专题 30.2 三角形的内切圆同步分层作业【基础巩固+拓展培优】- 2026-2027学年人教版九年级数学上册
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内容正文：
专题 30.2 三角形的内切圆同步分层作业
2026—2027学年人教版九年级数学上册（双减分层·核心素养）
目录
一.知识梳理（前置作业） 1
二.基础巩固 2
【题型1】认识内心（角平分线交点·到三边等距） 2
【题型2】用 ∠BIC = 90° + 求内心相关角 4
【题型3】切线长相等求切点线段 7
【题型4】面积法 S = 求内切圆半径 11
三.拓展培优 17
【题型1】直角三角形 r = 17
【题型2】内心与外心综合求角 22
【题型3】圆外切四边形对边和相等 28
【题型4】内切圆与周长、面积综合 35
四.中考链接 40
五.自我评价 53
一.知识梳理（前置作业）
请完成下列填空
1. 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的________；内切圆的圆心叫做三角形的________，它是三角形三条________的交点，它到三边的距离都________。
2. 设 I 为△ABC 的内心，则∠BIC = 90° + ________∠A（填系数）。
3. △ABC 的内切圆分别切 BC、AC、AB 于 D、E、F，则 AF =________，BF =________，CD =________。
4. 设△ABC 的面积为 S，内切圆半径为 r，周长为 l，则 S =________。
5. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，直角边为 a、b，斜边为 c，则内切圆半径 r =________（用 a、b、c 表示）。
6. 已知△ABC 的周长 l = 24，内切圆半径 r = 3，则面积 S =________。
7. Rt△ABC 中，∠C = 90°，a = 6，b = 8，c = 10，则内切圆半径 r =________。
8. 圆外切四边形两组对边的和________，即 AB + CD =________。
【前置作业参考答案】
1. 内切圆；内心；角平分线；相等 2. 3. AE；BD；CE 4.
5. 6. 36 7. 2 8. 相等；AD + BC
二.基础巩固
【题型1】认识内心（角平分线交点·到三边等距）
1．（26-27九年级上·北京·随堂练习）已知为的内切圆，则点O是的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点
【答案】D
解：∵是的内切圆，
∴点O是的内心，即三条角平分线的交点．
2．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）下列说法正确的是（ ）
A．三角形的内心是三边垂直平分线的交点
B．三角形的外心是三个内角平分线的交点
C．等腰直角三角形的内心与外心重合 D．等边三角形的内心与外心重合
【答案】D
【分析】本题考查三角形内心与外心的定义，内心：三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三个内角角平分线的交点．外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．结合定义逐一辨析选项．
解：∵三角形的内心是三个内角平分线的交点，外心是三边垂直平分线的交点．
∴A选项说法错误，B选项说法错误；
∵等腰直角三角形的外心在斜边中点处，内心在三角形内部，二者不重合．
∴C选项说法错误；
∵等边三角形的内角平分线与三边垂直平分线重合，其内心与外心为同一点．
∴D选项说法正确．
故选：D．
3．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）如图，点是的内心，过点作、、，垂足分别为点、、，下列结论一定成立的是（ ）
A．点是三条高的交点
B．点是三条中线的交点
C．点是三条角平分线的交点
D．点是三边垂直平分线的交点
【答案】D
【分析】本题主要考查三角形的内心和垂直平分线的性质，掌握三角形的内心是解题的关键．
首先根据点是的内心知道点是三条角平分线的交点，进而得到，再根据，得到点在和的垂直平分线上，即可推断点是三边垂直平分线的交点．
解：∵点是的内心，、、，
∴，
∵，
∴点在的垂直平分线上，
∵，
∴点在的垂直平分线上，
∴点是三边垂直平分线的交点，
故选：D．
【题型2】用 ∠BIC = 90° + 求内心相关角
1．（2026·山东青岛·一模）如图，是的内切圆，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形内角和定理可得，再由三角形内切圆的性质可得，即可求解．
解：∵，
∴，
∵是的内切圆，
∴平分，
∴，
∴，
∴．
2．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，根据三角形内心性质推出，再利用圆周角定理得到，最后根据三角形内角和求解，即可解题．
解：连接，
点是的内心，，
，
，
点是外接圆的圆心，
，
．
二、填空题
3．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，为的内切圆，若，则的度数为___________．
【答案】/123度
【分析】根据三角形的内心的性质求出，，再由三角形的内角和定理求解即可．
解：∵为的内切圆，
∴点O是的内心，即为三个内角的角平分线的交点，
∴，
，
∴．
4．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的内心为点，，则______．
【答案】/70度
【分析】利用三角形内心是角平分线交点的性质，得到，，再根据三角形内角和定理，在中求出的度数，等量代换即可得到．
解：的内心为点，
、分别平分、，
，，
在中，，
，
，
．
【题型3】切线长相等求切点线段
1．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，，是的两条切线，切点分别为，．连接，，，，与交于点，若，，则的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】根据切线的性质得到，，，推出是等边三角形，根据含30度直角三角形的性质求出，求出，进而求出．
解：∵，是的两条切线，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，，，
，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
2．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，P为外一点，分别切于M，N两点，若，则_____，______．
【答案】 5 /30度
解：∵分别切于M，N两点，，
∴，，
∵，
∴．
3．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，是的两条切线，A，B是切点，连接，若，，求的周长．
【答案】的周长为
【分析】连接，根据切线长定理可得，，进而可得为等边三角形，再根据勾股定理和含的直角三角形的性质求出，进而即可求出周长．
解：连接，如图：
∵，是的两条切线，A，B是切点，
∴，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
在含的中，，
∴，
∴的周长为．
4．（25-26九年级下·全国·单元复习）直线、是的两条切线，、分别为切点，且，的半径为．求切线长．（结果保留根号）
【答案】
【分析】连接，由切线长定理易求得，连接，在中，根据的半径及的度数即可求得的长．
解：如图，连接，
∵、分别切于点、，
∴，
连接，则，
中，，，
∴．
【题型4】面积法 S = 求内切圆半径
1．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，，于D，为的内切圆，设的半径为R，的长为h，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设与的切点为E、F、G，，，的半径为R，连接，结合，可得三角形周长为．一方面面积，另一方面三角形面积等于内切圆半径乘以周长的一半，即．因为两个表达式都表示的面积，所以联立两个式子消去和，即可得到与的比值．
解：设与的切点为E、F、G，，，的半径为R，连接，
由题得，，
∴的周长为．
以为底、为高，的面积为，
又∵的面积可表示为
，
∴联立等式，
得，
∴．
2．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，，，为的内切圆，且半径为，若的面积为，则的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【分析】本题考查了切线的性质，过分别作、、，分别交、、于、、，连接、、，由切线的性质得，由三角形的面积求解即可．
解：过分别作、、，分别交、、于、、，连接、、，
是的内切圆，且半径为，
，
，
，
解得，
故选：D．
二、填空题
3．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）已知的三边长为，，，则三角形内切圆半径为__________．
【答案】
【分析】本题主要考查的是勾股定理的定义、三角形的内心，解题的关键是画出图形，作于，连接，，，根据直角三角形的性质和勾股定理求出、的长，根据三角形的面积公式求出即可．
解：过点作，垂足为，连接，，，设内切圆的半径为，
设，则，
由勾股定理得：，．
．
解得：．
，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
4．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段检测）如图，O是的内心．
（1）若，则的度数为______；
（2）若，，，则的半径为______．
【答案】 /
【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、三角形内角和定理、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）根据三角形内角和性质，得，再结合三角形内心的性质，得，，再根据三角形内角和的性质计算，即可得到答案；
（2）过点A作于D，根据勾股定理的性质得，设的半径为r，利用三角形内切圆和三角形面积的关系列方程并计算，即可得到答案．
解：（1）∵，
∴，
∵O是的内心，
∴平分，平分，
∴，，
∴，
∴
故答案为：；
（2）如图，过点A作于D，
设，则，
根据勾股定理得，
解得，
∴，
∴，
∴．
设的半径为r，
∵，即，
∴，
故答案为：．
三.拓展培优
【题型1】直角三角形 r =
1.（25-26九年级上·山西临汾·期末）如图，中，，是的内切圆，D，E，F是切点．
（1）求证：四边形ODCE是正方形；
（2）如果，，求内切圆的半径．
【答案】（1）证明：∵BC，AC分别切于点D，E，
∴，，
又∵，
∴四边形ODCE是矩形，
又∵，
∴矩形ODCE是正方形．
（2）1
【分析】（1）根据切线判定定理可得，先证四边形ODCE是矩形，再根据正方形的判定即可求证；
（2）设的半径为r，根据正方形的性质可得，从而得到，，再由切线长定理可得，，然后根据，即可求解．
解：（1）略．
（2）解：设的半径为r，
∵四边形ODCE是正方形，
∴，
在中，，
∴，，
∵与各边相切于点D，E，F，
∴，，
又∵，
∴，解得
∴内切圆的半径是1．
【点睛】本题主要考查了切线长定理，矩形的判定，正方形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线长定理，正方形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
2.（25-26九年级上·江西南昌·期末）如图，在Rt中，，是的内切圆，三个切点分别为，，，若，，则的半径是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】C
【分析】本题考查切线长定理、三角形的内切圆及勾股定理，解题的关键是理解切线长定理、三角形的内切圆的性质．
根据切线长定理得到，，，代入求解即可得到答案．
解：连接，，
设的半径为，
在四边形中，，
四边形为矩形，
又，
四边形为正方形，
则，
由切线长定理得：，，
，，
在中，，
，
解得：或（负值舍去），
故选：C．
3.（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，为的内切圆，切点分别为，已知，则的半径为__________．
【答案】1
【分析】本题考查了三角形内切圆，切线的性质，勾股定理等知识﹒
连接证明四边形为正方形﹒设的半径为r，则﹒根据切线长定理得到，在中，根据勾股定理得到方程，解方程，舍去不合题意解即可﹒
解：如图，连接﹒
∵为切线，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴矩形为正方形﹒
设的半径为r，则﹒
∵为的内切圆，
∴，
∴在中，根据勾股定理得，
解得（舍去）﹒
∴的半径为1﹒
故答案为：1
4.（25-26九年级上·陕西延安·期末）如图，在中，，，，是的内切圆，分别切边于点D，E，F．
（1）求的半径．
（2）若Q是的外心，连接，求的长度．
【答案】（1）1；（2）
【分析】（1）先利用勾股定理求得，利用三角形面积公式，即可求解；
（2）证明四边形为正方形，边长为1，再利用切线长定理结合勾股定理即可．
（1）解：如图，连接，设的半径为r．
∵是的内切圆，分别切边于点D，E，F，
∴，，．
在中，，，，
∴．
∵，
∴，
解得，
∴的半径为1；
（2）解：∵是的内切圆，分别切边于点D，E，F，
∴，，．，，．
∴四边形为正方形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∴．
∵Q是的外心，
∴，
∴．
在中，，即，
解得（负值舍去）．
【点睛】此题考查了三角形的内切圆的性质、切线长定理、正方形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
【题型2】内心与外心综合求角
1.（25-26九年级下·安徽蚌埠·阶段检测）如图，在中，O是内心，点E，F都在大边上，已知．
（1）求证：O是的外心；
（2）若，求的大小．
【答案】（1）证明：连接，
∵O是的内心，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴O是的外心；
（2）的度数是
【分析】（1）连接，证，推出即可；
（2）根据三角形的内角和定理求出，再根据三角形的内角和定理求出即可．
解：（1）略
（2）解：∵O是的外心，
∴，
∵，，
∴，
∴，
同理，
∴
，
答：的度数是．
【点睛】本题主要考查对三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．
2.（2025九年级上·广东广州·专题练习）如图，点为的外心，点为的内心，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查三角形的外心与内心的性质，熟练掌握三角形的外心与内心的性质是解题的关键；连接，由外心的性质可知，根据内心的性质可知，然后可得，进而问题可求解．
解：连接，如图所示：
由内心可知：分别是内角的角平分线，
∵点O为的外心，，
∴根据圆周角定理可知：，
∴，
∵分别是的角平分线，
∴，
∴，
∴；
故选A．
3.（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知，分别是的外心和内心，，则的大小是______．
【答案】或
【分析】本题考查三角形的外心和内心的性质．外心是三角形外接圆的圆心，给定，根据点的位置不同，有两种可能值；内心是三角形角平分线的交点，利用公式计算即可．
解：∵是的外心，，
∴当点在优弧上时，，
，
∵是的内心，
，
，
∴；
当点在劣弧上时，，
，
∵是的内心，
，
，
∴．
故答案为：或．
4.（25-26九年级下·全国·单元测试）如图所示，已知△ABC的内心为I，外心为O
（1）试找出∠A与∠BOC，∠A与∠BIC的数量关系
（2）由（1）题的结论写出∠BOC与∠BIC的关系
【答案】（1）∠A=BOC．∠BIC=90°+∠A；（2）∠BIC=90°+∠BOC．
【分析】（1）根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半得到∠A与∠BOC的数量关系；根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理确定∠A与∠BIC的数量关系．
（2）根据（1）中的数量关系消去∠A即可得到两角之间的关系．
解：（1）∠A为⊙O中弧BC所对的圆周角，由圆周角定理得∠A=BOC．
∵I是△ABC的内心，
∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB．
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∠IBC+∠ICB+∠BIC=180°，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-∠A）=90°+∠A．
（2）由（1）得∠BIC=90°+∠A=90°+∠BOC=90°+∠BOC，
即∠BOC和∠BIC的关系是∠BIC=90°+∠BOC．
【点睛】此题主要考查了三角形的内心与外心，此题中可以熟记：当O是外心时，则∠BOC=∠A；当I是内心时，则∠BIC=90+∠A
【题型3】圆外切四边形对边和相等
1.（2026九年级·全国·专题练习）如图所示，已知的外切等腰梯形，，梯形中位线为，求证：.
【答案】证明：∵等腰梯形ABCD是的外切等腰梯形，
∴AD+BC=AB+CD=2AB，
∵梯形中位线为EF，
∴AD+BC=2EF，
∴EF=AB.
【分析】由切线长定理可得AD+BC=AB+CD=2AB，根据梯形中位线定理可得AD+BC=2EF，进而可得EF=AB.
解：略
【点睛】本题考查切线长定理及梯形的中位线，从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角；熟知圆外切四边形对边和相等是解题关键.
2.（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在四边形中，，，与四边形各边都相切，连接，若的半径为2，，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设切点依次为点E、F、G、H，连接，，，，，，，，分别过点A、D作的垂线，垂足为M、N，由切线长定理可以推出，．根据内切圆半径与多边形面积和周长之间关系可以算出，梯形的高为4，使用勾股定理和矩形的性质算出下底，，最后使用勾股定理算出的值．
解：如图，设切点依次为点E、F、G、H，连接，，，，，，，，分别过点A、D作的垂线，垂足为M、N，设半径为，
与四边形各边都相切，由切线长定理可知，，，，，
∴，
，
，
∵，
∴，
由切线的性质可知，，，，，
∴，
，
，
，
，
∵在四边形中，，，
∴四边形是等腰梯形，
设梯形的高为h，
则，即，
解得，，
∵，，
∴，
在直角中，，
同理，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴ ，
∵，
∴，解得，，
∴，
在直角中，．
故选：B．
【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，矩形的判定与性质，梯形的性质和勾股定理，熟练掌握切线相关的定理是解题关键．
3.（25-26九年级下·全国·课后作业）将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB＝，则四边形AB1ED的内切圆半径为_________
【答案】
【分析】首先作∠DAF与∠AB1C1的角平分线，交于点O，则O为该圆的圆心，过O作OF⊥AB1交AB1于点F，则OF即为所求，根据角平分线的性质可得∠OAF=30°，∠AB1O=45°，根据等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形性质可得B1F=x，AF=-x，接下来在Rt△OFA，利用勾股定理即可得到关于x的方程，解方程即可求解.
解：作∠DAF与∠AB1C1的角平分线，交于点O，过O作OF⊥AB1交AB1于点F，
AB=AB1=，∠BAB1=30°，
∵四边形AB1C1D1是正方形，∠DAF与∠AB1C1的角平分线交于点O，∠BAB1=30°
∴∠OAF=30°，∠AB1O=45°
∵OF⊥AB1
∴B1F=OF=OA
设B1F=x，则AF=-x
∴（-x）2+x2=（2x）2
解得x=或x=（舍去）
即四边AB1ED的内切圆的半径为.
故答案为.
【点睛】此题主要考查了正方形中的旋转问题，添加合适的辅助线是解题关键.
4.（25-26九年级上·江西新余·阶段检测）我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形．
如图，与的三边，，分别相切于点，，则叫做的外切三角形，以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形．
如图，与四边形的边，，，分别相切于点，，，，则四边形叫做的外切四边形．
（1）如图，试探究圆外切四边形的两组对边，与，之间的数量关系，猜想：______（横线上填“”，“”或“”）；
（2）利用图证明你的猜想；
（3）若圆外切四边形的周长为．相邻的三条边的比为．求此四边形各边的长．
【答案】（1）；（2）已知：四边形的四边，，，都于相切于，，，，
求证：，
证明：，和相切，
，
同理：，，，
，
即：圆外切四边形的对边和相等；
（3），，，
【分析】（1）根据圆外切四边形的定义猜想得出结论；
（2）根据切线长定理即可得出结论；
（3）根据圆外切四边形的性质求出第四边，利用周长建立方程求解即可得出结论．
（1）解：与四边形的边，，，分别相切于点，，，，
猜想，
故答案为：；
（2）略
（3）解：相邻的三条边的比为∶∶，
设此三边为，，，
根据圆外切四边形的性质得，第四边为，
圆外切四边形的周长为，
，
，
此四边形的四边的长为，，，．
即此四边形各边的长为：，，，．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了新定义圆的外切四边形的性质，四边形的周长，切线长定理，理解和掌握圆外切四边形的定义是解本题的关键．
【题型4】内切圆与周长、面积综合
1.（25-26九年级·全国·单元复习）如图，已知的内切圆的半径为r，的周长为l，求的面积S．
【答案】．
【分析】利用三角形内切圆的性质结合三角形面积求法得出即可．
解：如图所示：
设△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC的切点分别为D，E，F，
故AB×r＋×BC×r＋×AC×r＝S，
则S＝r（AB＋BC＋AC）＝lr．
【点睛】此题主要考查了三角形内切圆与内心，正确表示出S的值是解题关键．
2.（2026·湖南长沙·二模）如图，是的内切圆，若的周长为8，面积为4，则的半径是（ ）
A．1 B． C．1.5 D．2
【答案】A
【分析】连接圆心与三角形三个顶点，将大三角形分割为三个小三角形，利用三角形面积公式（其中为周长，为内切圆半径）建立等量关系求解．
解：设的半径为，
连接，
∵是的内切圆，
∴点到的距离都等于，
∴
，
∵的周长为8，面积为4，
∴，
解得．
3.（第2章直线与圆的位置关系（单元测试）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（浙教版））如图，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，且，的周长为24，则的长为 ______．
【答案】9
【分析】本题考查三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，推出及是解题的关键．
由的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，且，得，，，所以，由，得，则，于是得到问题的答案．
解：∵的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，且，
∴，，，
∴，
∵的周长为24，
∴，
∴，
∴，
故答案为：9．
4.（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，圆内切于，切点分别为、、．
（1）求的周长；
（2）求内切圆的面积．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用切线长定理以及相似三角形的判定与性质得出DE，的长，进而得出答案；
（2）利用勾股定理得出△ABC内切圆的半径，进而得出内切圆的面积．
解：（1）连接，，，
∵，，圆内切于，切点分别为、、，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为：；
（2）连接，，
由（1）得：，
设，则，
∴，
∴，
解得：，
∴内切圆的面积为：．
【点睛】此题主要考查了三角形内心的性质以及切线长定理和相似三角形的性质和判定等知识，根据题意得出FO的长是解题关键．
四.中考链接
一、单选题
1．（2026·广东广州·中考真题）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（ ）
A．2r， B．0，
C．2r， D．0，
【答案】D
【分析】如图，连接．利用切线长定理，圆周角定理，切线的性质解决问题即可．
解：如图，连接．
∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是掌握切线的性质，属于中考常考题型．
2．（2026·四川德阳·中考真题）魏晋时期的数学家刘徽曾为《九章算术》作注，其中关于“勾股容圆术”的注解引起了数学兴趣小组的关注，同学们在综合实践活动中，对如下问题进行了深入探讨：在中，，，，是的内切圆，与边，分别切于点，．过点作的平行线分别交，于点，，连接，他们得到如下结论：
①；
②；
③的周长是6；
④的面积是3．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】证明四边形是正方形，可得，进一步可得①错误；证明，结合，可得②正确；利用内切圆的性质可得，进一步可得③正确；证明，可得，进一步求解即可．
解：∵是的内切圆，与边，分别切于点，．
∴，，，
∵，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵在中，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴不平行，故①错误；
∵是的内切圆，
∴平分，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵是的内切圆，记与切于点，如图，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∵在中，，，，，，
∴，
∴，
∴，，
∴的周长是，故③正确；
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故④错误．
综上：正确的是②③．
二、填空题
3．（2026·山东德州·中考真题）有一张如图所示的四边形纸片，，，为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为________cm．
【答案】
【分析】连接，作的平分线交于点 ，作于 ，如图求得 ，则 ， ，所以平分 和 ，加上平分 ，根据角平分线性质得到点到四边形的各边的距离相等，则得到是四边形的内切圆，它是所求的面积最大的圆形纸片，其半径为，接着证明为等腰直角三角形得到，设，则，，然后证明 ，利用相似比可计算出．
解：连接，作的平分线，交于点O，作 于，
在和 中，
，
∴，
∴ ，
平分 和 ，
平分 ，
点到四边形的各边的距离相等，
∴是四边形的内切圆，它是所求的面积最大的圆形纸片，其半径为，
，
，
∴为等腰直角三角形，
，
设，则，，
∵，，
∴，
，
即 ，
．
即的半径为，
∴圆形纸片的半径为．
故答案为：
【点睛】本题考查四边形的内切圆，角平分线的性质，相似三角形的判定及性质，证明该四边形的内切圆是所求的面积最大的圆是解题的关键．
4．（2026·四川内江·中考真题）如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为________．
【答案】
【分析】在取点F，使，连接，，过点F作于H，利用三角形内心的定义可得出，利用证明，得出，则，当C、P、F三点共线时，最小，最小值为，利用含的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，即可．
解：在取点F，使，连接，，过点F作于H，
∵I是的内心，
∴平分，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
当C、P、F三点共线时，最小，最小值为，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的内心，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和含的直角三角形是解题的关键．
三、解答题
5．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，，请你用尺规作图法，求作的内切圆（保留作图痕迹,不写作法）
【答案】如图，即为所求．
【分析】本题主要考查了作三角形内切圆，角平分线的尺规作图，熟知三角形内切圆圆心是三角形三条角平分线的交点是解题的关键．
由于三角形内切圆圆心是三角形三条角平分线的交点，则由三线合一定理可知内切圆圆心一定在上，则只需要作的角平分线与的交点即为内切圆圆心，由此作图即可．
解：略
6．（2026·四川达州·中考真题）如图，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于C点，B的坐标为，C的坐标为，顶点为M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，过第四象限内抛物线上一点作的平行线，交x轴于点E，交y轴于点F．
①连接，当时，求内切圆半径r与外接圆半径R的比值；
②连接，当点F在的内角平分线上，上的动点P满足的值最小时，求的面积．
【答案】（1）；（2）①；②的面积为2或3或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①先求出点A的坐标，进而可判断，是等腰直角三角形，然后根据的外接圆直径是，可得其外接圆的半径，再利用等积法求出r，即可解决问题；
②先求得抛物线的顶点M的坐标和对称轴与x轴的交点T的坐标，作轴于点P，可得，继而可得，于是可得当M、P、Q三点共线且轴时，的值最小，此时Q、T重合，然后分点F在不同内角平分线上共三种情况，外加当点重合于点O时，此时点F在的平分线上这种特殊情况，讨论求解即可．
（1）解：把B的坐标，C的坐标代入抛物线的解析式。
得，解得：，
∴抛物线的解析式是；
（2）解：①令，
解得：，
∴，
∵B，C，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵,
∴，
∴当时，是等腰直角三角形，且，
∴，
∴的外接圆直径是，
则其外接圆的半径，
∵，
∴，即，
解得：，
∴；
②∵，
∴抛物线的对称轴是直线，顶点M的坐标是，
∴直线与x轴的交点T的坐标是，
作轴于点P，则在直角三角形中，，
∴，
∴当M、P、Q三点共线且轴时，的值最小，此时Q、T重合，
当点F在的内角的平分线上即时，如图，
∵，
∴，
∴，
∴E、T重合，
∵B，C，
∴直线的解析式是，
当时，，
∴点P的坐标是，
∴，
∴；
当点F在的内角的平分线上时，如图，作于点K，
则，
设，则，
∵，且,
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
由于，
∴点F不可能在的内角的平分线上；
当点重合于点O时，此时平分即点F在的平分线上，符合题意，则，
∴；
综上：的面积为2或3或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、平行线的性质、角平分线的性质、解直角三角形、三角形的内切圆和外接圆等知识，综合性强、难度较大，属于中考压轴题，熟练掌握函数、图形等相关知识的综合应用、灵活应用数形结合思想是解题的关键.
五.自我评价
作业板块
完成情况
错题题号
易错点记录
基础巩固
□顺利 □有困难
拓展培优
□顺利 □有困难
中考链接
□顺利 □有困难
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专题 30.2 三角形的内切圆同步分层作业
2026—2027学年人教版九年级数学上册（双减分层·核心素养）
目录
一.知识梳理（前置作业） 1
二.基础巩固 2
【题型1】认识内心（角平分线交点·到三边等距） 2
【题型2】用 ∠BIC = 90° + 求内心相关角 3
【题型3】切线长相等求切点线段 4
【题型4】面积法 S = 求内切圆半径 5
三.拓展培优 6
【题型1】直角三角形 r = 6
【题型2】内心与外心综合求角 7
【题型3】圆外切四边形对边和相等 8
【题型4】内切圆与周长、面积综合 10
四.中考链接 11
五.自我评价 14
一.知识梳理（前置作业）
请完成下列填空
1. 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的________；内切圆的圆心叫做三角形的________，它是三角形三条________的交点，它到三边的距离都________。
2. 设 I 为△ABC 的内心，则∠BIC = 90° + ________∠A（填系数）。
3. △ABC 的内切圆分别切 BC、AC、AB 于 D、E、F，则 AF =_____，BF =_____，CD =________。
4. 设△ABC 的面积为 S，内切圆半径为 r，周长为 l，则 S =________。
5. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，直角边为 a、b，斜边为 c，则内切圆半径 r =________（用 a、b、c 表示）。
6. 已知△ABC 的周长 l = 24，内切圆半径 r = 3，则面积 S =________。
7. Rt△ABC 中，∠C = 90°，a = 6，b = 8，c = 10，则内切圆半径 r =________。
8. 圆外切四边形两组对边的和________，即 AB + CD =________。
二.基础巩固
【题型1】认识内心（角平分线交点·到三边等距）
1．（26-27九年级上·北京·随堂练习）已知为的内切圆，则点O是的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点
2．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）下列说法正确的是（ ）
A．三角形的内心是三边垂直平分线的交点
B．三角形的外心是三个内角平分线的交点
C．等腰直角三角形的内心与外心重合 D．等边三角形的内心与外心重合
3．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）如图，点是的内心，过点作、、，垂足分别为点、、，下列结论一定成立的是（ ）
A．点是三条高的交点 B．点是三条中线的交点
C．点是三条角平分线的交点 D．点是三边垂直平分线的交点
【题型2】用 ∠BIC = 90° + 求内心相关角
1．（2026·山东青岛·一模）如图，是的内切圆，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，为的内切圆，若，则的度数为___________．
4．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的内心为点，，则______．
【题型3】切线长相等求切点线段
1．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，，是的两条切线，切点分别为，．连接，，，，与交于点，若，，则的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
2．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，P为外一点，分别切于M，N两点，若，则_____，______．
3．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，是的两条切线，A，B是切点，连接，若，，求的周长．
4．（25-26九年级下·全国·单元复习）直线、是的两条切线，、分别为切点，且，的半径为．求切线长．（结果保留根号）
【题型4】面积法 S = 求内切圆半径
1．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，，于D，为的内切圆，设的半径为R，的长为h，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，，，为的内切圆，且半径为，若的面积为，则的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
二、填空题
3．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）已知的三边长为，，，则三角形内切圆半径为__________．
4．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段检测）如图，O是的内心．
（1）若，则的度数为______；
（2）若，，，则的半径为______．
三.拓展培优
【题型1】直角三角形 r =
1.（25-26九年级上·山西临汾·期末）如图，中，，是的内切圆，D，E，F是切点．
（1）求证：四边形ODCE是正方形；
（2）如果，，求内切圆的半径．
2.（25-26九年级上·江西南昌·期末）如图，在Rt中，，是的内切圆，三个切点分别为，，，若，，则的半径是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
3.（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，为的内切圆，切点分别为，已知，则的半径为__________．
4.（25-26九年级上·陕西延安·期末）如图，在中，，，，是的内切圆，分别切边于点D，E，F．
（1）求的半径．
（2）若Q是的外心，连接，求的长度．
【题型2】内心与外心综合求角
1.（25-26九年级下·安徽蚌埠·阶段检测）如图，在中，O是内心，点E，F都在大边上，已知．
（1）求证：O是的外心；
（2）若，求的大小．
2.（2025九年级上·广东广州·专题练习）如图，点为的外心，点为的内心，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3.（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知，分别是的外心和内心，，则的大小是______．
4.（25-26九年级下·全国·单元测试）如图所示，已知△ABC的内心为I，外心为O
（1）试找出∠A与∠BOC，∠A与∠BIC的数量关系
（2）由（1）题的结论写出∠BOC与∠BIC的关系
【题型3】圆外切四边形对边和相等
1.（2026九年级·全国·专题练习）如图所示，已知的外切等腰梯形，，梯形中位线为，求证：.
2.（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在四边形中，，，与四边形各边都相切，连接，若的半径为2，，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
3.（25-26九年级下·全国·课后作业）将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB＝，则四边形AB1ED的内切圆半径为_________
4.（25-26九年级上·江西新余·阶段检测）我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形．
如图，与的三边，，分别相切于点，，则叫做的外切三角形，以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形．
如图，与四边形的边，，，分别相切于点，，，，则四边形叫做的外切四边形．
（1）如图，试探究圆外切四边形的两组对边，与，之间的数量关系，猜想：______（横线上填“”，“”或“”）；
（2）利用图证明你的猜想；
（3）若圆外切四边形的周长为．相邻的三条边的比为．求此四边形各边的长．
【题型4】内切圆与周长、面积综合
1.（25-26九年级·全国·单元复习）如图，已知的内切圆的半径为r，的周长为l，求的面积S．
2.（2026·湖南长沙·二模）如图，是的内切圆，若的周长为8，面积为4，则的半径是（ ）
A．1 B． C．1.5 D．2
3.（第2章直线与圆的位置关系（单元测试）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（浙教版））如图，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，且，的周长为24，则的长为 ______．
4.（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，圆内切于，切点分别为、、．
（1）求的周长；
（2）求内切圆的面积．
四.中考链接
一、单选题
1．（2026·广东广州·中考真题）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（ ）
A．2r， B．0，
C．2r， D．0，
2．（2026·四川德阳·中考真题）魏晋时期的数学家刘徽曾为《九章算术》作注，其中关于“勾股容圆术”的注解引起了数学兴趣小组的关注，同学们在综合实践活动中，对如下问题进行了深入探讨：在中，，，，是的内切圆，与边，分别切于点，．过点作的平行线分别交，于点，，连接，他们得到如下结论：
①；
②；
③的周长是6；
④的面积是3．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
3．（2026·山东德州·中考真题）有一张如图所示的四边形纸片，，，为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为________cm．
4．（2026·四川内江·中考真题）如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为________．
三、解答题
5．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，，请你用尺规作图法，求作的内切圆（保留作图痕迹,不写作法）
6．（2026·四川达州·中考真题）如图，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于C点，B的坐标为，C的坐标为，顶点为M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，过第四象限内抛物线上一点作的平行线，交x轴于点E，交y轴于点F．
①连接，当时，求内切圆半径r与外接圆半径R的比值；
②连接，当点F在的内角平分线上，上的动点P满足的值最小时，求的面积．
五.自我评价
作业板块
完成情况
错题题号
易错点记录
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