专题 30.3 正多边形与圆同步分层作业【基础巩固+拓展培优】- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题 30.3 正多边形与圆同步分层作业 2026—2027学年人教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础巩固 2 【题型1】中心角、内角、外角互求 2 【题型2】由 R、边心距、边长用勾股定理互求 5 【题型3】正六边形边长等于外接圆半径 R 10 三.拓展培优 15 【题型1】正多边形周长与面积综合 15 【题型2】等分圆周与尺规作图 21 四.中考链接 30 五.自我评价 41 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 1. 各边相等、各角相等的多边形叫做________多边形；把圆 n 等分，顺次连接各分点所得的多边形是这个圆的圆内接正________边形。 2. 正多边形外接圆的圆心叫做正多边形的________；外接圆的半径叫做正多边形的________；每一边所对的圆心角叫做________，正 n 边形的中心角等于________。 3. 正 n 边形的每个内角等于________，每个外角等于________，外角与中心角________（填“相等”或“不等”）。 4. 设正 n 边形的边长为 a，周长 C =________；设边心距为 r，则面积 S =________。 5. 正六边形的边长________它的外接圆半径 R（填“等于”或“不等于”）。 6. 正五边形的中心角等于________°。 7. 正方形（正四边形）的中心角等于________°，每个内角等于________°。 8. 正六边形的外接圆半径 R = 4，则它的边长等于________，周长等于________。 【前置作业参考答案】 1. 正；n　　 2. 中心；半径；中心角；　　 3. ；；相等　　 4. na；　　 5. 等于　　 6. 72　　 7. 90；90　　 8. 4；24 二.基础巩固 【题型1】中心角、内角、外角互求 1.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图所示的齿轮有20个齿，相邻两齿之间的间隔相等．相邻两齿与圆心连线的夹角为多少度？如果让这样的齿轮旋转1周，那么在旋转过程中有多少次和原图形重合？ 【答案】，20次 【分析】由一个圆的圆心角为 ，可得相邻两齿间的圆心角α的度数，根据旋转角为α即可解答； 解：∵齿轮有20个齿，相邻两齿之间的间隔相等， ∴此图形可以看成正二十边形， 相邻两齿与圆心连线的夹角． 如果让这样的齿轮旋转1周，那么在旋转过程中有20次和原图形重合． 2.（2026·辽宁沈阳·二模）下列图形是由圆及其内接正多边形组成的，将其绕圆心旋转后，能与原图形完全重合的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正多边形的旋转对称性，正边形绕中心旋转的整数倍能与自身重合，分别计算各选项图形的最小旋转角进行判断即可． 解：A． 正三角形，，最小旋转角为，不是的整数倍，不能重合； B． 正方形，，最小旋转角为，是的整数倍，能重合； C． 正五边形，，最小旋转角为，不是的整数倍，不能重合； D． 正六边形，，最小旋转角为，不是的整数倍，不能重合． 3.（2026·重庆北碚·模拟预测）若一个正多边形的内角和比它的外角和多，则这个正多边形的中心角度数为_____． 【答案】/40度 【分析】本题考查多边形内角和定理，多边形外角和性质以及正多边形中心角的计算，掌握多边形内角和定理是解题的关键． 根据题意设正多边形的边数为，利用内角和与外角和的关系列方程求出边数，再计算正多边形的中心角度数即可． 解：设这个正多边形的边数为，任意多边形的外角和为， 根据题意，得， 解得， 正多边形的中心角和为，因此这个正多边形的中心角度数为． 4.（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）中国古代窗户的设计体现了深厚的文化和智慧，如图所示的是一个正八边形窗户示意图，点是该正八边形的中心，分别为边的中点．连接，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握正边形的每个中心角都等于是解题的关键． 连接，根据点是正八边形的中心，求得，然后根据等腰三角形的性质，得解答即可． 解：如图，连接． 点是正八边形的中心， ， 又是的中点， ． 【题型2】由 R、边心距、边长用勾股定理互求 1.（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，等边三角形 的边长为 ，求它的中心角、半径和边心距． 【答案】等边三角形 的中心角为 ，半径为 ，边心距为 【分析】设等边三角形 的中心为点 ，过点 作 于点 ，连接 ，，再解直角三角形即可. 解：如图， 设等边三角形 的中心为点 ，过点 作 于点 ，连接 ，，则 ，，． ． ． 设 ，则 ． 在 中，， 即 ． 解得 （负值已舍去）． ，． 等边三角形 的中心角为 ，半径为 ，边心距为 ． 【点睛】本题考查的是正多边形的中心角、半径和边心距，锐角三角函数的应用，熟记概念是解本题的关键. 2.（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，解直角三角形，如图，点是的圆心，是的半径，过点作于点，设的半径为，利用正多边形的性质和锐角三角函数分别表示出边心距，进而即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键． 解：如图，点是的圆心，是的半径，过点作于点，设的半径为， 当圆的内接多边形是正三角形时，圆心角， ∴， ∴； 当圆的内接多边形是正方形时，圆心角， ∴， ∴； 当圆的内接多边形是正六边形时，圆心角， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3.（2025·黑龙江绥化·模拟预测）已知为直角三角形，，若将三角形绕点旋转，将会形成两个同心圆，则小圆内接正四边形与大圆内接正六边形的边心距之比是___________． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆的综合，掌握勾股定理，边心距的计算方法是关键． 根据题意作图，得到是小圆的边心距，是大圆的边心距，运用勾股定理，含角的直角三角形的性质得到其值的大小，由此即可求解． 解：如图所示，四边形是小圆内接正四边形，六边形是大圆内接正六边形，小圆与的边交于点，过点作于点，作于点， ∵， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵六边形是大圆内接正六边形， ∴每个内角的度数为， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 4.（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的中心为原点O，顶点A，D在x轴上，半径为．求其各个顶点的坐标． 【答案】，，，，， 【分析】本题考查了正多边形的中心角、等边三角形的判定与性质、勾股定理、点坐标与轴对称，熟练掌握正多边形的性质是解题关键．过点作轴于点，连接，先求出，，再根据等边三角形的判定与性质可得，利用勾股定理可得，然后根据点坐标与轴对称变换规律求解即可得． 解：如图，过点作轴于点，连接， ∵正六边形的中心为原点，半径为， ∴，，正六边形关于轴和轴对称， ∴是等边三角形，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 又∵点与点关于轴对称、点与点关于轴对称、点与点关于轴对称、点与点关于轴对称， ∴，，，， 综上，正六边形各个顶点的坐标分别为，，，，，． 【题型3】正六边形边长等于外接圆半径 R 1.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的周长等于，正六边形内接于，求边心距的长． 【答案】边心距的长为 【分析】先求出的半径和一边所对的圆心角，再作出边心距，解直角三角形即可求出答案． 解：如图，连接，，作于点H． 的周长等于， ∴． 六边形是正六边形， ， ， 在直角三角形中， ， ， 解得（负值舍去）， 边心距的长为． 2.（2026·山东泰安·三模）如图，在边长为6的正六边形中，以点为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【分析】先求出正六边形的一个内角的度数，进而求出扇形的圆心角的度数，过点作，求出的长，再利用圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，进行求解即可． 解：∵正六边形， ∴，， ∴，， ∴， 过点作于点，则：， 设圆锥的底面圆的半径为，则：， ∴． 3.（2026·山东济南·二模）如图，正六边形的边长为6，以顶点为圆心、的长为半径作弧，则的长度为________． 【答案】 【分析】根据正六边形的内角和，弧长公式计算即可； 解：因为正六边形的一个外角为：， 故， 因为正六边形的边长为6，以顶点为圆心、的长为半径作弧， 故的长度为：； 4.（2026·江西·模拟预测）新素材正六边形蜂窝状置物架如图（1）是某阅览室墙上安装的正六边形蜂窝状置物架，将该置物架抽象成如图（2）所示的图形，点A，B，C，D，E，F均为正六边形的顶点，点O为的中点，每个正六边形的边长均为． （1）连接，求的长； （2）求该置物架所占用墙面的宽度 d． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添适当的辅助线是解题的关键． （1）连接并延长交的延长线于点 G，作于点R．先求出，，过点C作，垂足为H，证明四边形为矩形，得出，再根据勾股定理求出结论； （2）由题意得：共线，连接，过点Q作，垂足为N，则，求出，在求出，即可求出结论． （1）解：如图（1），连接并延长交的延长线于点 G，作于点R． ， ，   ，   ， ， ∴， ∴ ， ∵， ∴． 过点C作，垂足为H， 则， ∵ ∴四边形为矩形，     ， ∴， ； （2）如图（2），由题意得：共线，连接， 过点Q作，垂足为N， 则 ， 在中， ， ， 设左上角正六边形中心为点O，其左上角的顶点为W，连接， 则， 是等边三角形， ，    ， 答：该置物架所占用墙面的宽度 d为． 三.拓展培优 【题型1】正多边形周长与面积综合 1.（24-25九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，的周长等于，正六边形内接于． （1）求圆心到的距离． （2）求正六边形的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（）连接，过点作于点，由圆的周长可得，由正六边形的性质可得，即得，得到，再利用勾股定理解答即可求解； （）由（）可得是等边三角形，得到，可得，再根据解答即可求解． （1）解：如图，连接，过点作于点，则， ∵的周长等于， ∴半径， ∵六边形是正六边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即圆心到的距离为； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正多边形和圆，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 2.（25-26九年级上·湖北武汉·期末）正六边形的周长是12，则它的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定．过点O作于点G，证明是等边三角形，求出，得出，根据即可求解． 解：过点O作于点G，如图所示： ∵六边形为正六边形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3.（2026·河北邯郸·三模）如图，在正六边形中，对角线和交于点G，以为边，作正六边形，已知正六边形的周长为，则正六边形的面积是______． 【答案】/ 【分析】根据正六边形的周长求出边长，进而求出正六边形的边长，再根据正六边形的性质计算面积即可． 解：如图，作于点K，连接交于点O，作于点M． ∵正六边形GDHIJE的周长为， ∴， ∴． ∵正六边形的内角和为， ∴， ∴． ∵，， ∴， 即正六边形的边长为3． 由正六边形的性质可知，是等边三角形，． ∵， ∴． 4.（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）正六边形的边长为8，求这个正六边形的周长和面积． 【答案】周长，面积 【分析】本题主要考查了正六边形的性质，根据正多边形的性质，得出为等边三角形，即可解答．解题的关键是掌握正多边形每条边相等，以及中心角的求法． 解：正六边形的周长； 连接，过点O作于点G， ∵该六边形为正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， 正六边形的面积． 【题型2】等分圆周与尺规作图 1.（2026九年级上·江苏·专题练习）作图与证明：如图，已知和上的一点A，请完成下列任务： （1）作的内接正六边形； （2）连接，．判断四边形的形状并加以证明． 【答案】（1）解：如图，正六边形即为所求； （2）解：四边形是矩形，理由如下， 如图，连接， 六边形是正六边形， ，． ， ， ， ， 四边形是平行四边形． ，， 是等边三角形， ， ． ， ， ， 平行四边形是矩形． 【分析】（1）由正六边形的中心角为，可得是等边三角形，继而可得正六边形的边长等于半径，则可画出的内接正六边形； （2）连接，由六边形是正六边形，则，故，则可得，证得四边形是平行四边形，然后由，，求得，则可证得结论． 解：（1）略 （2）略 2.（25-26九年级上·北京·期中）我们可以只用圆规将圆等分，例如：将圆六等分，只需在上任取点A，从点A开始，以的半径为半径，在上依次截取点B，C，D，E，F，从而点A，B，C，D，E，F把六等分．下列可以只用圆规将圆等分的是（    ）． ①两等分；    ②三等分；    ③四等分． A．② B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查正多边形与圆、尺规作图、等分圆周等知识，解题的关键是理解将圆六等分的方法，属于作图中的难题． 通过圆规六等分圆后，可以利用六等分点间接得到两等分点和三等分点，但四等分点无法仅用圆规得到． 解：∵ 只用圆规可完成圆的六等分， 可以利用六等分点间接得到两等分点和三等分点， 但无法只用圆规得到四等分点， ∴ ①②可行，③不可行， 故选：B． 3.（2026·天津南开·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O为格点，⊙经过格点A． （1）⊙的周长等于____； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出⊙的内接等边，并简要说明点B，C的位置是如何找到的（不要求证明）_____． 【答案】 如图，延长交网格线于点D，取格点E，F，连接交网格线于点G，作直线交于点B，C，连接，，则即为所求． 【分析】（1）利用勾股定理可得答案； （2）延长交网格线于点D，取格点E，F，连接交网格线于点G，作直线交于点B，C，连接，，则即为所求． 解：（1）∵⊙的半径为：， ∴⊙的周长， 故答案为： （2）如图： ∵， 又∵， ∴， ∴． ∵，   ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴．   ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形． ∴， ∴， ∵， ∴，   ∴， ∴． ∵， ∴， ∵过圆心, ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【点睛】此题考查作图中的复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型． 4.（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）解决以下问题 （1）如图1，等腰内接于，，，连接并延长交于点D，交于点H．请你仅使用无刻度的直尺在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）； （2）如图2，是的外接圆，，P是⊙O上一点，请你只用无刻度的直尺，在⊙O上画一点D，使得平分； （3）如图3，在5×5的网格中，的三个顶点都在格点上，圆是的外接圆，只用无刻度的直尺在图3中上画出点F（点F不与点C重合），使得． 【答案】（1）正六边形为 （2）点即为所求 （3）点即为所求， 【分析】（1） 由已知条件可证为等边三角形，利用等边三角形外心的性质，结合对顶角相等，将圆周三等分后再将每段弧二等分，得到六段相等的弧，对应弦长构成正六边形； （2） 利用等腰三角形外接圆的性质，所在直线为的垂直平分线，延长交圆于点，则为的中点，再利用等弧所对圆周角相等，可得平分； （3） 利用网格构造全等三角形，通过对应角相等得到圆周角相等，进而得到所对弧相等，确定点的位置． （1）解：，， 为等边三角形， ， 的延长线交于点， 为的直径， ， ， 分别连接、并延长，交于点、， 、、三点共线， ， ， 、、三点共线， ， ， 圆上相邻两点间的圆心角均为， 弦， 顺次连接点、、、、、，所得六边形即为正六边形． （2）解：连接并延长，交于点，点即为所求。 ， 点在的垂直平分线上， 为外接圆的圆心， 点在的垂直平分线上， 直线为的垂直平分线， 直线平分， 点为的中点， ， ， 平分． （3）解：在点上方个单位处取格点，在点右侧个单位处取格点，连接交于点（不与重合），点即为所求。 ，，， ，，， ，，， ， ， 点在直线上， ， ， ． 四.中考链接 一、单选题 1．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何概率的知识，求出小正方形的面积是关键．设，则圆的直径为，求出小正方形的面积，即可求出几何概率． 解：如图：连接，，设，则圆的直径为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴小正方形的面积为：， 则飞镖落在阴影区域的概率为：． 故选：C． 2．（2026·四川雅安·中考真题）如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为（     ）    A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，解直角三角形是正确解答的关键． 根据正六边形的性质以及解直角三角形进行计算即可． 解：设半径为，由题意得，， 解得， ∵六边形是的内接正六边形， ∴， ∵， ∴是正三角形， ∴， ∴弦所对应的弦心距为， ∴． 故选：B． 3．（2026·内蒙古·中考真题）如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，对顶角的性质，直角三角形的性质，连接，设与相交于点，由圆的内接正多边形的性质可得，，即得，即可由圆周角定理得，进而由三角形内角和定理得，再由直角三角形两锐角互余得到，正确作出辅助线是解题的关键． 解：连接，设与相交于点， ∵正四边形和正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 4．（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）． 【答案】 【分析】连接正六边形的中心与各顶点，可将正六边形分割成个全等的等边三角形，求出其中一个等边三角形的面积，再乘以即可得到正六边形的面积． 解：如图，设正六边形的中心为， 连接、， 过点作于点 多边形是正六边形 ， 是等边三角形 在中，由勾股定理得： 正六边形的面积为： ． 5．（2026·山东东营·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，三角形的面积公式，勾股定理等，正确求出正八边形的面积是解题的关键．过点A作，求得，根据勾股定理可得，即可求解． 解： 如图，是正八边形的一条边，点O是正八边形的中心，过点A作， 在正八边形中， ∴ ∵，，解得： ∴ ∴正八边形为 ∴ ∴ ∴的估计值为 故答案为：． 6．（2026·江苏苏州·中考真题）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）______．（结果保留） 【答案】 【分析】题目主要考查正多边形与圆，解三角形，求弧长，过点C作，根据正多边形的性质得出为等边三角形，再由内心的性质确定，得出，利用余弦得出，再求弧长即可求解，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 解：如图所示：过点C作， ∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∵圆心C恰好是的内心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为：， ∴花窗的周长为：， 故答案为：． 三、解答题 7．（2026·宁夏·中考真题）如图，与正六边形相切，仅用无刻度直尺按要求作图，不写作法，保留作图痕迹． （1）作的角平分线； （2）过点画一条直线将图形分成面积相等的两部分． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，直线即为所求． 【分析】（1）连接，即可； （2）连接交于点G，作直线，即可．设直线分别与交于点M，N，结合正六边形的性质可得到，从而得到直线平分正六边形的面积，再结合圆的性质，可得直线平分的面积． 解：（1）略 （2）略 8．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，． （1）求证：； （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵，则，    ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2） 【分析】（1）如图，连接，证明，再证明，，可得，结合，从而可得结论； （2）如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，证明，，，可得，，求解，而，可得，，，可得，再求解x，利用进行计算即可． 解：（1）略 （2）如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，    ∵O为正方形中心， ∴，，而， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴， ∴，， 而正方形的边长， ∴， 解得：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 而， ∴． 【点睛】本题考查的是正多边形与圆，圆周角定理的应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，含的直角三角形的性质，扇形面积的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 五.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础巩固 □顺利 □有困难 拓展培优 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 30.3 正多边形与圆同步分层作业 2026—2027学年人教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础巩固 1 【题型1】中心角、内角、外角互求 1 【题型2】由 R、边心距、边长用勾股定理互求 3 【题型3】正六边形边长等于外接圆半径 R 3 三.拓展培优 5 【题型1】正多边形周长与面积综合 5 【题型2】等分圆周与尺规作图 6 四.中考链接 8 五.自我评价 11 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 1. 各边相等、各角相等的多边形叫做________多边形；把圆 n 等分，顺次连接各分点所得的多边形是这个圆的圆内接正________边形。 2. 正多边形外接圆的圆心叫做正多边形的________；外接圆的半径叫做正多边形的________；每一边所对的圆心角叫做________，正 n 边形的中心角等于________。 3. 正 n 边形的每个内角等于________，每个外角等于________，外角与中心角________（填“相等”或“不等”）。 4. 设正 n 边形的边长为 a，周长 C =________；设边心距为 r，则面积 S =________。 5. 正六边形的边长________它的外接圆半径 R（填“等于”或“不等于”）。 6. 正五边形的中心角等于________°。 7. 正方形（正四边形）的中心角等于________°，每个内角等于________°。 8. 正六边形的外接圆半径 R = 4，则它的边长等于________，周长等于________。 二.基础巩固 【题型1】中心角、内角、外角互求 1.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图所示的齿轮有20个齿，相邻两齿之间的间隔相等．相邻两齿与圆心连线的夹角为多少度？如果让这样的齿轮旋转1周，那么在旋转过程中有多少次和原图形重合？ 2.（2026·辽宁沈阳·二模）下列图形是由圆及其内接正多边形组成的，将其绕圆心旋转后，能与原图形完全重合的是（     ） A． B． C． D． 3.（2026·重庆北碚·模拟预测）若一个正多边形的内角和比它的外角和多，则这个正多边形的中心角度数为_____． 4.（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）中国古代窗户的设计体现了深厚的文化和智慧，如图所示的是一个正八边形窗户示意图，点是该正八边形的中心，分别为边的中点．连接，求的度数． 【题型2】由 R、边心距、边长用勾股定理互求 1.（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，等边三角形 的边长为 ，求它的中心角、半径和边心距． 2.（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为，则等于（   ） A． B． C． D． 3.（2025·黑龙江绥化·模拟预测）已知为直角三角形，，若将三角形绕点旋转，将会形成两个同心圆，则小圆内接正四边形与大圆内接正六边形的边心距之比是___________． 4.（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的中心为原点O，顶点A，D在x轴上，半径为．求其各个顶点的坐标． 【题型3】正六边形边长等于外接圆半径 R 1.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的周长等于，正六边形内接于，求边心距的长． 2.（2026·山东泰安·三模）如图，在边长为6的正六边形中，以点为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（    ） A．1 B． C． D．3 3.（2026·山东济南·二模）如图，正六边形的边长为6，以顶点为圆心、的长为半径作弧，则的长度为________． 4.（2026·江西·模拟预测）新素材正六边形蜂窝状置物架如图（1）是某阅览室墙上安装的正六边形蜂窝状置物架，将该置物架抽象成如图（2）所示的图形，点A，B，C，D，E，F均为正六边形的顶点，点O为的中点，每个正六边形的边长均为． （1）连接，求的长； （2）求该置物架所占用墙面的宽度 d． 三.拓展培优 【题型1】正多边形周长与面积综合 1.（24-25九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，的周长等于，正六边形内接于． （1）求圆心到的距离． （2）求正六边形的面积． 2.（25-26九年级上·湖北武汉·期末）正六边形的周长是12，则它的面积是（    ） A． B． C． D． 3.（2026·河北邯郸·三模）如图，在正六边形中，对角线和交于点G，以为边，作正六边形，已知正六边形的周长为，则正六边形的面积是______． 4.（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）正六边形的边长为8，求这个正六边形的周长和面积． 【题型2】等分圆周与尺规作图 1.（2026九年级上·江苏·专题练习）作图与证明：如图，已知和上的一点A，请完成下列任务： （1）作的内接正六边形； （2）连接，．判断四边形的形状并加以证明． 2.（25-26九年级上·北京·期中）我们可以只用圆规将圆等分，例如：将圆六等分，只需在上任取点A，从点A开始，以的半径为半径，在上依次截取点B，C，D，E，F，从而点A，B，C，D，E，F把六等分．下列可以只用圆规将圆等分的是（    ）． ①两等分；    ②三等分；    ③四等分． A．② B．①② C．①③ D．①②③ 3.（2026·天津南开·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O为格点，⊙经过格点A． （1）⊙的周长等于____； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出⊙的内接等边，并简要说明点B，C的位置是如何找到的（不要求证明）_____． 4.（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）解决以下问题 （1）如图1，等腰内接于，，，连接并延长交于点D，交于点H．请你仅使用无刻度的直尺在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）； （2）如图2，是的外接圆，，P是⊙O上一点，请你只用无刻度的直尺，在⊙O上画一点D，使得平分； （3）如图3，在5×5的网格中，的三个顶点都在格点上，圆是的外接圆，只用无刻度的直尺在图3中上画出点F（点F不与点C重合），使得． 四.中考链接 一、单选题 1．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·四川雅安·中考真题）如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为（     ）    A．4 B． C．6 D． 3．（2026·内蒙古·中考真题）如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）． 5．（2026·山东东营·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为_________． 6．（2026·江苏苏州·中考真题）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）______．（结果保留） 三、解答题 7．（2026·宁夏·中考真题）如图，与正六边形相切，仅用无刻度直尺按要求作图，不写作法，保留作图痕迹． （1）作的角平分线； （2）过点画一条直线将图形分成面积相等的两部分． 8．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，． （1）求证：； （2）若，，求阴影部分的面积． 五.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础巩固 □顺利 □有困难 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