专题 3.4 一元一次不等式的应用（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年浙教版八年级数学上册
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内容正文：
专题 3.4 一元一次不等式的应用（知识梳理+题型精析+同步检测）
目录
一.学习目标与重难点 1
二.知识梳理与解读 2
【知识点一】一元一次不等式应用题解题步骤 2
【知识点二】常见不等关系关键词对应表 2
【知识点三】应用题常见模型与取值原则 2
三.题型精析（基础夯实） 2
【题型1】代数式取值范围问题 3
【题型2】购物消费最值问题（至多、至少） 4
【题型3】简单分配与达标问题 7
四.题型精析（综合提升） 10
【题型4】含参数的不等式应用问题 10
【题型5】工程与行程不等式应用 12
【题型6】方案选择类综合应用题 15
五.同步检测 18
（一）选择题（共5题，每小题4分，合计20分） 18
（二）填空题（共4题，每小题4分，合计16分） 20
（三）解答题（共8题，每小题8分，合计64分） 22
一.学习目标与重难点
（一）学习目标
1. 掌握列一元一次不等式解决实际问题的基本步骤，能区分方程等量关系与不等式不等量关系。
2. 能准确抓取实际问题中的不等关键词，建立一元一次不等式模型，规范解题、作答。
3. 熟练解决购物方案、最值问题、行程工程、代数式取值、分配问题等常见应用题模型。
4. 结合实际情境取舍解集，根据题意取整数解、正整数解，解决方案选择类综合问题。
（二）重难点
重点：一元一次不等式应用题的建模步骤、不等关系的识别、规范列式求解。
难点：复杂情境下不等关系的挖掘、根据实际意义取舍解集、多方案对比选择问题。
二.知识梳理与解读
【知识点一】一元一次不等式应用题解题步骤
通用五步解题法：审、设、列、解、答。
1. 审：审题，找出题目中的已知量、未知量，重点抓取表示不等关系的关键词；
2. 设：设未知数，一般直接设所求量为，无需带范围；
3. 列：根据不等关系列出一元一次不等式；
4. 解：解不等式，求出未知数的取值范围；
5. 答：结合实际意义取值（人数、物品数为正整数），写出完整答案。
【要点提示】实际问题中，未知数往往具有实际限制：人数、数量、天数均为正整数，求解后必须验证取舍，不可直接照搬解集。
【知识点二】常见不等关系关键词对应表
核心关键词（必考）
至多、不超过、最大、上限
至少、不少于、最小、保底
超过、多于、大于
不足、少于、小于
【要点提示】审题优先圈画关键词，这是正确列式的核心，90%的列式错误均为不等号判断颠倒。
【知识点三】应用题常见模型与取值原则
1. 最值模型：求至少、最多、最少、最优方案，解集端点结合实际取整；
2. 限制模型：总价、总量、人数不超限额，用；达标、保底问题用；
3. 整数取值原则：若解集为，最小整数取4；若解集为，最大整数取5。
【要点提示】不等式解集是数的范围，实际问题解必须是符合现实的整数，不能出现小数人数、小数物品数量。
三.题型精析（基础夯实）
【题型1】代数式取值范围问题
【例题1】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）（1）当x满足什么条件时，代数式的值比代数式的值小1？
（2）若（1）中x的值是关于x的不等式的解，求m的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查解一元一次方程，已知不等式的解集的情况求参数的范围，正确的求出方程的解，不等式的解集，是解题的关键：
（1）根据题意，列出方程，进行求解即可；
（2）求出不等式的解集，根据解集的情况，求出m的取值范围即可．
解：（1）由题意，得：，
，
∴；
（2）∵，
∴，
∴；
∵是关于x的不等式的解，
∴，
∴．
【变式1】（24-25七年级下·江苏镇江·期末）若a、b满足，则代数式的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是非负数的性质，不等式的解法，由可得，结合题干可得，即可得，进一步可得答案.
解：∵，，
∴，
∴，
当取最大值时，
∴的最小值为；
故选：D
【变式2】（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）当______时，代数式的值是非负数．
【答案】
【分析】根据非负数的特征列不等式求解即可．
解：要使代数式的值是非负数，则有，
解得．
【变式3】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知代数式 减去的值大于1，求出x的取值范围，并写出x的最大整数值．
【答案】，的最大整数值为
解：∵代数式与的差大于1，
∴，
，
，
，
；
则的最大整数值为．
【题型2】购物消费最值问题（至多、至少）
【例题2】（25-26七年级下·广西防城港·期末）某商店购买A、B两种文具袋，已知购买A种和B种文具袋共50个，总共花费600元．其中A种成本价为10元/个，B种成本价为15元/个．
（1）购买A、B两种文具袋各多少个？
（2）若A种售价为13元/个，B种售价为20元/个．若商店购进A、B两种文具袋共50个并全部售出，要使总利润不少于180元，问A种文具袋至多购买多少个？
【答案】（1）A种文具袋个，B种文具袋个；（2）个
【分析】（1）设购买A种文具袋个，B种文具袋个．根据购买A种和B种文具袋共50个，总共花费600元，列出方程组，解方程组即可；
（2）设购买A种文具袋个，则购买B种文具袋个，根据总利润不少于180元，列出不等式，解不等式即可．
（1）解：设购买A种文具袋个，B种文具袋个．根据题意，得：
，
解得：
答：购买A种文具袋个，B种文具袋个．
（2）解：设购买A种文具袋个，则购买B种文具袋个，根据题意，得：
，
解不等式得，
答：要使总利润不少于元，A种文具袋至多购买个．
【变式1】（24-25七年级下·全国·期末）某种商品的进价为元，出售时标价为元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于，则至多可打（ ）
A．六折 B．七折 C．八折 D．九折
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
利润率不低于，即利润要大于或等于元，设打折，则售价是元．根据利润率不低于就可以列出不等式，求出的范围，即可得解．
解：设至多打折，
则，
解得，
因为要求折扣力度最大，
所以售价应最低，应取最小值，故至多可打七折，
故选：B．
【变式2】（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期末）文具店销售的某种笔记本原售价是每本a元，现在推出促销活动，凡一次购买5本或以上可享受优惠，第一种优惠方案：5本按原价，其余按七折优惠；第二种优惠方案：全部按原价的八折优惠，若想在购买相同数量笔记本的情况下，使第一种方案比第二种方案更优惠，则至少购买__________本笔记本．
【答案】16
【分析】设购买本笔记本，根据题意列出不等式，求出的范围，再结合是整数求出的最小值即可解答．
解：设购买本笔记本，
根据题意得，，
由题意可知，
∴，
解得，
∵是整数，
∴的最小值为16，
即至少购买16本笔记本．
【变式3】（25-26八年级下·甘肃兰州·期末）
端午节义卖，某班准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多元，用元购进甲种商品和用元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元．
方法
分析问题
列出方程
解法一
设…等量关系：甲商品数量乙商品数量
________
解法二
设…等量关系：甲商品进价乙商品进价
（1）解法二所列方程中的表示________（填序号）；
①甲种商品每件进价元； ②乙种商品每件进价元； ③甲种商品购进件．
（2）请根据解法一列出方程，并解决题目中提出的问题．
（3）若该班计划用不超过元的资金购进甲、乙两种商品共件，至多购进甲种商品多少件？
【答案】（1）③；（2）所列方程为；甲种商品每件进价5元，乙种商品每件进价3元；（3）至多购进甲种商品12件
【分析】（1）结合解法二的等量关系，即可分析方程中的实际意义；
（2）设乙种商品每件进价为元，则甲种商品每件进价为元，根据甲、乙商品购进数量相等列分式方程求解即可；
（3）设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，根据总资金限制列一元一次不等式求解即可．
（1）解：解法二的等量关系为甲商品进价乙商品进价，
∴在中，表示甲商品单件进价，表示乙商品单件进价，
又单件进价总进价购进数量，且两种商品购进数量相同，
表示甲种商品的购进数量；
（2）解：设乙种商品每件进价为元，则甲种商品每件进价为元，
用200元购进甲种商品和用120元购进乙种商品的数量相同，
解得，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解，
甲种商品每件进价为（元），
答：甲种商品每件进价元，乙种商品每件进价元；
（3）解：设购进甲种商品件，则购进乙种商品件．
购进总资金不超过144元，
解得，
答：至多购进甲种商品12件．
【题型3】简单分配与达标问题
【例题3】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）为有效开展课后延时服务特色课程，某校计划购买葫芦丝和口风琴给同学们活动使用，如果该校购买葫芦丝和口风琴共46个，且购买葫芦丝的数量不低于口风琴数量的1.5倍，求该校最多可购买多少个口风琴？
【答案】该校最多可购买18个口风琴
解：设该校购买x个口风琴，则购买个葫芦丝，根据题意得，
，
解得，
又∵x为正整数，
∴x的最大值为18，
答：该校最多可购买18个口风琴．
【变式1】（26-27八年级上·河南信阳·开学考试）某校组织开展了某次知识竞赛，共有道题，答对一题得10分，答错（或不答）一题扣5分，小明参加本次竞赛得分要超过100分，他至少要答对（ ）道题．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设小明答对道题，则答错（或不答）道题，根据题意列出一元一次不等式求解即可．
解：设小明答对道题，则答错（或不答）道题，
由题意得
解得：，
∵为正整数，
∴的最小值为14，即小明至少要答对14道题．
【变式2】（2026·江苏南通·中考真题）南通蓝印花布印染技艺被列入首批国家级非物质文化遗产名录．为传承这一中华优秀传统文化，学校蓝印花布印染社团计划招募新成员．已知该社团现有成员35人，若社团成员总人数不超过80，则新招募的成员人数可以是________．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一，到之间的任意正整数均可）
【分析】根据现有成员人数和总人数不超过的条件，列不等式得到新招募人数的取值范围，选取范围内一个符合要求的正整数即可．
解：设新招募的成员人数为，
∵社团现有成员人，要求总人数不超过，
∴可得不等式，
解得，
又∵人数是非负整数，
∴只要选取到之间的任意正整数都符合要求，可取．
【变式3】（26-27八年级上·黑龙江绥化·开学考试）某学校组织七年级学生到水上公园游玩，可供租用的船只分为大小两种，七年级一班租用6只大船和4只小船共付租金260元；七年级二班租用7只大船和3只小船共付租金270元．
（1）求每只大船和小船的租金分别为多少元．
（2）若七年级三班共有46人，每只大船最多只能坐5人，每只小船最多只能坐3人，请你直接写出最省钱的租船方案．
【答案】（1）每只大船租金为30元，每只小船租金为20元；（2）最省钱的租船方案为租用8只大船，2只小船
【分析】（1）设每只大船租金为元，每只小船租金为元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解；
（2）设租大船只，小船只，由题意可得，列举出，取值情况，分别计算租金，即可求解．
（1）解：设每只大船租金为元，每只小船租金为元，
由题意得，，
解得．
答：每只大船租金为30元，每只小船租金为20元．
（2）解：设租大船只，小船只，
由题意得，，
∴，
∵，为非负整数，
当时，，租金至少为（元）；
当时，，租金为（元）；
当时，，租金为（元）；
当时，，租金为（元）；
当时，，租金为（元）；
当时，，租金为（元）；
当时，，租金为（元）；
当时，，租金为（元）；
当时，，租金为（元）；
当时，，租金为（元）；
当时，，租金为（元）；
综上所述，最省钱的租船方案为租用8只大船，2只小船．
【方法总结】达标、保底、至少完成类问题用，求最小数量取解集最小正整数。
四.题型精析（综合提升）
【题型4】含参数的不等式应用问题
【例题4】（25-26八年级·全国·暑假作业）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，求k的取值范围．
【答案】
【分析】把方程组中的两个方程的左右两边分别相减得到，进而可得不等式，解不等式即可得到答案．
解：
得，
∵关于x，y的二元一次方程组的解满足，
∴，
∴ ．
【变式1】（广西梧州市岑溪市2025-2026学年下学期七年级期末数学试卷）若关于x的不等式的正整数解有6个，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由不等式的正整数解个数确定最大正整数解为6，结合不等号方向推导的取值范围．
解：解不等式，得
，
∵该不等式的正整数解有6个，
∴正整数解为，
∴ ．
【变式2】（25-26七年级下·河南周口·期末）已知方程组的解满足不等式，则的取值范围是____________．
【答案】
【分析】①②得：，代入不等式，得出，解不等式，即可求解．
解：
①②得：
∵，
∴
解得：
【变式3】（25-26七年级下·湖南永州·期中）已知方程组的解满足．
（1）求a的取值范围；
（2）当a为何整数时，不等式的解集为？
【答案】（1）；（2）或或
【分析】（1）两个方程相加可得出，根据列出关于的不等式组，解之可得答案；
（2）根据不等式的解集为、为整数和（1）中的取值范围，可以求得的值；
（1）解：两个方程相加可得，
则，
∵
∴，
解得；
（2）解：由不等式，得，
∵不等式的解集为，
∴，
解得，
又∵且a为整数，
，
或或0，
即a的值是或或0．
【题型5】工程与行程不等式应用
【例题5】（2025·江苏盐城·二模）某市规定：传统燃油出租车行驶不超过时只收起步价，超出的部分按路程（不足按计）另外加收费用．小明乘坐这种出租车行驶了，付了20元；小亮乘坐这种出租车行驶了，付了38元．
（1）这种燃油出租车的起步价是多少元？超过的部分加收多少元？
（2）最近该市为方便市民出行，投放一部分无人驾驶出租车，收费标准为不超过起步价5元，超出的部分按路程（不足按计）另外加收3元．张阿姨出行不知选哪种出租合算，请你通过计算告诉她行程不超过多少选无人驾驶出租车的费用就不会高于选燃油出租车的费用？
【答案】（1）燃油出租车的起步价为8元，超出的部分加收1.5元；（2）行程不超过选无人驾驶出租车的费用就不会高于选燃油出租车的费用
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出二元一次方程以及一元一次不等式是解此题的关键．
（1）设燃油出租车的起步价为元，超出的部分加收元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解；
（2）设行驶里程为，若时，由可得，无人家事出租车费用低；若时，要使无人驾驶出租车费用不高于燃油出租车费用，必须满足，解一元一次不等式即可得解．
（1）解：设燃油出租车的起步价为元，超出的部分加收元，
由题意可得：，
解得：，
∴燃油出租车的起步价为8元，超出的部分加收1.5元；
（2）解：设行驶里程为，
若时，由可得，无人家事出租车费用低，
若时，要使无人驾驶出租车费用不高于燃油出租车费用，必须满足：，
解得：，
∴，
综上所述，行程不超过选无人驾驶出租车的费用就不会高于选燃油出租车的费用．
【变式1】（25-26七年级下·海南海口·期中）海口2026年（第七届）万人健步活动已于4月19日顺利举行．此次活动以“建功自贸港劳动筑梦想”为主题，行程首次解锁长影奇幻乐园内部道路，全程．王老师沿活动路线先以60米/分的平均速度行走了1小时，路过某景点后，加快了速度．若王老师走完全程的时间少于140分钟，则他后半程的平均速度x（米/分）满足的不等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先统一单位，再根据“走完全程的时间少于140分钟”确定不等关系，结合路程=速度×时间即可列出不等式．
解：全程米．
∵王老师先以60米/分的速度行走1小时，1小时分钟，
∴前60分钟行走的路程为米．
∵走完全程的时间少于140分钟，
∴后半段实际用时小于分钟，后半段路程，
因此可得不等式．
【变式2】（25-26七年级下·江西新余·阶段检测）习总书记说：“绿水青山就是金山银山”．为响应习总书记号召，重庆市政府启动了长江流域综合治理工程，其中某项工程，若由甲、乙两建筑队合做，个月可以完成，若由甲、乙两队独做，甲队速度是乙队速度的．已知甲队每月施工费用为万元，比乙队多万元，按要求该工程总费用不超过万元，工程必须在一年内竣工包括个月为了确保经费和工期，采取甲队做个月，乙队做个月、均为整数分工合作的方式施工，则的值为______．
【答案】2或4
【分析】根据甲乙完成该项工程，列出二元一次方程，找到a、b之间的关系，根据费用不超过141万元列出一元一次不等式求解即可．
解：∵由甲、乙两建筑队合做，个月可以完成，
∴甲乙合作的工作速度为，
∵由甲、乙两队独做，甲队速度是乙队速度的，
∴甲的速度：，乙的速度为：，
∴，解得，
∴
解得，
∵，、均为整数，且，，
∴a=2，或a=4，
故答案为：2或4
【点睛】本题考查了二元一次方程及一元一次不等式的应用，解题时，可把总工程量看作“1”，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
【变式3】（25-26八年级下·四川成都·期末）某段工程，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通的影响，实际施工时每天铺设管道长度比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务．
（1）求原计划每天铺设管道长度为多少米？
（2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，该工程所有工人的工资总金额不超过18万元，问该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
【答案】（1）原计划每天铺设管道长度为米；（2）该公司原计划最多应安排名工人施工．
【分析】（1）设原计划每天铺设管道长度为未知数，根据实际比原计划提前15天完成的数量关系列分式方程，求解检验后得到结果；
（2）先计算出原计划的施工总天数，再设工人数量为未知数，根据总工资不超过预算列出一元一次不等式，取解集中的最大整数解得到结果．
（1）解：设原计划每天铺设管道米，则实际每天铺设管道米，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意；
（2）解：原计划完成工程的天数为（天），18万元元，
设该公司原计划安排名工人施工，
根据题意得：，
解得，
则的最大整数解为．
答：该公司原计划最多应安排8名工人施工．
【题型6】方案选择类综合应用题
【例题6】（25-26七年级下·辽宁朝阳·期末）牛河梁遗址属于新石器时代晚期的红山文化，距今年至年．牛河梁遗址的发现，将中华文明向前推进了多年．为了近距离了解红山文化，凌源市某校七年级名学生和位带队老师到牛河梁遗址博物院开展研学活动，需统一乘坐客车前往．某客运公司有两种型号的客车可供租用，两种型号的客车载客量和租金如下表所示．
车型
型
型
载客量/人
租金/元
学校综合考量，计划租用辆客车保障出行，现需解决以下问题：
（1）最多可以租用多少辆型客车，能满足所有师生的乘车需求？
（2）共有哪几种租车方案？哪种方案的租金最低？
【答案】（1）最多可以租用辆型客车；（2）共有三个方案，方案一：租用辆型客车和辆型客车，方案二：租用辆型客车和辆型客车，方案三：租用辆型客车；租用辆型客车和辆型客车租金最低
【分析】（1）设租用辆型客车，则租用型客车为辆，根据题意可知总载客量不小于师生总数，列出不等式求解的最大整数值；
（2）在总车辆辆的约束下，结合载客量需求确定型客车的可能取值，再计算各方案租金并比较得出最佳方案．
（1）解：设租用辆型客车，则租用型客车为辆．由题意得，
，
解得：
为非负整数，
最大为．
答：最多可以租用辆型客车．
（2）解：由（1）可得，最多可以租用辆型客车，则型客车只能有、、三种方案，
方案一：租用辆型客车和辆型客车，租金为（元），
方案二：租用辆型客车和辆型客车，租金为（元），
方案三：租用辆型客车，租金为（元）．
答：租用辆型客车和辆型客车租金最低．
【变式1】（25-26七年级下·山东日照·期末）某社团计划购买一些篮球和足球，已知篮球单价是120元，足球单价是80元．若该社团用1200元购买这两种球（篮球、足球都购买）且1200元恰好用完，则该社团共有几种购买方案（ ）
A．6 B．7 C．4 D．5
【答案】C
【分析】设出两种球的购买个数，根据总费用列出方程，化简后寻找符合条件的正整数解，即可得到购买方案的数量．
解：设购买篮球个，足球个，其中均为正整数，
根据题意列方程得：
∴
∵为正整数
∴，且是的倍数，
∴，且为正偶数，
∴的取值为，共个符合条件的解，即共有种购买方案．
【变式2】（24-25八年级下·山东青岛·阶段检测）某乒乓球馆有两种计费方案，如下表．李强和同学们打算周末去此乒乓球馆连续打球4小时，经服务生测算后，告知他们包场计费方案会比人数计费方案便宜，则他们参与包场的人数至少为______
包场计费：包场每场每小时50元，每人须另付入场费5元
人数计费：每人打球2小时20元，接着续打球每人每小时6元
【答案】
【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设参与包场的人数为人，根据题意列不等式求出的取值范围，然后取最小整数解题即可．
解：设参与包场的人数为人，
，
解得，
∵人数为整数，
∴至少为人，
故答案为：．
【变式3】（25-26七年级下·甘肃天水·期末）2026年4月23日是第31个“世界读书日”．某图书馆原计划购买20个书架，现有A，B两种型号可选
素材一：A型书架比B型书架的单价高
素材二：购买4个A型书架5个B型书架共用4900元
素材三：图书馆购买书架的预算是11000元，且A型书架的数量不大于8个
请回答下列问题：
（1）A，B两种书架的单价各是多少元？
（2）在满足素材三的条件下，请问有哪几种购买方案？哪种购买方案费用最低？并求出最低费用．
【答案】（1）A型书架的单价为600元，B型书架的单价为500元；（2）共有9种购买方案，购买0个A型书架、20个B型书架费用最低，最低费用为10000元．
【分析】（1）根据素材给出的单价关系和总购买花费列方程组求解两种书架的单价；
（2）设A型书架的购买数量，根据预算和A型书架的数量要求列出不等式，求出符合条件的整数解得到所有购买方案，再根据总费用的变化规律求出最低费用．
（1）解：设A型书架的单价为元，B型书架的单价为元，
根据题意，得，
解得，
答：A型书架的单价为600元，B型书架的单价为500元；
（2）解：设购买A型书架个，则购买B型书架个，为非负整数，
根据题意，得，
解得，
，
，且为整数，
因此，共有9种购买方案，
A型书架单价600元高于B型书架单价500元，
在总数固定为20个时，A型书架买得越少总费用越低，
当时总费用最低，此时购买B型书架个，
最低费用为元．
答：共有9种购买方案，当购买0个A型书架、20个B型书架时费用最低，最低费用为10000元．
五.同步检测
（一）选择题（共5题，每小题4分，合计20分）
1．（25-26七年级下·四川乐山·期末）将关系“的一半不小于1”用不等式表示是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解题关键是明确“不小于”对应不等号．
解：的一半为，“不小于”即，得．
2．（25-26七年级下·河南南阳·期末）年“·中国旅游日”是第个中国旅游日，其中厚重的河南熠熠生辉，少林武术、龙门石刻、云台丹霞、汴京梦华……处国家级旅游景区皆是华夏文明的璀璨坐标．某次河南文旅知识竞赛共有道选择题，答对一题得分，答错或不答一题扣分，要使总分不低于分，则至少应答对的题数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】以总分不低于分为不等关系，设答对题数为未知数列一元一次不等式，取最小正整数解，即可得到答案．
解：设答对道题，则答错或不答的题数为道，
根据题意可列不等式：，
解得：，
∵为正整数，，
∴的最小正整数解为，
∴至少应答对的题数为．
3．（26-27九年级上·辽宁鞍山·开学考试）学校组织社团活动，小徐要从教室前往社团活动室，两地路程是米，她从教室出发，先以米/分钟的速度步行了分钟，后来怕迟到，她以米/分钟的速度小跑过去，结果在之前到达了活动室．根据题意列出的不等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意列不等式即可
解：∵分钟，
∴总用时需小于8分钟，
∵步行路程为米，
∴小跑路程为米，
∴小跑时间为分钟，
∴总时间为分钟，
∴所列不等式为 ．
4．（25-26七年级下·山西长治·期末）若、、分别是的三边长，且，则以下关于的形状及其周长的取值范围的描述正确的是（ ）
A．直角三角形； B．等腰三角形；
C．直角三角形； D．等腰三角形；
【答案】D
【分析】先利用非负数的性质判断三角形形状，再根据三角形三边关系求出周长的取值范围，最终得到正确选项
解：∵，，且
∴，
∴，，
∴是等腰三角形，排除A、C选项；
设，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，得
即
三角形周长，变形得
将代入得，即
∴是等腰三角形，
5．（25-26七年级下·江西南昌·期末）如图1，某工厂内的一人形机器人正在搬运货物，如图2，这是该款人形机器人说明书上的一部分，表示该人形机器人每次搬运的货物的质量不能超过．设该人形机器人每次搬运的货物的质量为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】“不能超过”是不等关系中的“小于或等于”，即；同时货物质量必须为正数，即，综合可得取值范围．
解：由题意，该人形机器人每次搬运的货物质量不能超过，
∴．
又∵货物质量为正数，
∴．
综上，x的取值范围是．
（2） 填空题（共4题，每小题4分，合计16分）
6．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）请根据如表信息，写出关于温度（）的不等式_____．
洗涤说明
手洗，勿浸泡，不超过30℃水温
【答案】
【分析】根据不超过列出不等式即可．
解：根据不超过列出不等式得．
7．（25-26七年级下·上海嘉定·期中）若一个角不大于其补角，那么这个角最大为___________．
【答案】90
解：设这个角为，则其补角为，
由题意，得，
解得，
这个角最大为．
8．（2026·江西鹰潭·三模）某校机器人小组计划购买一套新的传感器模块用于备赛．小组已筹集到120元经费，并决定从本月起每月从社团经费中节省30元，直到经费不少于500元．设小组筹集的时间为x个月，则可列不等式为_______．（不必化简）
【答案】
【分析】根据总经费不少于500元的不等关系，结合已有经费和个月节省的经费列出不等式即可．
解：由题意可知，已有经费120元，个月节省的经费为元，要求总经费不少于500元，
因此可列不等式为．
9．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）商家以200元/罐的价格购进一批茶叶，并在进价的基础上提价进行售卖，设售出的数量为x罐，若要使总销售额不低于13万元，则根据题意可列不等式为______．
【答案】
【分析】先统一单位，计算出每罐茶叶的售价，再根据总销售额的关系，结合“不低于”的含义列出不等式．
解：统一单位，13万元元，
∵ 每罐茶叶进价为200元，在进价基础上提价售卖，
∴ 每罐茶叶的售价为元，
∵ 售出数量为罐，要求总销售额不低于130000元，“不低于”表示大于等于，总销售额每罐售价售出数量，
∴ 可列不等式为．
（3） 解答题（共8题，每小题8分，合计64分）
10．（25-26七年级下·陕西安康·阶段检测）为了奖励考试进步的同学，老师计划购买一些钢笔和圆规作为奖品，已知购买一个圆规需要5元，购买一支钢笔需要10元．若购买钢笔的数量比购买圆规的数量的一半还少1个，且购买奖品的总价不超过310元，则最多可以购买多少个圆规？
【答案】最多可以购买32个圆规
【分析】设购买x个圆规，则购买支钢笔，根据“购买奖品的总价不超过310元”列不等式求解．
解：设购买x个圆规，则购买支钢笔，
由题意得：，
解得，
x最大值为32．
答：最多可以购买32个圆规．
11．（25-26七年级下·浙江台州·期末）某中学决定增设乒乓球、羽毛球两门选修课程，需要购进一批乒乓球拍和羽毛球拍．已知购买2副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需要350元，购买6副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需要420元．
（1）购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？
（2）已知该中学需要购买两种球拍共80副，所花费用不超过4340元，则可购买的羽毛球拍最多是几副？
【答案】（1）购买一副乒乓球拍需要35元，一副羽毛球需要70元；（2）可购买的羽毛球拍最多是44副
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设购买一副乒乓球拍需要元，一副羽毛球需要元，根据“购买2副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需要350元，购买6副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需要420元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买副羽毛球拍，则购买副乒乓球拍，利用总价单价数量，结合总价不超过4340元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
（1）解：设购买一副乒乓球拍需要元，一副羽毛球需要元，
根据题意得：，
解得：．
答：购买一副乒乓球拍需要35元，一副羽毛球需要70元；
（2）解：设购买副羽毛球拍，则购买副乒乓球拍，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为44．
答：可购买的羽毛球拍最多是44副．
12．（25-26八年级下·宁夏银川·阶段检测）为响应“全民健身”的号召，某人在规定18分钟的时间内，要完成至少2.1千米的路程，已知他每分钟走90米，若跑步每分钟可跑210米，问：完成这段路程，他至少要跑多少分钟？
【答案】他至少要跑4分钟．
【分析】先统一路程单位，设出跑步时间，根据总路程至少为2.1千米、总时间规定为18分钟列出一元一次不等式，解不等式得到最小跑步时间即可．
解：千米米，
设他跑步的时间为分钟，则走路的时间为分钟，
根据题意列不等式：，
解得：，
答：他至少要跑4分钟．
13．（25-26七年级下·陕西渭南·期末）如图，数轴上点O为原点，点A，B，C表示的数分别是．
（1）______（用含m的代数式表示）；
（2）求当与的差不小时，m的最小整数值．
【答案】（1）；（2）7
【分析】（1）用右边的点所表示的数减去左边的点所表示的数即可求解．
（2）利用，建立方程求得，求解即可．
解：（1）．
（2）∵与的差不小于，
∴，
∵，，
∴，
∴，m的最小整数值为7．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，解一元一次不等式等知识，准确计算是解决问题的关键．
14．（25-26七年级下·广东惠州·期末）惠东县全力推进乡村振兴，全县两百多个行政村集体收入连续两年超过十万元．幸福村今年计划采购一批荔枝苗和龙眼苗，用于扩大种植规模．已知购买2棵荔枝苗和3棵龙眼苗需要85元，购买3棵荔枝苗和2棵龙眼苗需要90元．
（1）求每棵荔枝苗和每棵龙眼苗的价格；
（2）该村计划购买两种树苗共100棵，且总费用不超过1700元，那么最多可以购买荔枝苗多少棵？
【答案】（1）每棵荔枝苗20元，每棵龙眼苗15元；（2）最多可以购买荔枝苗40棵
【分析】（1）设两种树苗的单价为未知数，根据题干给出的两种购买总费用条件列出二元一次方程组，求解得到单价；
（2）设荔枝苗的购买数量，根据总费用不超过1700元的限制列出一元一次不等式，求解得到最大购买数量．
（1）解：设每棵荔枝苗的价格为元，每棵龙眼苗的价格为元
根据题意可得
解得
答：每棵荔枝苗20元，每棵龙眼苗15元；
（2）解：设购买荔枝苗棵，则购买龙眼苗棵
根据题意可得
解得
答：最多可以购买荔枝苗40棵．
15．（25-26七年级下·四川资阳·期末）炎热的夏天里，人们喜欢去游泳馆游泳。某游泳馆销售A、B两种型号的泳衣，进价分别为70元、50元，如下表是近两天的销售情况：
销售量/件
销售收入/元
A型泳衣
B型泳衣
第一天
3
4
600
第二天
6
5
975
（1）求A，B两种型号泳衣的销售单价；
（2）若购进A，B两种型号的泳衣共50件，且总进价不超过2900元．
①最多可以购进A型号泳衣多少件？
②为使这50件泳衣完全销售后的总利润超过1340元，应如何进货？请给出相应的进货方案．
【答案】（1）型泳衣销售单价为100元，型泳衣销售单价为75元；（2）①最多可以购进型泳衣20件；②购进方案为：方案一，购进型泳衣19件，型泳衣31件；方案二，购进型泳衣20件，型泳衣30件
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的求解：
（1）设型泳衣销售单价为元，型泳衣销售单价为元，根据“单价数量总价”来列方程组求解；
（2）设购进型泳衣件，则购进型泳衣件：①根据题意列不等式求解；②根据题意列不等式，再结合①，求解出型泳衣可能的数量，再分别计算出不同数量下的型泳衣的数量即可；
（1）解：设型泳衣销售单价为元，型泳衣销售单价为元，
由题意得，
，
解得：；
答：型泳衣销售单价为100元，型泳衣销售单价为75元；
（2）解：设购进型泳衣件，则购进型泳衣件，
①由题意得：
，
解得：；
答：最多可以购进型泳衣20件；
②由题意得：
，
解得：，
∴，
∵为整数，
∴的值为，
∴或；
答：购进方案为：方案一：购进型泳衣19件，型泳衣31件；
方案二：购进型泳衣20件，型泳衣30件．
16．（24-25八年级下·黑龙江双鸭山·开学考试）某市的道路改造工程，先由甲、乙两个工程队合作10天，再由甲单独干20天，恰好完成全部工作的．已知甲工程队单独完成工程所需天数是乙工程队单独完成工程所需天数的2倍．
（1）求甲、乙工程队单独完成此项工程各需多少天；
（2）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费万元，甲工程队至少需单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？
【答案】（1）天，天；（2）天
【分析】本题主要考查分式方程的应用：工程问题，一元一次不等式的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键．注意应用前面得到的结论求解．
（1）设乙单独完成此项工程需要天，则甲单独完成需要天，根据题意列出方程求解即可；
（2）设甲单独做了天，先算出剩下的工程所需时间，再根据题意列出不等式求解即可．
（1）解：设乙单独完成此项工程需要天，则甲单独完成需要天，
，
解得：，
经检验是原方程的解．
，
答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要天，天；
（2）解：设甲单独做了天，
则剩余工程两队合作需要：天，
由题意得：，
解得：，
答：甲工程队至少要单独施工天．
17．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）某市出租车的计费标准如下：行程以内（含），收费7元，行程超过，如果往返乘同一出租车，超过的部分按每千米元计费，另加收1.6元等候费；如果返程时不再乘坐此车，超过的部分按每千米元计费．小文等4人从A处到B处办事，然后返回A处．现在有两种往返方案：
方案一：去时4人同乘一辆出租车，返回都乘公交车（公交车票为每人2元）
方案二：4人乘同一辆出租车往返
（1）若A、B两地相距，方案一付费 元，方案二付费 元
（2）若A、B两地相距，方案一付费 元，方案二付费 元
（3）设A、B两地相距（x为正整数），请问选择哪种方案更省钱？
【答案】（1），；（2），；（3）见解析
【分析】（1）根据题意分别列出表示两种方案费用的代数式，进行计算即可得到答案；
（2）根据题意分别列出表示两种方案费用的代数式，进行计算即可得到答案；
（3）根据题意，分六种情况讨论，结合一元一次方程和一元一次不等式解答，即可求解．
（1）解：∵，
∴方案一付费元；方案二付费元，
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴方案一付费：元，方案二付费：元，
故答案为：15；11.8；
（3）解：当时，
方案一：15元；方案二：元，
∴方案二更省钱；
当时，
方案一：15元；方案二：，
当时，方案二：，
∴方案二更省钱；
当时，
方案一：；方案二：；
当时，
解得：；
∴当时，两者均可，
当时，
解得：，
∴当时，方案一更省，
当时，
解得：，
∴当时，方案二更省；
综上可得：当时，方案二更省；
当时，方案一、二一样；
当时，方案一更省．
【点睛】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，最优化选择问题，解答本题的关键是根据题目所示的收费标准，列出x的关系式，再计算与比较．
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专题 3.4 一元一次不等式的应用（知识梳理+题型精析+同步检测）
目录
一.学习目标与重难点 1
二.知识梳理与解读 2
【知识点一】一元一次不等式应用题解题步骤 2
【知识点二】常见不等关系关键词对应表 2
【知识点三】应用题常见模型与取值原则 2
三.题型精析（基础夯实） 2
【题型1】代数式取值范围问题 2
【题型2】购物消费最值问题（至多、至少） 3
【题型3】简单分配与达标问题 4
四.题型精析（综合提升） 4
【题型4】含参数的不等式应用问题 5
【题型5】工程与行程不等式应用 5
【题型6】方案选择类综合应用题 6
五.同步检测 7
（一）选择题（共5题，每小题4分，合计20分） 7
（二）填空题（共4题，每小题4分，合计16分） 8
（三）解答题（共8题，每小题8分，合计64分） 8
一.学习目标与重难点
（一）学习目标
1. 掌握列一元一次不等式解决实际问题的基本步骤，能区分方程等量关系与不等式不等量关系。
2. 能准确抓取实际问题中的不等关键词，建立一元一次不等式模型，规范解题、作答。
3. 熟练解决购物方案、最值问题、行程工程、代数式取值、分配问题等常见应用题模型。
4. 结合实际情境取舍解集，根据题意取整数解、正整数解，解决方案选择类综合问题。
（二）重难点
重点：一元一次不等式应用题的建模步骤、不等关系的识别、规范列式求解。
难点：复杂情境下不等关系的挖掘、根据实际意义取舍解集、多方案对比选择问题。
二.知识梳理与解读
【知识点一】一元一次不等式应用题解题步骤
通用五步解题法：审、设、列、解、答。
1. 审：审题，找出题目中的已知量、未知量，重点抓取表示不等关系的关键词；
2. 设：设未知数，一般直接设所求量为，无需带范围；
3. 列：根据不等关系列出一元一次不等式；
4. 解：解不等式，求出未知数的取值范围；
5. 答：结合实际意义取值（人数、物品数为正整数），写出完整答案。
【要点提示】实际问题中，未知数往往具有实际限制：人数、数量、天数均为正整数，求解后必须验证取舍，不可直接照搬解集。
【知识点二】常见不等关系关键词对应表
核心关键词（必考）
至多、不超过、最大、上限
至少、不少于、最小、保底
超过、多于、大于
不足、少于、小于
【要点提示】审题优先圈画关键词，这是正确列式的核心，90%的列式错误均为不等号判断颠倒。
【知识点三】应用题常见模型与取值原则
1. 最值模型：求至少、最多、最少、最优方案，解集端点结合实际取整；
2. 限制模型：总价、总量、人数不超限额，用；达标、保底问题用；
3. 整数取值原则：若解集为，最小整数取4；若解集为，最大整数取5。
【要点提示】不等式解集是数的范围，实际问题解必须是符合现实的整数，不能出现小数人数、小数物品数量。
三.题型精析（基础夯实）
【题型1】代数式取值范围问题
【例题1】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）（1）当x满足什么条件时，代数式的值比代数式的值小1？
（2）若（1）中x的值是关于x的不等式的解，求m的取值范围．
【变式1】（24-25七年级下·江苏镇江·期末）若a、b满足，则代数式的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
【变式2】（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）当______时，代数式的值是非负数．
【变式3】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知代数式 减去的值大于1，求出x的取值范围，并写出x的最大整数值．
【题型2】购物消费最值问题（至多、至少）
【例题2】（25-26七年级下·广西防城港·期末）某商店购买A、B两种文具袋，已知购买A种和B种文具袋共50个，总共花费600元．其中A种成本价为10元/个，B种成本价为15元/个．
（1）购买A、B两种文具袋各多少个？
（2）若A种售价为13元/个，B种售价为20元/个．若商店购进A、B两种文具袋共50个并全部售出，要使总利润不少于180元，问A种文具袋至多购买多少个？
【变式1】（24-25七年级下·全国·期末）某种商品的进价为元，出售时标价为元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于，则至多可打（ ）
A．六折 B．七折 C．八折 D．九折
【变式2】（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期末）文具店销售的某种笔记本原售价是每本a元，现在推出促销活动，凡一次购买5本或以上可享受优惠，第一种优惠方案：5本按原价，其余按七折优惠；第二种优惠方案：全部按原价的八折优惠，若想在购买相同数量笔记本的情况下，使第一种方案比第二种方案更优惠，则至少购买__________本笔记本．
【变式3】（25-26八年级下·甘肃兰州·期末）
端午节义卖，某班准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多元，用元购进甲种商品和用元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元．
方法
分析问题
列出方程
解法一
设…等量关系：甲商品数量乙商品数量
________
解法二
设…等量关系：甲商品进价乙商品进价
（1）解法二所列方程中的表示________（填序号）；
①甲种商品每件进价元； ②乙种商品每件进价元； ③甲种商品购进件．
（2）请根据解法一列出方程，并解决题目中提出的问题．
（3）若该班计划用不超过元的资金购进甲、乙两种商品共件，至多购进甲种商品多少件？
【题型3】简单分配与达标问题
【例题3】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）为有效开展课后延时服务特色课程，某校计划购买葫芦丝和口风琴给同学们活动使用，如果该校购买葫芦丝和口风琴共46个，且购买葫芦丝的数量不低于口风琴数量的1.5倍，求该校最多可购买多少个口风琴？
【变式1】（26-27八年级上·河南信阳·开学考试）某校组织开展了某次知识竞赛，共有道题，答对一题得10分，答错（或不答）一题扣5分，小明参加本次竞赛得分要超过100分，他至少要答对（ ）道题．
A． B． C． D．
【变式2】（2026·江苏南通·中考真题）南通蓝印花布印染技艺被列入首批国家级非物质文化遗产名录．为传承这一中华优秀传统文化，学校蓝印花布印染社团计划招募新成员．已知该社团现有成员35人，若社团成员总人数不超过80，则新招募的成员人数可以是________．（写出一个即可）
【变式3】（26-27八年级上·黑龙江绥化·开学考试）某学校组织七年级学生到水上公园游玩，可供租用的船只分为大小两种，七年级一班租用6只大船和4只小船共付租金260元；七年级二班租用7只大船和3只小船共付租金270元．
（1）求每只大船和小船的租金分别为多少元．
（2）若七年级三班共有46人，每只大船最多只能坐5人，每只小船最多只能坐3人，请你直接写出最省钱的租船方案．
【方法总结】达标、保底、至少完成类问题用，求最小数量取解集最小正整数。
四.题型精析（综合提升）
【题型4】含参数的不等式应用问题
【例题4】（25-26八年级·全国·暑假作业）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，求k的取值范围．
【变式1】（广西梧州市岑溪市2025-2026学年下学期七年级期末数学试卷）若关于x的不等式的正整数解有6个，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26七年级下·河南周口·期末）已知方程组的解满足不等式，则的取值范围是____________．
【变式3】（25-26七年级下·湖南永州·期中）已知方程组的解满足．
（1）求a的取值范围；
（2）当a为何整数时，不等式的解集为？
【题型5】工程与行程不等式应用
【例题5】（2025·江苏盐城·二模）某市规定：传统燃油出租车行驶不超过时只收起步价，超出的部分按路程（不足按计）另外加收费用．小明乘坐这种出租车行驶了，付了20元；小亮乘坐这种出租车行驶了，付了38元．
（1）这种燃油出租车的起步价是多少元？超过的部分加收多少元？
（2）最近该市为方便市民出行，投放一部分无人驾驶出租车，收费标准为不超过起步价5元，超出的部分按路程（不足按计）另外加收3元．张阿姨出行不知选哪种出租合算，请你通过计算告诉她行程不超过多少选无人驾驶出租车的费用就不会高于选燃油出租车的费用？
【变式1】（25-26七年级下·海南海口·期中）海口2026年（第七届）万人健步活动已于4月19日顺利举行．此次活动以“建功自贸港劳动筑梦想”为主题，行程首次解锁长影奇幻乐园内部道路，全程．王老师沿活动路线先以60米/分的平均速度行走了1小时，路过某景点后，加快了速度．若王老师走完全程的时间少于140分钟，则他后半程的平均速度x（米/分）满足的不等式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（25-26七年级下·江西新余·阶段检测）习总书记说：“绿水青山就是金山银山”．为响应习总书记号召，重庆市政府启动了长江流域综合治理工程，其中某项工程，若由甲、乙两建筑队合做，个月可以完成，若由甲、乙两队独做，甲队速度是乙队速度的．已知甲队每月施工费用为万元，比乙队多万元，按要求该工程总费用不超过万元，工程必须在一年内竣工包括个月为了确保经费和工期，采取甲队做个月，乙队做个月、均为整数分工合作的方式施工，则的值为______．
【变式3】（25-26八年级下·四川成都·期末）某段工程，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通的影响，实际施工时每天铺设管道长度比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务．
（1）求原计划每天铺设管道长度为多少米？
（2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，该工程所有工人的工资总金额不超过18万元，问该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
【题型6】方案选择类综合应用题
【例题6】（25-26七年级下·辽宁朝阳·期末）牛河梁遗址属于新石器时代晚期的红山文化，距今年至年．牛河梁遗址的发现，将中华文明向前推进了多年．为了近距离了解红山文化，凌源市某校七年级名学生和位带队老师到牛河梁遗址博物院开展研学活动，需统一乘坐客车前往．某客运公司有两种型号的客车可供租用，两种型号的客车载客量和租金如下表所示．
车型
型
型
载客量/人
租金/元
学校综合考量，计划租用辆客车保障出行，现需解决以下问题：
（1）最多可以租用多少辆型客车，能满足所有师生的乘车需求？
（2）共有哪几种租车方案？哪种方案的租金最低？
【变式1】（25-26七年级下·山东日照·期末）某社团计划购买一些篮球和足球，已知篮球单价是120元，足球单价是80元．若该社团用1200元购买这两种球（篮球、足球都购买）且1200元恰好用完，则该社团共有几种购买方案（ ）
A．6 B．7 C．4 D．5
【变式2】（24-25八年级下·山东青岛·阶段检测）某乒乓球馆有两种计费方案，如下表．李强和同学们打算周末去此乒乓球馆连续打球4小时，经服务生测算后，告知他们包场计费方案会比人数计费方案便宜，则他们参与包场的人数至少为______
包场计费：包场每场每小时50元，每人须另付入场费5元
人数计费：每人打球2小时20元，接着续打球每人每小时6元
【变式3】（25-26七年级下·甘肃天水·期末）2026年4月23日是第31个“世界读书日”．某图书馆原计划购买20个书架，现有A，B两种型号可选
素材一：A型书架比B型书架的单价高
素材二：购买4个A型书架5个B型书架共用4900元
素材三：图书馆购买书架的预算是11000元，且A型书架的数量不大于8个
请回答下列问题：
（1）A，B两种书架的单价各是多少元？
（2）在满足素材三的条件下，请问有哪几种购买方案？哪种购买方案费用最低？并求出最低费用．
五.同步检测
（一）选择题（共5题，每小题4分，合计20分）
1．（25-26七年级下·四川乐山·期末）将关系“的一半不小于1”用不等式表示是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26七年级下·河南南阳·期末）年“·中国旅游日”是第个中国旅游日，其中厚重的河南熠熠生辉，少林武术、龙门石刻、云台丹霞、汴京梦华……处国家级旅游景区皆是华夏文明的璀璨坐标．某次河南文旅知识竞赛共有道选择题，答对一题得分，答错或不答一题扣分，要使总分不低于分，则至少应答对的题数为（ ）．
A． B． C． D．
3．（26-27九年级上·辽宁鞍山·开学考试）学校组织社团活动，小徐要从教室前往社团活动室，两地路程是米，她从教室出发，先以米/分钟的速度步行了分钟，后来怕迟到，她以米/分钟的速度小跑过去，结果在之前到达了活动室．根据题意列出的不等式为（ ）
A． B．
C． D．
4．（25-26七年级下·山西长治·期末）若、、分别是的三边长，且，则以下关于的形状及其周长的取值范围的描述正确的是（ ）
A．直角三角形； B．等腰三角形；
C．直角三角形； D．等腰三角形；
5．（25-26七年级下·江西南昌·期末）如图1，某工厂内的一人形机器人正在搬运货物，如图2，这是该款人形机器人说明书上的一部分，表示该人形机器人每次搬运的货物的质量不能超过．设该人形机器人每次搬运的货物的质量为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（二）填空题（共4题，每小题4分，合计16分）
6．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）请根据如表信息，写出关于温度（）的不等式_____．
洗涤说明
手洗，勿浸泡，不超过30℃水温
7．（25-26七年级下·上海嘉定·期中）若一个角不大于其补角，那么这个角最大为___________．
8．（2026·江西鹰潭·三模）某校机器人小组计划购买一套新的传感器模块用于备赛．小组已筹集到120元经费，并决定从本月起每月从社团经费中节省30元，直到经费不少于500元．设小组筹集的时间为x个月，则可列不等式为_______．（不必化简）
9．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）商家以200元/罐的价格购进一批茶叶，并在进价的基础上提价进行售卖，设售出的数量为x罐，若要使总销售额不低于13万元，则根据题意可列不等式为______．
（三）解答题（共8题，每小题8分，合计64分）
10．（25-26七年级下·陕西安康·阶段检测）为了奖励考试进步的同学，老师计划购买一些钢笔和圆规作为奖品，已知购买一个圆规需要5元，购买一支钢笔需要10元．若购买钢笔的数量比购买圆规的数量的一半还少1个，且购买奖品的总价不超过310元，则最多可以购买多少个圆规？
11．（25-26七年级下·浙江台州·期末）某中学决定增设乒乓球、羽毛球两门选修课程，需要购进一批乒乓球拍和羽毛球拍．已知购买2副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需要350元，购买6副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需要420元．
（1）购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？
（2）已知该中学需要购买两种球拍共80副，所花费用不超过4340元，则可购买的羽毛球拍最多是几副？
12．（25-26八年级下·宁夏银川·阶段检测）为响应“全民健身”的号召，某人在规定18分钟的时间内，要完成至少2.1千米的路程，已知他每分钟走90米，若跑步每分钟可跑210米，问：完成这段路程，他至少要跑多少分钟？
13．（25-26七年级下·陕西渭南·期末）如图，数轴上点O为原点，点A，B，C表示的数分别是．
（1）______（用含m的代数式表示）；
（2）求当与的差不小时，m的最小整数值．
14．（25-26七年级下·广东惠州·期末）惠东县全力推进乡村振兴，全县两百多个行政村集体收入连续两年超过十万元．幸福村今年计划采购一批荔枝苗和龙眼苗，用于扩大种植规模．已知购买2棵荔枝苗和3棵龙眼苗需要85元，购买3棵荔枝苗和2棵龙眼苗需要90元．
（1）求每棵荔枝苗和每棵龙眼苗的价格；
（2）该村计划购买两种树苗共100棵，且总费用不超过1700元，那么最多可以购买荔枝苗多少棵？
15．（25-26七年级下·四川资阳·期末）炎热的夏天里，人们喜欢去游泳馆游泳。某游泳馆销售A、B两种型号的泳衣，进价分别为70元、50元，如下表是近两天的销售情况：
销售量/件
销售收入/元
A型泳衣
B型泳衣
第一天
3
4
600
第二天
6
5
975
（1）求A，B两种型号泳衣的销售单价；
（2）若购进A，B两种型号的泳衣共50件，且总进价不超过2900元．
①最多可以购进A型号泳衣多少件？
②为使这50件泳衣完全销售后的总利润超过1340元，应如何进货？请给出相应的进货方案．
16．（24-25八年级下·黑龙江双鸭山·开学考试）某市的道路改造工程，先由甲、乙两个工程队合作10天，再由甲单独干20天，恰好完成全部工作的．已知甲工程队单独完成工程所需天数是乙工程队单独完成工程所需天数的2倍．
（1）求甲、乙工程队单独完成此项工程各需多少天；
（2）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费万元，甲工程队至少需单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？
17．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）某市出租车的计费标准如下：行程以内（含），收费7元，行程超过，如果往返乘同一出租车，超过的部分按每千米元计费，另加收1.6元等候费；如果返程时不再乘坐此车，超过的部分按每千米元计费．小文等4人从A处到B处办事，然后返回A处．现在有两种往返方案：
方案一：去时4人同乘一辆出租车，返回都乘公交车（公交车票为每人2元）
方案二：4人乘同一辆出租车往返
（1）若A、B两地相距，方案一付费 元，方案二付费 元
（2）若A、B两地相距，方案一付费 元，方案二付费 元
（3）设A、B两地相距（x为正整数），请问选择哪种方案更省钱？
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