精品解析：上海新场中学2026-207学年第一学期期中考试高三数学试卷

上海新场中学2026学年第一学期期中试题 高三年级数学学科 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 已知集合，集合，则______． 2. 不等式的解集为______. 3. 已知复数是关于的实系数方程的一个根，则实数的值为______. 4. 已知一个圆柱的轴截面是一个面积为2的正方形，则该圆柱的侧面积为________． 5. 已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为______． 6. 在的展开式中，项的系数为______． 7. 已知等差数列的前项和为，若，则________． 8. 函数是奇函数，当时，，若，则________． 9. 已知定义在上的函数，的图象如图所示，其导数为，则不等式的解集为______． 10. 从中随机取两个不同的数，则这两个数之和为偶数的概率为____． 11. 已知，则的最小值为__________． 12. 如图，在等腰直角三角形ABC中，，，以AB为直径在外作半圆O，P是半圆弧AB上的动点，点Q在斜边BC上，若，则的取值范围是________. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分. 13. 如果，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 下列各组平面向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 15. 已知，则“成立”是“”成立的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 16. 已知曲线 ，则下列关于曲线的说法中错误的是（ ） A. 曲线关于坐标轴和原点对称 B. 曲线关于等轴双曲线的渐近线对称 C. 曲线上不存在两点横坐标之和大于 D. 曲线上不存在点在以原点为圆心，为半径的圆外 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，，点分别为棱的中点． （1）证明：直线平面； （2）求异面直线与所成的角的大小． 18. 已知（）. （1）的周期是，求当，方程的解集； （2）已知，，，求的值域. 19. 设函数，. （1）求方程的实数解； （2）若不等式对于一切都成立，求实数b的取值范围. 20. 已知双曲线，为原点． （1）求的渐近线方程； （2）若点在第一象限且，若、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点的横坐标； （3）过双曲线右顶点作两条相互垂直的直线，分别与双曲线交于两点，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 21. 已知函数的定义域为区间D，若对于给定的非零实数m，存在，使得，则称函数在区间D上具有性质. （1）判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； （2）若函数在区间上具有性质，求n的取值范围； （3）已知函数的图像是连续不断的曲线，且，求证：函数在区间上具有性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海新场中学2026学年第一学期期中试题 高三年级数学学科 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 已知集合，集合，则______． 【答案】 【解析】 【详解】即取的公共部分，所以. 2. 不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【详解】由题意得； 故解集为. 3. 已知复数是关于的实系数方程的一个根，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用实系数的一元二次方程的根的性质列式求解. 【详解】由题知：，因为均为实数，故另一根为， 所以， 所以. 4. 已知一个圆柱的轴截面是一个面积为2的正方形，则该圆柱的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，由题意可知 则该圆柱的侧面积. 5. 已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【详解】因为向量，， 则在方向上的投影向量为. 6. 在的展开式中，项的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理的通项求解即可. 【详解】由二项式定理，项的系数为. 7. 已知等差数列的前项和为，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的项的性质得到，再代入前项和公式计算即可． 【详解】由题得， 所以． 8. 函数是奇函数，当时，，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由奇函数的定义求得，即可将代入题干中已知区间的解析式，由此求解即可. 【详解】由题意得，即， 进而，解得. 9. 已知定义在上的函数，的图象如图所示，其导数为，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【详解】由图象可知，在内，图象上升，； 在内，图象下降，； 在内，图象上升，； 则不等式的解集为． 10. 从中随机取两个不同的数，则这两个数之和为偶数的概率为____． 【答案】## 【解析】 【分析】先列举出从个数中任取两个不同数的全部基本事件，再找出两数同奇或同偶（和为偶数）的事件个数，由古典概型公式求出概率． 【详解】从中随机取两个不同的数有，，，，，，，，，，共种情况， 其中满足和为偶数的有，，，，共种情况， 所以所求的概率为． 11. 已知，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用对数运算性质得到与的乘积定值，再结合基本不等式求解的最小值． 【详解】由题可知，，即，， 因为 ，所以，即， 根据基本不等式  ，当且仅当时等号成立，代入原式验证满足条件， 因此的最小值为． 12. 如图，在等腰直角三角形ABC中，，，以AB为直径在外作半圆O，P是半圆弧AB上的动点，点Q在斜边BC上，若，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】建立直角坐标系，得出的坐标，利用数量积的坐标表示得出，结合正弦函数的单调性得出的取值范围. 【详解】取中点为，建立如下图所示的直角坐标系 则，设，，则 ，则 设点，则 ， 则当，即时，取最大值 当，即时，取最小值 则的取值范围是 故答案为： 【点睛】本题主要考查了利用数量积求参数以及求正弦型函数的最值，属于较难题. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分. 13. 如果，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A：取，，则，则A不一定成立； B：取，，则，则B不一定成立； C：因为，所以，而，恒有，则C一定不成立； D：如果，则恒成立，则D一定成立. 14. 下列各组平面向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】对A，因为，所以。所以向量，不能作为平面向量的基底； 对B，因为，所以。所以向量，不能作为平面向量的基底； 对C，，所以，所以向量，不能作为平面向量的基底； 对D，因为，所以向量，不共线，故向量，可以作为平面向量的基底. 15. 已知，则“成立”是“”成立的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】解不等式得，解方程得， 所以“成立”是“”成立的充要条件. 16. 已知曲线 ，则下列关于曲线的说法中错误的是（ ） A. 曲线关于坐标轴和原点对称 B. 曲线关于等轴双曲线的渐近线对称 C. 曲线上不存在两点横坐标之和大于 D. 曲线上不存在点在以原点为圆心，为半径的圆外 【答案】C 【解析】 【分析】利用曲线方程的代换法判断对称性，借助一元二次方程判别式求解变量取值范围，结合基本不等式研究曲线上点到原点距离；通过举反例判断命题真假，综合运用代数推理，逐项甄别四个选项，找出错误命题即可. 【详解】选项A：将 ， 方程：，不变，曲线关于轴对称， 将 ，同理，曲线关于轴对称， 将 ，同理，曲线关于原点对称，A 正确； 选项B：等轴双曲线渐近线：、， 将、互换，方程变为，与原方程相同，曲线关于对称； 同理可验证曲线关于对称，B正确； 选项C：设，，方程化为：，则， 所以关于的方程有实根，则， 所以，可得，此时， 取两点横坐标都取最大值为，所以， 存在两点横坐标之和大于，故C错误； 选项D：设曲线上点，到原点距离平方， 由基本不等式：， 所以，即，可得， 曲线上所有点到原点距离不超过，没有点在圆外，故D正确. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，，点分别为棱的中点． （1）证明：直线平面； （2）求异面直线与所成的角的大小． 【答案】（1） 连接，由已知条件，点分别为棱的中点， 故有 ， 又 平面，平面， 所以直线平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，利用三角形中位线性质可得，再利用线面平行的判定定理即可证明； （2）由和可知或其补角即为所求，再利用余弦定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，， 故或其补角为异面直线与所成的角． 因为，，，所以， 根据直三棱柱性质可知，，所以， ， 在中，由余弦定理得， 又，故， 即异面直线与所成的角的大小为． 18. 已知（）. （1）的周期是，求当，方程的解集； （2）已知，，，求的值域. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得后整体代换法求解 （2）由三角恒等变换公式化简，根据三角函数性质求解 【小问1详解】 的周期是，故，原方程为， 则，解得或， 故原方程的解集为或 【小问2详解】 ， ， 时，， 则， 19. 设函数，. （1）求方程的实数解； （2）若不等式对于一切都成立，求实数b的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）转化为关于的一元二次方程进行求解. （2）分离参数，构造函数，求导得到的最小值即可求解. 【小问1详解】 由，代入方程得：， 即，解得，即. 【小问2详解】 不等式即， 原不等式可化为对都成立， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故当时，， 所以，即，解得：. 20. 已知双曲线，为原点． （1）求的渐近线方程； （2）若点在第一象限且，若、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点的横坐标； （3）过双曲线右顶点作两条相互垂直的直线，分别与双曲线交于两点，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）由题意两直线斜率均存在且不为零，且斜率之积为， 设直线的斜率为（且），则直线的斜率为， 则直线，， 由， 由韦达定理得：， 因为，所以，， 同理得，， ， ， 所以直线恒过定点，定点为． 【解析】 【分析】（1）由双曲线标准方程确定，直接代入焦点在x轴的渐近线公式求解； （2）先计算长度，分三类等腰情况结合双曲线方程列方程求解，舍去不符合第一象限的解； （3）设出一条直线斜率，由垂直得另一条斜率，分别联立双曲线用韦达定理求坐标，推导直线方程并整理为点斜式，判定恒过定点． 【小问1详解】 由，，得，， 所以的渐近线方程为． 【小问2详解】 设（，）， 由得： ①若，则在线段的垂直平分线上， 代入得，无解，舍去； ②若，则，代入，整理得：， 解得，由得，此时，符合题意； ③若，则，代入，整理得：， 解得或，由得，此时，符合题意； 综上，点的横坐标为或． 【小问3详解】 略，定点． 21. 已知函数的定义域为区间D，若对于给定的非零实数m，存在，使得，则称函数在区间D上具有性质. （1）判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； （2）若函数在区间上具有性质，求n的取值范围； （3）已知函数的图像是连续不断的曲线，且，求证：函数在区间上具有性质. 【答案】（1） 函数在上具有性质. 若，则， 因为，且， 所以函数在上具有性质. （2） （3） 设，. 则有，，，， ，，. 以上各式相加得 即， （ⅰ）当、、、、、中有一个为0时，不妨设，，即，即，， 所以函数在区间上具有性质. （ⅱ）当、、、、、中均不为0时，由于其和为0， 则其中必存在正数和负数，不妨设，， 其中，. 由于函数的图像是连续不断的曲线，所以当时，至少存在一个实数（当时，至少存在一个实数），其中，使得，即， 即存在，使得， 所以函数在区间上也具有性质. 综上，函数在区间上具有性质. 【解析】 【分析】（1）由题可得，则，结合条件即得； （2）由，解得，，可得，即得； （3）设，，可得，当、、、、、中有一个为0时，可得，，即证；当、、、、、中均不为0时，由于其和为0，则其中必存在正数和负数，不妨设，，结合条件可知，存在，，即证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法1：由题意，存在，使得， 得（舍）或， 则得. 因为，所以. 又因为且， 所以，即所求的取值范围是. 解法2：当时，函数，是增函数， 所以不符合题意； 当时，因为直线是函数的一条对称轴， 而函数在区间上具有性质， 所以， 解得，即所求的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $