精品解析：上海市建平中学2025-2026学年高三上学期期中数学试题

建平中学2025学年第一学期期中教学质量检测 高三数学试卷 一、填空题（本大题共12小题，共54分） 1. 不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】直接解一元二次不等式即可得解集. 【详解】由不等式解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 2. 已知向量，，若，则实数________. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量共线的坐标表示可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为向量，，且，则. 故答案为：. 3. 在中，若，则___ ． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意结合余弦定理运算求解. 【详解】因为，根据余弦定理可得：， 又因为A为三角形的内角，则， 故答案为：. 4. 已知为实数，且函数，是偶函数，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数的对称性可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为二次函数，是偶函数，则，解得. 故答案为：. 5. 在的展开式中，的系数为_____．（用数字作答）． 【答案】240 【解析】 【分析】由题意，二项式的展开式的通项为，令，即可求解. 【详解】由题意，二项式的展开式的通项为， 令，可得，所以的系数为. 【点睛】本题主要考查了二项展开式的指定项的系数问题，其中解答中熟记二项展开式的通项，合理赋值求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 6. 将直角边长为2的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所形成的几何体的体积为________. 【答案】## 【解析】 【分析】分析可知所形成的几何体是以底面半径为2，高为2的圆锥，结合锥体的体积公式运算求解. 【详解】因为三角形为等腰直角三角形， 以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所形成的几何体是以底面半径为2，高为2的圆锥， 所以所形成的几何体的体积为. 故答案为：. 7. 若复数是关于的方程的一个根，则______. 【答案】0 【解析】 【分析】根据给定条件，求出方程的另一根，再利用韦达定理定理求得答案. 【详解】由复数是关于的方程的一个根， 则该方程的另一根为，于是，解得， 所以. 故答案为：0 8. 已知数据2，4，6，的方差为5，则________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出平均数再结合方差的公式即可求解. 【详解】由题可得平均数， 所以， 化简得，即，解得，（舍）. 故答案为：. 9. 已知等比数列的前项和为，若，则实数________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据等比数列前项和公式的特点可得出关于的等式，即可解. 【详解】由， 当时，，不合题意. 当时，， 对比系数可得， 故答案为：3. 10. 小明在一个如图所示的半圆形水域（为圆心，是半圆的直径）进行体育活动，小明先从点出发，沿着直线游泳至半圆上点处，再从点沿着弧跑步至点处.已知，小明游泳平均每米消耗0.24大卡能量，跑步平均每米消耗0.06大卡能量，设，要使消耗的能量最多，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求出及弧的长，建立消耗的能量对应的函数关系，利用导数求出最值. 【详解】由，得，， 在中，，可得， 又弧的长为， 所以消耗的能量， ，令，得， 当时，，即函数单调递增， 当时，，即函数单调递减， 所以当，即时，消耗的能量最多. 故答案为：. 11. 已知实数，，成等差数列（，不同时为0），则点到直线的最大距离是________. 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列可得，分析可知直线过定点，即可得点到直线距离的最大值. 【详解】因为实数，，成等差数列（，不同时为0）， 则，即， 直线即为， 可得，可知直线过定点， 所以点到直线的最大距离是. 故答案为：. 12. 对任意满足的实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】先将表示为，判断与的大小关系．再把原不等式化为的形式，其中．利用的单调性，结合，的符号变化，对，，，分类讨论． 【详解】由不等式中含有可知． 由得，于是 因为，，所以在上单调递减，且当时，． 故当时，；当时，；当时，． 当时，原不等式左边为，恒成立． 下设．原不等式可化为 记并规定． 则． 又 令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，且． 因此当时，，从而，即在上单调递减． 设 若，则，而，所以，原不等式恒成立． 故符合题意． 下面讨论． 因为，且在上单调递增，所以与都在上单调递增． 并且 若，则，而当时，，，所以与在内各有一个零点． 又在内有，故，从而的零点在的零点左侧． 因此在两个零点之间存在，使得且，此时，不符合题意． 若，则． 由于，均单调递增，所以当时，； 当时，．故恒成立，符合题意． 若，则，而当时，，，所以与在内各有一个零点． 又在内有，故，从而的零点在的零点左侧． 因此在两个零点之间存在，使得且，此时，不符合题意． 综上：实数的取值范围是. 二、选择题（本大题共4小题，共18分） 13. 如果，那么下列不等式中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用特殊值法和不等式的性质逐项判断即可. 【详解】因为， 对于A选项，取，，则，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，取，，则，C错； 对于D选项，取，，则，D错. 故选：B. 14. 已知平面，为两个不同的平面，直线为内一条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由面面平行的性质、线面、面面平行的判定结合充分条件、必要条件的概念即可判断. 【详解】因为，若，则由线面平行的性质可知，故“”是“”的必要条件， 设，，显然，从而有成立，但此时不平行， 所以“”是“”的不充分条件， 即“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 15. 如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点、在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接、、、，则为的中点，利用平面向量数量积的运算性质得出，数形结合求出的最大值，即可得出的最大值. 【详解】如下图所示，连接、、、，则为的中点， 则，且，故是边长为的等边三角形， 易知，则 ， 当且仅当与正六边形的顶点重合时，取最大值. 故选：C. 16. 已知复数在复平面内对应的点的坐标为，复数在复平面内对应的点的坐标为.若复数满足，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数加减的几何意义，，结合，可得，再由即可求解． 【详解】由题意知复数在复平面内对应的点的坐标为， 设复数在复平面内对应的点的坐标为，，， 则，又， 所以，即， ， ，当且仅当在线段上取等号， ，且， ，当点在时等号同时成立，取得最小值3， 即的最小值为3． 故选：C 三、解答题（本大题共5小题，共78分） 17. 如图，在三棱锥中，底面，，是的中点. （1）求证：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 因为底面，平面，所以， 又因为，，、平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理及判定定理即可证明； （2）利用线面角的向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 所以，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，则， 设与平面所成角为， . 因此直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知函数. （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）当时，求函数的最值（最大值与最小值）及相应的值. 【答案】（1）； （2）时，最大值为；时，最小值为. 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简，再利用周期公式以及结合正弦函数的单调性求解； （2）求出的范围，结合正弦函数的最值求解. 【小问1详解】 ， 则的最小正周期为， 令，则， 故单调递增区间为； 【小问2详解】 因为，则， 则当，即时，的最大值为； 当，即时，的最小值为. 19. 一个不透明的箱子里有个大小，质地完全相同的球，上面分别标有数字到.每次摸球时，摸到任一球的概率相同. （1）现从箱子中随机换取一球，设事件为“摸出标有数字或的球”，事件为“摸出标有数字或的球”.已知事件与事件相互独立.求、和的值； （2）在（1）求得的的条件下，甲、乙二人进行摸球比赛.规则如下：每一回合，甲先从箱子中随机摸一个球并放回，乙再从箱子中随机摸一个球并放回，两人比较所摸球上的数字.数字较大者在该回合得分，其余情况得分.不论是否平局，此回合结束. （i）比赛进行一回合后，甲得分的概率； （ii）若比赛共进行三回合.求三回合后，甲的得分高于乙的得分的概率. 【答案】（1），， （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求出、、，根据独立事件的概率公式可得出，即可求出的值； （2）（i）利用古典概型的概率公式求解即可； （ii）列举出甲高于乙得分的所有情况，利用独立事件的概率公式求出每种情况的概率，加起来即可. 【小问1详解】 由古典概型的概率公式可得，，所以 事件“摸出标有数字的球”，则， 因为事件、相互独立，所以，即， 因为，故. 【小问2详解】 （i）记甲摸的小球标有的数字为，乙摸的小球标有的数字为， 记事件比赛进行一回合后，甲得分的概率，即事件“”， 样本空间为 ， ， 所以； （ii）由（i）可知，乙得分的概率为，甲乙摸的小球标有的数字相同的概率为， 比赛共进行三回合.求三回合后，甲的得分高于乙的得分，分以下几种情况讨论： 甲得分，乙得分，其概率为； 甲得分，乙得分，其概率为； 甲得分，乙得分，其概率为； 甲得分，乙得分，其概率为. 综上所述，若比赛共进行三回合.求三回合后，甲的得分高于乙的得分的概率为. 20. 如图，椭圆：与双曲线：在第一象限的公共点为.曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合；当时，曲线与双曲线重合.已知直线的方程为. （1）求的值； （2）若时，直线与曲线有交点，求的取值范围； （3）若，直线与曲线交于、两点，且，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆，双曲线在第一象限的公共点为，代入方程求解； （2）由题意得到直线与双曲线有交点，再根据双曲线的渐近线方程为：和，利用数形结合法求解. （3）根据，结合三角形的面积公式得到求解. 【小问1详解】 因为椭圆：与双曲线：在第一象限的公共点为， 所以，解得，则，即， 解得或（舍去），则； 【小问2详解】 时，直线与曲线有交点， 即直线与双曲线有交点， 双曲线的渐近线方程为： 如图所示： 直线过定点，又，，且， 所以； 【小问3详解】 因为， 所以， 则， 又*， ， 因为双曲线的渐近线方程为，且， 所以直线与双曲线不相交， 故MN为直线与椭圆的交点， 由，消去y得， 由韦达定理得，代入*式， 得， 令，则， 易知在上单调递增，所以， 则，所以. 21. 已知函数，若函数的图像上存在两点，同时满足以下两个条件，则称函数为“切线控制函数”，直线为其“控制切线”： ①直线恰为曲线的一条切线，且，两点都是直线与曲线的切点； ②记直线的方程为，对于任意，恒成立. （1）试判断函数，是否为“切线控制函数”（无需说明理由）； （2）已知为“切线控制函数”，求实数的取值范围： （3）证明：为“切线控制函数”，并求出其所有“控制切线”． 【答案】（1）是“切线控制函数”，不是“切线控制函数”． （2） （3） 控制切线需满足恒成立， 即，若，线性项主导导致左边无界，不合要求， 所以必有，即， 此时，故， 公切线构造，其中，又控制切线中， 令得，解得， 当，时，，切点纵坐标为， 故，所以，切线方程为， 当，时，，同理可得，切线方程为，但此时， 验证， 条件①：，均为切点，直线为公切线， 条件②：，故恒成立， 所以是 “切线控制函数”．其所有“控制切线”为：． 【解析】 【分析】（1）由函数的新定义进行判断； （2）不妨设切点在上，切点在上，由导数几何意义分别写出在和处的切线方程，对照系数，得到方程组，变形得到，，构造函数，求导，得到其单调性进行求解； （3）推导出控制切线需满足，，由导数的几何意义得到切点横坐标，分两种情况，讨论得到切线方程，并通过验证，得到结论 【小问1详解】 是“切线控制函数”，不是“切线控制函数”． 原因如下：对于，则， 取，则，， 故直线恰为曲线的一条切线，且，两点都是直线与曲线的切点，满足条件①， 直线，满足，满足条件②， 故是“切线控制函数”； 对于，则，显然函数在定义域上单调递增， 所以函数上任意两点的切线的斜率均不相同，则不满足条件①， 故不是“切线控制函数”． 【小问2详解】 在上单调递增，在上单调递增， 故切点不会同在，或，的图象上， 则切点必在轴的两侧， 不妨设切点在上，得， 切点在上，得， 由于， 故在点处的切线方程为， 即， ， 故在点处的切线方程为， 即， 两切线为同一切线，故， 由③得⑤， 将⑤代入④得，， 故，， 令，， 则， 故在上单调递减， 故，所以． 故实数的取值范围为： 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建平中学2025学年第一学期期中教学质量检测 高三数学试卷 一、填空题（本大题共12小题，共54分） 1. 不等式的解集为________. 2. 已知向量，，若，则实数________. 3. 在中，若，则___ ． 4. 已知为实数，且函数，是偶函数，则________. 5. 在的展开式中，的系数为_____．（用数字作答）． 6. 将直角边长为2的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所形成的几何体的体积为________. 7. 若复数是关于的方程的一个根，则______. 8. 已知数据2，4，6，的方差为5，则________. 9. 已知等比数列的前项和为，若，则实数________. 10. 小明在一个如图所示的半圆形水域（为圆心，是半圆的直径）进行体育活动，小明先从点出发，沿着直线游泳至半圆上点处，再从点沿着弧跑步至点处.已知，小明游泳平均每米消耗0.24大卡能量，跑步平均每米消耗0.06大卡能量，设，要使消耗的能量最多，则________. 11. 已知实数，，成等差数列（，不同时为0），则点到直线的最大距离是________. 12. 对任意满足的实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是________. 二、选择题（本大题共4小题，共18分） 13. 如果，那么下列不等式中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知平面，为两个不同的平面，直线为内一条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点、在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 16. 已知复数在复平面内对应的点的坐标为，复数在复平面内对应的点的坐标为.若复数满足，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 5 三、解答题（本大题共5小题，共78分） 17. 如图，在三棱锥中，底面，，是的中点. （1）求证：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数. （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）当时，求函数的最值（最大值与最小值）及相应的值. 19. 一个不透明的箱子里有个大小，质地完全相同的球，上面分别标有数字到.每次摸球时，摸到任一球的概率相同. （1）现从箱子中随机换取一球，设事件为“摸出标有数字或的球”，事件为“摸出标有数字或的球”.已知事件与事件相互独立.求、和的值； （2）在（1）求得的的条件下，甲、乙二人进行摸球比赛.规则如下：每一回合，甲先从箱子中随机摸一个球并放回，乙再从箱子中随机摸一个球并放回，两人比较所摸球上的数字.数字较大者在该回合得分，其余情况得分.不论是否平局，此回合结束. （i）比赛进行一回合后，甲得分的概率； （ii）若比赛共进行三回合.求三回合后，甲的得分高于乙的得分的概率. 20. 如图，椭圆：与双曲线：在第一象限的公共点为.曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合；当时，曲线与双曲线重合.已知直线的方程为. （1）求的值； （2）若时，直线与曲线有交点，求的取值范围； （3）若，直线与曲线交于、两点，且，求实数的取值范围. 21. 已知函数，若函数的图像上存在两点，同时满足以下两个条件，则称函数为“切线控制函数”，直线为其“控制切线”： ①直线恰为曲线的一条切线，且，两点都是直线与曲线的切点； ②记直线的方程为，对于任意，恒成立. （1）试判断函数，是否为“切线控制函数”（无需说明理由）； （2）已知为“切线控制函数”，求实数的取值范围： （3）证明：为“切线控制函数”，并求出其所有“控制切线”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $