7.2相似三角形判定中的条件转化与证明相似专题复习讲义 2026—2027学年苏科版九年级数学下册

相似三角形判定中的条件转化与证明 学生版 相似三角形判定中的条件转化与证明 2026—2027学年苏科版九年级下册第7章 图形的相似 学生版 内容导航 知识梳理 1 题型1 由余角和角的和差得到等角 2 题型2 共顶点图形中的角差与比例重组 5 题型3 添加平行线处理角平分线条件 8 A组 基础通关 11 B组 难点突破 13 C组 方法进阶 15 D组 中考真题精选 18 姓名：________________ 班级：________________ 知识梳理 两角对应相等 有两组角对应相等的两个三角形相似。先写等角，再确定顶点对应顺序。图中未直接给出的等角，常由余角、补角、角的和差、角平分线或特殊图形的性质得到。 两边成比例及夹角相等 若，且，则。这里是的夹角，是的夹角。 三边对应成比例 若，则。列比例前，应先依据题意确定对应边。 从条件走向结论 证明线段的积相等，可先把目标写成比例，再寻找包含这些线段的三角形。证明垂直或角平分线，可先尝试证明相似，利用对应角相等完成最后一步。 辅助线的作用 平行线既能提供等角，也能产生相似。当已有角平分线时，平行线还常能构造等腰三角形，用相等边替换辅助线段。 题型1 由余角和角的和差得到等角 【要点1】两个角与同一个角互余，这两个角相等。图中出现两个直角时，先确定两个直角各被哪些角分开，再寻找相等的锐角。 【要点2】三点共线时，相邻角的和为。把平角中的角与三角形内角和联系起来，也能得到判定相似所需的等角。 【要点3】判定相似后，按已证明的等角确定对应顺序。直角顶点对应直角顶点，不能仅凭图形朝向配边。 【解题要领】先标出已知等角，再用余角或角的和差补出另一组等角，最后列对应边的比例。 典例精讲 例1 如图，点依次在同一直线上，在直线的同侧，，，。 （1）求证：； （2）若，，，求。 图1 解 （1），，所以。 由，得。又，故。 故。 （2）由相似得，即，解得。 【易错提醒】两个三角形都有直角，并不能直接判定相似；还要找到一组相等的锐角。 题型1 递进练习 变式1-1 如图，点依次在同一直线上，在直线的同侧，射线在内部，且。 （1）求证：； （2）若，，，求。 图1-1   变式1-2 如图，点依次在同一直线上，在直线的同侧，，。已知，，，。求证：。 图1-2   题型1 递进练习 变式1-3 如图，点依次在同一直线上，分别位于直线的两侧，，，。已知，，，求的长。 图1-3   题型2 共顶点图形中的角差与比例重组 【要点1】若两组角相等，且各减去同一个角，所得的角仍相等。共顶点的多个三角形中，要分清已知角与待证相似三角形的夹角。 【要点2】由可得，进而得到。证明另一组相似时，常需要重新组合比例。 【要点3】用两边成比例及其夹角相等判定相似时，夹角必须由所列的两条边组成。所得相似还可继续提供等角和比例，用于下一组证明。 【解题要领】看清射线顺序，先转化夹角，再把已有比例改写成目标三角形中的两边比例。 典例精讲 例2 如图，小于。在内，从射线转向射线时，依次经过射线。，，，，。 （1）求证：； （2）若，求。 图2 解 （1）由，两边都减去，得。 ，，所以。 （2）由相似得，即，解得。 【易错提醒】不能把非夹角当作夹角；也不能保持原来的比例顺序，却直接写出另一组对应关系。 题型2 递进练习 变式2-1 如图，小于。在内，从射线转向射线时，依次经过射线。。已知，，。 （1）求证：； （2）求的长。 图2-1   变式2-2 如图，，，射线位于内部，射线位于内部。，，，，。直线分别与线段交于点。 求证：。 图2-2   题型2 递进练习 变式2-3 如图，小于。在内，从射线转向射线时，依次经过射线。，。点分别为的中点。 （1）求证：； （2）求证：。 图2-3   题型3 添加平行线处理角平分线条件 【要点1】角平分线给出一组等角。添加与三角形一边平行的直线，能把这组等角转移到另一个三角形中，常可得到等腰三角形。 【要点2】构造出等腰三角形后，用相等的边替换比例中的辅助线段，再把结论转回原三角形。 【要点3】点在边上还是延长线上，会改变线段的和差关系。建立比例前，应先明确各点的顺序。 【解题要领】从角平分线出发补一条平行线，先证等腰，再证相似，最后代换辅助线段。 典例精讲 例3 如图，在中，平分，点在边上。 （1）求证：； （2）若，，，求的长。 图3 解 （1）过点作，交射线于点。 平分，故。由得，因此。 由及对顶角相等，得，所以。 （2）设，则。由（1）得，解得。故。 【易错提醒】辅助点的位置必须与图形相符。不能只写一条平行线，就直接引用尚未证明的角平分线分边比例。 题型3 递进练习 变式3-1 如图，在中，，，点在边上，，。求证：平分。 图3-1   变式3-2 如图，在中，，，。延长至点，的平分线交的延长线于点。 （1）求证：； （2）求的长。 图3-2   题型3 递进练习 变式3-3 如图，的三条内角平分线交于点，射线交于点。过点作，分别交于点。 （1）求证：，； （2）求证：； （3）若，，，求。 图3-3   【A组·基础通关】 A1 如图，点依次在同一直线上，，，。若，，，则________。 图A1   A2 如图，小于。在内，从射线转向射线时，依次经过射线。，，，，，。求及。 图A2   【A组·基础通关】 A3 如图，在中，，平分，点在边上。 若，，求的长。 图A3   A4 如图，在中，平分，点在边上。 已知，，，求的长。 图A4   【B组·难点突破】 B1 如图，在矩形中，，。点在边上，。 过点作，交边于点。求和的长。 图B1   B2 如图，是边长为的等边三角形，点在边上，，点在边上，。 （1）求证：； （2）求的长。 图B2   【B组·难点突破】 B3 如图，小于。在内，从射线转向射线时，依次经过射线。。点分别在线段上，且均不与端点重合，。求证：。 图B3   B4 如图，在中，，，平分，点在边上。过点作，交于点。 （1）求证：； （2）求的长。 图B4   【C组·方法进阶】 C1 如图，在矩形中，，，点在边上，。点在边上运动，且满足。求所有符合条件的的长。 图C1   C2 如图，在中，平分，点在边上。延长至点，的平分线交的延长线于点。已知，，求的长及。 图C2   【C组·方法进阶】 C3 如图，在中，点在边上，平分。延长至点，使。 （1）求证：； （2）求证：。 图C3   【C组·方法进阶】 C4 如图，在中，，。平分，交于点。 （1）求证：； （2）求的长。 图C4   【D组·中考真题精选】 D1 （2026苏州中考第8题） 如图，在矩形中，，，是边上的动点（点在之间运动，不与重合），过作的垂线交边于点，则的最大值是 A．　　B．　　C．　　D． 图D1   【D组·中考真题精选】 D2 （2026上海中考第22题） 如图，菱形中，是线段上的点，联结交对角线于点，且。 （1）如果，求证：； （2）如果的角平分线交于点，求证：。 图D2   【D组·中考真题精选】 D3 （2025武汉中考第23题） 如图，四边形是正方形，点在边上，点在边的延长线上，，射线交对角线于点，交线段于点。 （1）求证：。（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明） （2）求证：； （3）若，直接写出的值（用含的式子表示）。 图D3 备用图   第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $相似三角形判定中的条件转化与证明 解析版 相似三角形判定中的条件转化与证明 2026—2027学年苏科版九年级下册第7章 图形的相似 解析版 内容导航 知识梳理 1 题型1 由余角和角的和差得到等角 2 题型2 共顶点图形中的角差与比例重组 5 题型3 添加平行线处理角平分线条件 8 A组 基础通关 11 B组 难点突破 13 C组 方法进阶 15 D组 中考真题精选 19 姓名：________________ 班级：________________ 知识梳理 两角对应相等 有两组角对应相等的两个三角形相似。先写等角，再确定顶点对应顺序。图中未直接给出的等角，常由余角、补角、角的和差、角平分线或特殊图形的性质得到。 两边成比例及夹角相等 若，且，则。这里是的夹角，是的夹角。 三边对应成比例 若，则。列比例前，应先依据题意确定对应边。 从条件走向结论 证明线段的积相等，可先把目标写成比例，再寻找包含这些线段的三角形。证明垂直或角平分线，可先尝试证明相似，利用对应角相等完成最后一步。 辅助线的作用 平行线既能提供等角，也能产生相似。当已有角平分线时，平行线还常能构造等腰三角形，用相等边替换辅助线段。 题型1 由余角和角的和差得到等角 【要点1】两个角与同一个角互余，这两个角相等。图中出现两个直角时，先确定两个直角各被哪些角分开，再寻找相等的锐角。 【要点2】三点共线时，相邻角的和为。把平角中的角与三角形内角和联系起来，也能得到判定相似所需的等角。 【要点3】判定相似后，按已证明的等角确定对应顺序。直角顶点对应直角顶点，不能仅凭图形朝向配边。 【解题要领】先标出已知等角，再用余角或角的和差补出另一组等角，最后列对应边的比例。 典例精讲 例1 如图，点依次在同一直线上，在直线的同侧，，，。 （1）求证：； （2）若，，，求。 图1 解 （1），，所以。 由，得。又，故。 故。 （2）由相似得，即，解得。 【易错提醒】两个三角形都有直角，并不能直接判定相似；还要找到一组相等的锐角。 题型1 递进练习 变式1-1 如图，点依次在同一直线上，在直线的同侧，射线在内部，且。 （1）求证：； （2）若，，，求。 图1-1 解 （1）因为共线，所以。 。又，故。 结合，得。因此，即。 （2），所以。 变式1-2 如图，点依次在同一直线上，在直线的同侧，，。已知，，，。求证：。 图1-2 解 由已知得，，且。 所以，从而。 ，故。 由共线，得，即。 题型1 递进练习 变式1-3 如图，点依次在同一直线上，分别位于直线的两侧，，，。已知，，，求的长。 图1-3 解 。由及共线，得。又，所以。 因此，有。 设，则，所以，即。 因，故。 题型2 共顶点图形中的角差与比例重组 【要点1】若两组角相等，且各减去同一个角，所得的角仍相等。共顶点的多个三角形中，要分清已知角与待证相似三角形的夹角。 【要点2】由可得，进而得到。证明另一组相似时，常需要重新组合比例。 【要点3】用两边成比例及其夹角相等判定相似时，夹角必须由所列的两条边组成。所得相似还可继续提供等角和比例，用于下一组证明。 【解题要领】看清射线顺序，先转化夹角，再把已有比例改写成目标三角形中的两边比例。 典例精讲 例2 如图，小于。在内，从射线转向射线时，依次经过射线。，，，，。 （1）求证：； （2）若，求。 图2 解 （1）由，两边都减去，得。 ，，所以。 （2）由相似得，即，解得。 【易错提醒】不能把非夹角当作夹角；也不能保持原来的比例顺序，却直接写出另一组对应关系。 题型2 递进练习 变式2-1 如图，小于。在内，从射线转向射线时，依次经过射线。。已知，，。 （1）求证：； （2）求的长。 图2-1 解 （1）由，得，。 将比例化为，再得。 由等角减去公共的，得。因此。 （2），所以。 变式2-2 如图，，，射线位于内部，射线位于内部。，，，，。直线分别与线段交于点。 求证：。 图2-2 解 由，得。又，所以。 因此。在直角三角形中，。 ，，所以在中，。 故。 题型2 递进练习 变式2-3 如图，小于。在内，从射线转向射线时，依次经过射线。，。点分别为的中点。 （1）求证：； （2）求证：。 图2-3 解 （1）由角的差得，结合，得。 所以，。由中点得，故。 （2）由（1）得，。 射线在内，射线在内。因此。 因此。 题型3 添加平行线处理角平分线条件 【要点1】角平分线给出一组等角。添加与三角形一边平行的直线，能把这组等角转移到另一个三角形中，常可得到等腰三角形。 【要点2】构造出等腰三角形后，用相等的边替换比例中的辅助线段，再把结论转回原三角形。 【要点3】点在边上还是延长线上，会改变线段的和差关系。建立比例前，应先明确各点的顺序。 【解题要领】从角平分线出发补一条平行线，先证等腰，再证相似，最后代换辅助线段。 典例精讲 例3 如图，在中，平分，点在边上。 （1）求证：； （2）若，，，求的长。 图3 解 （1）过点作，交射线于点。 平分，故。由得，因此。 由及对顶角相等，得，所以。 （2）设，则。由（1）得，解得。故。 【易错提醒】辅助点的位置必须与图形相符。不能只写一条平行线，就直接引用尚未证明的角平分线分边比例。 题型3 递进练习 变式3-1 如图，在中，，，点在边上，，。求证：平分。 图3-1 解 过点作，交射线于点，则。 由及，得。 所以。又，所以。 故，即平分。 变式3-2 如图，在中，，，。延长至点，的平分线交的延长线于点。 （1）求证：； （2）求的长。 图3-2 解 （1）过点作，交直线于点。此时在线段上。 由平分，得。由，得；由对顶角相等，得。 所以，从而。又，所以。 （2）设，则。有，解得。故。 题型3 递进练习 变式3-3 如图，的三条内角平分线交于点，射线交于点。过点作，分别交于点。 （1）求证：，； （2）求证：； （3）若，，，求。 图3-3 解 （1）平分，且，所以，故。同理，。 （2）由（1）得。 由，得，。设，则。 所以，，。代入，得。 因此。 （3）。 【A组·基础通关】 A1 如图，点依次在同一直线上，，，。若，，，则________。 图A1 解 由余角相等可得，故。 ，所以。 A2 如图，小于。在内，从射线转向射线时，依次经过射线。，，，，，。求及。 图A2 解 。同理，。 ，故。因此。 【A组·基础通关】 A3 如图，在中，，平分，点在边上。 若，，求的长。 图A3 解 由已知得，且，所以。 ，即，所以。 A4 如图，在中，平分，点在边上。 已知，，，求的长。 图A4 解 过点作，交的延长线于点。 因为平分，且，所以，得。 由及对顶角相等，得，所以。 代入得，解得，故。 【B组·难点突破】 B1 如图，在矩形中，，。点在边上，。 过点作，交边于点。求和的长。 图B1 解 。又，，故。 故，有。 ，所以，。 B2 如图，是边长为的等边三角形，点在边上，，点在边上，。 （1）求证：； （2）求的长。 图B2 解 （1）等边三角形中，。 在中，。 所以。 又，故。 （2）。由相似得，即，所以。 【B组·难点突破】 B3 如图，小于。在内，从射线转向射线时，依次经过射线。。点分别在线段上，且均不与端点重合，。求证：。 图B3 解 由，得，，所以。 由角差得，故。因此，。 又，所以，得。 设上述比值为，则，，所以。 故。 B4 如图，在中，，，平分，点在边上。过点作，交于点。 （1）求证：； （2）求的长。 图B4 解 （1）由平分及，得，所以。 （2）设，则。由，得。 所以，即，解得。故。 【C组·方法进阶】 C1 如图，在矩形中，，，点在边上，。点在边上运动，且满足。求所有符合条件的的长。 图C1 解 设，则，且。由余角相等得。 所以，即，得，解得或。 当或时，均有，结合，可得，进而，所以。 两值都满足，故或。 C2 如图，在中，平分，点在边上。延长至点，的平分线交的延长线于点。已知，，求的长及。 图C2 解 过点作与平行的直线，交的延长线于点，交直线于点，此时在线段上。 由平分及，得，所以。 又，故。 由平分、及共线，得，所以。 又，故。 设，则，。所以，解得。 于是。故，。 【C组·方法进阶】 C3 如图，在中，点在边上，平分。延长至点，使。 （1）求证：； （2）求证：。 图C3 解 （1）因为，，所以，得。 又平分，所以。由共线，得。 因此，有，故。 （2）由，得，所以。 又，由（1）得。 所以。 C4 如图，在中，，。平分，交于点。 （1）求证：； （2）求的长。 图C4 解 （1）由及，得。平分，所以。 又，因此。 （2）在中，，所以。在中，，所以。 设，则。由相似得，即。 ，解得。因，故。 【D组·中考真题精选】 D1 （2026苏州中考第8题） 如图，在矩形中，，，是边上的动点（点在之间运动，不与重合），过作的垂线交边于点，则的最大值是 A．　　B．　　C．　　D． 图D1 解 设，则。由余角相等得，所以，即。 因此。 当时，，点均在相应边上，故最大值为，选C。 D2 （2026上海中考第22题） 如图，菱形中，是线段上的点，联结交对角线于点，且。 （1）如果，求证：； （2）如果的角平分线交于点，求证：。 图D2 解 （1）菱形中，，所以。结合，得，故。 于是。由及对顶角相等，得，所以。 又，故。 （2）设。菱形的对角线平分，所以。 又，由三角形外角定理得。 平分，所以。故，有。 因此。再由，得。 【D组·中考真题精选】 D3 （2025武汉中考第23题） 如图，四边形是正方形，点在边上，点在边的延长线上，，射线交对角线于点，交线段于点。 （1）求证：。（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明） （2）求证：； （3）若，直接写出的值（用含的式子表示）。 图D3 备用图 解 （1），，且。 所以，得，。 正方形的对角线平分顶角，故。因此，，从而，得。 （2）由，得，所以。 由（1）得，又，所以，得。 因此。再由，得。 （3）。 设，则，，。由（2）得。 所以，又，故。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $