反比例函数中的相似三角形 相似专题复习讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学下册

苏科九下第7章 反比例函数中的相似三角形 解析版 反比例函数中的相似三角形 相似专题复习讲义 2026—2027学年 苏科版九年级数学下册第7章 解析版 目录导航 知识与方法 2 题型1 梯形交点与双曲线系数的联动 6 题型2 斜边垂足与曲线交点的筛选 9 题型3 斜向相似中的坐标联动 12 题型4 含参截距三角形中的对应分类 15 A组 基础识别 18 B组 条件综合 20 C组 分类与边界 23 D组 中考真题 26 姓名：________________ 班级：________________ 知识与方法 1 梯形交点与双曲线系数的联动 平行关系先确定相似。设梯形中与交于则所以对应边为与与与 若则但在上靠近哪一端应由分段比判断：不是 设的横坐标为过作轴的垂线，由辅助直角三角形相似，得到这里纵坐标是“点到轴的距离”，不能误写成梯形上部的小高。 点若同在上，应同时满足和若分属两条双曲线，则应分别代入各自的系数。相似条件与乘积条件缺一不可。 面积比辨析：与相似，它们的面积比是而与同底等高，面积相等。这两种依据不能混用。 易错提醒：只知道不能把梯形看成矩形；只知道两点同在双曲线上，也不能断言由它们构成的任意两个三角形相似。 图知1 推导一遍，再决定是否能用：若同在一条曲线上，约去有故于是这里用到了“同一条曲线”，分属两条曲线时必须重列乘积条件。 几何范围不能丢：时，上式给若还需反求时出现负根，应依据线段比为正舍去，不是根据图形外观舍去。 2 斜边垂足与曲线交点的筛选 当且时，与两坐标轴所成的锐角都是°。在线段内部，可设这个设法同时记录了和垂足的范围。 若且给定应按对应对应对应配边。因直角在得到不能因两个三角形都直角就直接认定相似。 设则由°辅助直角三角形，到的横、纵变化量的绝对值均为在下方时两坐标同时减小，上方时同时增大。 由此得到下方上方这两个式子由长度和方向推出，不是直线垂直的高中公式。每一道题应重新根据给定比确定λ。 把代入后，一般得到关于的二次方程。筛选必须同时看及点在哪一侧。若要求在内部，还要排除上方分支。 易错提醒：垂足在直线上与在线段内部不同；或是端点，不能混入内部解。相似顺序改变后，λ可能变成它的倒数。 图知2 以且在下方为例，可得消去得到相似条件实际上把限制在这条斜线的一段上，双曲线与该线段的交点才是所求点。 求出方程根后的检查顺序：先看是否在所需象限，再看最后看在哪一侧。若只保留方程而删掉这些不等式，常会多出端点、另一侧或坐标轴上的解。 3 斜向相似中的坐标联动 相似条件写明顺序后，对应顶点已经确定，但第三点仍可能出现在对应边的两侧。边长比例不能区分这两种朝向，解题时要保留两类，再根据象限筛选。 设则若按顺序可得直角边平方或两点距离的平方均可直接由勾股定理写出。 设比例平方后得到两式相减，可先消去得到一次关系 将一次关系代回，可求出的两类坐标。此法只用勾股定理和相似性质，不需要旋转矩阵、向量或三角函数加法公式。平方后的候选点最后应以三边成比例检验相似。 当各在一条双曲线上时，必须同时满足两个坐标乘积条件。同一可能对应两个两组三角形虽然各自相似，由构成的三角形面积却未必相同。 易错提醒：中的对应不是对应图上的线段相交并不说明交点是中点；象限条件也是题设的一部分，不能最后遗漏。 图知3 把代回可得所以或两种结果分别给图知示意同一个对应的两个朝向，此时尚未加入在某条双曲线上的限制。 检验时不用再次测角：若三组对应边平方比均为则对应边长度比均为三边对应成比例 即可保证相似。面积或共线条件涉及另一个三角形时，应单独检验，不能把它的退化等同于题设三角形退化。 4 含参截距三角形中的对应分类 本题型中，直线 与两轴交于独立参考三角形满足°、参考三角形与的形状不同，不能把它们的边比混用。 若顺序已说明直角在且若只说以为顶点的三角形与相似，就必须进一步判断作直角边还是斜边。 当直角在时，与坐标轴成°，在第一象限，设可写由勾股定理得直角在时，同理可设 作直角边时，另一条直角边与之比为或所以或这里须同时考虑直角顶点和两条直角边的对应。 作斜边时，直角在由及参考直角边平方比得分别为和或互换。把距离平方相减，先求再相加建立关于的二次方程，最后筛掉非第一象限的点。 易错提醒：给定点不一定符合相似条件；同一个也可能对应两个不同的点题目问点的个数、参数值个数或有序点对组数时，要分别计数，不能直接数分类条数。 图知4 作直角边时，第一象限的候选共有四类：它们是相似条件允许的位置，还未必在给定双曲线上。 作斜边时，第一象限候选为其余两支有负坐标，应剔除。两种角色合起来共六类候选，再分别代入可以防止漏掉直角在的情形。 题型1 梯形交点与双曲线系数的联动 例1 如图在平面直角坐标系中，梯形的顶点在轴正半轴上，在第一象限，与交于已知梯形的面积为点在 的图象上，点在 的图象上。 （求 （求及点的坐标。 图1 解 （由得故 （设由梯形面积得所以又作坐标轴的平行线可得 在上，故在另一条曲线上，故代入得解得因此两点的坐标均为正，且的坐标乘积为检验成立。 方法小结：几何条件先确定高和分点比例；两条双曲线的系数不同，不能把的坐标乘积直接写成相等。 变式1-1 如图梯形中，在轴正半轴上，在第一象限，与交于点都在 的图象上。已知的面积为的面积为求 图1-1 解 面积比为故设高为则到的距离为故得到 由同在一条双曲线上，整理得于是 检验面积：与题设一致。 变式1-2 如图梯形中，在轴正半轴上，在第一象限，与交于反比例函数 的图象经过若梯形的面积为求 图1-2 解 设高为由得由两点坐标乘积相等，得 所以而消去得整理为即舍去故 方法小结：这次未知的是边比本身。不能先按图猜比例；方程产生的负比例没有几何意义。 变式1-3 如图梯形中，与交于在第一象限，在轴正半轴上。都在 的图象上，梯形的面积为 （设求关于的表达式； （求证： 图1-3 解 （设高为横坐标为仍由相似及乘积相等得所以故其中 （因得又所以综上 下界等号要求与不符；上界等号要求与矛盾。每一个实际梯形都不取等号，不能把趋近的界限当成可取值。 题型2 斜边垂足与曲线交点的筛选 例2 如图在平面直角坐标系中，在 的图象上，且位于内部。作垂足为另有°，若求的坐标。 图2 解 由相似顺序得设则在下方，横、纵坐标都比减小所以 在第一象限，故由在双曲线上，得即解得或得到或 两点坐标均为正且垂足均在内部；对应直角边比为故均满足条件。 方法小结：先确定垂足而不是直接设可把“垂直、相似、曲线”三个条件合成一个未知数。 变式2-1 如图在 的图象上。作垂足在线段内部。中，°，若求的所有坐标。 图2-1 解 设相似仍给但可能在两侧。 ①与在同侧：由得或得到 ②与在异侧：代入得仅在内，得到 三点坐标均为正，三角形均不退化。因此共有上述三个点。 变式2-2 如图在 的图象上。作垂足在线段内部。中，°，若以为顶点的三角形与相似，求的所有坐标。 图2-2 解 两个直角分别在所以可能为或 ①时，按两侧分类，得到 ②时，仍设则若在下方，则纵坐标为负，舍去；若在上方，则由得只有在内，得到 故共有四点。每点均满足曲线条件，且直角边比为或不能只交换字母而忽略仍在第一象限。 变式2-3 如图在 的图象上，且位于内部。作垂足为中，°，且讨论符合条件的点的个数，并求只有一个点时的坐标。 图2-3 解 由几何条件得代入曲线，得 当时，方程有关于对称的两根，且均在内，所以有个点；时只有时没有实根，所以没有点。 区间两端对应且会使落在坐标轴上，不属于题设。这里必须结合的范围，不能仅凭判别式大于零就断言几何上有两个点。 题型3 斜向相似中的坐标联动 例3 如图点在轴上，点在的第四象限图象上。若求所有符合条件的的坐标。 图3 解 设由相似得利用勾股定理，得 两式相减，得把代回第一式，整理为所以为或 第二类若在第四象限，需同时和不可能。第一类要求由得即 因此或两组点均符合点域，且由可验证相似。 方法小结：象限排除了整类朝向，但不能在列式以前只凭示意图舍去这一类。 变式3-1 如图在轴上，在的第四象限图象上，其中若讨论符合条件的有序点对的组数，并求只有一组时点的坐标。 图3-1 解 设由几何关系可得或第四象限只允许第一类，并要求 代入曲线，得在内，最小值于取到，两端对应的不取到。 所以时有组；时有组，为时无解。 这三个区间已覆盖不能额外加入时坐标轴上的退化点。 变式3-2 如图在轴上，在反比例函数的图象上。若求所有符合条件的点的坐标。 图3-2 解 设由相似和勾股定理，与例相同可得或 第一类代入得或得到和 第二类代入得即解得故另有以及 因为后两组均在第二象限。四组对应边平方比均为三角形不退化，故共有组。 变式3-3 如图为原点，点在的第一象限图象上，点在的第一象限图象上。