专题 29.3 弧长和扇形同步分层作业【基础巩固+拓展培优】- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题 29.3 弧长和扇形同步分层作业【基础巩固+拓展培优】 2026—2027学年人教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础巩固 2 【题型1】弧长公式直接计算 2 【题型2】扇形面积公式与反求圆心角、半径 5 【题型3】弓形面积计算 8 【题型4】圆锥侧面积与全面积 13 三.拓展培优 16 【题型1】弧长扇形综合（传动带·滚动·弯道） 16 【题型2】多扇形组合阴影面积 19 【题型3】圆锥展开圆心角与最短路径 23 【题型4】圆锥实际应用（蒙古包·1海里·烟囱帽） 27 四.中考链接 31 五.自我评价 39 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 1. 半径为 R、圆心角为 n° 的弧长公式为 l = ________。 2. 扇形面积公式 = ________ = （用弧长 l 表示时）。 3. 劣弧弓形的面积等于扇形面积________对应弓形所对三角形的面积（填“加”或“减”）。 4. 圆锥的侧面展开图是一个________；圆锥底面周长 2πr 等于展开扇形的________。 5. 圆锥侧面积 = ________；全面积 = ________，其中 l 表示圆锥的________。 6. 半径为 6、圆心角为 60° 的弧长 l = ________（结果保留 π）。 7. 半径为 4、圆心角为 90° 的扇形面积 S = ________（结果保留 π）。 8. 圆锥底面半径 r = 3、母线 l = 5，则侧面积 = ________。 【前置作业参考答案】 1. 　　 2. 　　 3. 减　　 4. 扇形；弧长　　 5. πrl；πr（l+r）；母线长　　6. 2π　　 7. 4π　　 8. 15π 二.基础巩固 【题型1】弧长公式直接计算 【例题1】（24-25九年级下·湖南湘西·开学考试）如图，已知四边形内接于，．连接，若且的半径为6，求的长． 【答案】 【分析】本题考查弧长的计算、圆内接四边形的性质．根据题意可以得到是直径，然后根据且的半径为6，即可求得的长． 解：四边形内接于，， 是直径， 且的半径为6， ∴， ∴的长是：， 即的长． 【变式1】（2026九年级下·山东·专题练习）圆心角为，半径为3的扇形弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 根据弧长公式进行计算即可． 解：， 故选：B． 【变式2】（25-26六年级下·上海浦东新·期末）某同学发现路边的路障可以近似看作一个圆锥，测量得底面半径为，通过计算，这个圆锥的侧面展开图的弧长为______． 【答案】 【分析】圆锥的侧面展开图的弧长即是圆锥底面圆的周长，根据已知条件，结合圆的周长公式即可求出答案． 解：∵底面半径为， ∴底面圆的周长为， 即这个圆锥的侧面展开图的弧长为． 【变式3】（25-26九年级上·河南安阳·期中）“抖空竹”在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．小颖玩“抖空竹”游戏时发现可以将某时刻的情形抽象成数学问题．如图，分别与相切于点，延长交于点，连接的半径为2，． （1）连接，判断四边形的形状，并说明理由； （2）求劣弧的长； 【答案】（1）四边形为正方形， 理由：∵，分别与相切， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形； （2） 【分析】本题考查了切线的性质，正方形的判定，弧长的计算， （1）根据切线的性质得到，根据正方形的判定定理即可得到结论； （2）由（1）知，四边形是正方形，求得，根据弧长公式即可得到结论； 解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法． 解：（1）略 （2）解：由（1）可知，四边形为正方形， ∴， ∴劣弧的长． 【题型2】扇形面积公式与反求圆心角、半径 【例题2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的半径为． （1）如果，求的长及扇形的面积．（结果保留一位小数） （2）已知的长为，求的度数．（结果精确到） 【答案】（1）的长为及扇形的面积为；（2） 【分析】（1）直接根据弧长公式和扇形面积公式即可得出结论； （2）根据弧长公式求解即可． （1）解：∵，的半径为， ∴， 答：的长为及扇形的面积为； （2）解：∵的长为，的半径为， ∴， ∴， 答：的度数约为． 【变式1】（2026·河北沧州·三模）蔚县剪纸艺人制作扇形剪纸，先剪一个半径为10，圆心角为的大扇形，再将其沿半径对折两次（每次对折后两边重合），得到一个小扇形．将小扇形展开后，在内部剪一个与它圆心相同、面积为其的更小扇形，则更小扇形的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查扇形面积公式的应用，同圆心角的扇形面积与半径的平方成正比，根据面积关系即可求出更小扇形的半径． 解：设裁剪出的更小扇形的半径为，折叠后的小扇形的半径． ∵扇形面积公式为，裁剪出的更小扇形与折叠后的扇形圆心角相同， ∴面积比等于半径平方的比， 又∵裁剪出的更小扇形面积是折叠后的扇形面积的， ∴， 代入得， 解得，半径为正，舍去负解， 因此裁剪出的更小扇形的半径为， 故选B． 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知一个扇形的面积是． （1）若它的半径是4，则该扇形的圆心角是______，弧长是______； （2）若该扇形的圆心角是，则它的半径是_______； （3）若该扇形的弧长是，则它的半径是_______． 【答案】 π 2 【分析】（1）根据扇形的面积公式，弧长求解即可； （2）根据扇形面积公式求解即可； （3）根据扇形的面积公式求解即可． 解：（1）由题意可得：，解得：，即该扇形的圆心角是； 弧长； （2）由题意可得：，解得：； （3）由题意可得：，解得：． 【变式3】（25-26七年级上·江西抚州·阶段检测）如图，OA,OB,OC是圆的三条半径． （1）若他们的圆心角度数比为1:2:3，求这三个扇形的圆心角的度数． （2）在（1）的条件下，若圆的半径为2cm，求扇形BOC的面积．（保留Л） 【答案】（1）∠AOB=60°，∠BOC=120°，∠COA=180°；（2） 解：试题分析：（1）根据按比例分配，可得扇形的圆心角； （2）根据扇形面积计算公式，可得扇形的面积． 试题解析：（1）∠AOB的度数是360×=60°， ∠AOC的度数是360×=180°， ∠BOC的度数是360×=120°； （2）扇形BOC的面积是：（cm2） 【题型3】弓形面积计算 【例题3】（2026·安徽马鞍山·模拟预测）如图，是的内接三角形，是的直径，，．请解答下列问题： （1）的度数； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先利用同弧所对圆周角相等得到，再由是的直径得，最后通过直角三角形两锐角互余计算出度数； （2）先根据直径长度得到圆半径，借助直角三角形性质与勾股定理、垂径定理求出底边和高，再依据圆周角定理得出，最后由算出阴影部分面积． （1）解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，过点作于点， ∵是的直径，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴ 即阴影部分的面积为． 【变式1】（24-25九年级上·广西柳州·期末）如图，已知的半径为，点和点在上，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形面积公式，弓形面积；直接根据即可得出结论，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 解： ， 故选：． 【变式2】（2026·四川成都·二模）如图是的小正方形网格，小正方形的边长为1，点和是格点（小正方形的顶点），连接，在网格中画出以为直径的圆，圆心为点，点，是格点且在圆上，连接，则图中阴影部分的面积是_____． 【答案】 【分析】连接，，根据网格与勾股定理及其逆定理，得出，进而根据阴影部分的面积，即可求解． 解：如图所示，连接，， 点和是格点，为直径，点为圆心， 点为的中点，且点在格点上．根据勾股定理，得，，． ，， ． 是直角三角形，且． 图中阴影部分的面积 ． 【变式3】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，半圆O的直径，C是半圆上一点，于点D，． （1）求的长； （2）求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据垂径定理得到，根据三角形中位线定理得到，由是直径推出，再利用勾股定理即可求解； （2）连接，根据即可求解． （1）解：， ， ， 是的中位线， ． 是直径， ， ． （2）解：如图，连接， ， 是等边三角形， ， ， ． 【题型4】圆锥侧面积与全面积 【例题4】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知一个直角三角形的两条直角边分别为和，以它的斜边所在的直线为轴旋转一周，得到一个几何体，求这个几何体的表面积． 【答案】这个几何体的表面积为 【分析】利用勾股定理求出该直角三角形的斜边长，利用等面积法求出斜边上的高，旋转一周得到的几何体由两个圆锥组成，分别求出两个圆锥的侧面积，求和即可得到答案． 解：∵一个直角三角形的两条直角边分别为和， ∴这个直角三角形的斜边为； 设该直角三角形斜边上的高为，则， 解得； 以该直角三角形的斜边所在的直线为轴旋转一周，得到一个几何体，该几何体由两个圆锥组成，一个圆锥的底面圆半径为，母线长为，另一个圆锥的底面圆半径为，母线长为， ∴该几何体的表面积为． 【变式1】（26-27九年级上·全国·单元复习）一个圆锥形零件的母线长为4，底面半径为1，则这个圆锥形零件的全面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：圆锥侧面积为， 底面积为， 全面积为． 【变式2】（2026九年级上·全国·专题练习）已知圆锥侧面展开图的圆心角是，底面圆的面积为15，则该圆锥的侧面积为______． 【答案】30 【分析】设圆锥底面半径为，母线长为，由底面面积得到，再根据侧面展开弧长等于底面周长得到母线长与底面半径的关系，代入侧面积公式即可求出结果． 解：设圆锥底面半径为，母线长为． ∵ 底面圆的面积为， ∴ ． ∵ 圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，圆心角为， ∴． 化简得． ∵圆锥的侧面积公式为， ∴将代入得：． 【变式3】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品，如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、底面半径为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． （1）这顶锥形草帽的高为______，侧面积为______．（结果保留） （2）计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查勾股定理求圆锥的高、圆的周长公式、扇形面积公式等知识，熟记圆锥相关概念、勾股定理及扇形面积公式是解决问题的关键． （1）根据题意，如图所示，由勾股定理求值即可得到高；再由扇形面积公式代值计算即可得到面积； （2）由（1）知侧面积为，设所需扇形卡纸的圆心角的度数，列方程求解即可得到答案． （1）解：如图所示： 在中，，，， 则由勾股定理可得； 圆锥底面圆的周长为， 圆锥侧面积为； 故答案为：，； （2）解：由（1）知侧面积为， 设所需扇形卡纸的圆心角的度数， ， 解得， 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为． 三.拓展培优 【题型1】弧长扇形综合（传动带·滚动·弯道） 【例题1】（24-25六年级下·上海·期中） 如图是一座立体交叉桥的示意图（道路宽度忽略不计），为入口，为出口，其中直行道为，且米，弯道为以点为圆心的一段弧，且所对的圆心角均为，半径为米．甲车由口驶入立交桥，以米/秒的速度行驶，从口驶出用时多少秒？ 【答案】 【分析】本题考查了弧长、路程、速度和时间的关系，先计算直行道长度、弯道弧长，得到总路程后，结合速度求出时间． 解：米，米， 总路程为：米， 时间为：秒． 答：从口驶出用时秒． 【变式1】（2026·贵州遵义·二模）某小区内的消防车道有一段弯道，弯道的内外边缘均为圆弧，如图所示，，所在圆的圆心为，点，分别在，上．已知消防车道内侧半径，消防车道宽．若，则消防车道内外边缘长度差为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用弧长公式进行求解． 解：． 【变式2】（2026·浙江杭州·二模）如图，一个长为，宽为的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其长边与水平桌面成夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其长边恰好落在水平桌面上，则木板上点滚动所经过的路径长为________．（结果保留π） 【答案】/ 【分析】点滚动所经过的路径长由两段弧长组成，第一次翻滚是以点为圆心，长为半径，旋转角度为，第二次翻滚是以点为圆心，矩形对角线长为半径，旋转角度为，利用弧长公式计算即可． 解：由勾股定理得，矩形的对角线长为， 第一次翻滚，点经过的路径长为， 第二次翻滚，点经过的路径长为， 则点滚动所经过的路径长为． 【变式3】（25-26九年级上·山东枣庄·期末） （1） 如图一，等边三角形MNP的边长为1，线段AB的长为4，点M与A重合，点N在线段AB上. △MNP沿线段AB按的方向滚动， 直至△MNP中有一个点与点B重合为止，则点P经过的路程为 ； （2）如图二，正方形MNPQ的边长为1，正方形ABCD的边长为2，点M与点A重合，点N在线段AB上， 点P在正方形内部，正方形MNPQ沿正方形ABCD的边按的方向滚动，始终保持M,N,P,Q四点在正方形内部或边界上，直至正方形MNPQ回到初始位置为止，则点P经过的最短路程为 . （注：以△MNP为例，△MNP沿线段AB按的方向滚动指的是先以顶点N为中心顺时针旋转，当顶点P落在线段AB上时， 再以顶点P为中心顺时针旋转，如此继续. 多边形沿直线滚动与此类似.） 【答案】；． 解：（1）点P经过的路程是两段弧，半径为1，圆心角为120°, 点P经过的路程是： （2）点P经过的路程是四段弧，半径为1，圆心角为90°点P经过的最短路程是： 【题型2】多扇形组合阴影面积 【例题2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的半径为r，和为互相垂直的直径．以点B为圆心、为半径作，交于点E，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】根据进行解答即可． 解：∵和为互相垂直的直径．的半径为r， ∴， 在中，由勾股定理可得，， ，， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（26-27九年级上·全国·单元复习）图①是中国古代女子主要裙式之一的马面裙，可以近似地看作扇环（如图②），已知裙长为米，的长度为米，圆心角，则裙摆的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】由题意知，，求得米，得到米，然后根据弧长公式计算求解即可． 解：由题意知，， 解得米， ∵裙长为米， ∴米， ∴（米）． 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，分别以A，B，C为圆心作半径均为2的圆，且三个圆两两不相交，若的面积为12，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】/ 【分析】先根据扇形的面积公式求出中非阴影部分的面积，再用三角形的面积减去三角形中非阴影的面积可得答案． 解：∵， ∴中非阴影部分的面积为， ∴． 【变式3】（2026·河北廊坊·二模）年月日的月全食恰逢中国农历正月十五元宵节，这是天文历法与天体运行的一次自然巧合，观赏时机非常难得，全国大部分地区都将看到“带食月出”的景象，如图1．月全食的原理是月、地、日运行至一条直线时，月球进入地球的本影，太阳投射在月球上的光完全被地球挡住，由于地球大气层对太阳光有折射和散射作用，其中波长最长的红光落在月面上最多，因而出现“红月亮”．小智在观看的过程中在纸上画了如图2所示的图形，若的半径为，是弦的中点，是半圆上的一点，且． （1）连接、，则与的位置关系是________； （2）求的度数； （3）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由垂径定理的推论即可得解； （2）由勾股定理可得的长，即可得到，从而可得是等腰直角三角形，即可得解； （3）连接，由垂径定理可得的长，证明，再由列式计算即可． （1）解：是圆心，是弦的中点， ； （2）解：是半圆上的一点，且， ， ， ， 是等腰直角三角形， ； （3）解：如图，连接， 由（2）知，，， 是弦的中点，， ，， ． 【题型3】圆锥展开圆心角与最短路径 【例题3】（2025·广东梅州·一模）综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 解：， ． ， ． 将圆锥侧面展开后得到圆心角为的扇形，如下图所示： 由图可知，． ， ． 在中，由勾股定理，得 彩带长度的最小值为． 【变式1】（2026·浙江杭州·二模）如图，圆锥的底面半径为3，母线长为12，一只蜘蛛从底面圆周上一点 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 的最短路程是（     ） A．12 B．18 C． D．24 【答案】C 【分析】易得圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角，进而构造直角三角形求得相应线段即可． 解：将圆锥的侧面展开成扇形，连接，则蜘蛛爬行的最短路程就是线段的长度． 由题意知，， ， 设，根据弧长公式可求， 则最短路程为：在中，． 【变式2】（2026·云南昆明·二模）编织草帽是云南各民族擅长的工艺，其中“云南十八怪”中就有“摘下草帽当锅盖”的顺口溜．某校九年级学生参加社会实践，学习编织草帽（该草帽为圆锥形，如图所示），若这种圆锥形草帽的母线长为36cm，底面圆的半径为20cm，该草帽展开为扇形，则这个扇形的圆心角的度数是_______ ． 【答案】 【分析】根据展开图的扇形的弧长等于圆锥底面周长计算． 解：设圆心角为， ∵母线长为36cm，底面圆半径为20cm， ∴， 解得：， ∴该圆锥侧面展开扇形圆心角度数为． 【变式3】（2025九年级·全国·专题练习）如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． （1）这顶锥形草帽的底面半径为______，侧面积为______．（结果保留π） （2）计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【答案】（1）15；；（2） 【分析】（1）利用圆锥的母线、高与底面半径构成直角三角形，通过勾股定理求底面半径;再依据圆锥侧面积公式计算侧面积； （2）圆锥侧面展开图为扇形，结合扇形弧长公式建立等式求解圆心角． （1）解：①圆锥的母线长，高，根据圆锥的底面半径、高和母线满足勾股定理： ． ②圆锥的侧面积公式为，将，代入可得： ． 故底面半径为，侧面积为． （2）解：设扇形卡纸的圆心角的度数为 由题意，得，解得． 故所需扇形卡纸的圆心角的度数为． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题关键是掌握圆锥的母线、高、底面半径的勾股关系，圆锥侧面积公式以及圆锥底面周长与侧面展开图扇形弧长的关系． 【题型4】圆锥实际应用（蒙古包·1海里·烟囱帽） 【例题4】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，一堆沙子，其形状近似于圆锥，其底面周长是米，高是米．（取） （1）这堆沙子的体积是多少立方米？ （2）如果用这堆沙子铺一条宽5米、厚2厘米的小路，可以铺小路多少米？ 【答案】（1）这堆沙子的体积是立方米；（2）可以铺米的小路 【分析】本题考查有理数的乘除运算，圆锥的体积公式，长方形的体积公式，掌握知识点是解题的关键． （1）先根据圆锥的底面周长公式，求出底面半径，再根据圆锥的体积计算公式，求出这堆沙的体积，即可解答． （2）根据沙子的体积不变，代入长方体的体积公式即可求出所铺沙子的长度． （1）解：（米） （立方米） 答：这堆沙子的体积是188．4立方米． （2）2厘米米 （米） 答：可以铺1884米的小路． 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）“云南十八怪”中第二怪“摘下斗笠当锅盖”．如图，斗笠锅盖可以近似看作一个圆锥，若一个斗笠锅盖的底面直径为，高度为，则该斗笠锅盖的表面积大约为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意由斗笠锅盖的底面直径得圆锥的底面半径；因为圆锥的高、底面半径和母线构成了一个直角三角形，求出母线长度；再由圆锥的侧面积求出斗笠锅盖的表面积即可． 解： ∵斗笠锅盖的底面直径为，高度为， ∴底面半径， ∵圆锥的高、底面半径和母线构成了一个直角三角形，设母线为， ∴根据勾股定理有， ∴， ∴圆锥的侧面积为： ∴该斗笠锅盖的表面积大约为． 【变式2】（25-26九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）如图，酒瓶中装有一些酒（装酒部分为圆柱体），倒进一只酒杯中（装酒部分为圆锥），酒杯口的直径是酒瓶底面直径的一半（酒瓶、酒杯厚度忽略不计，数据如图），共能倒满____________杯． 【答案】30 【分析】设酒杯口的半径为，则酒瓶的半径为，根据圆锥和圆柱的体积公式，分别求出酒杯和酒瓶中酒的体积，即可得解． 解：设酒杯口的半径为，则酒瓶的半径为， ∴酒杯的体积为，酒瓶中酒的体积为， ∵， ∴共能倒满30杯． 【变式3】（2026·广东清远·模拟预测）综合与实践 主题：制作无底圆锥 素材：一张直径为的圆形纸板，如图1． 步骤1：将圆形纸板对折，如图2，得出两个相同的半圆，并剪去一个半圆； 步骤2：如图3，在剪好的半圆纸板中，圆心为，直径为，使与重合，制作成一个无底的圆锥． 猜想与计算： （1）直接写出圆形纸板的周长与圆锥的底面周长的大小关系； （2）如图3．求圆锥母线与圆锥高OH的夹角的度数． 【答案】（1）（或）；（2） 【分析】本题主要考查圆锥的展开图，解直角三角形，掌握相关定义是解题的关键． （1）根据圆锥的展开图即可得到答案； （2）根据得到的长，在直角中，利用正弦定义得到，进而得到． （1）解：由题可知，半圆的弧长等于圆锥的底面周长， 或． （2）解：， ， ， 解得：， 在直角中，， ， ， ． 四.中考链接 一、单选题 1．（2026·江苏镇江·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为5，母线长为12，则该圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可． 解：圆锥的侧面积． 2．（2026·云南·中考真题）某文创团队用环保材料制作圆锥形灯罩．若该圆锥的母线长，侧面展开图是圆心角为的扇形，则这个圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】圆锥侧面展开图为扇形，圆锥母线长等于展开扇形的半径，直接利用扇形面积公式即可求出圆锥侧面积. 解：∵圆锥的母线长为，侧面展开图是圆心角为的扇形， ∴展开扇形的半径，圆心角， ∵圆锥侧面积等于其侧面展开扇形的面积， ∴. 3．（2025·广东·中考真题）如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，过点A作于点D，证明出是等腰直角三角形，求出，然后得到，然后分别求出和，然后根据概率公式求解即可． 解：如图所示，过点A作于点D ∵是直径 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴， ∴ ∴， ∴该粒米落在扇形内的概率为． 故选：D． 【点睛】此题考查了几何概率，求扇形面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题 4．（2026·湖南·中考真题）如图，的半径为，若它的周长等于弧的长的倍，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】根据圆的周长公式求出圆的周长，进而得到弧的长，最后利用扇形的面积公式求解即可． 解：∵的半径为， ∴的周长为， ∵的周长等于弧的长的倍， ∴弧的长为， ∴阴影部分的面积． 5．（2026·四川自贡·中考真题）“剪纸”是自贡“小三绝”之一．学校劳动实践课上，要求用半径为的圆形纸片剪出如图所示的图案，其内部4个小圆的半径都为，剪去空白部分，则剩下部分面积为_____． 【答案】/ 【分析】根据题意，分别算出，，，4个空白半圆的面积为，结合图形即可求解． 解：根据题意，半径为的圆形纸片的面积为，内部4个小圆的半径都为，则内部4个小圆的面积为， 如图所示， 根据剪纸中折叠的性质得到，，垂足为点O，四边形是正方形，过点O作于点E，圆心为点E， ∴，则， ∴，，，4个空白半圆的面积为， ∴大圆内不规则的阴影部分的面积为：， ∴在中，弓形的面积为， 同理，大圆内4个花瓣的面积和为， ∴阴影部分的面积为，即剪去空白部分，则剩下部分面积为 ． 6．（2025·四川遂宁·中考真题）综合与实践——硬币滚动中的数学．将两枚半径为r的硬币放在桌面上，固定白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图1；将三枚半径均为r的硬币连贯的放在桌面上，固定两枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图2；现将四枚半径均为r的硬币按图3、图4摆放在桌面上，固定三枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，则在图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长的比值为______． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，把深色硬币的圆心移动路径都画出来，根据三边都等于，证明是等边三角形，同理得出其他三角形都是等边三角形，再求出每条弧长，再加起来得出图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长，再进行求解，即可作答． 解：依题意，， 则是等边三角形； 则， 同理得、、是等边三角形， 则 ∴ ∴， ∴， ∴； 依题意，， ∴是等边三角形； 则， 同理得、、是等边三角形， 则 则， 则 故答案为：． 三、解答题 7．（2026·黑龙江绥化·中考真题）尺规作图：如图，在的内部有一点． （1）【初步探索】如图1，利用无刻度的直尺和圆规作一个等腰三角形，并使等腰三角形的底边经过点，点，点分别在射线，射线上．（温馨提示：本小题作图不写作法，但需保留作图痕迹） （2）【拓展探究】如图2，若，连接，．以为圆心，为半径画圆，交射线，射线于，两点，则劣弧的长度为_________．（本小题无需在答题卡上作图，只需写出用含的代数式表示的结果） 【答案】（1）解：如图，即为所求， （2） 【分析】（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，弧与射线、射线分别交于点C、点D，连接，作射线，以C为圆心，适当长为半径画弧，弧与射线、线段分别交于点E、点F，以P为圆心，为半径画弧，弧与射线相交于G，以G为圆心，为半径画弧，两弧相交于H，作直线，与射线，射线分别相交于点M、点N，则即为所求； （2）直接根据弧长公式求解即可． （1）解：画图略， 理由：由作图知：，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴即为所求； （2）解：由作图知：， ∴劣弧的长度为． 五.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础巩固 □顺利 □有困难 拓展培优 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 29.3 弧长和扇形同步分层作业【基础巩固+拓展培优】 2026—2027学年人教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础巩固 2 【题型1】弧长公式直接计算 2 【题型2】扇形面积公式与反求圆心角、半径 3 【题型3】弓形面积计算 4 【题型4】圆锥侧面积与全面积 5 三.拓展培优 6 【题型1】弧长扇形综合（传动带·滚动·弯道） 6 【题型2】多扇形组合阴影面积 7 【题型3】圆锥展开圆心角与最短路径 9 【题型4】圆锥实际应用（蒙古包·1海里·烟囱帽） 11 四.中考链接 12 五.自我评价 15 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 1. 半径为 R、圆心角为 n° 的弧长公式为 l = ________。2. 扇形面积公式 = ________ = （用弧长 l 表示时）。3. 劣弧弓形的面积等于扇形面积________对应弓形所对三角形的面积（填“加”或“减”）。4. 圆锥的侧面展开图是一个________；圆锥底面周长 2πr 等于展开扇形的________。5. 圆锥侧面积 = ________；全面积 = ________，其中 l 表示圆锥的________。6. 半径为 6、圆心角为 60° 的弧长 l = ________（结果保留 π）。7. 半径为 4、圆心角为 90° 的扇形面积 S = ________（结果保留 π）。8. 圆锥底面半径 r = 3、母线 l = 5，则侧面积 = ________。 二.基础巩固 【题型1】弧长公式直接计算 【例题1】（24-25九年级下·湖南湘西·开学考试）如图，已知四边形内接于，．连接，若且的半径为6，求的长． 【变式1】（2026九年级下·山东·专题练习）圆心角为，半径为3的扇形弧长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26六年级下·上海浦东新·期末）某同学发现路边的路障可以近似看作一个圆锥，测量得底面半径为，通过计算，这个圆锥的侧面展开图的弧长为______． 【变式3】（25-26九年级上·河南安阳·期中）“抖空竹”在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．小颖玩“抖空竹”游戏时发现可以将某时刻的情形抽象成数学问题．如图，分别与相切于点，延长交于点，连接的半径为2，． （1）连接，判断四边形的形状，并说明理由； （2）求劣弧的长； 【题型2】扇形面积公式与反求圆心角、半径 【例题2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的半径为． （1）如果，求的长及扇形的面积．（结果保留一位小数） （2）已知的长为，求的度数．（结果精确到） 【变式1】（2026·河北沧州·三模）蔚县剪纸艺人制作扇形剪纸，先剪一个半径为10，圆心角为的大扇形，再将其沿半径对折两次（每次对折后两边重合），得到一个小扇形．将小扇形展开后，在内部剪一个与它圆心相同、面积为其的更小扇形，则更小扇形的半径为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知一个扇形的面积是． （1）若它的半径是4，则该扇形的圆心角是______，弧长是______； （2）若该扇形的圆心角是，则它的半径是_______； （3）若该扇形的弧长是，则它的半径是_______． 【变式3】（25-26七年级上·江西抚州·阶段检测）如图，OA,OB,OC是圆的三条半径． （1）若他们的圆心角度数比为1:2:3，求这三个扇形的圆心角的度数． （2）在（1）的条件下，若圆的半径为2cm，求扇形BOC的面积．（保留Л） 【题型3】弓形面积计算 【例题3】（2026·安徽马鞍山·模拟预测）如图，是的内接三角形，是的直径，，．请解答下列问题： （1）的度数； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【变式1】（24-25九年级上·广西柳州·期末）如图，已知的半径为，点和点在上，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·四川成都·二模）如图是的小正方形网格，小正方形的边长为1，点和是格点（小正方形的顶点），连接，在网格中画出以为直径的圆，圆心为点，点，是格点且在圆上，连接，则图中阴影部分的面积是_____． 【变式3】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，半圆O的直径，C是半圆上一点，于点D，． （1）求的长； （2）求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【题型4】圆锥侧面积与全面积 【例题4】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知一个直角三角形的两条直角边分别为和，以它的斜边所在的直线为轴旋转一周，得到一个几何体，求这个几何体的表面积． 【变式1】（26-27九年级上·全国·单元复习）一个圆锥形零件的母线长为4，底面半径为1，则这个圆锥形零件的全面积是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026九年级上·全国·专题练习）已知圆锥侧面展开图的圆心角是，底面圆的面积为15，则该圆锥的侧面积为______． 【变式3】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品，如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、底面半径为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． （1）这顶锥形草帽的高为______，侧面积为______．（结果保留） （2）计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 三.拓展培优 【题型1】弧长扇形综合（传动带·滚动·弯道） 【例题1】（24-25六年级下·上海·期中） 如图是一座立体交叉桥的示意图（道路宽度忽略不计），为入口，为出口，其中直行道为，且米，弯道为以点为圆心的一段弧，且所对的圆心角均为，半径为米．甲车由口驶入立交桥，以米/秒的速度行驶，从口驶出用时多少秒？ 【变式1】（2026·贵州遵义·二模）某小区内的消防车道有一段弯道，弯道的内外边缘均为圆弧，如图所示，，所在圆的圆心为，点，分别在，上．已知消防车道内侧半径，消防车道宽．若，则消防车道内外边缘长度差为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·浙江杭州·二模）如图，一个长为，宽为的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其长边与水平桌面成夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其长边恰好落在水平桌面上，则木板上点滚动所经过的路径长为________．（结果保留π） 【变式3】（25-26九年级上·山东枣庄·期末） （1） 如图一，等边三角形MNP的边长为1，线段AB的长为4，点M与A重合，点N在线段AB上. △MNP沿线段AB按的方向滚动， 直至△MNP中有一个点与点B重合为止，则点P经过的路程为 ； （2）如图二，正方形MNPQ的边长为1，正方形ABCD的边长为2，点M与点A重合，点N在线段AB上， 点P在正方形内部，正方形MNPQ沿正方形ABCD的边按的方向滚动，始终保持M,N,P,Q四点在正方形内部或边界上，直至正方形MNPQ回到初始位置为止，则点P经过的最短路程为 . （注：以△MNP为例，△MNP沿线段AB按的方向滚动指的是先以顶点N为中心顺时针旋转，当顶点P落在线段AB上时， 再以顶点P为中心顺时针旋转，如此继续. 多边形沿直线滚动与此类似.） 【题型2】多扇形组合阴影面积 【例题2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的半径为r，和为互相垂直的直径．以点B为圆心、为半径作，交于点E，求图中阴影部分的面积． 【变式1】（26-27九年级上·全国·单元复习）图①是中国古代女子主要裙式之一的马面裙，可以近似地看作扇环（如图②），已知裙长为米，的长度为米，圆心角，则裙摆的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，分别以A，B，C为圆心作半径均为2的圆，且三个圆两两不相交，若的面积为12，则图中阴影部分的面积为_________． 【变式3】（2026·河北廊坊·二模）年月日的月全食恰逢中国农历正月十五元宵节，这是天文历法与天体运行的一次自然巧合，观赏时机非常难得，全国大部分地区都将看到“带食月出”的景象，如图1．月全食的原理是月、地、日运行至一条直线时，月球进入地球的本影，太阳投射在月球上的光完全被地球挡住，由于地球大气层对太阳光有折射和散射作用，其中波长最长的红光落在月面上最多，因而出现“红月亮”．小智在观看的过程中在纸上画了如图2所示的图形，若的半径为，是弦的中点，是半圆上的一点，且． （1）连接、，则与的位置关系是________； （2）求的度数； （3）求图中阴影部分的面积． 【题型3】圆锥展开圆心角与最短路径 【例题3】（2025·广东梅州·一模）综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【变式1】（2026·浙江杭州·二模）如图，圆锥的底面半径为3，母线长为12，一只蜘蛛从底面圆周上一点 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 的最短路程是（     ） A．12 B．18 C． D．24 【变式2】（2026·云南昆明·二模）编织草帽是云南各民族擅长的工艺，其中“云南十八怪”中就有“摘下草帽当锅盖”的顺口溜．某校九年级学生参加社会实践，学习编织草帽（该草帽为圆锥形，如图所示），若这种圆锥形草帽的母线长为36cm，底面圆的半径为20cm，该草帽展开为扇形，则这个扇形的圆心角的度数是_______ ． 【变式3】（2025九年级·全国·专题练习）如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． （1）这顶锥形草帽的底面半径为______，侧面积为______．（结果保留π） （2）计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【题型4】圆锥实际应用（蒙古包·1海里·烟囱帽） 【例题4】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，一堆沙子，其形状近似于圆锥，其底面周长是米，高是米．（取） （1）这堆沙子的体积是多少立方米？ （2）如果用这堆沙子铺一条宽5米、厚2厘米的小路，可以铺小路多少米？ 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）“云南十八怪”中第二怪“摘下斗笠当锅盖”．如图，斗笠锅盖可以近似看作一个圆锥，若一个斗笠锅盖的底面直径为，高度为，则该斗笠锅盖的表面积大约为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）如图，酒瓶中装有一些酒（装酒部分为圆柱体），倒进一只酒杯中（装酒部分为圆锥），酒杯口的直径是酒瓶底面直径的一半（酒瓶、酒杯厚度忽略不计，数据如图），共能倒满____________杯． 【变式3】（2026·广东清远·模拟预测）综合与实践 主题：制作无底圆锥 素材：一张直径为的圆形纸板，如图1． 步骤1：将圆形纸板对折，如图2，得出两个相同的半圆，并剪去一个半圆； 步骤2：如图3，在剪好的半圆纸板中，圆心为，直径为，使与重合，制作成一个无底的圆锥． 猜想与计算： （1）直接写出圆形纸板的周长与圆锥的底面周长的大小关系； （2）如图3．求圆锥母线与圆锥高OH的夹角的度数． 四.中考链接 一、单选题 1．（2026·江苏镇江·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为5，母线长为12，则该圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·云南·中考真题）某文创团队用环保材料制作圆锥形灯罩．若该圆锥的母线长，侧面展开图是圆心角为的扇形，则这个圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 3．（2025·广东·中考真题）如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2026·湖南·中考真题）如图，的半径为，若它的周长等于弧的长的倍，则阴影部分的面积为________． 5．（2026·四川自贡·中考真题）“剪纸”是自贡“小三绝”之一．学校劳动实践课上，要求用半径为的圆形纸片剪出如图所示的图案，其内部4个小圆的半径都为，剪去空白部分，则剩下部分面积为_____． 6．（2025·四川遂宁·中考真题）综合与实践——硬币滚动中的数学．将两枚半径为r的硬币放在桌面上，固定白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图1；将三枚半径均为r的硬币连贯的放在桌面上，固定两枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图2；现将四枚半径均为r的硬币按图3、图4摆放在桌面上，固定三枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，则在图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长的比值为______． 三、解答题 7．（2026·黑龙江绥化·中考真题）尺规作图：如图，在的内部有一点． （1）【初步探索】如图1，利用无刻度的直尺和圆规作一个等腰三角形，并使等腰三角形的底边经过点，点，点分别在射线，射线上．（温馨提示：本小题作图不写作法，但需保留作图痕迹） （2）【拓展探究】如图2，若，连接，．以为圆心，为半径画圆，交射线，射线于，两点，则劣弧的长度为_________．（本小题无需在答题卡上作图，只需写出用含的代数式表示的结果） 五.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础巩固 □顺利 □有困难 拓展培优 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $