2026-2027学年苏科版数学九年级上学期期中模拟卷适用扬州邗江（练习卷）

2026-2027学年苏科版数学九年级上学期期中模拟卷适用扬州邗江（练习卷） 参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1. B 2. A 3. A 4. C 5. D 6. B 7. C 8. D 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 9. -4 10. 2019 11. cm 12. 13. 36°或144°. 14. 15. 且 16. 8 17. 20 18. 三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1） （2） 20. （1） 如图：即为所求． （2）①，；②；③ 21. （1）证明：∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m＋3）x＋3＝0， ∴（mx﹣3）（x﹣1）＝0， ∴x＝1或x＝， ∴无论m为何值，x＝1都是该方程的一个根； （2）1或3 22. （1） （2） 预测月份的生产成本为：（万元）， ， ∴该公司7月份的生产成本不会超过300万元． 23. （1） 是的切线，理由如下： 如图所示，连接， 与相切于点， ， 在和中， ， ， ，即， 是的半径， 是的切线； （2） 24. （1） 证明：如图，连接、、， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）5 25. (1) 证明：， ， 不论为何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)3 26. （1） （2）或 （3）存在，， 27. （1） 证明：∵平分， ∴， ∴， 即是等腰三角形； （2）①8； ②，理由如下： 如图，过点作于点， ∵是的直径， ∴． ∵平分，，， ∴，， 由（1）知， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 28. （1），． （2） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年苏科版数学九年级上学期期中模拟卷适用扬州邗江（练习卷） 考试时间：120 分钟　　满分：150分　　命题范围：第1章 一元二次方程、第3章 圆 班级：________　姓名：________　学号：________　得分：________ 注意事项： 1. 本卷共 3 大题，28 小题，满分 150分，考试时间 120分钟。 2. 答题前请将班级、姓名、学号填写在密封线内。 3. 选择题用 2B 铅笔填涂，非选择题用 0.5mm 黑色签字笔作答。 4. 作图题先用铅笔作图，确认后再用签字笔描黑。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径为5，点P到圆心O的距离为3，则点P（ ） A. 在内 B. 在上 C. 在外 D. 无法确定 3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 如图，是的直径，是的弦．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的侧面积展开图的面积是15cm2，母线长是5cm，则圆锥的底面半径为（ ） A. cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm 7. 如图，点O是的外心，点I是的内心，连接、、，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，动点分别从点同时出发，以相同的速度分别沿向终点移动，当点到达点时，运动停止，过点作直线的垂线，垂足为点，在这个移动过程中点经过的路径长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 9. 一元二次方程的一次项系数是______． 10. 若是关x的方程的解，则的值为___________． 11. 直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm，则其外接圆半径长为_____． 12. 一个圆锥的母线长为6，底面圆的半径为4，那么这个圆锥的侧面积是______． 13. 若一条弦分圆为1：4两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是______. 14. 一种商品经连续两次降价后，价格从原来的100元，降到81元，若两次降价的百分率相同，则这个百分率为____________. 15. 已知方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 16. 如图， P为外一点， 、分别切于点A、B，切于点E，分别交、于点C、D，若，则的周长为______． 17. “圆材埋壁是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深四寸，锯道长一尺六，问径几何？”用数学语言可表述为：如图，为的直径，弦于点E，寸，寸，则直径的长是___________寸．(1尺10寸) 18. 如图，为等腰直角三角形，，，点D为所在平面内一点，，以为边作平行四边形，则的最大值为________． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程：（8分） （1） （2） 20. 如图，在单位长度为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，一段圆弧经过网格的交点为A、B、C．（8分） （1）在图中标出该圆弧所在圆的圆心D，连接． （2）在（1）的基础上，完成下列填空： ①写出点的坐标：C______、D______； ②的半径是______结果保留根号； ③若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面的面积（结果保留）． 21. 已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m＋3）x＋3＝0（8分） （1）求证：无论m为何值，x＝1都是该方程的一个根； （2）若此方程的根都为正整数，求整数m的值． 22. 某公司今年4月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，且每个月生产成本下降的百分率相同，到6月份的生产成本是324万元．（10分） （1）求每个月生产成本下降的百分率； （2）该公司7月份的生产成本是否会超过300万元？请说明理由． 23. 如图，中，，与相切于点，与交于点，与的延长线交于点，连接，已知．（10分） （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若的半径为，求图中阴影部分的面积(结果保留)． 24. 如图，是的外接圆，，且，连接交于点．（10分） （1）求证：是的切线； （2）连接，若为直径，，，求的半径． 25. 已知关于的方程（为常数）．（10分） (1)求证：不论为何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根是1，求方程的另一个根． 26. 定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，()，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点Q为该一元二次方程的“派生点”．（10分） （1）若方程为，求出该方程的“派生点”Q的坐标； （2）若关于x的一元二次方程为的“派生点”Q恰好在直线上，求m的值； （3）是否存在b、c，使得不论为何值，关于x的方程的“派生点”Q始终在直线的图像上？若有，请求出b、c的值；若没有，请说明理由． 27. 如图1，点，，都在上，且平分，交于点．（10分） （1）求证：是等腰三角形． （2）如图2，是的直径，与相交于点． ①若，，求的半径． ②若于点，试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 28. 阅读下面的材料：（12分） 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化． 如：解方程，可将方程变形为，设，则，原方程化为，解得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，∴原方程的解为，． 利用以上学习到的方法解决下列问题： （1）解方程：； （2）已知实数x、y满足；求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年苏科版数学九年级上学期期中模拟卷适用扬州邗江（练习卷） 考试时间：120 分钟　　满分：150分　　命题范围：第1章 一元二次方程、第3章 圆 班级：________　姓名：________　学号：________　得分：________ 注意事项： 1. 本卷共 3 大题，28 小题，满分 150分，考试时间 120分钟。 2. 答题前请将班级、姓名、学号填写在密封线内。 3. 选择题用 2B 铅笔填涂，非选择题用 0.5mm 黑色签字笔作答。 4. 作图题先用铅笔作图，确认后再用签字笔描黑。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 解：A、是二元一次方程，故不合题意； B、是一元二次方程，故符合题意； C、是分式方程，故不合题意； D、当时，不是一元二次方程，故不合题意； 故选：B． 本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 2. 已知的半径为5，点P到圆心O的距离为3，则点P（ ） A. 在内 B. 在上 C. 在外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键；根据点与圆的位置关系，比较点P到圆心O的距离d与圆的半径r的大小即可． 解：∵的半径，点P到圆心O的距离， ∴， ∴点P在内； 故选A． 3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．对于，当， 方程有两个不相等的实根，当， 方程有两个相等的实根，， 方程没有实根，根据原理作答即可． 解：∵， ∴， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 4. 如图，是的直径，是的弦．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】先根据平角的定义求出∠AOB，再根据等腰三角形的性质求解，即可． 解：∵， ∴∠AOB=180°-60°=120°， ∵OA=OB， ∴=∠OBA=（180°-120°）÷2=30°， 故选C． 本题主要考查圆的基本性质以及等腰三角形的性质，掌握圆的半径相等，是解题的关键． 5. 如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的性质，先求出，再求． 解：在中，， ， ． 故选：D． 6. 已知圆锥的侧面积展开图的面积是15cm2，母线长是5cm，则圆锥的底面半径为（ ） A. cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm 【答案】B 【解析】设底面半径为R，则可得底面周长，利用扇形面积公式建立方程，即可求得R． 设底面半径为R，则底面周长=， 则有：， ∴， 即底面圆的半径为． 故选：B． 本题考查了圆锥的侧面展开，扇形面积公式，利用面积关系建立方程是关键． 7. 如图，点O是的外心，点I是的内心，连接、、，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了圆周角定理、三角形的外心与内心、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，根据三角形内心的定义可得，则，再由等边对等角以及三角形内角和定理即可求解． 解：∵点O是的外心， ∴， ∵点I是的内心，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，在矩形中，，动点分别从点同时出发，以相同的速度分别沿向终点移动，当点到达点时，运动停止，过点作直线的垂线，垂足为点，在这个移动过程中点经过的路径长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】连接，交于点，取中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出的轨迹，从而求出经过的路程长． 解：连接，交于点，取中点，连接，如图所示： ， ， 在与中， ， ， ，，共线， ，是中点， 在中，，则， 的轨迹为以为圆心，1为半径的圆弧，则 当与重合时，；当与重合时，与重合； 走过的路程为， 故选：D． 本题主要考查了轨迹长度的求解，涉及矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直角三角形斜边中线的性质确定的轨迹是本题解题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 9. 一元二次方程的一次项系数是______． 【答案】-4 【解析】在一元二次方程的一般形式：中，是二次项系数，是一次项系数，是常数项，由此求解即可． 解：一元二次方程x2－4x＋1＝0一次项系数是：－4． 故答案为：－4． 此题考查了一元二次方程的一般形式，准确掌握一般式中的相关概念是解题的关键． 10. 若是关x的方程的解，则的值为___________． 【答案】2019 【解析】将代入方程，得到，利用整体思想代入求值即可． 解：∵是关x的方程的解， ∴，即：， ∴ ； 故答案为：2019． 本题考查方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键． 11. 直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm，则其外接圆半径长为_____． 【答案】cm 【解析】利用勾股定理解得直角三角形的斜边，再根据直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半，得出其外接圆的半径． 解：直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm， 直角三角形的斜边为： cm， 这个直角三角形的外接圆半径为： cm， 故答案为：cm． 本题考查三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 12. 一个圆锥的母线长为6，底面圆的半径为4，那么这个圆锥的侧面积是______． 【答案】 【解析】本题考查了圆锥的侧面积的计算．熟练掌握圆锥的侧面积公式（l为母线长，r为底面半径）是解题的关键．根据圆锥的侧面积公式计算即可． 解：由题意，这个圆锥的侧面积是， 故答案为：． 13. 若一条弦分圆为1：4两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是______. 【答案】36°或144°. 【解析】根据题意画出图形，得出这条弦所对的圆周角有两个，求出两段弧的度数，即可求出答案． 解： 连接OA、OB， ∵一条弦AB把圆分成1：4两部分，如图， ∴弧AC′B的度数是×360°=72°，弧ACB的度数是360°﹣72°=288°， ∴∠AOB=72°， ∴∠ACB=∠AOB=36°， ∴∠AC′B=180°﹣36°=144°， 故答案为36°或144°． 本题考查了圆周角定理的应用，注意：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半． 14. 一种商品经连续两次降价后，价格从原来的100元，降到81元，若两次降价的百分率相同，则这个百分率为____________. 【答案】 【解析】设两次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程即可求解． 解：设两次降价的百分率为，则： 解得：（舍去） 故两次降价的百分率为： 故答案为：． 本题考查增长率与一元二次方程．正确理解题意是解题关键． 15. 已知方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式的应用，解题的关键是同时满足“二次项系数不为”和“判别式大于”这两个条件． 明确方程是一元二次方程的前提条件，计算根的判别式并根据根的情况列不等式，综合两个条件得出k的取值范围． 解：方程是一元二次方程，需满足， 判别式， 由于方程有两个不相等的实数根，因此，即，解得， 综上，且． 故答案为：且． 16. 如图， P为外一点， 、分别切于点A、B，切于点E，分别交、于点C、D，若，则的周长为______． 【答案】8 【解析】本题考查了切线长定理，灵活运用切线长定理和等线段代换是解决问题的关键． 根据切线长定理得到 ， ， ，再根据三角形的周长公式计算即可． 解：∵、分别切于点A、B，， ∴， ∵切于点E，分别交、于点C、D， ∴，， ∴三角形的周长 ， 故答案为：8． 17. “圆材埋壁是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深四寸，锯道长一尺六，问径几何？”用数学语言可表述为：如图，为的直径，弦于点E，寸，寸，则直径的长是___________寸．(1尺10寸) 【答案】20 【解析】此题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 连接，由垂径定理得到寸，设的半径为x，则，根据勾股定理求出，进而求解即可． 解：连接， ∵为的直径，弦寸， ∴（寸）， 设的半径为x，则， ∵寸 ∴， 在中，根据勾股定理得： 即， 解得， ∴寸， 故答案为：20． 18. 如图，为等腰直角三角形，，，点D为所在平面内一点，，以为边作平行四边形，则的最大值为________． 【答案】 【解析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理、最值问题、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 延长交于点，连接，证明，得出对应边相等，，根据勾股定理求出，根据直角确定点共圆，且直径为线段，点E的运动轨迹为圆的运动轨迹，假设点E所在圆的圆心为M，连接，连接并延长交于点，根据圆外的点到圆上的点的距离最值可得：即为的最大值，判定四边形为正方形，最后根据勾股定理进行求解即可． 解：如图，当点位于内部时，延长交于点，连接， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴由勾股定理得， ∵，， ∴点共圆，且直径为线段， 如图所示，假设该四点所在圆为，点为线段的中点，连接，则，， 作线段的垂直平分线，在垂直平分线上找一点，以点为圆心，长为半径画圆，连接，连接并延长交于点， ∵， ∴点E的运动轨迹为圆， 则根据圆外的点到圆上的点的距离最值可得：即为的最大值， ∵当点位于内部时，， ∴当点位于外部时，即为点时，根据圆内接四边形的性质得， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 由勾股定理得， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程：（8分） （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】（1）根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 解：， ， ∴， ∴， 解得：； 解：， ∴， 即或， 解得：． 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 20. 如图，在单位长度为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，一段圆弧经过网格的交点为A、B、C．（8分） （1）在图中标出该圆弧所在圆的圆心D，连接． （2）在（1）的基础上，完成下列填空： ①写出点的坐标：C______、D______； ②的半径是______结果保留根号； ③若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面的面积（结果保留）． 【答案】（1） 如图：即为所求． （2）①，；②；③ 【解析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、弧长公式、全等三角形的性质和判定等知识点，能综合运用性质和定理进行推理和计算是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线性质找出圆的圆心即可； （2）①根据图形和已知点的位置写出坐标即可；根据勾股定理求出即可；求出，根据弧长公式求出弧的长，然后求出底面半径，最后根据圆的面积公式求解即可． 略 解：①由（1）作图可知：，； 故答案为：，； ②的半径是：． 如图： 在和中 ， ， ，， ， ， ， ， 弧的长为， 设底面的半径为r， 则，解得：． 扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面的面积是 21. 已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m＋3）x＋3＝0（8分） （1）求证：无论m为何值，x＝1都是该方程的一个根； （2）若此方程的根都为正整数，求整数m的值． 【答案】（1）证明：∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m＋3）x＋3＝0， ∴（mx﹣3）（x﹣1）＝0， ∴x＝1或x＝， ∴无论m为何值，x＝1都是该方程的一个根； （2）1或3 【解析】（1）利用因式分解法求出方程的解，即可得出结论； （2）由（1）的方程的解，即可得出结论． （1）略 （2）解：由（1）知，一元二次方程mx2﹣（m＋3）x＋3＝0的解为x＝1或x＝， ∵方程的根都为正整数， ∴为正整数， ∴m＝1或m＝3． 即整数m的值为1或3． 此题主要考查了一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程是解本题的关键． 22. 某公司今年4月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，且每个月生产成本下降的百分率相同，到6月份的生产成本是324万元．（10分） （1）求每个月生产成本下降的百分率； （2）该公司7月份的生产成本是否会超过300万元？请说明理由． 【答案】（1） （2） 预测月份的生产成本为：（万元）， ， ∴该公司7月份的生产成本不会超过300万元． 【解析】本题考查一元二次方程的应用．根据题意，正确的列出一元二次方程，是解题的关键． （1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可； （2）根据下降率求出7月份该公司的生产成本，进行判断即可． 解：设每个月生产成本的下降率为x，由题意，得： ， 解得：，（舍去）， ∴每个月生产成本的下降率为； 略 23. 如图，中，，与相切于点，与交于点，与的延长线交于点，连接，已知．（10分） （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若的半径为，求图中阴影部分的面积(结果保留)． 【答案】（1） 是的切线，理由如下： 如图所示，连接， 与相切于点， ， 在和中， ， ， ，即， 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】本题考查了切线的性质和判定，扇形面积的计算，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理是解题的关键． （1）根据切线的性质以及全等三角形的判定和性质得出，再根据切线的判定方法进行判断即可； （2）根据全等的性质可得， 结合等腰三角形和直角三角形的性质可求出，， 利用勾股定理和含直角三角形的性质可求得的长，最后根据进行计算即可． 略 解：， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ． 24. 如图，是的外接圆，，且，连接交于点．（10分） （1）求证：是的切线； （2）连接，若为直径，，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接、、， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）5 【解析】（1）连接、、，由，得到是的垂直平分线，则有，再根据平行线的性质得到，再利用切线的判定定理即可证明； （2）连接，延长交于点，得到是的中位线，求出，设，在和中，由勾股定理得，，从而得到关于的方程，求出的值即可解答． 略 解：如图，连接，延长交于点， 由（1）得，是的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴是的中位线， ∴， 设，在和中，由勾股定理得： ，即， ，即， ∴， 解得，（舍去）， ∴的半径为5． 本题考查了垂直平分线的判定定理、切线的判定定理、三角形中位线定理、勾股定理、一元二次方程的应用，掌握相关知识点是解题的关键． 25. 已知关于的方程（为常数）．（10分） (1)求证：不论为何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根是1，求方程的另一个根． 【答案】(1) 证明：， ， 不论为何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)3 【解析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，解一元二次方程． （1）根据一元二次方程根的判别式判断即可； （2）将代入方程求出，可知方程为，进而求解即可． （1）略 （2）解：将代入方程得：， 解得：， 方程为， 解这个方程得：，， 方程的另一个根为3． 26. 定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，()，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点Q为该一元二次方程的“派生点”．（10分） （1）若方程为，求出该方程的“派生点”Q的坐标； （2）若关于x的一元二次方程为的“派生点”Q恰好在直线上，求m的值； （3）是否存在b、c，使得不论为何值，关于x的方程的“派生点”Q始终在直线的图像上？若有，请求出b、c的值；若没有，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在，， 【解析】本题考查根与系数的关系、因式分解法解一元二次方程、一次函数图像上点的坐标特征，分类讨论思想． （1）解方程，根据判断得解； （2）用因式分解法解方程，可得，根据做分类讨论，分别计算即可判断得解； （3）依据题意，“派生点”Q与的取值无关，直线过定点，故方程的“派生点”Q为，根据，由根与系数的关系求解． 解：， 解得，， ， 该方程的“派生点”Q的坐标为； 解：方程为， ， ，或，， ①当，即时，“派生点”Q的坐标为． ∵点Q在直线上， 代入得， ∴，符合题意； ②当，即时，“派生点”Q的坐标为， ∵点Q在直线上， 代入得， ，符合题意； 综上，m的值为或； 解：存在，满足条件，理由如下： ， 直线经过定点， ∴方程的“派生点”Q为， 即，， ，． 27. 如图1，点，，都在上，且平分，交于点．（10分） （1）求证：是等腰三角形． （2）如图2，是的直径，与相交于点． ①若，，求的半径． ②若于点，试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∴， 即是等腰三角形； （2）①8； ②，理由如下： 如图，过点作于点， ∵是的直径， ∴． ∵平分，，， ∴，， 由（1）知， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 【解析】（1）由平分，得，则； （2）①连接，设，则，．可证明，则在中由勾股定理得，，解得，（不合题意，舍去），即的半径为； ②，理由如下：过点作于点，可证明，则．而，则四边形是矩形，则． 略 解：①如图，连接， 设，则，． 由（1）知， 又， ∴， ∴在中，，即， 解得，（不合题意，舍去）， 即的半径为； ② 略 本题考查了圆的综合问题，涉及全等三角形的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 28. 阅读下面的材料：（12分） 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化． 如：解方程，可将方程变形为，设，则，原方程化为，解得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，∴原方程的解为，． 利用以上学习到的方法解决下列问题： （1）解方程：； （2）已知实数x、y满足；求的值． 【答案】（1），． （2） 【解析】本题考查了解一元二次方程，换元法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，模仿题干解题方法，进行计算，即可作答． （2）先整理得，则，再得，解得，，再逐个分析检验，即可作答． 解：∵， ∴， 设，则， 原方程化为， ∴， 解得，．当时，无意义，舍去； 当时，，解得， ∴原方程的解为，． 解：依题意，， 设， 原方程化为， ∴， ∴， 解得，． 当时，， ∴， 当时，， ∴无意义，舍去； 综上：． 学科网（北京）股份有限公司 $