专题 3.5 一元一次不等式组（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年浙教版八年级数学上册
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内容正文：
专题 3.5 一元一次不等式组（知识梳理+题型精析+同步检测）
目录
一.学习目标与重难点 1
二.知识梳理与解读 2
【知识点一】一元一次不等式组的相关概念 2
【知识点二】一元一次不等式组四种解集规律（必考口诀） 2
【知识点三】解一元一次不等式组的标准步骤 2
三.题型精析（基础夯实） 3
【题型1】不等式组的识别与解集判断 3
【题型2】基础一元一次不等式组求解 5
【题型3】不等式组的整数解问题 6
四.题型精析（综合提升） 8
【题型4】含参数不等式组（有解、无解求参数） 8
【题型5】不等式组整数解个数限制综合题 10
【题型6】不等式组的应用 12
五.同步检测 16
（一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 16
（二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 22
（三）解答题（本大题共6小题，共58分） 24
一.学习目标与重难点
（一）学习目标
1. 理解一元一次不等式组、不等式组的解集、无解的概念，能准确识别一元一次不等式组。
2. 熟练掌握解一元一次不等式组的标准步骤，会利用数轴、口诀两种方法求解不等式组解集。
3. 掌握一元一次不等式组四种解集类型，能准确判断有解、无解情况，熟练求取整数解、特殊解。
4. 掌握含参数不等式组的解法，能根据解集情况、整数解个数反向求解参数取值范围，解决基础综合应用问题。
（二）重难点
重点：一元一次不等式组的求解步骤、四种解集规律、数轴表示解集、求不等式组的整数解。
难点：不等式组无解与有解的边界判断、含参数不等式组的参数范围求解、整数解个数限制类综合题型。
二.知识梳理与解读
【知识点一】一元一次不等式组的相关概念
1. 一元一次不等式组定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。
2. 不等式组的解集：不等式组中所有不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
3. 无解：若几个不等式的解集没有公共部分，则该一元一次不等式组无解。
【要点提示】
1. 不等式组必须满足：未知数相同、均为一元一次不等式，缺一不可；
2. 解集核心是“公共部分”，单个不等式有解，不等式组不一定有解；
3. 解集是一个取值范围，包含无数个解，特殊解需单独筛选。
【知识点二】一元一次不等式组四种解集规律（必考口诀）
设，两个一元一次不等式组成的不等式组解集分为四类：
1. ，解集：，口诀：同大取大
2. ，解集：，口诀：同小取小
3. ，解集：，口诀：大小小大中间找
4. ，解集：无解，口诀：大大小小无处找
【要点提示】
1. 口诀使用前提：先将两个不等式化为左边单一x的最简形式；
2. 含等号解集规律不变，端点是否可取跟随原式；
3. 复杂不等式组优先用数轴辅助判断，避免口诀记错。
【知识点三】解一元一次不等式组的标准步骤
1. 解：分别求出不等式组中每一个不等式的解集；
2. 画：将每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来；
3. 找：找出所有解集的公共区域，即为不等式组解集；
4. 写：规范写出不等式组的解集（若无公共部分则写无解）。
【要点提示】
解题必须先单独解每个不等式，禁止直接组合式子；数轴是判断无解、边界取值的最稳妥方法。
三.题型精析（基础夯实）
【题型1】不等式组的识别与解集判断
【例题1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是________（填序号）．
①； ②； ③；
④； ⑤； ⑥
【答案】③④⑤
【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，主要考查学生的理解能力和判断能力．一元一次不等式组中只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可．
解：① 该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组；
②该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组；
③该不等式组是一元一次不等式组；
④该不等式组是一元一次不等式组；
⑤该不等式组是一元一次不等式组；
⑥该不等式组中第2个不等式左边不是整式，不是一元一次不等式组；
则是一元一次不等式组的是③④⑤，
故选答案为：③④⑤．
【变式1】（25-26七年级下·福建莆田·期中）下列各式中，是一元一次不等式组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一元一次不等式组的定义判断选项，一元一次不等式组需满足：由几个含同一个未知数的一元一次不等式组成，一元一次不等式要求未知数个数为1，未知数次数为1，不等号两边均为整式．
解：A选项不等式含两个未知数，不符合要求；
C选项第一个式子是等式，且未知数次数为2，不符合要求；
D选项第二个不等式中是分式，不是整式，不符合要求；
B选项两个不等式都只含一个未知数，次数为1，两边都是整式，符合一元一次不等式组的定义．
【变式2】（25-26七年级下·广西崇左·期末）2026年6月5日是我国二十四节气中的芒种，某地当天最低气温是，最高气温是，则该地气温的变化范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：∵该地当天最低气温是，最高气温是，
∴气温满足最低气温最高气温即．
【变式3】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，某校实践小组在点测得池塘两端的距离米，米．则池塘两端，之间的距离可能是_____米．
【答案】（任意在范围内的实数均可）
【分析】根据三角形三边关系可得的取值范围，即可解答．
解：根据三角形三边关系可得，即，
则池塘两端，之间的距离可能是米．
【题型2】基础一元一次不等式组求解
【例题2】（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）解不等式组并在数轴上表示出解集：；
【答案】解集为，
在数轴上表示：
解：，
解不等式，去分母得，解得，
解不等式，去分母得，解得，
所以不等式组的解集为，
在数轴上表示：略．
【变式1】（26-27八年级上·黑龙江绥化·开学考试）下列在数轴上表示的不等式组的解集，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】定边界，定方向，在数轴上表示出不等式组的解集即可.
解：∵，
∴，
在数轴上表示解集如图：
【变式2】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）不等式组的解集为__________．
【答案】
【分析】分别解出两个一元一次不等式的解集，取它们的公共部分即为不等式组的解集．
解： ，
解不等式①，得；
解不等式②，得
∴原不等式组的解集为．
【变式3】（26-27九年级上·四川达州·开学考试）解不等式组：，把解集在数轴上表示出来．
【答案】在数轴上表示不等式组的解集如下：
，解集
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
在数轴上表示不等式的解集略：
所以该不等式组的解集是 ．
【题型3】不等式组的整数解问题
【例题3】（25-26七年级下·安徽安庆·期末）解不等式组：，并求出它的所有整数解．
【答案】；整数解为，，，
解：
解不等式①，得
解不等式②，得
原不等式组的解集为
不等式组的所有整数解为，，，．
【变式1】（25-26七年级下·河南周口·期末）不等式组的整数解的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】先分别求解两个一元一次不等式，得到不等式组的解集，再找出解集内的整数，统计整数解的个数即可．
解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为，
∵为整数，
∴的整数解为0，1，2，共3个．
【变式2】（25-26七年级下·湖南益阳·期末）不等式组的所有整数解的和是__________．
【答案】2
【分析】先求解不等式组得到解集，再找出解集内的所有整数，计算所有整数的和即可．
解：，
解不等式①得，
因此不等式组的解集为，
则不等式组的整数解为，
所有整数解的和为．
【变式3】（25-26七年级下·北京·期末）解不等式组：；并写出该不等式组的非负整数解．
【答案】，非负整数解是0，1，2
解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为，非负整数解是0，1，2．
四.题型精析（综合提升）
【题型4】含参数不等式组（有解、无解求参数）
【例题4】（25-26八年级下·山东青岛·期中）已知关于x的不等式组有解，求a的取值范围．
【答案】
【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，得到它们的解集，再根据不等式组有解的条件，确定两个解集的公共部分存在时的取值范围．
解：解不等式①得，，
解不等式②得，，
∵关于x的不等式组有解，
，
解得．
【变式1】（25-26七年级下·山东滨州·期末）若关于x的不等式组有解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：，
解得，
∵不等式组有解，即两个解集要有公共部分，
∴．
【变式2】（25-26七年级下·江西宜春·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是____________．
【答案】
【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件列出关于的不等式，求解得到的取值范围．
解：
解不等式①，得
解不等式②，得
∵不等式组无解
∴，解得．
【变式3】（25-26七年级下·全国·周测）已知关于x的不等式组
（1）若这个不等式组有解，求a的取值范围．
（2）若这个不等式组无解，求a的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集，掌握不等式组有解和无解的判定条件，即大小小大中间找、大大小小找不到是解题的关键．
（1）先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据有解则两个解集有公共部分，建立关于的不等式，从而求出的取值范围；
（2）先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据无解则两个解集无公共部分的原则，建立关于的不等式，从而求出的取值范围．
（1）解：解不等式，得，
解不等式，得．
∵这个不等式组有解，
∴，
解得，
∴的取值范围为．
（2）解：由（1）得：
∵这个不等式组无解，
∴，
解得，
∴的取值范围为．
【题型5】不等式组整数解个数限制综合题
【例题5】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）已知不等式组共有个整数解．
（1）求的取值范围；
（2）化简：
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先解不等式组得到，再根据个整数解，，反推的取值范围即可；
（2）根据的范围判断绝对值内式子的正负，去绝对值后化简即可．
（1）解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∵不等式组有解，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组共有个整数解，小于的连续整数为，，，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∴
．
【变式1】（25-26七年级下·广西崇左·期末）关于的不等式组恰有个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先解不等式组得解集，根据4个整数解确定的取值范围．
解：，
解不等式得：．
解不等式得：．
∴不等式组的解集为．
∵不等式组恰有4个整数解．
∴整数解为．
∴．
【变式2】（2026·江苏扬州·二模）若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，则符合条件的整数a有_______．
【答案】
【分析】先求解不等式组得到的解集，再根据整数解的个数确定的取值范围，找出范围内的整数即可得到结果．
解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组有且只有四个整数解，
∴四个整数为，
∴，
解得：，
∴符合条件的整数为．
【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x的不等式组
（1）若原不等式组无解，则a的取值范围是_______；
（2）若原不等式组有且只有5个整数解，则a的取值范围是_______．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组．关键是先解每一个不等式，再根据整数解的个数，确定含a的代数式的取值范围．
（1）分别解出两个不等式的解集，根据不等式组无解求出a的取值范围即可；
（2）根据不等式组有且只有5个整数解，即可确定不等式组的解集，进而即可得到一个关于a的不等式，从而求解．
（1）解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
原不等式组无解，
，
解得：
（2）原不等式组有解，
∴不等式组的解集，
又∵不等式组有且只有5个整数解，
，
解得，
故答案为：．
【题型6】不等式组的应用
【例题6】（26-27九年级上·四川达州·开学考试）某航模小组对A、B两种新款无人机模型产生了浓厚的兴趣和购买欲望，于是他们前往模型商店进行咨询并了解到以下信息：
①A型无人机模型的单价比B型贵800元；
②用12000元购买A型无人机模型的数量与用8000元购买B型无人机模型的数量相同．
（1）求A型和B型无人机模型的单价各是多少元？
（2）若航模小组现有资金20000元，他们决定购买10台无人机模型，同时要求购买B型的数量不超过A型的2倍．请求出航模小组所有可能的购买方案．
【答案】（1）A型无人机模型单价为2400元，B型无人机模型单价为1600元；（2）共有2种购买方案：
方案1：购买A型无人机模型4台，B型无人机模型6台；
方案2：购买A型无人机模型5台，B型无人机模型5台．
【分析】（1）设A型无人机模型的单价为x元，则B型无人机模型的单价为元，根据题意列分式方程即可解答；
（2）设购买A型无人机模型a台，则购买B型无人机模型台，根据题意列不等式组确定a的取值范围，再由a是正整数，确定a的取值即可求解．
（1）解：设A型无人机模型的单价为x元，则B型无人机模型的单价为元，根据题意可得
解得
经检验，是所列方程的根．
（元）
答：A型无人机模型的单价为2400元，则B型无人机模型的单价为1600元．
（2）解：设购买A型无人机模型a台，则购买B型无人机模型台，
根据题意得
解得，
是正整数，
或．
当时，；
当时，；
故共有2种购买方案：
方案1：购买A型无人机模型4台，B型无人机模型6台；
方案2：购买A型无人机模型5台，B型无人机模型5台．
【变式1】（25-26七年级下·福建南平·期末）某商店促销优惠，每单消费满元减元．小王在该店铺内已选购了元的商品，为满足优惠条件，又加购了一件元的商品．则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据“原本未达到满减，加购元后满足满减优惠”列出不等式组求解即可．
解：∵小王需要加购商品才能满足优惠条件，说明原本元未达到满减门槛，加购后总金额满足满减要求，
∴可得不等式组
，
解得，
∴的取值范围是．
【变式2】（2026七年级下·辽宁鞍山·竞赛）一些书分给若干个小朋友，若每个小朋友分3本，则剩2本；若每个小朋友分4本，则有一个小朋友没分到，且最后一个分到书的小朋友分得的书的数量不足3本．已知小朋友人数是奇数，那么小朋友的人数是________．
【答案】
【分析】设小朋友的人数为，先得到书本总数，再根据最后一个分到书的小朋友分得书本数的范围列出不等式组，求解后结合是奇数的条件得到最终结果．本题主要考查列一元一次不等式组解应用题，正确地列出不等式组是解题的关键．
解：设小朋友的人数为，为正整数，则书本的总数量为本．
根据题意得 ，
化简得，
解得，
∵是正整数，
∴的可能取值为和，
又∵小朋友人数是奇数，因此．
【变式3】（25-26七年级下·河北张家口·期末）2025年9月3日，我国自主研制的首型舰载固定翼预警机空警-600亮相于纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵活动．某玩具店以此为契机，迅速推出，两种飞机模型．，两种飞机模型每个的进价分别为80元和60元，下表是该玩具店近两天的销售情况．
销售时段
销售数量
销售收入
种
种
第一天
4个
5个
955元
第二天
2个
6个
810元
（1），两种飞机模型的销售单价分别是多少？
（2）该玩具店准备用不超过1400元再次购买这两种飞机模型共20个，且种飞机模型不少于8个，则该玩具店有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，请你帮该玩具店设计利润最大的进货方案（20个飞机模型全部售完），并求出最大利润．
【答案】（1）种飞机模型的单价为120元，种飞机模型的单价为95元；（2）方案有三种，方案1：购买种飞机模型8个，种飞机模型12个；方案2：购买种飞机模型9个，种飞机模型11个；方案3：购买种飞机模型10个，种飞机模型10个；（3）该玩具店利润最大的进货方案为购买种飞机模型10个，种飞机模型10个，最大利润为750元
【分析】（1）根据表格中近两天的销售情况，设未知数，列二元一次方程组求解单价；
（2）设模型数量，根据总进价上限、数量要求列不等式组，取整数解得到购买方案；
（3）先算出单个利润，分别计算各方案利润，对比选出利润最大方案．
（1）解：设种飞机模型的销售单价为元，种飞机模型的销售单价为元，由题意可得：
，
解得，
答：种飞机模型的单价为120元，种飞机模型的单价为95元；
（2）解：设购入个种飞机模型，则购入个种飞机模型，
由题意得：，
解得：，
∵是整数，
∴或或，
∴方案有三种：
方案1：购买种飞机模型8个，种飞机模型12个；
方案2：购买种飞机模型9个，种飞机模型11个；
方案3：购买种飞机模型10个，种飞机模型10个；
（3）解：∵种飞机模型的单个利润为：（元），
种飞机模型的单个利润为：（元），
∴方案1的总利润为：（元），
方案2的总利润为：（元），
方案3的总利润为：（元），
∵，
∴该玩具店利润最大的进货方案为购买种飞机模型10个，种飞机模型10个，最大利润为750元．
五.同步检测
（一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分）
1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查一元一次不等式组的判断，根据一元一次不等式组的定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，逐一分析选项即可得出答案．
解：A、选项中的不等式组含两个未知数x和y，不符合定义，故此选项不符合题意；
B、选项中的第一个不等式中未知数x的次数为2，不是一元一次不等式，不符合定义，故此选项不符合题意；
C、选项中的两个不等式都只含一个未知数x，x的次数为1，且都是整式不等式，符合一元一次不等式组的定义，故此选项符合题意；
D、选项中的第一个不等式中含有（分式），不是整式不等式，不符合定义，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．（25-26七年级下·云南德宏·期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据不等式的解集在数轴上的表示规则，即可得到答案．
解：代表的不等式组是，不符合题意；
代表的不等式组是，符合题意；
代表的不等式组是，不符合题意；
代表的不等式组是，不符合题意．
3．（25-26七年级下·河南周口·期末）不等式组的整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】先对不等式组中的两个不等式分别求解，得到不等式组的公共解集后，在解集范围内找出符合条件的整数个数．
解：原式
对于不等式①
移项得，
，
解得．
对于不等式②
移项得，
，
解得．
故不等式组的解集为，
即满足解集内的整数有3和4，共2个．
4．（25-26七年级下·山东东营·期末）不等式组解集为，则取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先解第一个不等式得到x的范围，再根据一元一次不等式组解集的“同小取小”原则，结合已知解集确定n的取值范围．
解：解不等式得，
∵不等式组的解集为，
∴．
5．（25-26七年级下·陕西安康·期末）若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
解：解不等式，得，
解不等式，得，
∴原不等式组的解集为．
∵不等式组有且只有3个整数解，
∴整数解为，
∴．
6．（2020九年级·全国·竞赛）若方程组的解为x，y，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查用加减消元法解二元一次方程组求参数，根据已知条件推断出与k的关系是解题关键．
两式相减得到与k的关系，再根据k的取值范围求的取值范围即可．
解：，
得：，
，
，
，
．
故选：A．
7．（25-26七年级下·陕西西安·期末）已知关于的不等式只有两个负整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据不等式仅有两个负整数解，确定的边界范围，列不等式组求解．
解：∵，
∴，
∵不等式只有两个负整数解，
∴负整数解为和，
∴，
解得．
8．（26-27九年级上·山东青岛·开学考试）已知不等式组的解集如图所示，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先解不等式组，用含、的代数式表示出不等式组的解集，然后结合数轴上表示的解集确定、的值，最后代入代数式进行计算即可．
解：解不等式得，
解不等式得，
不等式组的解集为；
根据题意得不等式组的解集为，
，，
解得，，
．
9．（24-25七年级下·河北唐山·期末）某商店甲商品的单价为8元，乙商品的单价为2元．已知购买乙商品的件数比购买甲商品的件数的2倍少4件，如果购买甲、乙两种商品的总件数不少于32，且购买甲、乙两种商品的总费用不超过148元．设购买甲商品件，依题意可列不等式组得（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先根据甲商品件数为件，用含的式子表示出乙商品的购买件数，利用甲乙的总件数不少于件和甲乙总费用不超过元分别列不等式即可．
解：设购买甲商品件，则购买乙商品件，
依题意得：．
10．（2024·山东潍坊·模拟预测）若m为整数，关于x的不等式组有5个整数解，关于y的分式方程的解是整数，则所有满足条件的m的值的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出不等式组的解集，根据解集情况得到，即，解，得到，根据分式方程的解为整数求出的值，结合已知条件得到满足条件的m的值，相加即可．
解：解不等式，得．
解不等式，得．
不等式组的解集为．
不等式组有5个整数解，
整数解为，
，
解得．
解分式方程，
两边同乘，得，
整理得，
，其中，且．
分式方程的解为整数，为整数，
是的整数约数，
即，对应的值为．
结合，，且即，
得符合条件的整数为．
所有满足条件的的值的和为．
（2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（24-25九年级下·河北沧州·阶段检测）我们把两个（或两个以上）的_____，就组成了一个一元一次不等式组．
【答案】一元一次不等式合在一起
【分析】本题考查了一元一次不等式组的概念，直接根据一元一次不等式组的定义解答．
解：把两个（或两个以上）的一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
故空中填：一元一次不等式合在一起．
12．（26-27八年级上·山东德州·阶段检测）一个三角形的三边长是3，，8，则m的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据三角形三边关系，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，列出不等式求解的范围即可．
解：根据三角形三边关系可得，
解得：．
13．（25-26七年级下·云南昆明·期末）不等式组的整数解是______．
【答案】
解：，
由①得，，
由②得，，
∴不等式组的解集为，其中整数解为．
14．（25-26七年级下·河南周口·期中）关于的不等式组的解集如图所示，请写出一个符合条件的的值：____．
【答案】2（答案不唯一）
【分析】由数轴得不等式组的解集为，判断出，选取符合的值即可．
解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
由数轴得不等式组的解集为，
∴，
可以为2（答案不唯一）．
15．（25-26七年级下·河南南阳·期末）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为______．
【答案】
【分析】根据一元一次不等式组解集的确定规则“大大小小则无解”，即可确定的取值范围．
解：∵关于的不等式组无解，
∴．
16．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）某地区新能源汽车保有量达到万辆，其中纯电动汽车保有量不低于新能源汽车总量的．则纯电动汽车的保有量（单位：万）可以用不等式（组）表示为______．
【答案】
【分析】本题考查了列不等式组，根据题意列出不等式组即可，读懂题意，找出不等关系，列出不等式组是解题的关键．
解：根据题意得，，
即．
故答案为：．
17．（25-26八年级下·全国·课后作业）方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
根据路程不变，由速度和时间的关系列出不等式组，解之即可得出行驶的平均速度的范围．
解：依题意得：
解得：．
故答案为：．
18．（25-26七年级下·贵州黔西南·期末）课堂上老师给出了这样一道题目：“求关于的一元一次不等式组的解集，并在数轴上表示出解集”，甲计算完之后，说：“老师，这道题有问题，解出来无解，不能在数轴上表示．”乙看了甲的计算过程，说：“你把第2个式子中的数字3抄错了．”通过甲、乙两人的对话，设甲将数字3抄成了数，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】设甲将数字抄成，根据不等式组无解的条件列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围．
解：设甲将数字抄成了数字，则甲计算的不等式组为，
解不等式①，两边同乘，得
，
解得，
解不等式②，得
，
，
不等式组无解，
，
移项得，
解得．
（三）解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（本小题满分8分）（26-27八年级上·重庆·期中）解方程组和解不等式组：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）无解
（1）解：
整理可得 ，
由，可得 ，
解得③ ，
将代入① ，可得 ，
解得④ ，
由，可得，解得，
由，可得，解得，
∴该方程组的解为 ；
（2）解： ，
解不等式① ，可得 ，
解不等式② ，可得 ，
∴该不等式组无解．
20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）若等腰三角形的周长为，腰长为．
（1）求x的取值范围；
（2）若该三角形的一边长是，求该三角形的另两边长．
【答案】（1）；（2）另两边长为和或和
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理，解题的关键是利用分类讨论的思想方法．
（1）根据三角形的三边关系列不等式组，解答即可；
（2）本题没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以分两种情况讨论．
（1）解：等腰三角形的周长为，腰长为，
等腰三角形的底边为，
根据三角形的三边关系可得，，
解得，
x的取值范围为；
（2）若腰长为，则底边长为，
三角形的另两边长为和；
若底边长为，则腰长为，
三角形的另两边长为和，
综上所述，另两边长为和或和．
21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知关于的二元一次方程组的解满足且是非负数．
（1）求的取值范围；
（2）当为整数时，不等式的解集为，求满足所有条件 的的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）首先利用加减消元法解方程组，即用a分别表示x和y，接着根据，得到不等式组，然后解不等式组得出a的范围；
（2）先利用解集为，通过解不等式得到，接着求出a的取值范围，然后写出此范围内的整数即可．
（1）解：①＋②，得
②－①，得
且，
解得．
（2）解：，
．
，
．
．
由（1）可知，
且为整数．
．
22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·陕西西安·期末）已知关于x的不等式组的解集如图所示．
（1）求m的取值范围；
（2）若关于x的不等式的解集为，求m的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）首先求出不等式的解为，然后根据数轴上不等式的解集求解；
（2）根据解集为得到，进而求解即可．
（1）解：
解不等式得，
由数轴可得，关于x的不等式组的解集为，
∴；
（2）解：∵关于x的不等式的解集为，
∴，
∴，
由（1）得，，
∴m的取值范围为．
23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·江苏宿迁·阶段检测）已知关于x、y的方程组．
（1）若此方程组的解是二元一次方程的一组解，求m的值；
（2）若此方程组的解满足不等式，求m的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先用含的代数式表示出方程组的解，然后将其代入二元一次方程并求解，即可获得答案；
（2）将原方程组的解代入不等式并求解即可．
（1）解：，
由，得，解得，
将代入②，得，
即方程组的解为，
将代入，可得，
解得；
（2）解：由（1）可知关于x、y的方程组的解为，
将其代入，得，
解得．
24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图为未来文具店某种铅笔的销售方式．
小明到该店购买这种铅笔，如果给八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用120元；同样用120元，也可以按批发价付款，可多购买40支．
（1）若小明所在学校八年级的学生总数是a人，用含a的式子解决下面的问题：
①一支铅笔的零售价为 元，一支铅笔的批发价为 元；
②一支铅笔的零售价比批发价多多少元？
（2）小明说，“根据我校八年级人数以及需要，我按批发价购买了336支，与按零售价购买280支的总花费相同”；文具店店长说，“你说的这种情况不可能”．请你判断小明和店长谁说得对，并说明理由．
【答案】（1）①，；②元；（2）店长的说法是对的，理由是：
设八年级学生总数为人，
则，
解得，
检验当时，，
∴是分式方程的解；
，
解得，
∴不符合题意；
∴店长的说法是对的
【分析】（1）①根据人数和钱数列式即可；②利用分式的减法进行解答即可；
（2）设八年级学生总数为人，根据题意列方程并解方程得到，再列不等式组求出，则不符合题意，即可得到结论．
（1）解：若小明所在学校八年级的学生总数是a人，
①一支铅笔的零售价为元，一支铅笔的批发价为元；
②根据题意可得，，
即一支铅笔的零售价比批发价多元；
（2）略
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专题 3.5 一元一次不等式组（知识梳理+题型精析+同步检测）
目录
一.学习目标与重难点 1
二.知识梳理与解读 2
【知识点一】一元一次不等式组的相关概念 2
【知识点二】一元一次不等式组四种解集规律（必考口诀） 2
【知识点三】解一元一次不等式组的标准步骤 2
三.题型精析（基础夯实） 3
【题型1】不等式组的识别与解集判断 3
【题型2】基础一元一次不等式组求解 3
【题型3】不等式组的整数解问题 4
四.题型精析（综合提升） 4
【题型4】含参数不等式组（有解、无解求参数） 5
【题型5】不等式组整数解个数限制综合题 5
【题型6】不等式组的应用 5
五.同步检测 7
（一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 7
（二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 8
（三）解答题（本大题共6小题，共58分） 9
一.学习目标与重难点
（一）学习目标
1. 理解一元一次不等式组、不等式组的解集、无解的概念，能准确识别一元一次不等式组。
2. 熟练掌握解一元一次不等式组的标准步骤，会利用数轴、口诀两种方法求解不等式组解集。
3. 掌握一元一次不等式组四种解集类型，能准确判断有解、无解情况，熟练求取整数解、特殊解。
4. 掌握含参数不等式组的解法，能根据解集情况、整数解个数反向求解参数取值范围，解决基础综合应用问题。
（二）重难点
重点：一元一次不等式组的求解步骤、四种解集规律、数轴表示解集、求不等式组的整数解。
难点：不等式组无解与有解的边界判断、含参数不等式组的参数范围求解、整数解个数限制类综合题型。
二.知识梳理与解读
【知识点一】一元一次不等式组的相关概念
1. 一元一次不等式组定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。
2. 不等式组的解集：不等式组中所有不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
3. 无解：若几个不等式的解集没有公共部分，则该一元一次不等式组无解。
【要点提示】
1. 不等式组必须满足：未知数相同、均为一元一次不等式，缺一不可；
2. 解集核心是“公共部分”，单个不等式有解，不等式组不一定有解；
3. 解集是一个取值范围，包含无数个解，特殊解需单独筛选。
【知识点二】一元一次不等式组四种解集规律（必考口诀）
设，两个一元一次不等式组成的不等式组解集分为四类：
1. ，解集：，口诀：同大取大
2. ，解集：，口诀：同小取小
3. ，解集：，口诀：大小小大中间找
4. ，解集：无解，口诀：大大小小无处找
【要点提示】
1. 口诀使用前提：先将两个不等式化为左边单一x的最简形式；
2. 含等号解集规律不变，端点是否可取跟随原式；
3. 复杂不等式组优先用数轴辅助判断，避免口诀记错。
【知识点三】解一元一次不等式组的标准步骤
1. 解：分别求出不等式组中每一个不等式的解集；
2. 画：将每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来；
3. 找：找出所有解集的公共区域，即为不等式组解集；
4. 写：规范写出不等式组的解集（若无公共部分则写无解）。
【要点提示】
解题必须先单独解每个不等式，禁止直接组合式子；数轴是判断无解、边界取值的最稳妥方法。
三.题型精析（基础夯实）
【题型1】不等式组的识别与解集判断
【例题1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是________（填序号）．
①； ②； ③；
④； ⑤； ⑥
【变式1】（25-26七年级下·福建莆田·期中）下列各式中，是一元一次不等式组的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26七年级下·广西崇左·期末）2026年6月5日是我国二十四节气中的芒种，某地当天最低气温是，最高气温是，则该地气温的变化范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，某校实践小组在点测得池塘两端的距离米，米．则池塘两端，之间的距离可能是_____米．
【题型2】基础一元一次不等式组求解
【例题2】（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）解不等式组并在数轴上表示出解集：；
【变式1】（26-27八年级上·黑龙江绥化·开学考试）下列在数轴上表示的不等式组的解集，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）不等式组的解集为__________．
【变式3】（26-27九年级上·四川达州·开学考试）解不等式组：，把解集在数轴上表示出来．
【题型3】不等式组的整数解问题
【例题3】（25-26七年级下·安徽安庆·期末）解不等式组：，并求出它的所有整数解．
【变式1】（25-26七年级下·河南周口·期末）不等式组的整数解的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式2】（25-26七年级下·湖南益阳·期末）不等式组的所有整数解的和是__________．
【变式3】（25-26七年级下·北京·期末）解不等式组：；并写出该不等式组的非负整数解．
四.题型精析（综合提升）
【题型4】含参数不等式组（有解、无解求参数）
【例题4】（25-26八年级下·山东青岛·期中）已知关于x的不等式组有解，求a的取值范围．
【变式1】（25-26七年级下·山东滨州·期末）若关于x的不等式组有解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26七年级下·江西宜春·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是____________．
【变式3】（25-26七年级下·全国·周测）已知关于x的不等式组
（1）若这个不等式组有解，求a的取值范围．
（2）若这个不等式组无解，求a的取值范围．
【题型5】不等式组整数解个数限制综合题
【例题5】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）已知不等式组共有个整数解．
（1）求的取值范围；
（2）化简：
【变式1】（25-26七年级下·广西崇左·期末）关于的不等式组恰有个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2026·江苏扬州·二模）若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，则符合条件的整数a有_______．
【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x的不等式组
（1）若原不等式组无解，则a的取值范围是_______；
（2）若原不等式组有且只有5个整数解，则a的取值范围是_______．
【题型6】不等式组的应用
【例题6】（26-27九年级上·四川达州·开学考试）某航模小组对A、B两种新款无人机模型产生了浓厚的兴趣和购买欲望，于是他们前往模型商店进行咨询并了解到以下信息：
①A型无人机模型的单价比B型贵800元；
②用12000元购买A型无人机模型的数量与用8000元购买B型无人机模型的数量相同．
（1）求A型和B型无人机模型的单价各是多少元？
（2）若航模小组现有资金20000元，他们决定购买10台无人机模型，同时要求购买B型的数量不超过A型的2倍．请求出航模小组所有可能的购买方案．
【变式1】（25-26七年级下·福建南平·期末）某商店促销优惠，每单消费满元减元．小王在该店铺内已选购了元的商品，为满足优惠条件，又加购了一件元的商品．则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2026七年级下·辽宁鞍山·竞赛）一些书分给若干个小朋友，若每个小朋友分3本，则剩2本；若每个小朋友分4本，则有一个小朋友没分到，且最后一个分到书的小朋友分得的书的数量不足3本．已知小朋友人数是奇数，那么小朋友的人数是________．
【变式3】（25-26七年级下·河北张家口·期末）2025年9月3日，我国自主研制的首型舰载固定翼预警机空警-600亮相于纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵活动．某玩具店以此为契机，迅速推出，两种飞机模型．，两种飞机模型每个的进价分别为80元和60元，下表是该玩具店近两天的销售情况．
销售时段
销售数量
销售收入
种
种
第一天
4个
5个
955元
第二天
2个
6个
810元
（1），两种飞机模型的销售单价分别是多少？
（2）该玩具店准备用不超过1400元再次购买这两种飞机模型共20个，且种飞机模型不少于8个，则该玩具店有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，请你帮该玩具店设计利润最大的进货方案（20个飞机模型全部售完），并求出最大利润．
五.同步检测
（一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分）
1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26七年级下·云南德宏·期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（25-26七年级下·河南周口·期末）不等式组的整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（25-26七年级下·山东东营·期末）不等式组解集为，则取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26七年级下·陕西安康·期末）若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020九年级·全国·竞赛）若方程组的解为x，y，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26七年级下·陕西西安·期末）已知关于的不等式只有两个负整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（26-27九年级上·山东青岛·开学考试）已知不等式组的解集如图所示，则=（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25七年级下·河北唐山·期末）某商店甲商品的单价为8元，乙商品的单价为2元．已知购买乙商品的件数比购买甲商品的件数的2倍少4件，如果购买甲、乙两种商品的总件数不少于32，且购买甲、乙两种商品的总费用不超过148元．设购买甲商品件，依题意可列不等式组得（ ）．
A． B．
C． D．
10．（2024·山东潍坊·模拟预测）若m为整数，关于x的不等式组有5个整数解，关于y的分式方程的解是整数，则所有满足条件的m的值的和为（ ）
A． B． C． D．
（2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（24-25九年级下·河北沧州·阶段检测）我们把两个（或两个以上）的_____，就组成了一个一元一次不等式组．
12．（26-27八年级上·山东德州·阶段检测）一个三角形的三边长是3，，8，则m的取值范围是__________．
13．（25-26七年级下·云南昆明·期末）不等式组的整数解是______．
14．（25-26七年级下·河南周口·期中）关于的不等式组的解集如图所示，请写出一个符合条件的的值：____．
15．（25-26七年级下·河南南阳·期末）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为______．
16．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）某地区新能源汽车保有量达到万辆，其中纯电动汽车保有量不低于新能源汽车总量的．则纯电动汽车的保有量（单位：万）可以用不等式（组）表示为______．
17．（25-26八年级下·全国·课后作业）方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____．
18．（25-26七年级下·贵州黔西南·期末）课堂上老师给出了这样一道题目：“求关于的一元一次不等式组的解集，并在数轴上表示出解集”，甲计算完之后，说：“老师，这道题有问题，解出来无解，不能在数轴上表示．”乙看了甲的计算过程，说：“你把第2个式子中的数字3抄错了．”通过甲、乙两人的对话，设甲将数字3抄成了数，则的取值范围是__________．
（三）解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（本小题满分8分）（26-27八年级上·重庆·期中）解方程组和解不等式组：
（1） （2）
20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）若等腰三角形的周长为，腰长为．
（1）求x的取值范围；
（2）若该三角形的一边长是，求该三角形的另两边长．
21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知关于的二元一次方程组的解满足且是非负数．
（1）求的取值范围；
（2）当为整数时，不等式的解集为，求满足所有条件 的的值．
22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·陕西西安·期末）已知关于x的不等式组的解集如图所示．
（1）求m的取值范围；
（2）若关于x的不等式的解集为，求m的取值范围．
23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·江苏宿迁·阶段检测）已知关于x、y的方程组．
（1）若此方程组的解是二元一次方程的一组解，求m的值；
（2）若此方程组的解满足不等式，求m的取值范围．
24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图为未来文具店某种铅笔的销售方式．
小明到该店购买这种铅笔，如果给八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用120元；同样用120元，也可以按批发价付款，可多购买40支．
（1）若小明所在学校八年级的学生总数是a人，用含a的式子解决下面的问题：
①一支铅笔的零售价为 元，一支铅笔的批发价为 元；
②一支铅笔的零售价比批发价多多少元？
（2）小明说，“根据我校八年级人数以及需要，我按批发价购买了336支，与按零售价购买280支的总花费相同”；文具店店长说，“你说的这种情况不可能”．请你判断小明和店长谁说得对，并说明理由．
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