精品解析：江苏省扬州市邗江区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年度第一学期期中考试九年级数学 （总分150分 时间120分钟） 一、选择题 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、是二元一次方程，故不合题意； B、是一元二次方程，故符合题意； C、是分式方程，故不合题意； D、当时，不是一元二次方程，故不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 2. 二次函数的图像的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式解析式，熟记并灵活运用顶点式是解答本题的关键． 根据题意，得二次函数，得到图像的顶点坐标，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： 二次函数， 图像的顶点坐标为：． 故答案为：． 3. 方程两个实数根恰好是等腰的两条边的边长，则的周长为（ ） A. 7 B. 10 C. 11 D. 10或11 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，三角形三边关系，分情况讨论是解题的关键．解方程得两根为3和4，根据等腰三角形性质分情况讨论，利用三角形三边关系验证后计算周长． 【详解】解：∵ 方程 分解为 ， ∴ 两根为 ， 。 ∵ 两根是等腰的两条边长， ∴ 分两种情况： ① 当腰为3，底为4时，满足三角形三边关系，周长为； ② 当腰为4，底为3时，满足三角形三边关系，周长为． ∴ 的周长为10或11． 故选：D． 4. 已知抛物线为常数，是抛物线上三点，则，，由小到大依序排列为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质．先根据顶点式得到抛物线的对称轴为直线，然后结合二次函数的性质和A点、B点和C点离对称轴的远近进行判断． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 所以到直线的距离为5，到直线的距离为1，到直线的距离为2， 所以． 故选：C． 5. 已知圆锥的侧面积展开图的面积是15cm2，母线长是5cm，则圆锥的底面半径为（ ） A. cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm 【答案】B 【解析】 【分析】设底面半径为R，则可得底面周长，利用扇形面积公式建立方程，即可求得R． 【详解】设底面半径为R，则底面周长=， 则有：， ∴， 即底面圆的半径为． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开，扇形面积公式，利用面积关系建立方程是关键． 6. 已知抛物线经过和两点，则n的值为（　　） A. ﹣2 B. ﹣4 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据和可以确定函数的对称轴，再由对称轴的即可求解； 【详解】解：抛物线经过和两点， 可知函数的对称轴， ， ； ， 将点代入函数解析式，可得； 故选B． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键． 7. 如图，△OAB与⊙O交于点B和C，其中B为切点，D为劣弧上一点，若∠A＝20°，则∠CDB的度数为（　　） A. 110° B. 130° C. 135° D. 145° 【答案】D 【解析】 【分析】根据切线的性质得到OB⊥AB，根据直角三角形的性质求出∠AOB，根据圆周角定理求出∠E，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案． 【详解】在优弧BC上取点E，连接CE、BE， ∵AB与⊙O相切， ∴OB⊥AB， ∴∠AOB＝90°﹣∠A＝70°， 由圆周角定理得：∠E∠COB＝35°， ∵四边形CDBE为⊙O的内接四边形， ∴∠CDB＝180°﹣∠E＝180°﹣35°＝145°， 故选：D． 【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 8. 如图，在矩形中，，动点分别从点同时出发，以相同的速度分别沿向终点移动，当点到达点时，运动停止，过点作直线的垂线，垂足为点，在这个移动过程中点经过的路径长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，交于点，取中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出的轨迹，从而求出经过的路程长． 【详解】解：连接，交于点，取中点，连接，如图所示： ， ， 在与中， ， ， ，，共线， ，是中点， 在中，，则， 的轨迹为以为圆心，1为半径的圆弧，则 当与重合时，；当与重合时，与重合； 走过的路程为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了轨迹长度的求解，涉及矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直角三角形斜边中线的性质确定的轨迹是本题解题的关键． 二、填空题 9. 一元二次方程的一次项系数是______． 【答案】-4 【解析】 【分析】在一元二次方程的一般形式：中，是二次项系数，是一次项系数，是常数项，由此求解即可． 【详解】解：一元二次方程x2－4x＋1＝0一次项系数是：－4． 故答案为：－4． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，准确掌握一般式中的相关概念是解题的关键． 10. 若是关x的方程的解，则的值为___________． 【答案】2019 【解析】 【分析】将代入方程，得到，利用整体思想代入求值即可． 【详解】解：∵是关x的方程的解， ∴，即：， ∴ ； 故答案为：2019． 【点睛】本题考查方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键． 11. 若扇形的圆心角为，半径为1，则扇形的弧长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长公式进行求解即可． 【详解】解：因为扇形的圆心角为，半径为1， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：． 12. 一直角三角形的两直角边是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法、勾股定理以及直角三角形外接圆的性质．关键在于准确求解一元二次方程，得到直角边的长度，并正确运用勾股定理求出斜边长度，同时牢记直角三角形外接圆直径与斜边的关系．首先求解一元二次方程，得到直角三角形两条直角边的长度．然后根据勾股定理（其中、为直角边，为斜边），计算出直角三角形斜边的长度．最后依据直角三角形外接圆的直径等于斜边长度这一性质，得出外接圆的直径． 【详解】解：， ， 解得 或， 故两直角边长分别为和． 由勾股定理，斜边长为 ． 故外接圆直径为 ． 故答案为：． 13. 一种商品经连续两次降价后，价格从原来的100元，降到81元，若两次降价的百分率相同，则这个百分率为____________. 【答案】 【解析】 【分析】设两次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程即可求解． 【详解】解：设两次降价的百分率为，则： 解得：（舍去） 故两次降价的百分率为： 故答案为：． 【点睛】本题考查增长率与一元二次方程．正确理解题意是解题关键． 14. 如图，将含 角的直角三角板 绕顶点 顺时针旋转 度后得到 ，点 经过的路径为弧 ，若 ，，则图中阴影部分的面积是__________________ 【答案】 【解析】 【分析】阴影部分的面积=扇形ABB′面积+三角形A B′C′的面积-三角形ABC的面积． 【详解】如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=1， ∴BC=ACtan60°=1×=，AB=2 ∴S△ABC=AC•BC=． 根据旋转的性质知△ABC≌△AB′C′，则S△ABC=S△AB′C′，AB=AB′. ∴S阴影=S扇形ABB′+ S△AB′C′-S△ABC =+- =0.5. 故答案为0.5． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算、旋转的性质．求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求． 15. 如图，抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，根据二次函数和一次函数的性质和图象即可求解，解决本题的关键是采用图象法解决问题． 【详解】解： ∴， 抛物线与直线交于两点，， 由图可得：不等式的解集是， 即的解集是 故答案为：． 16. 函数y＝x2﹣4kx+1的图象在直线x＝1的右侧随x的增大而增大，则k的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】函数y＝x2﹣4kx+1的图象在直线x＝1的右侧随x的增大而增大，1＞0，根据二次函数的增减性可得抛物线的对称轴，由此求解即可． 【详解】解：∵函数y＝x2﹣4kx+1的图象在直线x＝1的右侧随x的增大而增大，1＞0， ∴抛物线的对称轴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图像的性质. 17. 二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表： x … ﹣3 ﹣1 1 3 … y … ﹣4 2 4 2 … 则当﹣3＜x＜3时，y满足的范围是_________． 【答案】﹣4＜y≤4 【解析】 【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可根据x＝﹣3及x＝3时y的值，结合二次函数图象的顶点坐标，即可找出﹣3＜x＜3时y的取值范围． 【详解】解：从表格看出，函数的对称轴为x＝1，顶点为（1，4），函数有最大值4， ∴抛物线开口向下， ∴当﹣3＜x＜3时，﹣4＜y≤4， 故答案为，﹣4＜y≤4． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是学会看懂表格信息，灵活运用所学知识解决问题，属于基础题． 18. 如图，为等腰直角三角形，，，点D为所在平面内一点，，以为边作平行四边形，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理、最值问题、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 延长交于点，连接，证明，得出对应边相等，，根据勾股定理求出，根据直角确定点共圆，且直径为线段，点E的运动轨迹为圆的运动轨迹，假设点E所在圆的圆心为M，连接，连接并延长交于点，根据圆外的点到圆上的点的距离最值可得：即为的最大值，判定四边形为正方形，最后根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，当点位于内部时，延长交于点，连接， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴由勾股定理得， ∵，， ∴点共圆，且直径为线段， 如图所示，假设该四点所在圆为，点为线段的中点，连接，则，， 作线段的垂直平分线，在垂直平分线上找一点，以点为圆心，长为半径画圆，连接，连接并延长交于点， ∵， ∴点E的运动轨迹为圆， 则根据圆外的点到圆上的点的距离最值可得：即为的最大值， ∵当点位于内部时，， ∴当点位于外部时，即为点时，根据圆内接四边形的性质得， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 由勾股定理得， ∴． 故答案为：． 三、解答题 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴， 即或， 解得：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； （2）画出将绕点顺时针旋转所得的； （3）在（2）的条件下，求线段扫过图形的面积． 【答案】（1） 如图所示，即为所求；； （2） 如图所示，即为所求： （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称作图，旋转作图，扇形的面积等知识点，正确作图是解题的关键． （1）根据中心对称的特点作图即可； （2）根据旋转的特点作图即可； （3）根据扇形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴由图形可知，线段扫过图形的面积扇形的面积． 21. 已知抛物线． （1）求证：此抛物线与轴必有两个不同的交点； （2）若此抛物线与直线的一个交点在轴上，求的值． 【答案】 （1）证明：令得：① △ 方程①有两个不等的实数根， 原抛物线与轴有两个不同的交点； （2）m的值为-3或1. 【解析】 【分析】（1）先求得△的值，然后证明△即可； （2）依据此抛物线与直线的一个交点在轴上可得到，然后解关于的方程即可． 【详解】解：（1）略 （2）令：，根据题意有：， 整理得： 解得或． 【点睛】本题主要考查的是抛物线与轴的交点，依据此抛物线与直线的一个交点在轴上得到关于的方程是解题的关键． 22. 已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m＋3）x＋3＝0 （1）求证：无论m为何值，x＝1都是该方程的一个根； （2）若此方程的根都为正整数，求整数m的值． 【答案】（1）证明：∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m＋3）x＋3＝0， ∴（mx﹣3）（x﹣1）＝0， ∴x＝1或x＝， ∴无论m为何值，x＝1都是该方程的一个根； （2）1或3 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求出方程的解，即可得出结论； （2）由（1）的方程的解，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，一元二次方程mx2﹣（m＋3）x＋3＝0的解为x＝1或x＝， ∵方程的根都为正整数， ∴为正整数， ∴m＝1或m＝3． 即整数m的值为1或3． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程是解本题的关键． 23. 某商场销售杭州亚运会吉祥物“宸宸”，进货价为40元/件．当售价为60元/件时，每天的销售量为300件．在销售过程中发现：销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件．设销售价格上涨x元/件（x为偶数），每天的销售量为y件． （1）当销售价格上涨4元时，每天对应的销售量为________件．请直接写出y与x的函数关系式________； （2）设每天的销售利润为w元，为了让利于顾客，则每件商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）260， （2）每件商品的销售单价定为64元时，每天获得的利润最大，最大利润是6240元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件，进行列式计算，得当销售价格上涨4元时，每天对应的销售量为260件；再由设销售价格上涨x元/件（x为偶数），每天的销售量为y件，进行列式计算，即可作答． （2）充分理解题意，结合利润等于单件利润×销售数量，进行列式，得，运用二次函数的性质进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解：∵销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件． ∴（件）， ∴当销售价格上涨4元时，每天对应的销售量为260件； ∵设销售价格上涨x元/件（x为偶数），每天的销售量为y件， ∴， 【小问2详解】 解：依题意，设每天的销售利润为w元， ∴ ∵， ∴开口方向向下，对称轴为直线 ∵x为偶数 ∴当或时，有最大值， ∵为了让利于顾客， ∴舍去， ∴把代入， 得， 则（元）， ∴每件商品的销售单价定为64元时，每天获得的利润最大，最大利润是6240元． 24. 如图，是的外接圆，，且，连接交于点． （1）求证：是的切线； （2）连接，若为直径，，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接、、， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）5 【解析】 【分析】（1）连接、、，由，得到是的垂直平分线，则有，再根据平行线的性质得到，再利用切线的判定定理即可证明； （2）连接，延长交于点，得到是的中位线，求出，设，在和中，由勾股定理得，，从而得到关于的方程，求出的值即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，延长交于点， 由（1）得，是的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴是的中位线， ∴， 设，在和中，由勾股定理得： ，即， ，即， ∴， 解得，（舍去）， ∴的半径为5． 【点睛】本题考查了垂直平分线的判定定理、切线的判定定理、三角形中位线定理、勾股定理、一元二次方程的应用，掌握相关知识点是解题的关键． 25. 对于实数a，b，新定义一种运算“※”：a※，例如：∵4＞1，∴4※1＝4×1﹣12＝3 （1）计算：2※（﹣1）＝　 　；（﹣1）※2＝　 　； （2）若x1和x2是方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根且x1＜x2，求x1※x2的值； （3）若x※2与3※x的值相等，求x的值． 【答案】（1）-3，6；（2）；（3）x的值为1或或4． 【解析】 【分析】（1）根据新定义运算方法进行计算即可； （2）先解一元二次方程，然后利用新定义进行计算即可； （3）对x的范围进行讨论：当时，；当时，；当时，，然后分别解方程求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ， 故答案为：-3，6； （2）， ， ∵， ∴，， ∴， ∴； （3）当时，根据， 可得：， 解得：，（舍去）； 当时，根据， 可得：， 解得：，（舍去）； 当时，根据， 可得：， 解得：（舍去），； 综上所述，x的值为1或或4． 【点睛】题目主要考查解一元二次方程的公式法、因式分解法，理解题意，掌握题目中新的运算法则是解题关键． 26. 某牧场准备利用现成的一堵“7”字型的墙面（如图中粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为36米的篱笆围建一个“日”形的饲养场（细线表示篱笆，饲养场中间也是用篱笆隔开），如图，点可能在线段上，也可能在线段的延长线上． （1）当点在线段上时， ①设的长为米，则______米（用含的代数式表示）； ②若要求所围成的饲养场的面积为66平方米，求饲养场的宽； （2）饲养场的宽为多少米时，饲养场的面积最大？最大面积为多少平方米？ 【答案】（1）①；②饲养场的宽为11米；（2）饲养场的宽为8米时，饲养场的面积最大，最大面积为96平方米． 【解析】 【分析】（1）①根据矩形的性质求出GH和DB的长度，进而求出AD的长度，再根据篱笆总长度为36米，做减法即可求出DE的长度． ②根据矩形的面积公式列出一元二次方程并求解即可． （2）根据题意，对点F是在线段BC上还是在线段BC的延长线上进行分类讨论，然后根据矩形的面积公式列出饲养场BDEF的面积S与EF的长度x的关系式，再根据二次函数的性质求出当x为何值时，S取到最大值． 【详解】解：（1）①∵饲养场BDEF是一个“日”形， ∴四边形BDEF是由矩形BDGH和矩形FEGH组成的矩形． ∴DE=BF，DB=GH=EF． ∵EF=x， ∴DB=GH=EF=x． 又∵AB=3， ∴． ∴． ∴． 故答案为：（）． ②∵要求所围成的饲养场的面积为66平方米， ∴． ∴． 解得，， ∵点在线段上，且BC=9， ∴，即． 解得． ∴x=11，即饲养场的宽为11米． 答：饲养场的宽为11米． （2）设饲养场的面积为，的长为米． ①当点在线段上时， 根据（1）可得：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，且当时，随的增大而减小． ∵当点在线段上时，需满足， ∴时，有最大值，最大值为（平方米）． 此时，满足点F在线段BC上． ②当点在线段的延长线上时，设DE为y米， 由（1）可得DB=GH=EF=x，DE=BF=y，， ∵BC=9， ∴． ∴． ∴． 解得． ∴． ∴． ∵， ∴当时，有最大值，最大值为（平方米）． 此时，满足点F在线段BC的延长线上． ∵， ∴饲养场的宽为8米时，饲养场的面积最大，最大面积为96平方米． 答：饲养场的宽为8米时，饲养场的面积最大，最大面积为96平方米． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，把实际问题抽象成数学问题并列出方程或关系式是解题关键，同时根据题目实际情况要注意分类讨论和实际意义． 27. 如图1，点，，都在上，且平分，交于点． （1）求证：是等腰三角形． （2）如图2，是的直径，与相交于点． ①若，，求的半径． ②若于点，试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∴， 即是等腰三角形； （2）①8； ②，理由如下： 如图，过点作于点， ∵是的直径， ∴． ∵平分，，， ∴，， 由（1）知， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 【解析】 【分析】（1）由平分，得，则； （2）①连接，设，则，．可证明，则在中由勾股定理得，，解得，（不合题意，舍去），即的半径为； ②，理由如下：过点作于点，可证明，则．而，则四边形是矩形，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图，连接， 设，则，． 由（1）知， 又， ∴， ∴在中，，即， 解得，（不合题意，舍去）， 即的半径为； ② 略 【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及全等三角形的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上． （1）如果四个点中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图像上． ① ： ②如图1，已知菱形的顶点B、C、D在该二次函数的图像上，且轴，求点D的坐标； ③如图2，已知正方形的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由． （2）已知正方形的顶点B、D在二次函数（a为常数，且）的图像上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式． 【答案】（1）①1；②；③1 （2）或． 【解析】 【分析】（1）①当时，，可知不在二次函数图像上，将代入，求解值即可；②由①知，二次函数解析式为，设菱形的边长为p，则，，由菱形的性质得：，，则轴，，根据，即，然后确定点D的坐标即可；③如图2，连接、交点为E，过B作轴于M，过C作于N，由正方形的性质可知，E为、的中点，，，则，证明，则，，由题意知，，，，则，，设，则，，，，，，则，，即，然后代入计算即可； （2）由题意知，分①当在y轴右侧时，②当在y轴左侧时，③当B在y轴左侧，D在y轴右侧时，三种情况求解；①当在y轴右侧时，，同理（1）③，，，由题意知，，，，则，，设，则，，，，，，则，，即，解得；②当在y轴左侧时，求解过程同（2）①；③当B在y轴左侧，D在y轴右侧时，且不垂直于y轴时，同理可求，当B在y轴左侧，D在y轴右侧时，且垂直于y轴时，由正方形、二次函数的性质可得． 【小问1详解】 ①解：当时，， ∴不在二次函数图像上， 将代入，解得， 故答案为：1； ②解：由①知，二次函数解析式为， 设菱形的边长为p，则，， 由菱形的性质得：， ∴轴， ∴， ∵， ∴，解得（舍去），（舍去），， ∴； ③解：如图2：连接、交点为E，过B作轴于M，过C作于N，     由正方形的性质可知，E为、的中点，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， 由题意知: ，，，则，， 设，则，， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∵点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧， ∴， ∴， ∴是定值，且值为1； 【小问2详解】 解：由题意知，分①当在y轴右侧时，②当在y轴左侧时，③当B在y轴左侧，D在y轴右侧时，三种情况求解； ①当在y轴右侧时， ∵， 同理（1）③，，， 由题意知：，，，则，， 设，则，， ∴，，，， ∴，， ∴， 化简得， ∵ ∴； ②当在轴左侧时， 同理可求； ③当B在y轴左侧，D在y轴右侧，且不垂直于y轴时， 同理可求， 当B在y轴左侧，D在y轴右侧，且垂直于y轴时， 由正方形、二次函数的性质可得，； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数与几何综合、正方形、菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握与灵活运用相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中考试九年级数学 （总分150分 时间120分钟） 一、选择题 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的图像的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 方程两个实数根恰好是等腰的两条边的边长，则的周长为（ ） A. 7 B. 10 C. 11 D. 10或11 4. 已知抛物线为常数，是抛物线上三点，则，，由小到大依序排列为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥的侧面积展开图的面积是15cm2，母线长是5cm，则圆锥的底面半径为（ ） A. cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm 6. 已知抛物线经过和两点，则n的值为（　　） A. ﹣2 B. ﹣4 C. 2 D. 4 7. 如图，△OAB与⊙O交于点B和C，其中B为切点，D为劣弧上一点，若∠A＝20°，则∠CDB的度数为（　　） A. 110° B. 130° C. 135° D. 145° 8. 如图，在矩形中，，动点分别从点同时出发，以相同的速度分别沿向终点移动，当点到达点时，运动停止，过点作直线的垂线，垂足为点，在这个移动过程中点经过的路径长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 9. 一元二次方程的一次项系数是______． 10. 若是关x的方程的解，则的值为___________． 11. 若扇形的圆心角为，半径为1，则扇形的弧长为______． 12. 一直角三角形的两直角边是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为________． 13. 一种商品经连续两次降价后，价格从原来的100元，降到81元，若两次降价的百分率相同，则这个百分率为____________. 14. 如图，将含 角的直角三角板 绕顶点 顺时针旋转 度后得到 ，点 经过的路径为弧 ，若 ，，则图中阴影部分的面积是__________________ 15. 如图，抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是________． 16. 函数y＝x2﹣4kx+1的图象在直线x＝1的右侧随x的增大而增大，则k的取值范围是_____． 17. 二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表： x … ﹣3 ﹣1 1 3 … y … ﹣4 2 4 2 … 则当﹣3＜x＜3时，y满足的范围是_________． 18. 如图，为等腰直角三角形，，，点D为所在平面内一点，，以为边作平行四边形，则的最大值为________． 三、解答题 19. 解方程： （1） （2） 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； （2）画出将绕点顺时针旋转所得的； （3）在（2）的条件下，求线段扫过图形的面积． 21. 已知抛物线． （1）求证：此抛物线与轴必有两个不同的交点； （2）若此抛物线与直线的一个交点在轴上，求的值． 22. 已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m＋3）x＋3＝0 （1）求证：无论m为何值，x＝1都是该方程的一个根； （2）若此方程的根都为正整数，求整数m的值． 23. 某商场销售杭州亚运会吉祥物“宸宸”，进货价为40元/件．当售价为60元/件时，每天的销售量为300件．在销售过程中发现：销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件．设销售价格上涨x元/件（x为偶数），每天的销售量为y件． （1）当销售价格上涨4元时，每天对应的销售量为________件．请直接写出y与x的函数关系式________； （2）设每天的销售利润为w元，为了让利于顾客，则每件商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 24. 如图，是的外接圆，，且，连接交于点． （1）求证：是的切线； （2）连接，若为直径，，，求的半径． 25. 对于实数a，b，新定义一种运算“※”：a※，例如：∵4＞1，∴4※1＝4×1﹣12＝3 （1）计算：2※（﹣1）＝　 　；（﹣1）※2＝　 　； （2）若x1和x2是方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根且x1＜x2，求x1※x2的值； （3）若x※2与3※x的值相等，求x的值． 26. 某牧场准备利用现成的一堵“7”字型的墙面（如图中粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为36米的篱笆围建一个“日”形的饲养场（细线表示篱笆，饲养场中间也是用篱笆隔开），如图，点可能在线段上，也可能在线段的延长线上． （1）当点在线段上时， ①设的长为米，则______米（用含的代数式表示）； ②若要求所围成的饲养场的面积为66平方米，求饲养场的宽； （2）饲养场的宽为多少米时，饲养场的面积最大？最大面积为多少平方米？ 27. 如图1，点，，都在上，且平分，交于点． （1）求证：是等腰三角形． （2）如图2，是的直径，与相交于点． ①若，，求的半径． ②若于点，试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 28. 在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上． （1）如果四个点中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图像上． ① ： ②如图1，已知菱形的顶点B、C、D在该二次函数的图像上，且轴，求点D的坐标； ③如图2，已知正方形的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由． （2）已知正方形的顶点B、D在二次函数（a为常数，且）的图像上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $