专题 3.2 不等式的基本性质（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

专题 3.2 不等式的基本性质（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】不等式的基本性质1 2 【知识点二】不等式的基本性质2 2 【知识点三】不等式的基本性质3 2 三.题型精析（基础夯实） 2 【题型1】不等式的直接变形判断 3 【题型2】根据变形结果判断参数正负 3 【题型3】利用性质化简简单不等式 3 四.题型精析（综合提升） 4 【题型4】代数式大小比较（求差法） 4 【题型5】含参数不等式的逆向分析 5 【题型6】不等式性质的实际综合应用 5 五.同步检测 6 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 6 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 7 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 8 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 掌握不等式的三条基本性质，理解每条性质的推导逻辑与适用条件，区分不等式与等式性质的异同。 2. 能熟练运用不等式的基本性质对不等式进行变形、化简，准确判断变形后不等号的方向变化。 3. 会利用不等式性质比较代数式大小、求解简单不等式，解决基础计算与逻辑判断问题。 4. 能结合不等式性质解决综合题型与简单实际问题，培养严谨的代数变形思维。 （二）重难点 重点：不等式的三条基本性质，尤其是乘除负数时不等号方向改变的规则，利用性质对不等式进行规范变形。 难点：辨析不等式变形中的易错点，含参数不等式的性质应用、逆向推理变形规则、综合运用性质解题。 二.知识梳理与解读 【知识点一】不等式的基本性质1 内容：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或整式），不等号的方向不变。 符号语言：若，则；若，则。 【要点提示】 1. 该性质与等式的加减性质一致，无论为正数、负数或0，不等号方向均不改变； 2. 可实现不等式的移项变形，移项时注意变号，不等号方向保持不变； 3. 适用于所有不等号：。 【知识点二】不等式的基本性质2 内容：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 符号语言：若，，则；若，，则，。 【要点提示】 1. 前提条件：乘除的数必须为正数，是区分性质3的核心关键点； 2. 正数乘除不改变不等号方向，变形规则与等式乘除正数一致； 3. 变形后不等式的大小关系、取值范围不发生改变。 【知识点三】不等式的基本性质3 内容：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向必须改变。 符号语言：若，，则，；若，，则，。 【要点提示】 1. 这是不等式与等式性质的最大区别，也是最易错考点； 2. 只要乘除负数，必须反向：、； 3. 切记：0不能作为除数，不等式两边不能同时除以0； 4. 连续变形时，每一次乘除负数都要对应变号，不可遗漏。 三.题型精析（基础夯实） 【题型1】不等式的直接变形判断 【例题1】（26-27八年级上·广西南宁·开学考试）如果，那么下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·江苏淮安·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·天津津南·期末）已知，则下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级下·重庆梁平·期末）若，则下列各式中错误的个数是___________． （1） ， （2）， （3）， （4）， （5）， （6）， （7）． 【题型2】根据变形结果判断参数正负 【例题2】（25-26七年级下·福建泉州·期末）若，且，是正整数，则的值是______． 【变式1】（25-26八年级下·辽宁辽阳·期中）若关于的一元一次不等式的解集为，则必须满足的条件是______． 【变式2】（25-26八年级下·广东深圳·期末）若不等式（m为常数，且）的解集为 ，则m的取值范围是______________． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）若的解集为，则的取值范围是________． 【题型3】利用性质化简简单不等式 【例题3】（2026七年级下·江苏·专题练习）根据不等式的性质，把下列不等式化成“”或“”的形式． （1）； （2）． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列式子是否正确？为什么？ （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）根据不等式的基本性质，把下列不等式化为“”或“”的形式． （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式3】（25-26七年级下·全国·周测）将下列不等式化成“”或“”的形式． （1）． （2）． （3）． 四.题型精析（综合提升） 【题型4】代数式大小比较（求差法） 【例题4】（25-26七年级上·安徽六安·阶段检测）【阅读】根据等式和不等式的基本性质，可以用作差法比较两个实数或代数式的大小： 若，则； 若，则； 若，则． （1）【理解】若，比较代数式和的大小； （2）【运用】若，试比较的大小． 【变式1】（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）比较和的大小，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．以上三种大小关系都有可能 【变式2】（24-25七年级下·河南南阳·期中）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若，则；若，则；若，则．反之也成立．这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．请尝试用这种方法解决下面的问题： （1）比较与的大小； （2）若，，请比较与的大小． 【变式3】（25-26八年级上·广西来宾·期末）【阅读理解】在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式、的大小，只要作出差：若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 （1）若，则________0（填、或）； （2）已知，，当时，比较与的大小，并说明理由． 【题型5】含参数不等式的逆向分析 【例题5】（24-25七年级下·上海·期末）如果的解集为，则的取值范围是______． 【变式1】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）若的解集为，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）若，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级下·四川遂宁·阶段检测）已知关于、的二元一次方程组 ，若，设，则的取值范围为___________________________． 【题型6】不等式性质的实际综合应用 【例题6】（25-26七年级下·广东广州·期中）小明制作了一张面积为的正方形贺卡，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为． （1）正方形贺卡的边长为___________ （2）求长方形信封的长和宽； （3）小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请说明理由． 【变式1】（25-26七年级下·江西赣州·期中）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．小志计划制作一面如图所示圆形团扇，他想从一张面积为，宽与长之比为的长方形画纸中裁剪出所需要的圆形． （1）求出该长方形纸片的长与宽； （2）若所需圆形画纸的面积为，他的想法可行吗? 【变式2】（24-25七年级下·河南驻马店·期末）同学们，你们喜欢玩跷跷板吗？下面这个问题就和跷跷板有关，请你来挑战一下吧！ （1）三个小朋友在公园玩跷跷板，他们的体重分别为a，b，c，示意图如图1，试比较b和c的大小关系，并说明依据． （2）四个小朋友在公园玩跷跷板，他们的体重分别为p，q，r，s，示意图如图2，试分析这四个小朋友体重的大小关系，并用“”连接起来． 【变式3】（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）长江中学校内有一块长方形地，已知这块地的长是宽的2倍，面积是． （1）这块地的长________，宽________． （2）现要在长方形地中建一个圆形花坛，花坛的面积是，试求出这个花坛的半径，并判断是否符合要求？ 五.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26七年级下·福建泉州·期末）若，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）若，且，则的值可能是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·江西宜春·期末）设“○、△、□”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么这三种物体质量大小从大到小的顺序排列正确的是（     ） A．□△○ B．□○△ C．△○□ D．△□○ 4．（25-26七年级下·福建厦门·期中）下列变形正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（25-26八年级上·河北·期末）若三角形的两条边长分别为和，则它的第三边长可能为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·甘肃平凉·期末）已知，且，则n满足的条件是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·山东泰安·期末）根据不等式的性质，下列变形正确的是（     ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 8．（25-26七年级下·山东德州·期末）已知有理数、、在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）若，则_________．（填“”“”或“”） 10．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）若，则___________（填“”或“”）． 11．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）若，，则的值可能是__________．（写出一个即可） 12．（25-26七年级下·吉林长春·期末）已知，且，则的取值范围是__________． 13．（25-26七年级下·湖北黄冈·期末）请写出一个比小的整数：____________．（写一个即可） 14．（25-26七年级下·北京通州·期末）如果能说明命题“若，则”是一个假命题，那么c的值可以是______ ． 15．（25-26七年级下·四川成都·期末）一个两位数除以它的各位数字之和，商的最大值是________． 16．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）阅读以下材料，解决问题： 问题：已知，求的最小值． 解：因为， 所以， 则， 因为的最小值为0， 所以的最小值为， 所以的最小值为． 若，则的最大值为______． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列不等式化为“”或“”的形式： （1）； （2）； （3）； （4）． 18．（24-25七年级下·云南丽江·期末）试比较与的大小． 19．（25-26七年级下·河北承德·期末）先化简代数式，再说明此代数式的值永远不小于6． 20．（25-26七年级下·江苏南通·期中）按要求完成以下问题 （1）一个长方形纸片的长减少，宽增加，就成为一个正方形纸片，并且长方形纸片周长比正方形纸片周长的倍少，求这个长方形纸片的长，宽各是多少？ （2）小明同学想用（1）中得到的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，请问小明能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.2 不等式的基本性质（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】不等式的基本性质1 2 【知识点二】不等式的基本性质2 2 【知识点三】不等式的基本性质3 2 三.题型精析（基础夯实） 2 【题型1】不等式的直接变形判断 3 【题型2】根据变形结果判断参数正负 4 【题型3】利用性质化简简单不等式 6 四.题型精析（综合提升） 8 【题型4】代数式大小比较（求差法） 8 【题型5】含参数不等式的逆向分析 11 【题型6】不等式性质的实际综合应用 13 五.同步检测 16 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 16 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 19 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 22 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 掌握不等式的三条基本性质，理解每条性质的推导逻辑与适用条件，区分不等式与等式性质的异同。 2. 能熟练运用不等式的基本性质对不等式进行变形、化简，准确判断变形后不等号的方向变化。 3. 会利用不等式性质比较代数式大小、求解简单不等式，解决基础计算与逻辑判断问题。 4. 能结合不等式性质解决综合题型与简单实际问题，培养严谨的代数变形思维。 （二）重难点 重点：不等式的三条基本性质，尤其是乘除负数时不等号方向改变的规则，利用性质对不等式进行规范变形。 难点：辨析不等式变形中的易错点，含参数不等式的性质应用、逆向推理变形规则、综合运用性质解题。 二.知识梳理与解读 【知识点一】不等式的基本性质1 内容：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或整式），不等号的方向不变。 符号语言：若，则；若，则。 【要点提示】 1. 该性质与等式的加减性质一致，无论为正数、负数或0，不等号方向均不改变； 2. 可实现不等式的移项变形，移项时注意变号，不等号方向保持不变； 3. 适用于所有不等号：。 【知识点二】不等式的基本性质2 内容：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 符号语言：若，，则；若，，则，。 【要点提示】 1. 前提条件：乘除的数必须为正数，是区分性质3的核心关键点； 2. 正数乘除不改变不等号方向，变形规则与等式乘除正数一致； 3. 变形后不等式的大小关系、取值范围不发生改变。 【知识点三】不等式的基本性质3 内容：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向必须改变。 符号语言：若，，则，；若，，则，。 【要点提示】 1. 这是不等式与等式性质的最大区别，也是最易错考点； 2. 只要乘除负数，必须反向：、； 3. 切记：0不能作为除数，不等式两边不能同时除以0； 4. 连续变形时，每一次乘除负数都要对应变号，不可遗漏。 三.题型精析（基础夯实） 【题型1】不等式的直接变形判断 【例题1】（26-27八年级上·广西南宁·开学考试）如果，那么下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：∵， ∴，，故A、B错误； ∵， ∴，故C错误； ∵， ∴，故D正确． 【变式1】（2026·江苏淮安·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴确定，的正负、大小及绝对值大小关系． 解：由数轴可知，且， ， ，，， 观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的． 【变式2】（25-26七年级下·天津津南·期末）已知，则下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：A、不等式两边同时加，不等号不变，得到，选项结论错误，不合题意； B、不等式两边先同时乘以，再减，不等号不变，得到，选项结论错误，不合题意； C、不等式两边同时加，不等号不变，得到，选项结论错误，不合题意； D、不等式两边同时乘以，不等号变号，得到，选项结论正确，符合题意. 【变式3】（25-26七年级下·重庆梁平·期末）若，则下列各式中错误的个数是___________． （1），（2），（3），（4），（5），（6），（7）． 【答案】 解：（1）已知，由不等式的基本性质1，不等式两边同时减，不等号方向不变，得，故（1）错误． （2）中，的符号不确定，当时，，原式不成立，故（2）错误． （3）已知，由不等式的基本性质3，不等式两边同时乘，不等号方向改变，得，故（3）错误． （4）已知，由不等式的基本性质2，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，得，故（4）正确． （5）已知，由不等式的基本性质3得，再由不等式的基本性质1，两边同时加得，故（5）错误． （6）当时，满足，但，故（6）错误． （7）已知，当时，，由不等式的基本性质2得，当时，，故不成立，故（7）错误． 综上，错误的式子共个． 【题型2】根据变形结果判断参数正负 【例题2】（25-26七年级下·福建泉州·期末）若，且，是正整数，则的值是______． 【答案】1 【分析】根据不等式的性质判断出的符号，再结合为正整数的条件即可求出的值． 解：，且， ， 解不等式得， 又是正整数， ． 【变式1】（25-26八年级下·辽宁辽阳·期中）若关于的一元一次不等式的解集为，则必须满足的条件是______． 【答案】 【分析】根据解集的不等号方向变化，判断未知数系数的符号，进而求解的取值范围． 解：对于一元一次不等式，两边同时除以后，不等号方向改变，得到解集． 根据不等式的基本性质：不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变， 可得， 解得． 【变式2】（25-26八年级下·广东深圳·期末）若不等式（m为常数，且）的解集为 ，则m的取值范围是______________． 【答案】/ 【分析】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键． 解：由题可知，， 解得：， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）若的解集为，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用不等式两边同时除以一个负数时，不等号方向会改变。我们需要根据解集反推出系数的符号，从而求出的取值范围． 解：已知的解集为． 根据不等式的基本性质：当不等式两边同时除以一个负数时，不等号方向改变． 由此可得，系数， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解题关键是牢记“不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，并能根据解集的变化反推系数的符号． 【题型3】利用性质化简简单不等式 【例题3】（2026七年级下·江苏·专题练习）根据不等式的性质，把下列不等式化成“”或“”的形式． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据不等式的性质进行解答即可； （2）根据不等式的性质进行解答即可． （1）解：， 不等式两边同时加上1，得； （2）解：， 不等式两边同时减去1，得， 不等式的两边同时乘，得． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列式子是否正确？为什么？ （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则． 【答案】（1）正确，理由如下： 根据不等式的基本性质，不等式的两边都减去，不等号的方向不变， 所以，故（）正确； （2）不正确，理由如下： 根据不等式的基本性质，不等式的两边都乘，不等号的方向不变， 所以，故（）不正确； （3）不正确，理由如下： 根据不等式的基本性质，不等式的两边都乘，不等号的方向改变， 所以，故（）不正确． 【分析】（）根据不等式的基本性质解答即可判断求解； （）根据不等式的基本性质解答即可判断求解； （）根据不等式的基本性质解答即可判断求解； 本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 解：（1）略 （2）略 （3）略 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）根据不等式的基本性质，把下列不等式化为“”或“”的形式． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是关键． （1）根据不等式的基本性质，在不等式两边同加上3即可； （2）根据不等式的基本性质，在不等式两边同减去即可； （3）根据不等式的基本性质，在不等式两边同乘以5即可； （4）根据不等式的基本性质，在不等式两边同除以，改变不等号的方向，据此求解即可． （1）解：不等式两边同加上3，得， ； （2）解：不等式两边同减去，得， ； （3）解：不等式两边同乘以5，得， ； （4）解：不等式两边同除以，得， ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·周测）将下列不等式化成“”或“”的形式． （1）． （2）． （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了一元一次不等式的变形，掌握移项、合并同类项的步骤，以及系数化为时，若系数为负数，不等号方向要改变是解题的关键． （1）通过移项合并同类项，将不等式化为形式，再系数化为； （2）先移项合并同类项，再系数化为； （3）移项合并同类项后，系数化为． （1）解：两边同时减去，得， 两边同时除以，得． （2）解：两边同时减去，得， 两边同时除以，得． （3）解：两边同时减去，得， 两边同时减去，得， 两边同时除以，得． 四.题型精析（综合提升） 【题型4】代数式大小比较（求差法） 【例题4】（25-26七年级上·安徽六安·阶段检测）【阅读】根据等式和不等式的基本性质，可以用作差法比较两个实数或代数式的大小： 若，则； 若，则； 若，则． （1）【理解】若，比较代数式和的大小； （2）【运用】若，试比较的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用作差法求解即可； （2）利用作差法求解即可． （1）解：因为， 所以， 所以； （2）解：， 因为， 则， 所以， 即， 所以． 【变式1】（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）比较和的大小，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．以上三种大小关系都有可能 【答案】D 【分析】本题需根据的不同取值范围，利用不等式的基本性质分类讨论比较大小． 解：对的取值分三种情况讨论： 当时，，不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变， ； 当时，，， ； 当时，，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变， ； 因此三种大小关系都有可能． 【变式2】（24-25七年级下·河南南阳·期中）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若，则；若，则；若，则．反之也成立．这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．请尝试用这种方法解决下面的问题： （1）比较与的大小； （2）若，，请比较与的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了求差法比较大小的应用及不等式的性质，熟练掌握整式的运算及不等式的性质是解题的关键． （1）利用求差法比较大小即可； （2）利用求差法及不等式的性质即可得出答案． （1）解：由题意，得， ， ， ； （2）， ，， ，， ． ． 【变式3】（25-26八年级上·广西来宾·期末）【阅读理解】在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式、的大小，只要作出差：若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 （1）若，则________0（填、或）； （2）已知，，当时，比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）；（2）．理由如下： ． ， ， ， ． 【分析】本题考查不等式的性质及分式的运算，熟练掌握不等式的性质并能够灵活运用是本题的关键． （1）并根据作出判断即可； （2）计算，并根据作出判断即可； 解：（1）， ， ． 故答案为：． （2）略 【题型5】含参数不等式的逆向分析 【例题5】（24-25七年级下·上海·期末）如果的解集为，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据不等式的运算法则运算求解即可． 解：∵的解集为， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）若的解集为，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．据此可解本题． 解：∵的解集为， ∴，解得． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）若，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变可知，即可得到的取值范围． 解：， ，即． 故选：C． 【变式3】（25-26七年级下·四川遂宁·阶段检测）已知关于、的二元一次方程组 ，若，设，则的取值范围为___________________________． 【答案】 【分析】利用得，，即：，再根据，可得 ，问题随之得解． 解：， 得，， 即：， ∵， ∴ ， 即 ， ∴S 的取值范围是：． 【点睛】本题考查了采用加减消元法求解二元一次方程组的解，不等式的性质等知识，掌握加减消元法是解答本题的关键． 【题型6】不等式性质的实际综合应用 【例题6】（25-26七年级下·广东广州·期中）小明制作了一张面积为的正方形贺卡，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为． （1）正方形贺卡的边长为___________ （2）求长方形信封的长和宽； （3）小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请说明理由． 【答案】（1）；（2）长为，宽为；（3）能， 理由：正方形贺卡的边长为，信封的宽为 ∵， ∴， ∴，即信封的宽大于正方形贺卡的边长， ∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 【分析】（1）直接运用算术平方根求解即可； （2）设长方形信封的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可； （3）将贺卡的边长和信封的宽进行比较即可解答． （1）解：正方形贺卡的边长为； （2）解：∵信封的长、宽之比为， ∴设长方形信封的长为，则宽为， 由题意得，即， ∴（负值舍去）， ∴长方形信封的长为，宽为． （3）略 【变式1】（25-26七年级下·江西赣州·期中）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．小志计划制作一面如图所示圆形团扇，他想从一张面积为，宽与长之比为的长方形画纸中裁剪出所需要的圆形． （1）求出该长方形纸片的长与宽； （2）若所需圆形画纸的面积为，他的想法可行吗? 【答案】（1）长为，宽为；（2）解：小志的想法可行，理由如下： 可得圆形画纸的半径为， 则圆形画纸的直径为， ， ， ， ∴小志可以裁剪出所需要的圆形画纸，即他的想法可行． 【分析】（1）设该长方形的宽为，长为，根据题意列方程，利用算术平方根即可解答； （2）计算出圆形画纸的直径，再与长方形的宽作比较即可． （1）解：设该长方形的宽为，长为， 则可得， 解得（负数舍去）； ， 答：该长方形纸片的长为，宽为； （2）略 【变式2】（24-25七年级下·河南驻马店·期末）同学们，你们喜欢玩跷跷板吗？下面这个问题就和跷跷板有关，请你来挑战一下吧！ （1）三个小朋友在公园玩跷跷板，他们的体重分别为a，b，c，示意图如图1，试比较b和c的大小关系，并说明依据． （2）四个小朋友在公园玩跷跷板，他们的体重分别为p，q，r，s，示意图如图2，试分析这四个小朋友体重的大小关系，并用“”连接起来． 【答案】（1）， 理由：∵，， ∴， ∴． （2） 【分析】本题主要考查了不等式的应用，不等式的性质，正确找到等量关系和不等关系是解题的关键． （1）根据，得到； （2）先得到①   ②   ③，再对着三个式子进行变形，结合不等式的性质求解． 解：（1）略 （2）解：∵①   ②   ③ 由①，②可知， 由②－③，得， ∴， ∴， 由③得④， ②－④，得， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）长江中学校内有一块长方形地，已知这块地的长是宽的2倍，面积是． （1）这块地的长________，宽________． （2）现要在长方形地中建一个圆形花坛，花坛的面积是，试求出这个花坛的半径，并判断是否符合要求？ 【答案】（1）；；（2）这个花坛的半径为，符合要求． 【分析】本题考查了利用平方根解方程，无理数的估算以及不等式的性质，理解题意正确列方程是解题关键． （1）设这块地的宽是，则长是，根据长方形面积公式列方程求解即可； （2）设这个花坛的半径为，根据圆面积公式列方程求出半径，再根据无理数的估算和不等式的性质，即可得解． （1）解：设这块地的宽是，则长是， 由题意得：， 解得：（负值舍去）， ， 即这块地的长，宽， 故答案为：；； （2）解：设这个花坛的半径为， 由题意得：， 解得：（负值舍去）， 这个花坛的半径为，直径为， ， ， ， 这个花坛符合要求． 五.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26七年级下·福建泉州·期末）若，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 解：∵，∴两边同时减3，不等号方向不变，得，A成立； 当时，，，B不一定成立； ∵，∴两边同时乘，不等号方向改变，得，C不成立； ∵，∴两边同时加2，不等号方向不变，得，D不成立． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）若，且，则的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：∵，且， ∴， 只有C选项中的是负数，符合题意． 3．（25-26七年级下·江西宜春·期末）设“○、△、□”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么这三种物体质量大小从大到小的顺序排列正确的是（     ） A．□△○ B．□○△ C．△○□ D．△□○ 【答案】A 【分析】设△、○、□的质量为、、，根据图形，可列出不等式和等式，由此可将质量从大到小排列． 解：设△、○、□的质量为a、b、c， 由图形可得，， 由①得， 由②得， ∵， ∴， ∴， 故可得， 所以这三种物体按质量从大到小的排列顺序为□△○． 4．（25-26七年级下·福建厦门·期中）下列变形正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 解：A、由，不等式两边都加３，得，故该选项变形错误，不符合题意； B、由，不等式两边都除以２，得，故该选项变形错误，不符合题意； C、由，不等式两边都除以，得，故该选项变形正确，符合题意； D、由，不等式两边都乘２，得，故该选项变形错误，不符合题意． 5．（25-26八年级上·河北·期末）若三角形的两条边长分别为和，则它的第三边长可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：设第三边长为， 得，即， 选项中只有符合该范围． 6．（25-26七年级下·甘肃平凉·期末）已知，且，则n满足的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：，且， ， 解得． 7．（25-26七年级下·山东泰安·期末）根据不等式的性质，下列变形正确的是（     ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【答案】C 【分析】根据不等式性质逐一判断选项即可得到正确结果． 解：A、当，时，满足，但，故A不符合题意； B， 解得，故B不符合题意； C、， ， ，故C符合题意； D、 解得，故D不符合题意． 8．（25-26七年级下·山东德州·期末）已知有理数、、在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：由数轴可知，，且， ，，， ， 只有B选项正确； （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）若，则_________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】不等式的基本性质为：不等式两边同时加（或减）同一个数（或整式），不等号的方向不变． 解：∵， ∴给不等式两边同时减去，不等号方向不变，得． 10．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）若，则___________（填“”或“”）． 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质，从已知逐步推导即可得到结果． 解：∵ ， ∴ ， ∴ ． 11．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）若，，则的值可能是__________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，小于0的数均可） 【分析】不等式变形后不等号方向改变，据此确定的取值范围，写出一个符合条件的值即可． 解：∵，给不等号两边同乘后得到，不等号方向发生改变， ∴根据不等式的性质可得， ∴的值可以是． 12．（25-26七年级下·吉林长春·期末）已知，且，则的取值范围是__________． 【答案】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 13．（25-26七年级下·湖北黄冈·期末）请写出一个比小的整数：____________．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】结合，确定的范围，再推导出的范围，即可得到符合要求的整数． 解：， ， 则不等式两边同乘，不等号方向改变，得， 比小的整数可以为．（答案不唯一） 14．（25-26七年级下·北京通州·期末）如果能说明命题“若，则”是一个假命题，那么c的值可以是______ ． 【答案】（答案不唯一，任意负数均可） 【分析】要说明该命题是假命题，只需举出满足但不满足的反例，当为负数时，原命题结论不成立。 解：， ，不满足原命题的结论， 因此任取一个负数作为即可，如． 15．（25-26七年级下·四川成都·期末）一个两位数除以它的各位数字之和，商的最大值是________． 【答案】10 【分析】设出两位数的代数式，对商进行放缩，验证取等条件后即可得到商的最大值． 解：设这个两位数为，其中，，且均为整数．所求的商为． ，且， ，即． 当时，，等号成立． 因此商的最大值是． 16．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）阅读以下材料，解决问题： 问题：已知，求的最小值． 解：因为， 所以， 则， 因为的最小值为0， 所以的最小值为， 所以的最小值为． 若，则的最大值为______． 【答案】 【分析】仿照题干给出的消元配方方法，将用含的代数式表示，代入后配方为顶点式，根据平方的非负性求最大值即可 解：， ， 将代入得： ， ， ， ， 的最大值为． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列不等式化为“”或“”的形式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了不等式的基本性质，不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）运用不等式的性质1进行作答即可； （2）运用不等式的性质1进行作答即可； （3）运用不等式的性质2进行作答即可； （4）运用不等式的性质3进行作答即可； （1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴； （4）解：∵， ∴． 18．（24-25七年级下·云南丽江·期末）试比较与的大小． 【答案】 【分析】利用作差法，结合非负性的应用解答即可． 本题考查了多项式的大小比较，实数的非负性的应用，熟练掌握公式和性质是解题的关键． 解： ， ， ， ， ， ． 19．（25-26七年级下·河北承德·期末）先化简代数式，再说明此代数式的值永远不小于6． 【答案】化简结果为， 因为 所以 所以此代数式的值永远不小于6． 【分析】先根据整式的混合运算法则化简，然后利用完全平方公式进行配方，再根据平方的非负性以及不等式的性质求解即可． 解：略 20．（25-26七年级下·江苏南通·期中）按要求完成以下问题 （1）一个长方形纸片的长减少，宽增加，就成为一个正方形纸片，并且长方形纸片周长比正方形纸片周长的倍少，求这个长方形纸片的长，宽各是多少？ （2）小明同学想用（1）中得到的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，请问小明能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由． 【答案】（1）长方形的长为，宽为；（2）小明不能用这块纸片裁出符合要求的纸片，理由： 设裁出的长方形的长，宽分别为、 长方形面积为， ， ， 又， ， 长方形的长， ， ，即， 长方形的长正方形的边长， 即小明不能用这块纸片裁出符合要求的纸片． 【分析】（1）设正方形的边长为，则长方形的长为，宽为，根据“长方形纸片周长比正方形纸片周长的倍少”，列一元一次方程求解即可； （2）设裁出的长方形的长，宽分别为、根据长方形的面积列方程，求出长方形的长，大于正方形的边长，即可得解． （1）解：设正方形的边长为，则长方形的长为，宽为， 依题意，得， 解得， ，， 则长方形的长为，宽为． （2）略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $