专题 2.5 逆命题和逆定理（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年浙教版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦初中数学“逆命题和逆定理”核心知识点，系统梳理命题与逆命题的概念及真假判断方法，明确逆定理与互逆定理的区别，结合线段垂直平分线逆定理的推导与应用，构建从概念辨析到几何推理的学习支架。 资料通过知识梳理明晰概念从属关系，分层题型精析（基础夯实与综合提升）培养学生推理意识，同步检测覆盖选择、填空、解答题。课中辅助教师实施分层教学，课后助力学生通过典型例题与变式练习查漏补缺，提升用数学语言规范表达推理过程的能力。

专题 2.5 逆命题和逆定理（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 1 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】命题与逆命题 2 【知识点二】逆定理与互逆定理 2 【知识点三】线段垂直平分线的逆定理 2 三.题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】书写逆命题并判断真假 3 【题型 2】判断定理是否存在逆定理 4 【题型 3】线段垂直平分线逆定理基本应用 4 四.题型精析（综合提升） 5 【题型 4】利用逆定理证明垂直平分线 5 【题型 5】线段垂直平分线性质定理与逆定理综合 6 五.同步检测 11 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 11 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 12 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 14 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 理解命题、逆命题、互逆命题、定理、逆定理、互逆定理的完整概念，理清概念之间的从属关系。 2. 熟练掌握互换命题条件与结论的方法，能准确写出任意命题的逆命题，并规范判断真假性。 3. 掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理，理解定理推导过程，能运用定理完成证明与计算。 4. 明确命题与定理的区别，掌握“有逆命题不一定有逆定理”的核心考点，规避常见易错点。 （二）重难点 重点：互逆命题与互逆定理的概念辨析；命题逆命题的书写与真假判断；线段垂直平分线逆定理的应用。 难点：复杂命题的条件与结论拆分；逆命题真假的举证判断；逆定理的综合几何推理证明。 二.知识梳理与解读 【知识点一】命题与逆命题 1. 命题结构：所有命题都由条件和结论两部分组成，可写成“如果……那么……”的标准形式。 2. 互逆命题定义：在两个命题中，若第一个命题的条件是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的条件，则这两个命题互为互逆命题。 3. 逆命题定义：若将一个命题作为原命题，互换其条件与结论得到的新命题，即为原命题的逆命题。 【要点提示】 1. 任意命题都有逆命题，无论原命题真假，均可通过互换条件、结论得到逆命题。 2. 原命题与逆命题的真假性无必然关联：原命题为真，逆命题可真可假；原命题为假，逆命题也可真可假。 3. 判断假命题只需举出一个反例，判断真命题需严谨推理证明。 【知识点二】逆定理与互逆定理 1. 逆定理定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么这个逆命题就是原定理的逆定理。 2. 互逆定理定义：一个定理和它的逆定理，互为互逆定理。 【要点提示】 1. 所有定理都有逆命题，但不一定有逆定理，只有逆命题为真命题时，才存在逆定理。 2. 互逆定理一定是互逆命题，但互逆命题不一定是互逆定理，核心区别在于是否为可证明的真命题。 3. 逆定理可直接作为几何推理的依据，逆命题未证明为真命题时，不能作为解题依据。 【知识点三】线段垂直平分线的逆定理 原性质定理：线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等。 逆定理：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 图示 数学语言 ∵AB=AD，CB=CD， ∴AC是BD的垂直平分线. 【要点提示】 1. 该逆定理是判定点在垂直平分线上的唯一核心依据，解题无需重复证明，可直接使用。 2. 若两个点到同一条线段两端距离分别相等，则两点连线即为该线段的垂直平分线。 3. 原定理用于“已知垂直平分，证线段相等”，逆定理用于“已知线段相等，证垂直平分”，互为补充。 三.题型精析（基础夯实） 【题型 1】书写逆命题并判断真假 【例题1】（25-26七年级上·上海·寒假作业）判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假： （1）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； （2）如果，那么； （3）如果两个数互为相反数，那么它们的和为零； （4）如果，那么，． 【变式1】（25-26八年级下·广西玉林·期末）下列各命题中，其逆命题是假命题的是（     ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．三个角都是的三角形是等边三角形 C．全等三角形的三个角分别对应相等 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 【变式2】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）命题“若，则的逆命题是 _________________ ，它是一个 _______ 命题（填“真”或“假”）． 【变式3】（25-26八年级上·全国·随堂练习）写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立． （1）两直线平行，同位角相等； （2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； （3）全等三角形的对应角相等． 【题型 2】判断定理是否存在逆定理 【例题2】（24-25八年级上·全国·课后作业）按要求解答下列各小题． （1）请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； （2）判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 【变式1】（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）下列定理中，不存在逆定理的是（   ） A．等边三角形的三个内角都等于 B．同位角相等，两直线平行 C．一个三角形中相等的边所对的角相等 D．全等三角形的对应角相等 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）定理“等角的补角相等”_________（填“有”或“没有”）逆定理． 【变式3】（25-26八年级上·河北·课后作业）下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理． （1）同旁内角互补，两直线平行． （2）三角形的两边之和大于第三边． 【题型 3】线段垂直平分线逆定理基本应用 【例题3】（25-26八年级上·青海西宁·期中）如图所示，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（   ） A．在两边高线的交点处 B．在两边中线的交点处 C．在两边垂直平分线的交点处 D．在两内角平分线的交点处 【变式1】（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，A、B、C是某景区邻近的三座山的山顶，为了促进当地旅游发展，要在三个山顶组成的三角形平面内修建一个空中观景台，要使这个空中观景台到三个山顶的距离相等，应选择的位置是______________． 【变式2】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，三座商场的位置如图所示，现要规划一个公交车站到三座商场的距离相等，该公交车站应建在（   ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条中线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三个内角的角平分线的交点 【变式3】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有多年的历史，如图是一款风筝骨架的简化图，已知，，，，制作这个风筝需要的布料至少为______． 四.题型精析（综合提升） 【题型 4】利用逆定理证明垂直平分线 【例题4】（25-26八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在中，，垂足为，点在边上，且，垂直平分，交于点，连接． （1）求证：；（2）若的周长为，，求的周长． 【变式1】（25-26七年级下·山东淄博·期末）如图，在中，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，交于点，过点作于点．若，点恰好是的中点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在四边形中，，，，连接、相交于点，点在边上，连接交于点，．若，则的长为________． 【变式3】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是上的一点，连接，作交于点，交于点，且平分，连接． （1）证明：垂直平分； （2）若面积为，求的周长． 【题型 5】线段垂直平分线性质定理与逆定理综合 【例题5】（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，直线l垂直平分边，分别交，于点D，E，连接． (1)若，的周长为19，则的长为 ； (2)若，求的度数； (3)已知点P在线段上，且点P在边的垂直平分线上，连接，试判断点P是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)10 (2) (3)解：是， 理由如下：连接，如图所示： ∵直线l垂直平分边，点P在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴点P在边的垂直平分线上． 【分析】（1）由题意易得，然后根据三角形的周长可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解； （3）连接，由题意易得，进而问题可求解． （1）解：∵直线l垂直平分边， ∴， ∵的周长为19，， ∴， ∴； （2）解：∵直线l垂直平分边， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）略 【变式1】（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，已知，，D是线段上一点（不与A，D重合），下列结论不一定正确的是（     ） A．平分和 B．垂直平分 C． D． 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的判定定理，由，可得是的垂直平分线，利用全等三角形的判定与性质或轴对称性质逐一判断选项即可． 解：，， 点，都在线段的垂直平分线上 ， 垂直平分，故B选项正确； 在和中， ， ，， 平分和，故A选项正确 ； 垂直平分，在上 ， ， 在和中， ， ，故C选项正确 ； 与的长度取决于点在上的位置，无法确定，故D选项不一定正确 ． 【变式2】（25-26八年级下·辽宁本溪·期末）如图，在中，是的垂直平分线，垂直于点，且为的中点，，则的周长是_______． 【答案】16 【分析】根据垂直平分线的性质，得到，求出，推导出是的垂直平分线，，得到，进而求出的周长即可． 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵垂直于点，且为的中点， ∴是的垂直平分线，， ∴， ∴的周长是． 【变式3】（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交．点，连接． (1)若的周长为，线段的长为_____； (2)判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 点O在的垂直平分线上， 理由：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上； (3) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得出，，求出； （2）根据垂直平分线的性质得出，，推出，即可证明点O在的垂直平分线上； （3）根据三角形内角和得出，根据等腰三角形的性质得出，，根据求出结果即可． （1）解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴； （2）解：略； （3）解：∵， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴ ∴． 五.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）命题“如果，那么”的逆命题是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）下列命题中，逆命题是真命题的是（ ） A．全等三角形的对应角相等 B．三角形的中位线平行于第三条边 C．直角三角形的两锐角互余 D．等边三角形是等腰三角形 3．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）下列命题中错误的是（　　） A．任何一个命题都有逆命题 B．一个真命题的逆命题可能是真命题 C．一个定理不一定有逆定理 D．任何一个定理都有逆定理 4．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，，则有（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．是等腰三角形 D．与互相垂直平分 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点在的边上，且，则点在某一线段的垂直平分线上．这条线段是（   ） A． B． C． D．不确定 6．（25-26八年级上·河北承德·期末）已知中，于点D，．若，则的度数是（    ） A． B．或 C．或 D． 7．（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，已知，，D是线段上一点（不与A，D重合），下列结论不一定正确的是（     ） A．平分和 B．垂直平分 C． D． 8．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）如图，平分，，，垂足分别为，．下列结论中不一定成立的是（     ） A． B．平分 C．垂直平分 D． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知命题：“全等三角形对应边相等”，则它的逆命题为__________． 10．（24-25七年级下·江苏南京·期中）定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是________________________． 11．（25-26七年级下·上海普陀·期末）命题“等边三角形的三条边相等”的逆命题是：如果_____________________，那么_____________________． 12．（25-26八年级上·北京·期末）如图，，，连接，交于点．若，，则______ ． 13．（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点B与点A重合，已知的周长是18，的周长是26，则_________． 14．（25-26八年级下·辽宁本溪·期末）如图，在中，是的垂直平分线，垂直于点，且为的中点，，则的周长是_______． 15．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）与按如图方式摆放，其中，，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点．若，，则的长为________． 16．（25-26八年级上·河南安阳·期中）如图，在中，，延长至，使得，为外一点且，连接，，交于点，．点为上一动点，当的面积为，时，的最小值为______． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级下·山东青岛·开学考试）写出下列命题的逆命题． （1）同旁内角互补，两直线平行． （2）如果两个角是直角，那么这两个角相等． （3）能被4整除的数一定能被8整除． 18．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，点P为射线上一点，连接． （1）求证：； （2）求证：． 19．（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测）如图，已知直线，直线MN分别交AB、CD于M、N两点，若ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，试说明：． 解：∵，（已知） ∴∠AMN＝∠DNM（ ） ∵ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，（已知） ∴∠EMN＝ ∠AMN， ∠FNM＝ ∠DNM （角平分线的定义） ∴∠EMN＝∠FNM（等量代换） ∴（ ） （1）由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对 角的平分线互相 ． （2）解题过程中是否应用了互逆命题，如果有，请写出来． 20．（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，直线l垂直平分边，分别交，于点D，E，连接． （1）若，的周长为19，则的长为 ； （2）若，求的度数； （3）已知点P在线段上，且点P在边的垂直平分线上，连接，试判断点P是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.5 逆命题和逆定理（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】命题与逆命题 2 【知识点二】逆定理与互逆定理 2 【知识点三】线段垂直平分线的逆定理 3 三.题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】书写逆命题并判断真假 3 【题型 2】判断定理是否存在逆定理 5 【题型 3】线段垂直平分线逆定理基本应用 7 四.题型精析（综合提升） 10 【题型 4】利用逆定理证明垂直平分线 10 【题型 5】线段垂直平分线性质定理与逆定理综合 14 五.同步检测 18 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 18 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 23 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 27 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 理解命题、逆命题、互逆命题、定理、逆定理、互逆定理的完整概念，理清概念之间的从属关系。 2. 熟练掌握互换命题条件与结论的方法，能准确写出任意命题的逆命题，并规范判断真假性。 3. 掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理，理解定理推导过程，能运用定理完成证明与计算。 4. 明确命题与定理的区别，掌握“有逆命题不一定有逆定理”的核心考点，规避常见易错点。 （二）重难点 重点：互逆命题与互逆定理的概念辨析；命题逆命题的书写与真假判断；线段垂直平分线逆定理的应用。 难点：命题的条件与结论拆分；逆命题真假的举证判断；逆定理的综合几何推理证明。 二.知识梳理与解读 【知识点一】命题与逆命题 1. 命题结构：所有命题都由条件和结论两部分组成，可写成“如果……那么……”的标准形式。 2. 互逆命题定义：在两个命题中，若第一个命题的条件是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的条件，则这两个命题互为互逆命题。 3. 逆命题定义：若将一个命题作为原命题，互换其条件与结论得到的新命题，即为原命题的逆命题。 【要点提示】 1. 任意命题都有逆命题，无论原命题真假，均可通过互换条件、结论得到逆命题。 2. 原命题与逆命题的真假性无必然关联：原命题为真，逆命题可真可假；原命题为假，逆命题也可真可假。 3. 判断假命题只需举出一个反例，判断真命题需严谨推理证明。 【知识点二】逆定理与互逆定理 1. 逆定理定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么这个逆命题就是原定理的逆定理。 2. 互逆定理定义：一个定理和它的逆定理，互为互逆定理。 【要点提示】 1. 所有定理都有逆命题，但不一定有逆定理，只有逆命题为真命题时，才存在逆定理。 2. 互逆定理一定是互逆命题，但互逆命题不一定是互逆定理，核心区别在于是否为可证明的真命题。 3. 逆定理可直接作为几何推理的依据，逆命题未证明为真命题时，不能作为解题依据。 【知识点三】线段垂直平分线的逆定理 原性质定理：线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等。 逆定理：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 图示 数学语言 ∵AB=AD，CB=CD， ∴AC是BD的垂直平分线. 【要点提示】 1. 该逆定理是判定点在垂直平分线上的唯一核心依据，解题无需重复证明，可直接使用。 2. 若两个点到同一条线段两端距离分别相等，则两点连线即为该线段的垂直平分线。 3. 原定理用于“已知垂直平分，证线段相等”，逆定理用于“已知线段相等，证垂直平分”，互为补充。 三.题型精析（基础夯实） 【题型 1】书写逆命题并判断真假 【例题1】（25-26七年级上·上海·寒假作业）判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假： （1）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； （2）如果，那么； （3）如果两个数互为相反数，那么它们的和为零； （4）如果，那么，． 【答案】（1）原命题是真命题．逆命题：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题；（2）原命题是假命题．逆命题：如果，那么．逆命题是假命题；（3）原命题是真命题．逆命题：如果两个数的和为零，那么这两个数互为相反数．逆命题是真命题；（4）原命题是假命题．逆命题：如果，那么．逆命题是真命题． 【分析】本题考查了逆命题，命题真假的判断，熟练掌握命题是解题的关键． （1）（2）（3）（4）先判断原命题的真假，再写出逆命题，再判断命题的真假； （1）解：∵如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； ∴原命题是真命题； 逆命题为：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题； （2）解：∵，，满足，但不满足； ∴如果，那么，这是假命题，故原命题是假命题； 其逆命题为：如果，那么，这是假命题， 例如：，，满足，但不满足； （3）解：∵相反数的和为零， ∴原命题是真命题； 逆命题为：如果两个数的和为零，那么这两个数互为相反数．逆命题是真命题； （4）解：∵当时，或． ∴原命题是假命题； 逆命题为：如果，那么．逆命题是真命题． 【变式1】（25-26八年级下·广西玉林·期末）下列各命题中，其逆命题是假命题的是（     ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．三个角都是的三角形是等边三角形 C．全等三角形的三个角分别对应相等 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 【答案】C 【分析】交换原命题的题设与结论得到逆命题，再根据初中几何相关性质判定逆命题的真假即可． 解：A、原命题的逆命题为：两个角相等的三角形是等腰三角形，该逆命题是真命题，不符合要求； B、原命题的逆命题为：等边三角形的三个角都是，该逆命题是真命题，不符合要求； C、原命题的逆命题为：三个角分别对应相等的两个三角形全等， ∵三个角对应相等只能说明两个三角形形状相同，大小不一定相同，例如边长不同的两个等边三角形，三角对应相等但不全等， ∴该逆命题是假命题，符合要求； D、原命题的逆命题为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，该逆命题是真命题，不符合要求． 【变式2】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）命题“若，则的逆命题是 _________________ ，它是一个 _______ 命题（填“真”或“假”）． 【答案】 若，则 假 【分析】根据逆命题的定义，交换原命题的条件与结论得到逆命题，再通过举反例判断逆命题的真假即可． 解：原命题若，则中，条件为，结论为． 交换原命题的条件和结论，可得逆命题为：若，则． 取反例，当，时，满足，但，说明逆命题不成立，因此逆命题是假命题． 【变式3】（25-26八年级上·全国·随堂练习）写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立． （1）两直线平行，同位角相等； （2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； （3）全等三角形的对应角相等． 【答案】（1）同位角相等，两直线平行，该真命题；（2）如果两个实数的绝对值相等，那么它们也相等，为假命题；（3）如果两个三角形的对应角相等，那么它们为全等三角形，为假命题 【分析】本题主要考查了逆命题以及判定命题的真假，熟练掌握相关知识是解题关键．一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆的命题，我们称其中的一个命题为原命题，另一个则为逆命题． （1）根据逆命题的定义确定原命题的逆命题，然后根据平行线的判定定理即可确定该逆命题为真命题； （2）根据逆命题的定义确定原命题的逆命题，然后根据绝对值的性质即可确定该逆命题为假命题； （3）根据逆命题的定义确定原命题的逆命题，然后根据全等三角形的判定定理可知该逆命题为假命题． （1）解：同位角相等，两直线平行，该真命题； （2）解：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，为假命题； （3）解：如果两个三角形的对应角相等，那么它们为全等三角形，为假命题． 【题型 2】判断定理是否存在逆定理 【例题2】（23-24八年级上·全国·课后作业）按要求解答下列各小题． （1）请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； （2）判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 【答案】（1）①如果两个角是内错角，那么这两个角相等；②如果，那么；（2）不是 【分析】本题考查原命题和逆命题的相关知识，关键是明确逆命题的概念． （1）逆命题就是把原命题的题设和结论换成逆命题的结论和题设，进而求解即可； （2）根据逆定理的性质求解即可． （1）解：①“相等的角是内错角”的逆命题；如果两个角是内错角，那么这两个角相等． ②“如果，那么”的逆命题；如果，那么． （2）解：因为定理首先是真命题，而（1）中①的原命题与逆命题都是假命题， 故（1）中①的原命题和逆命题不是互为逆定理． 【变式1】（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）下列定理中，不存在逆定理的是（   ） A．等边三角形的三个内角都等于 B．同位角相等，两直线平行 C．一个三角形中相等的边所对的角相等 D．全等三角形的对应角相等 【答案】D 【分析】本题考查逆定理的判断，解题思路是先写出各选项原命题的逆命题，再判断逆命题的真假，若逆命题为真则存在逆定理，若逆命题为假则不存在逆定理． 解：A 原命题为等边三角形的三个内角都等于，逆命题为三个内角都等于的三角形是等边三角形，逆命题为真命题，存在逆定理； B 原命题为同位角相等，两直线平行，逆命题为两直线平行，同位角相等，逆命题为真命题，存在逆定理； C 原命题为一个三角形中相等的边所对的角相等，逆命题为一个三角形中相等的角所对的边相等，逆命题为真命题，存在逆定理； D 原命题为全等三角形的对应角相等，逆命题为对应角相等的三角形是全等三角形，对应角相等的三角形不一定全等，例如边长不同的两个等边三角形，对应角相等但不全等，逆命题为假命题，不存在逆定理． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）定理“等角的补角相等”_________（填“有”或“没有”）逆定理． 【答案】有 【分析】本题考查了逆定理．原定理的逆命题成立，则原定理有逆定理，否则没有；定理“等角的补角相等”的逆命题是“补角相等的两个角相等”．根据等式的性质即可得出其逆命题成立，即可求解． 解：定理“等角的补角相等”的逆命题是“补角相等的两个角相等”． 设两个角分别为和，它们的补角分别为和． 若补角相等，即，根据等式的性质，可得， 因此逆命题成立．故有逆定理． 故答案为：有 【变式3】（25-26八年级上·河北·课后作业）下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理． （1）同旁内角互补，两直线平行． （2）三角形的两边之和大于第三边． 【答案】（1）有，逆定理是：两直线平行，同旁内角互补；（2）有，逆定理是：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形 【分析】（1）先写出逆命题，再根据平行线的性质判断逆命题的真假，进而可得出结论； （2）先写出逆命题，再根据三角形的三边关系判断逆命题的真假，进而可得出结论． （1）解：逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题， 故原定理有逆定理：两直线平行，同旁内角互补； （2）解：逆命题为：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形，是真命题， 故原定理有逆定理：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形． 【点拨】本题考查了逆定理的定义、平行线的性质、三角形的三边关系，解答的关键是理解逆定理的定义：如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理． 【题型 3】线段垂直平分线逆定理基本应用 【例题3】（25-26八年级上·青海西宁·期中）如图所示，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（   ） A．在两边高线的交点处 B．在两边中线的交点处 C．在两边垂直平分线的交点处 D．在两内角平分线的交点处 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质的应用，由题意知，超市在三边的垂直平分线的交点处，由此即可解决． 解：由于要求超市到三个小区的距离相等，则超市应在三边的垂直平分线的交点处， 故选：Ｃ． 【变式1】（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，A、B、C是某景区邻近的三座山的山顶，为了促进当地旅游发展，要在三个山顶组成的三角形平面内修建一个空中观景台，要使这个空中观景台到三个山顶的距离相等，应选择的位置是______________． 【答案】各边垂直平分线的交点 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，解题的关键是掌握到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 根据线段垂直平分线的判定，即可确定观景台的位置． 解：∵到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， ∴要使这个空中观景台到三个山顶的距离相等，应选择的位置是各边垂直平分线的交点． 故答案为：各边垂直平分线的交点． 【变式2】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，三座商场的位置如图所示，现要规划一个公交车站到三座商场的距离相等，该公交车站应建在（   ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条中线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三个内角的角平分线的交点 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，根据规划一个公交车站到三座商场的距离相等，以及到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，则该公交车站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点，即可作答． 解：∵要规划一个公交车站到三座商场的距离相等， ∴该公交车站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点（到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）， 故选：A 【变式3】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有多年的历史，如图是一款风筝骨架的简化图，已知，，，，制作这个风筝需要的布料至少为______． 【答案】 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键．利用线段垂直平分线的判定定理判定垂直平分，再利用即可求解． 解：设与交于点， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：2700． 四.题型精析（综合提升） 【题型 4】利用逆定理证明垂直平分线 【例题4】（25-26八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在中，，垂足为，点在边上，且，垂直平分，交于点，连接． （1）求证：； （2）若的周长为，，求的周长． 【答案】（1）证明：，且， 垂直平分． ， 垂直平分， ， ； （2）13 【分析】（1）根据垂直平分线的判定与性质证明即可； （2）根据的周长以及的长度可得的长度，再根据垂直平分线的性质得到边长相等，由此求解即可． 解：（1）略 （2）解：垂直平分， ， 的周长为，， ， 即的周长为． 【变式1】（25-26七年级下·山东淄博·期末）如图，在中，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，交于点，过点作于点．若，点恰好是的中点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据作图方式得到是线段的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得，继而根据三角形外角的性质得到，通过证明垂直平分，得到，进而根据三角形内角和定理得到． 解：如图，连接， 根据作图方式可知是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，点恰好是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在四边形中，，，，连接、相交于点，点在边上，连接交于点，．若，则的长为________． 【答案】2 【分析】首先根据、，可证是等边三角形，再证是线段的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一定理可证，根据平行线的性质可证，从而可得，根据平行线的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知． 解：∵、， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是上的一点，连接，作交于点，交于点，且平分，连接． （1）证明：垂直平分； （2）若面积为，求的周长． 【答案】（1）证明：，， ， 平分， ， 在和中， ， ， 点和点在的垂直平分线上， 垂直平分； （2）30 【分析】（1）证明，可得，从而得到点和点在的垂直平分线上即可． （2）由三角形的面积可求出，根据三角形周长公式即可求解． 解：（1）略 （2）解：由（1）得， ，， ， ， 的周长为30． 【题型 5】线段垂直平分线性质定理与逆定理综合 【例题5】（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，直线l垂直平分边，分别交，于点D，E，连接． (1)若，的周长为19，则的长为 ； (2)若，求的度数； (3)已知点P在线段上，且点P在边的垂直平分线上，连接，试判断点P是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)10 (2) (3)解：是， 理由如下：连接，如图所示： ∵直线l垂直平分边，点P在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴点P在边的垂直平分线上． 【分析】（1）由题意易得，然后根据三角形的周长可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解； （3）连接，由题意易得，进而问题可求解． （1）解：∵直线l垂直平分边， ∴， ∵的周长为19，， ∴， ∴； （2）解：∵直线l垂直平分边， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）略 【变式1】（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，已知，，D是线段上一点（不与A，D重合），下列结论不一定正确的是（     ） A．平分和 B．垂直平分 C． D． 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的判定定理，由，可得是的垂直平分线，利用全等三角形的判定与性质或轴对称性质逐一判断选项即可． 解：，， 点，都在线段的垂直平分线上 ， 垂直平分，故B选项正确； 在和中， ， ，， 平分和，故A选项正确 ； 垂直平分，在上 ， ， 在和中， ， ，故C选项正确 ； 与的长度取决于点在上的位置，无法确定，故D选项不一定正确 ． 【变式2】（25-26八年级下·辽宁本溪·期末）如图，在中，是的垂直平分线，垂直于点，且为的中点，，则的周长是_______． 【答案】16 【分析】根据垂直平分线的性质，得到，求出，推导出是的垂直平分线，，得到，进而求出的周长即可． 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵垂直于点，且为的中点， ∴是的垂直平分线，， ∴， ∴的周长是． 【变式3】（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交．点，连接． (1)若的周长为，线段的长为_____； (2)判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 点O在的垂直平分线上， 理由：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上； (3) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得出，，求出； （2）根据垂直平分线的性质得出，，推出，即可证明点O在的垂直平分线上； （3）根据三角形内角和得出，根据等腰三角形的性质得出，，根据求出结果即可． （1）解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴； （2）解：略； （3）解：∵， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴ ∴． 五.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）命题“如果，那么”的逆命题是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】将原命题的条件和结论互换位置即可得到逆命题． 解：由题意得，原命题的逆命题为如果，那么． 2．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）下列命题中，逆命题是真命题的是（ ） A．全等三角形的对应角相等 B．三角形的中位线平行于第三条边 C．直角三角形的两锐角互余 D．等边三角形是等腰三角形 【答案】C 【分析】先将各选项原命题的条件和结论互换得到逆命题，再逐一判断逆命题的真假即可得到答案. 解：A、原命题：全等三角形的对应角相等， 逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形． ∵对应角相等的三角形不一定全等（可能只是相似），∴逆命题是假命题，不符合题意． B、原命题：三角形的中位线平行于第三条边， 逆命题是平行于三角形第三条边的线段是三角形的中位线． ∵该线段需要同时满足端点平分三角形另两条边才是中位线，∴逆命题是假命题，不符合题意． C、原命题：直角三角形的两锐角互余， 逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形． ∵三角形内角和为，两锐角互余即两锐角和为，则第三个角为， ∴该三角形是直角三角形，逆命题是真命题，符合题意． D、原命题：等边三角形是等腰三角形， 逆命题是等腰三角形是等边三角形． ∵等腰三角形只有两条边相等，不一定是等边三角形，∴逆命题是假命题，不符合题意． 选C． 3．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）下列命题中错误的是（　　） A．任何一个命题都有逆命题 B．一个真命题的逆命题可能是真命题 C．一个定理不一定有逆定理 D．任何一个定理都有逆定理 【答案】D 【分析】根据命题、逆命题、定理、逆定理的基本概念，逐一判断各选项正误即可得到答案． 解：将原命题的题设与结论互换即可得到逆命题，因此任何命题都有逆命题，A选项说法正确； 真命题的逆命题真假性不确定，可能为真也可能为假， 例如“同位角相等，两直线平行”的原命题和逆命题都是真命题，B选项说法正确； 只有定理的逆命题本身也是真命题时，原定理才有逆定理，否则没有，因此一个定理不一定有逆定理，C选项说法正确； 不是所有定理的逆命题都是真命题，例如“对顶角相等”是定理，它的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，因此这个定理没有逆定理，所以“任何一个定理都有逆定理”的说法错误，D选项说法错误． 4．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，，则有（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．是等腰三角形 D．与互相垂直平分 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，根据垂直平分线的判定定理，逐一分析即可解题． 解：，， A、B在的垂直平分线上， 即垂直平分（但不一定垂直平分）． ∴不一定是等腰三角形， ∴A，C，D错误，B正确， 故选：B． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点在的边上，且，则点在某一线段的垂直平分线上．这条线段是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，熟练掌握该知识点是解题的关键． 由，，得到，根据到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得到结论． 解：， 而， ， ∴点在的垂直平分线上． 故选：B． 6．（25-26八年级上·河北承德·期末）已知中，于点D，．若，则的度数是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，三角形内角和性质，等边对等角．由，得是的垂直平分线，从而，为等腰三角形，再结合，利用三角形内角和定理可求． 解：∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 7．（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，已知，，D是线段上一点（不与A，D重合），下列结论不一定正确的是（     ） A．平分和 B．垂直平分 C． D． 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的判定定理，由，可得是的垂直平分线，利用全等三角形的判定与性质或轴对称性质逐一判断选项即可． 解：，， 点，都在线段的垂直平分线上 ， 垂直平分，故B选项正确； 在和中， ， ，， 平分和，故A选项正确 ； 垂直平分，在上 ， ， 在和中， ， ，故C选项正确 ； 与的长度取决于点在上的位置，无法确定，故D选项不一定正确 ． 8．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）如图，平分，，，垂足分别为，．下列结论中不一定成立的是（     ） A． B．平分 C．垂直平分 D． 【答案】C 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，全等三角形对应边相等可得． 解：∵平分，，， ． 故A选项正确． ，，， ， ，． 故B，D选项正确． 由等腰三角形三线合一的性质， 垂直平分，但不一定平分， 故C选项错误； 即不一定成立的是选项C． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知命题：“全等三角形对应边相等”，则它的逆命题为__________． 【答案】 对应边相等的两个三角形全等 【分析】本题考查逆命题的概念，找出原命题的条件和结论，将条件和结论互换，即可得到原命题的逆命题． 解：原命题“全等三角形对应边相等”中，条件为“两个三角形全等”，结论为“两个三角形对应边相等”，将条件和结论互换，得到逆命题为：对应边相等的两个三角形全等. 故答案为对应边相等的两个三角形全等． 10．（24-25七年级下·江苏南京·期中）定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是________________________． 【答案】有两个角互余的三角形是直角三角形． 解：定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是有两个角互余的三角形是直角三角形． 11．（25-26七年级下·上海普陀·期末）命题“等边三角形的三条边相等”的逆命题是：如果_____________________，那么_____________________． 【答案】 一个三角形的三条边相等 这个三角形是等边三角形 【分析】明确逆命题的构造方法，交换原命题的题设与结论即可得到所求逆命题． 解：将原命题“等边三角形的三条边相等”改写为“如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三条边相等”，可得原命题的题设为“一个三角形是等边三角形”，结论为“这个三角形的三条边相等”，交换原命题的题设与结论，即可得到该命题的逆命题．因此如果后横线处填一个三角形的三条边相等，那么后横线处填这个三角形是等边三角形． 12．（25-26八年级上·北京·期末）如图，，，连接，交于点．若，，则______ ． 【答案】6 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的判定，等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握以上性质和判定；先证明是的垂直平分线，可求出，再证明是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解． 解：，， 是的垂直平分线， ， ，， 是等边三角形， ， 故答案为：6． 13．（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点B与点A重合，已知的周长是18，的周长是26，则_________． 【答案】8 【分析】本题考查了垂直平分线性质，由折叠的性质易得为的垂直平分线，根据垂直平分线性质得到，再结合，，即可解题． 解：由折叠的性质得， ∴为的垂直平分线， ， ，， ∴． 故答案为：． 14．（25-26八年级下·辽宁本溪·期末）如图，在中，是的垂直平分线，垂直于点，且为的中点，，则的周长是_______． 【答案】16 【分析】根据垂直平分线的性质，得到，求出，推导出是的垂直平分线，，得到，进而求出的周长即可． 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵垂直于点，且为的中点， ∴是的垂直平分线，， ∴， ∴的周长是． 15．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）与按如图方式摆放，其中，，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点．若，，则的长为________． 【答案】7 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，等腰三角形的判定和性质，利用方程思想解决是解题的关键； 连接，由，，得到是的垂直平分线，，，根据，得到，，从而推出，，可表示出，最后根据，即可求解． 解：如图所示，连接， ∵，， ∴是的垂直平分线，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， 即， 解得， ∴的长为， 故答案为：． 16．（25-26八年级上·河南安阳·期中）如图，在中，，延长至，使得，为外一点且，连接，，交于点，．点为上一动点，当的面积为，时，的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线判定，三角形中线性质，垂线段最短，当时，最小，由，，得垂直平分，则有，从而求得的面积为，所以，得，最后利用即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：如图，当时，最小， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵，的面积为， ∴的面积为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级下·山东青岛·开学考试）写出下列命题的逆命题． （1）同旁内角互补，两直线平行． （2）如果两个角是直角，那么这两个角相等． （3）能被4整除的数一定能被8整除． 【答案】（1）两直线平行，同旁内角互补；（2）如果两个角相等，那么这两个角是直角；（3）如果一个数能被8整除，那么这个数能被4整除 【分析】根据逆命题是将原命题的条件与结论互换后得到的新命题进行逐项分析，即可作答． （1）解：逆命题是“两直线平行，同旁内角互补”； （2）解：逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是直角”； （3）解：逆命题是“如果一个数能被8整除，那么这个数能被4整除”． 18．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，点P为射线上一点，连接． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明：∵， ∴，即； （2）证明：由（1）知， 又∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴． 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质即可证明； （2）可证明是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质即可证明． 解：（1）略 （2）略 19．（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测）如图，已知直线，直线MN分别交AB、CD于M、N两点，若ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，试说明：． 解：∵，（已知） ∴∠AMN＝∠DNM（ ） ∵ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，（已知） ∴∠EMN＝ ∠AMN， ∠FNM＝ ∠DNM （角平分线的定义） ∴∠EMN＝∠FNM（等量代换） ∴（ ） （1）由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对 角的平分线互相 ． （2）解题过程中是否应用了互逆命题，如果有，请写出来． 【答案】两直线平行内错角相等；；；内错角相等两直线平行；（1）内错；平行；（2）有；内错角相等两直线平行与两直线平行内错角相等 【分析】先根据两直线平行内错角相等，可得∠AMN=∠DNM，然后根据角平分线的定义可得∠EMN=∠AMN，∠FNM=∠DNM，然后根据等量代换可得∠EMN=∠FNM，然后根据内错角相等两直线平行即可说明； （1）根据上面的推理过程得出结论即可； （2）两直线平行内错角相等与内错角相等两直线平行为互逆命题． 解：∵，（已知） ∴∠AMN=∠DNM，（两直线平行内错角相等）， ∵ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，（已知）， ∴∠EMN=∠AMN， ∠FNM=∠DNM，（角平分线的定义）， ∴∠EMN=∠FNM（等量代换） ∴，（内错角相等两直线平行）． 故答案为：两直线平行内错角相等；；；内错角相等两直线平行． （1）由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的平分线互相平行； 故答案为：内错；平行． （2）解题过程中应用了互逆命题，内错角相等两直线平行与两直线平行内错角相等． 【点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质及角平分线的定义，解题的关键是：熟记同位角相等⇔两直线平行；内错角相等⇔两直线平行；同旁内角互补⇔两直线平行． 20．（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，直线l垂直平分边，分别交，于点D，E，连接． （1）若，的周长为19，则的长为 ； （2）若，求的度数； （3）已知点P在线段上，且点P在边的垂直平分线上，连接，试判断点P是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】（1）10；（2）；（3）解：是， 理由如下：连接，如图所示： ∵直线l垂直平分边，点P在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴点P在边的垂直平分线上． 【分析】（1）由题意易得，然后根据三角形的周长可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解； （3）连接，由题意易得，进而问题可求解． （1）解：∵直线l垂直平分边， ∴， ∵的周长为19，， ∴， ∴； （2）解：∵直线l垂直平分边， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $