考点：垂径定理；勾股定理． 3. 若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对比一元二次方程求根公式的结构，对应确定方程的各项系数． 【详解】解：∵ 一元二次方程的求根公式为，题中方程的根为， ∴ 对比分母得，即， ∴ 对比分子不含根号的项得，即， ∴ 对比根号内的表达式得，代入得， ∴ 该一元二次方程为. 4. 如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车与水面分别交于点，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，是的直径，连接，点M在的延长线上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角是解题的关键．如图2，连接，则，，由，可得，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图2，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 5. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据k的正负判断函数图象所在象限，再结合同一象限内y随x的变化规律，即可比较横坐标的大小． 【详解】∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随 的增大而减小， ∵点 的纵坐标， ∴点 在第三象限，可得， ∵点 、的纵坐标都大于， ∴点 、都在第一象限， 又∵， ∴ 综上可得 ． 6. 如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点．若MN=2，AB=1，则△PAB周长的最小值是（　　） A. 2+1 B. +1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，PA，AA′．所以点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，所以∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，OA=OA′=，因为点B是弧AN的中点，所以∠BON=30°，∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，再由勾股定理求出A′B=2，最后即可求解. 【详解】 作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，PA，AA′． ∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点， ∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′， ∵点B是弧AN的中点， ∴∠BON=30°， ∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°， 又∵OA=OA′=， ∴A′B=2． ∴PA+PB=PA′+PB=A′B=2． ∴△PAB周长的最小值=PA+PB+AB=2+1=3 故选D． 【点睛】本题主要考查对轴对称，勾股定理，圆心角，圆周角，弧和弦等知识点，熟悉掌握是关键. 二、填空题（4×9=36分） 7. 已知与成反比例，且当时，，则关于的函数解析式为________． 【答案】## 【解析】 【分析】由与成反比例，设函数解析式为，将时，代入求出，即可得出答案． 【详解】设， 将，代入： ， ， ， ． 8. 如图，，，是上的点，，垂足为点，且为的中点，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由同圆半径相等得到，结合为中点、，得到垂直平分，利用垂直平分线上的点到线段两端距离相等得到，求出． 【详解】解：连接． ∵ ，都是的半径， ∴ ． ∵ 是的中点， ∴ ． ∵ ， ∴ 垂直平分线段． ∵ 点在直线上， ∴ ． ∴ ． 9. 如图是小雨学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，已知圆锥底面圆半径为，圆锥母线长为，则围成这个灯罩的铁皮的面积是_________．（不考虑缝隙等因素） 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，然后根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：灯罩的铁皮的面积是． 10. 如图，在中，是高线，以点为圆心作，使B，D，C三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则的半径的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出长，再利用等面积法求出高；算出B、D、C三点到圆心的距离，根据“至少一点在圆内，至少一点在圆外”列条件求半径取值范围． 【详解】解：，，， ， ， ． 可得三点到点距离：，，． 要使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外： 当，三点都不在圆内，不符合题意； 当，三点都不在圆外，不符合题意； 当时，，点在内；，点在外，满足条件． 的半径的取值范围为． 11. 如图，是的内切圆，切点分别为，连接．，，则______°． 【答案】65 【解析】 【分析】本题主要考查的是切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理．连接，．由三角形内角和定理可求得，由切线的性质易求，由圆周角定理可求解． 【详解】解：如图所示，连接，． ，， ． 是圆的切线， ， 同理， ． ． ， 故答案为：65． 12. 如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴，点C是x轴上一点，若的面积为3，则k的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，由轴可得，再根据反比例函数的几何意义可知，，即可列方程求解． 【详解】解：连接，， 轴， ， 点A在函数的图象上，点B在函数的图象上， ，， ， 解得． 13. 的半径为5，弦，则与间的距离为________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论，即圆心点在或不在之间，利用垂径定理和勾股定理分别求出弦心距，进而求出与间的距离． 【详解】解：过圆心作于，交于，连接． ， ， ， 而， ， 在中，； 在中，； 当圆心点不在之间，距离为； 当圆心点在之间，距离为． 14. 若关于的一元二次方程的一个根为1，则方程的根是_______． 【答案】，． 【解析】 【分析】由根的定义，把代入得，即；新方程可化为，直接开平方得． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∴方程可化为， 开平方，得， ∴，． 15. 如图，中，，，，D为内一动点，为的外接圆，直线交于P点，交于E点，，则的最小值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】由，得出，可知点D应在以为弦的，为的圆的弧上，再证明是等腰直角三角形，根据勾股定理得出，根据两点之间线段最短，当在一条直线上时最短，证明是直角三角形，从而得出，，即可得出答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D应在以为弦的，为的圆的弧上， 设圆弧所在圆的圆心为，如图， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴由勾股定理得， 根据两点之间线段最短，当在一条直线上时，最短， ∵ ∴ ∴是直角三角形， ∵， ∴ ∵ ∴的最小值为1 故答案为：1． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，同弧或等弧所对的圆周角相等，正确找到的最小值是解题的关键． 三、解答题（8×9=72分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查求解一元二次方程，掌握因式分解的计算是关键； （1）利用因式分解法解方程； （2）利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴，即， ∴或， 解得：． 17. 如图，点在的直径的延长线上，点在上，且AC=CD，∠ACD=120°. （1）求证：是的切线； （2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积. 【答案】 （1）证明：连接OC． ∵AC＝CD，∠ACD＝120°， ∴∠A＝∠D＝30°． ∵OA＝OC， ∴∠2＝∠A＝30°． ∴∠OCD＝∠ACD－∠2＝90°， 即OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线； （2）图中阴影部分的面积为－． 【解析】 【分析】（1）连接OC．只需证明∠OCD＝90°．根据等腰三角形的性质即可证明； （2）先根据直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半求出OD，然后根据勾股定理求出CD，则阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积． 【详解】（1）略 （2）解：∠1＝∠2＋∠A＝60°． ∴S扇形BOC＝＝． 在Rt△OCD中，∠D＝30°， ∴OD＝2OC＝4， ∴CD＝＝． ∴SRt△OCD＝OC×CD＝×2×＝． ∴图中阴影部分的面积为：－． 18. 如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接． （1）求的度数； （2）求证：是的切线． 【答案】（1） （2）证明：如图所示，连接， ， ， ． ， ． ， ， ， ，即， 又是的半径， 是的切线． 【解析】 【分析】（1）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到的度数，再根据等弧所对的圆周角相等得到，据此可求出的度数，再根据直径所对的圆周角是直角得到的度数，据此可得答案； （2）连接，根据（1）所求可得的度数，则可求出的度数，再求出的度数，进而求出的度数，再由切线的判定定理可证明结论． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， ，， ； ， ． 是的直径， ， ； 【小问2详解】 略 19. 如图，四边形和均为矩形，，休闲区的储水量为3． （1）种菜区的面积为 ,休闲区能接的雨水量为 L（用含有x的代数式表示）； （2）若种菜区每平方米需要水，休闲区接的水恰好够灌溉种菜区，求x的值． 【答案】（1）； （2）3 【解析】 【分析】（1）根据矩形的面积公式求出种菜区的面积，用总面积减去种菜区的面积求出休闲区的面积，再乘以休闲区每平米的储水量，求出接水量； （2）根据题意，列出方程进行求解即可. 【小问1详解】 解：由题意，种菜区的面积为； 休闲区能接的雨水量为； 【小问2详解】 解：由题意，， 解得，（不合题意，舍去）； 故的值为3. 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴相交于点C，已知点A的坐标为． （1）点F为反比例函数图象上一点，若，求点F的坐标； （2）若点，都在该反比例函数图象上，且．请直接写出，的大小关系． 【答案】（1）点F的坐标为或 （2）当或时，；当时， 【解析】 【分析】（1）先通过一次函数求出点坐标，利用待定系数法可求出反比例函数解析式；根据面积关系可求出点F的纵坐标，即可求得点F的坐标； （2）根据反比例函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵点A的坐标为，且在一次函数的图象上， ∴， 即， ∴点A的坐标为， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴，即， 即， 对于，令，解得， 即，， 设， ∵， ∴， ∴， 即， ， ∴， ∴或； 【小问2详解】 解：若或，此时D、E两点在同一象限内， ∵反比例函数的比例系数， ∴在每一个象限内，函数值随自变量的增大而减小， ∴； 若，则， ∴； 综上，当或时，；当时，． 21. 按要求解题： （1）如图1，已知四边形ABCD是的内接四边形，连接AC、BD，且．试说明：． （2）如图2，请用无刻度直尺和圆规在CD上找一点，使得． 【答案】（1） 证明：， ， 又 ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）在同一个三角形中，等边对等角；同弧所对的圆周角相等； （2）在同一个三角形中，等边对等角；同弧所对的圆周角相等． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 延长，以A为圆心，长为半径画弧，交延长线于点E； 作的垂直平分线：分别以A、E为圆心，大于长为半径在两侧画弧，两组弧各交于一点，连接两组弧的交点， 作的垂直平分线：分别以A、B为圆心，大于长为半径在两侧画弧，两组弧各交于一点，连接两组弧的交点， 两条垂直平分线交于， 以为圆心，为半径画圆， 圆和交于一点，这点就是． 22. 关于x的代数式，若存在实数m，使得当时，代数式的值等于，则称m为这个代数式的“镜像值”．例如：对于代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和都是这个代数式的“镜像值”． （1）判断代数式是否有镜像值．若有，请求出此代数式的镜像值；若没有，则说明理由； （2）关于x的代数式，若此代数式有两个镜像值，且两个镜像值的差为整数，求正整数a的值． 【答案】（1）代数式没有镜像值．理由如下： 设为该代数式的镜像值，根据镜像值的定义得 ， 整理得， ∵， ∴该方程无实数根， ∴代数式没有镜像值； （2） 【解析】 【分析】（1）根据定义列一元二次方程，通过判别式判断方程是否有实根，即可得到结论； （2）根据定义整理方程，推导出两个镜像值差的表达式，结合差为整数，a为正整数的条件求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设代数式的镜像值为， 根据定义得， 整理得， 为正整数，代数式有两个镜像值， ，方程是一元二次方程， 且， 方程的两个根为， 则两个根差的绝对值为， 两个镜像值的差为整数，是正整数， 是正整数， 为正整数， ， 即， 满足条件的完全平方数只有，即， 得，符合要求， 正整数的值为． 23. 如图，在矩形中，，，点P从点A出发，沿以的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿以速度向点C移动，连接，点P的运动时间为． （1）当的面积等于时，求t的值； （2）以Q为圆心，为半径画： ①当与线段所在直线相切时，求t的值； ②当与线段有两个公共点时，求t的取值范围． 【答案】（1）t的值为1或5 （2）①t的值为0或；② 【解析】 【分析】（1）表示出，由面积解方程即可求解； （2）①由相切得，利用勾股定理建立方程即可求解； ②与线段有两个公共点，则点到线段的距离小于半径，且，由①及解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：由题意知，则， ∵， ∴， 即， 解得， 即当的面积等于时，t的值为1或5； 【小问2详解】 解：①当与线段所在直线相切时，则点Q到直线的距离为6， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：，； 即t的值为0或时，与线段所在直线相切； ②连接，过点Q作于点E，如图， 当与线段有两个公共点时，则小于半径，且， 当小于半径时，由①得； 当时，则， 即， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）， 综上，当与线段在两个公共点时，． 24. 探究圆中折叠． 如图1，是圆的直径，是圆上一点（不与，重合），连接，沿着把翻折交于点，连接，． （1）小浩发现并展示了两种思维方式，请帮他补充完整： 依据：同弧或等弧所对的弦相等 思维方式1 思维方式2 对于，所对两个圆中的弧分别是和______，所以，所以． 如图2，找到点折叠前的对应点，由折叠的性质可知，，所以=______，即可证． （2）如图3，E是的中点． ①若的半径为，连接，的长度是否改变，若不改变，求出的长度，若改变，请说明理由． ②连接，若的最小值为，求的半径． 【答案】（1）， （2）①的长度不变，为 ②的半径为 【解析】 【分析】（1）思维方式1：由圆周角定义可知：对于，所对两个圆中的弧分别是和； 思维方式2：，由圆周角定义可知所对的弧是，所对的，由圆周角定理的推论可得； （2）①的长度不会改变，如图3，作交于点，作交于点，连接，，，由是的中点，是的中点，是直径，可得，由勾股定理可得长，由折叠得即可得出； ②由三角形两边之差小于第三边可得，当、、三点共线时，最小，设的半径为，则，由，根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：思维方式1：对于，所对两个圆中的弧分别是和，所以，所以． 思维方式2：如图2，找到点折叠前的对应点，由折叠的性质可知，，所以，即可证． 故答案为：，； 【小问2详解】 ①的长度不会改变，如图3，作交于点，作交于点，连接，，， 由（1）知：是的中点， ∵是的中点，是直径， ∴， ∵， ∴， 由折叠得：； ②如图4，连接，中，，当，，三点共线时，有最小值， 设的半径为，则，， ∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴的半径为． 【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，折叠问题、圆心角的计算，勾股定理，熟练掌握这些知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $