期中培优：有理数运算中的新定义问题、数轴上的翻折问题专项训练-2026-2027学年人教版七年级数学上册
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内容正文：
期中培优：有理数运算中的新定义问题、数轴上的翻折问题专项训练
期中培优：有理数运算中的新定义问题、数轴上的翻折问题专项训练
考点目录
有理数运算中的新定义问题
数轴上的翻折问题
考点一 有理数运算中的新定义问题
有理数运算中的新定义问题解题技巧
（1）先准确读懂新符号（如 ※、⊕、☆）的运算规则，弄清楚前后两个数分别对应定义中的哪个位置，顺序不能随意调换。
（2）严格按定义”照葫芦画瓢”，把已知数对号入座，转化为常规的加减乘除运算。
（3）含括号时由内向外逐层计算；新定义的运算通常不满足交换律、结合律，不能直接套用旧运算律。
（4）遇到含未知数的式子，先按定义转化为常规方程，再解方程。
（5）注意定义中附带的条件（如 、 为正整数等），分步书写，便于回头检查。
例1．（26-27七年级上·江苏徐州·阶段检测）已知均为有理数，现定义一种新的运算，规定：．例如：．
求：
(1)的值．
(2)的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将，代入新运算公式计算即可；
（2）按照运算顺序，先计算括号内的新运算，再计算减法．
【详解】（1） 解： ∵ ，
∴ ；
（2）解：，
，
∴ .
例2．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣，借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：．
(1)求的值；
(2)计算，，并由此判断新运算“⊕”的交换律即是否成立？
【答案】(1)
(2)，，新运算“”的交换律不成立．
【分析】（1）根据所给定义列式计算即可；
（2）根据所给定义列式求出，的结果，看是否相等即可得到结论．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：，
，
∴，
∴新运算“⊕”的交换律不成立．
例3．（26-27七年级上·湖南益阳·阶段检测）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）．
例如：，．
若，则称有理数，为“隔一数对”．
例如：，，，所以，就是一对“隔一数对”．
(1)下列各组数是“隔一数对”的是______（请填序号）．
①，；②，；③，．
(2)计算：．
(3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算：．
【答案】(1)①②
(2)
(3)
【分析】（1）分别根据，，算出结果进行判断即可；
（2）先算出、和，再进行加减运算即可；
（3）根据“隔一数对”的定义将原式展开，再进行合并计算即可．
【详解】（1）解：①∵，，
∴，
，
此时，故①是“隔一数对”；
②∵，，
∴，
，
此时，故②是“隔一数对”；
③∵，，
∴，
，
此时，故③不是“隔一数对”；
综上所述，是“隔一数对”的是①②；
（2）解：
；
（3）解：∵两个连续的非零整数都是“隔一数对”，，
∴
．
变式1．（26-27八年级上·河北衡水·阶段检测）对于有理数 a、b ，定义一种新运算“⊙ ”，规定：
(1)计算 的值；
(2)计算的值
【答案】(1)8
(2)20
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
∴
．
变式2．（26-27七年级上·山东枣庄·阶段检测）定义一种新运算，规则如下：．
(1)计算：；
(2)比较大小：______（填“”“”“”，直接写出结果）；
(3)试探究这种运算“”是否满足交换律，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)解：这种运算“”满足交换律，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴这种运算“”满足交换律．
【分析】（1）根据所给定义列式计算即可；
（2）计算出两个式子的结果即可得到答案；
（3）计算出的结果，看是否与相等即可得到结论．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
，
∴；
（3）略
变式3．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）【思考】定义一种新运算“”，观察下面的算式，解答下列问题
，
．
，
．
，
．
【归纳】
(1)两数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把______；任何数同进行“”运算，都得______；
【运用】
(2)计算：；（提示：对于运算“”，如有括号，先做括号内的运算．）
(3)若，直接写出的值______．
【答案】(1)绝对值相加；这个数的绝对值
(2)
(3)
【分析】（）根据表中的运算结果解答即可；
（）根据运算法则先进行括号内的运算，再进行括号外的运算即可；
（）分三种情况，根据运算法则解答即可．
【详解】（1）解：两数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加．任何数同进行“”运算，都得这个数的绝对值；
（2）解：；
（3）解：当时，，
解得，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，
解得；
综上，的值为．
考点二 数轴上的翻折问题
数轴上的翻折问题解题技巧
（1）理解翻折的本质：折痕点就是两个重合点的对称中心（中点）。
（2）用中点公式：若点 、 翻折后重合，折痕对应数为 ，已知任意两个量即可求第三个。
（3）求某点翻折后的对应点，可设未知数，再利用中点公式列方程求解。
（4）也可用距离法验证：两个重合点到折痕的距离相等。
（5）遇到连续多次翻折，要逐次确定新的折痕和对应点，分步处理，避免一次混算。
例1．（26-27七年级上·辽宁大连·阶段检测）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．
(1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数 表示的点重合；
(2)若表示的点与3表示的点重合，5表示的点与数 表示的点重合；
(3)若数轴上A、B两点之间的距离为5个单位长度，点A表示的有理数是，折叠后A、B两点落在数轴上，并且相距1个单位长度，请写出此时折线与数轴的交点表示的有理数是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)折线与数轴的交点表示的数为或或或
【分析】（1）根据折线与数轴的交点是两个点的中点求解即可；
（2）根据折线与数轴的交点是两个点的中点求解即可；
（3）根据折线与数轴的交点是两个点的中点求解即可，注意分情况讨论．
【详解】（1）解：若1表示的点与表示的点重合，则折线与数轴的交点表示的数是，则表示的点与数表示的点重合；
（2）解：若表示的点与3表示的点重合，则折线与数轴的交点表示的数是，则5表示的点与数表示的点重合；
（3）解：若数轴上A、B两点之间的距离为5个单位长度，点A表示的有理数是，则点B表示的有理数是或，
当点B表示的有理数是时，折叠后在右边，折线与数轴的交点为，如图：
根据折叠后A、B两点落在数轴上，并且相距1个单位长度得到折叠后点B表示的有理数是，折线与数轴的交点表示的数为；
当点B表示的有理数是时，折叠后在左边，折线与数轴的交点为，如图：
根据折叠后A、B两点落在数轴上，并且相距1个单位长度得到折叠后点B表示的有理数是，折线与数轴的交点表示的数为；
当点B表示的有理数是时，折叠后在右边，折线与数轴的交点为，如图：
根据折叠后A、B两点落在数轴上，并且相距1个单位长度得到折叠后点B表示的有理数是，折线与数轴的交点表示的数为；
当点B表示的有理数是时，折叠后在左边，折线与数轴的交点为，如图：
根据折叠后A、B两点落在数轴上，并且相距1个单位长度得到折叠后点B表示的有理数是，折线与数轴的交点表示的数为；
综上所述，折线与数轴的交点表示的数为或或或．
例2．（26-27七年级上·广东佛山·阶段检测）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换
(1)平移运动
①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是________．
A． B． C． D．
②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2022次时，落在数轴上的点表示的数是________．
(2)翻折变换
①如图1，以1所表示的点为折点，将数轴折叠，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示________的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示________，B点表示________．
③如图2，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，并且，求点C表示的数．
【答案】(1)①D；②1011
(2)①；②；1012；③
【分析】（1）①读懂题意，根据移动过程列算式计算；
②读懂题意，根据跳动过程列算式，在算式中发现规律，利用规律计算即可；
（2）①根据1所表示的点为折点，则重合的两点到1的距离相等，即可求解；
②先根据①得到的折痕处的点表示的数，两点间的距离，确定两点表示的数；
③先根据题意找到点表示的数，再根据点A、表示的数，即可求折点C表示的数．
【详解】（1）解：①根据移动过程可得：；
②如果向左为“”，向右为“”，
机器人跳动过程可以用算式表示为：
，
∴当机器人跳2022次时，落在数轴上的点表示的数是1011；
（2）解：①∵1所表示的点为折点，，，
∴表示5的点与表示的点重合；
②∵数轴上A、B两点之间的距离为2022，
∴A、B两点到折痕1处的距离都是1011，
∵A在B的左侧，
∴B点表示数为1012，A点表示的数为；
③根据题意可知点表示的数为，
∵点A、表示的数分别是、10，点C为折点，
∴点C表示的数：．
例3．（26-27七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换
(1)平移运动
①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是_____ ；
A． B．
C． D．
②一机器人从原点开始，第次向左跳个单位，紧接着第次向右跳个单位，第次向左跳个单位，第次向右跳个单位，，依此规律跳，当它跳次时，落在数轴上的点表示的数是__________ ；
(2)翻折变换
①若关于原点折叠数轴，、两点经折叠后重合，数轴上、两点之间的距离为，在的左侧，则点表示____________ ，点表示___________ ；
②若折叠数轴，表示的点与表示的点经折叠后重合，则表示的点与表示__________ 的点重合；
③一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是、，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在点的右边，并且，求点表示的数．
【答案】(1)①D；②
(2)①；；②；③点表示的数为
【分析】（1）①根据平移方向与距离确定算式；
②由题意可知，机器人每跳两次会向右移动一个单位，从而得出结果；
（2）①容易判断、两点关于原点对称，结合、两点之间的距离，求出表示的数；
②先计算出对称中心的数，再逆向利用中点公式求出对应的数；
③先计算出点表示的数，再利用中点公式求出折点表示的数．
【详解】（1）解：①负方向移动4个单位长度记为，正方向移动1个单位长度记为，
∴对应的算式为；
②由题意可知，机器人每跳两次会向右移动一个单位，
∵机器人从原点开始运动，
∴跳次时，落在数轴上的点表示的数为；
（2）解：①由题意可知，、两点关于原点对称，
∵、两点之间的距离为，
∴点表示为，点表示；
②∵表示的点与表示的点经折叠后重合，
∴对称中心的数为，
∵，
∴表示的点与表示的点重合；
③∵点对应的点落在点的右边，并且，
∴点表示的数为，
又∵点为折点，
∴点表示的数为．
变式1．（26-27七年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图1，已知点A，B，C在数轴上，点A在点B的左侧．根据要求，回答下列问题．
(1)点A表示的数为，若点B到原点O的距离是点A到原点O的距离的3倍，则数轴上点B对应的数是______；若点C到点A、B的距离相等，则点C对应的数是______．
(2)点A表示的数为，设点B表示的数为m，若动点A沿数轴正方向移动了4个单位长度到达点B，试求的值．
(3)如图2，若数轴上有A，B，C三点，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点（点A的对应点）落在点C的右侧，且、B两点之间的距离为8，则点C表示的数是多少？
【答案】(1)；
(2)
(3)或
【分析】（1）先根据点A到原点距离求出点B表示的数，再利用点C是中点求点C表示的数；
（2）先由平移算出m的值，再代入代数式，根据绝对值法则化简求值；
（3）先分点在点B左侧或右侧两种情况算出点表示的数，再利用折叠后折点C是的中点求出点C．
【详解】（1）解：∵点A表示的数为，
∴点A到原点O的距离为，
∵点B到原点O的距离是点A到原点O的距离的3倍，
∴点B到原点O的距离为，
∵点A在点B的左侧，
∴数轴上点B对应的数是；
∵点A表示的数为，数轴上点B对应的数是，
∴，
∵点C到点A、B的距离相等，，
∴点C对应的数是；
（2）解：∵点A表示的数为，设点B表示的数为m，动点A沿数轴正方向移动了4个单位长度到达点B，
∴，
∴；
（3）解：分两种情况讨论：
①当点在点B左侧时，点表示的数为，，
由折叠可知，点C为中点，，
∴点C表示的数是；
②当点在点B右侧时，点表示的数为，，
由折叠可知，点C为中点，，
∴点C表示的数是；
综上，C表示的数是或．
变式2．（26-27七年级上·安徽亳州·阶段检测）点，，在数轴上的位置如图所示．
(1)点表示的数是_________，点表示的数是_________．
(2)折叠数轴，使数轴上的点和点重合，则点与表示数_________的点重合．
(3)有理数，在数轴上对应的点之间的距离可表示为，如与在数轴上所对应的点之间的距离为．
①求的最小值；
②若，两点之间的距离为（点在点的左侧），将数轴折叠，使得对应的点与对应的点重合，此时，两点也重合，求，两点分别表示的数．
【答案】(1)；
(2)
(3)①最小值为；②点表示的数为，点表示的数为
【分析】（1）直接观察数轴上点对应的刻度读数；
（2）先求、的折叠中点，再算出到中点的距离，在中点另一侧取相同距离得到重合点；
（3）①把式子理解为数轴上到、的距离和，在两点之间时和最小，最小值就是两点间距；②先由重合的和求出折叠中点，、到中点距离相等，用总距离除以得到单侧距离，再算出，两点分别表示的数．
【详解】（1）解：据图可知，点表示的数是，点表示的数是．
（2）解：已知点表示的数为，
根据题意可得折叠点表示的数为，
折叠点与点的距离为，
故与点重合的点表示的数为．
（3）①解：表示数轴上的对应点到和的对应点的距离之和，
当的值最小时，应该在和之间（包括和），
的最小值为；
②解：对应的点与对应的点重合，
数轴从对应的点处折叠，
，两点之间的距离为，点在点的左侧，
点与对应的点之间的距离为，点与对应的点之间的距离也为，
点表示的数为，点表示的数为．
变式3．（26-27七年级上·安徽合肥·阶段检测）【阅读】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行深入探究．
(1)若折叠纸面，表示的点与表示3的点重合，则表示15的点与表示__________的点重合；
(2)若数轴上A、B两点之间的距离为2026，且A、B两点经折叠后重合（A在B的左侧，且折点与（1）折点相同），求点A和点B表示的数；
(3)一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A的对应点是点，并且，求点C表示的数．
【答案】(1)
(2)A点表示，B点表示1014；
(3)或
【分析】（1）求出折叠中心，根据折叠中心到两个点的距离相等，进行求解即可；
（2）根据折叠中心到两个点的距离相等，以及两点间的距离公式进行求解即可；
（3）分两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：由题意，折叠中心表示的数为，
，
故表示15的点与表示的点重合；
（2）解：由（1）知，折叠中心表示的数为，
∵数轴上A、B两点之间的距离为2026，且A、B两点经折叠后重合，A在B的左侧，
∴点表示的数为；点表示的数为；
（3）解：∵，点A、B表示的数分别是、10，
∴点表示的数为或，
∴点表示的数为或.
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期中培优：有理数运算中的新定义问题、数轴上的翻折问题专项训练
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有理数运算中的新定义问题
数轴上的翻折问题
考点一 有理数运算中的新定义问题
有理数运算中的新定义问题解题技巧
（1）先准确读懂新符号（如 ※、⊕、☆）的运算规则，弄清楚前后两个数分别对应定义中的哪个位置，顺序不能随意调换。
（2）严格按定义”照葫芦画瓢”，把已知数对号入座，转化为常规的加减乘除运算。
（3）含括号时由内向外逐层计算；新定义的运算通常不满足交换律、结合律，不能直接套用旧运算律。
（4）遇到含未知数的式子，先按定义转化为常规方程，再解方程。
（5）注意定义中附带的条件（如 、 为正整数等），分步书写，便于回头检查。
例1．（26-27七年级上·江苏徐州·阶段检测）已知均为有理数，现定义一种新的运算，规定：．例如：．
求：
(1)的值．
(2)的值．
例2．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣，借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：．
(1)求的值；
(2)计算，，并由此判断新运算“⊕”的交换律即是否成立？
例3．（26-27七年级上·湖南益阳·阶段检测）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）．
例如：，．
若，则称有理数，为“隔一数对”．
例如：，，，所以，就是一对“隔一数对”．
(1)下列各组数是“隔一数对”的是______（请填序号）．
①，；②，；③，．
(2)计算：．
(3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算：．
变式1．（26-27八年级上·河北衡水·阶段检测）对于有理数 a、b ，定义一种新运算“⊙ ”，规定：
(1)计算 的值；
(2)计算的值
变式2．（26-27七年级上·山东枣庄·阶段检测）定义一种新运算，规则如下：．
(1)计算：；
(2)比较大小：______（填“”“”“”，直接写出结果）；
(3)试探究这种运算“”是否满足交换律，说明理由．
变式3．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）【思考】定义一种新运算“”，观察下面的算式，解答下列问题
，
．
，
．
，
．
【归纳】
(1)两数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把______；任何数同进行“”运算，都得______；
【运用】
(2)计算：；（提示：对于运算“”，如有括号，先做括号内的运算．）
(3)若，直接写出的值______．
考点二 数轴上的翻折问题
数轴上的翻折问题解题技巧
（1）理解翻折的本质：折痕点就是两个重合点的对称中心（中点）。
（2）用中点公式：若点 、 翻折后重合，折痕对应数为 ，已知任意两个量即可求第三个。
（3）求某点翻折后的对应点，可设未知数，再利用中点公式列方程求解。
（4）也可用距离法验证：两个重合点到折痕的距离相等。
（5）遇到连续多次翻折，要逐次确定新的折痕和对应点，分步处理，避免一次混算。
例1．（26-27七年级上·辽宁大连·阶段检测）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．
(1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数 表示的点重合；
(2)若表示的点与3表示的点重合，5表示的点与数 表示的点重合；
(3)若数轴上A、B两点之间的距离为5个单位长度，点A表示的有理数是，折叠后A、B两点落在数轴上，并且相距1个单位长度，请写出此时折线与数轴的交点表示的有理数是多少？
例2．（26-27七年级上·广东佛山·阶段检测）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换
(1)平移运动
①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是________．
A． B． C． D．
②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2022次时，落在数轴上的点表示的数是________．
(2)翻折变换
①如图1，以1所表示的点为折点，将数轴折叠，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示________的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示________，B点表示________．
③如图2，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，并且，求点C表示的数．
例3．（26-27七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换
(1)平移运动
①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是_____ ；
A． B．
C． D．
②一机器人从原点开始，第次向左跳个单位，紧接着第次向右跳个单位，第次向左跳个单位，第次向右跳个单位，，依此规律跳，当它跳次时，落在数轴上的点表示的数是__________ ；
(2)翻折变换
①若关于原点折叠数轴，、两点经折叠后重合，数轴上、两点之间的距离为，在的左侧，则点表示____________ ，点表示___________ ；
②若折叠数轴，表示的点与表示的点经折叠后重合，则表示的点与表示__________ 的点重合；
③一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是、，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在点的右边，并且，求点表示的数．
变式1．（26-27七年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图1，已知点A，B，C在数轴上，点A在点B的左侧．根据要求，回答下列问题．
(1)点A表示的数为，若点B到原点O的距离是点A到原点O的距离的3倍，则数轴上点B对应的数是______；若点C到点A、B的距离相等，则点C对应的数是______．
(2)点A表示的数为，设点B表示的数为m，若动点A沿数轴正方向移动了4个单位长度到达点B，试求的值．
(3)如图2，若数轴上有A，B，C三点，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点（点A的对应点）落在点C的右侧，且、B两点之间的距离为8，则点C表示的数是多少？
变式2．（26-27七年级上·安徽亳州·阶段检测）点，，在数轴上的位置如图所示．
(1)点表示的数是_________，点表示的数是_________．
(2)折叠数轴，使数轴上的点和点重合，则点与表示数_________的点重合．
(3)有理数，在数轴上对应的点之间的距离可表示为，如与在数轴上所对应的点之间的距离为．
①求的最小值；
②若，两点之间的距离为（点在点的左侧），将数轴折叠，使得对应的点与对应的点重合，此时，两点也重合，求，两点分别表示的数．
变式3．（26-27七年级上·安徽合肥·阶段检测）【阅读】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行深入探究．
(1)若折叠纸面，表示的点与表示3的点重合，则表示15的点与表示__________的点重合；
(2)若数轴上A、B两点之间的距离为2026，且A、B两点经折叠后重合（A在B的左侧，且折点与（1）折点相同），求点A和点B表示的数；
(3)一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A的对应点是点，并且，求点C表示的数．
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