若求的所有坐标，并分别求的面积。 图3-3 解 设四个坐标均为正。由相似得两式相减得代回得 因此为或且又故由得进而 所以或对应边平方比均为故两组都满足相似。 求面积时作水平、竖直辅助线。时，外接轴向矩形面积为减去三个角上的直角三角形，得时，外接矩形面积为减去三角形得两种朝向的面积不同。 题型4 含参截距三角形中的对应分类 例4 如图直线 分别与轴、轴交于点在 的图象上。中，°，若求的值、点的坐标及的面积。 图4 解 由对应顺序知°， 过作轴向辅助线，由及°关系可设且故 由在上，得所以此时的面积为 方法小结：相似先固定形状，曲线条件再确定大小；参考三角形的边不能直接当成的长度。 变式4-1 如图直线 与两轴交于点在 的图象上。中，°，若是的一条直角边，且以为顶点的三角形与相似，求所有符合条件的的值及点的坐标。 图4-1 解 因为是一条直角边，直角只能在或且另一条直角边与之比为或 ①直角在设若则代入得若则得所以 ②直角在设若得若得 四组均在第一象限，直角边比均为或且坐标乘积为故只有个不同值，但有序对有组。 变式4-2 如图直线 与两轴交于点在 的图象上。中，°，若是的斜边，且以为顶点的三角形与相似，求所有符合条件的的值及点的坐标。 图4-2 解 直角在设由直角边平方比为或互换。 先取两式相减得所以两式相加得令则解得或 前者给后者给纵坐标为负，舍去。两条直角边互换时，同理只保留 由得因此为或回代且直角边平方比为两点都符合要求。 变式4-3 如图在 的图象上。中，°，若以为顶点的三角形与相似，讨论符合条件的点的个数，并写出存在时的坐标。 图4-3 解 本题固定可以是直角边，也可以是斜边。先在平面内列出全部第一象限候选。 ①直角在或坐标乘积分别为 ②直角在或坐标乘积分别为 ③直角在或坐标乘积均为其余两支候选不在第一象限。 所以时有点时有点时有点其余正数无解。 三类按直角顶点划分，覆盖所有可能。参数变化并不是点数连续变化，只有上述三个系数能通过相似候选点。 A组 基础识别 A1 如图在反比例函数 的图象上。分别作轴、轴，垂足为与＿＿＿＿（填“相似”或“不相似”）。 图A1 解 两三角形都是直角三角形，但的两直角边之比为为无论保持还是交换对应，比例都不相等，所以不相似。 同在一条双曲线上只给即两个投影三角形面积相等，不能推出相似。 A2 如图梯形中，与交于在 的图象上，在第一象限，在轴正半轴上。求的面积。 图A2 解 设高为横坐标为相似得同曲线条件给故由得 到的距离为所以 A3 如图在 的图象上。作垂足为中，°，证明与相似，并按正确的对应顺序写出相似关系。 图A3 解 与两坐标轴成°，过的垂线横、纵变化量相等。故且°。 由两边成比例且夹角相等，得不能写成否则会把写成 A4 如图在 的图象上。中，°，的直角顶点为点＿＿＿＿。按正确的对应顺序写出与的相似关系。 图A4 解 故由勾股定理逆定理知°。又所以 直角在而不在不能因在第一象限就沿用例的对应顺序。 B组 条件综合 B1 如图梯形中，在轴正半轴上，在第一象限，与交于点都在 的图象上。若的面积为求 图B1 解 设高为同曲线与相似条件给又与以为底，它们从到直线的高相同，所以 于是而故 这里两小三角形不靠相似求面积比，依据是同高的底边比。 B2 如图反比例函数 的图象上有两个不同点它们均在内部。分别作垂足为且 （求线段的中点坐标； （若求 图B2 解 （设由垂直、边比及°辅助三角形，两个点都满足因此 又故整理为不同且都在同一直线上，所以得到进而故中点恒为 （由得作水平、竖直辅助线，用勾股定理得所以结合横坐标和为可得两个横坐标为纵坐标分别为 因此两个点均为正坐标且所作垂足在线段内部，均满足题意。 B3 如图为原点，点在的第一象限图象上，且点在反比例函数的第四象限图象上。若求及的坐标。 图B3 解 设由相似与勾股定理，为或第四象限只能取第二类，且 由在曲线上及得于是因为正且所以解得 故两点满足各自图象及象限要求，对应三边平方比均为故相似成立。 B4 如图直线与两轴交于点在 的图象上，且的横坐标大于纵坐标。中，°，若是的直角边，且以为顶点的三角形与相似，求的值及点的坐标。 图B4 解 直角在时，的横坐标小于纵坐标，与题设不符。因此直角在 直角边比为故或前者给所以后者给所以舍去。 故唯一答案为先用坐标大小排除一半分类，再用的范围筛选，解法比把四组全部列完更直接。 C组 分类与边界 C1 如图梯形中，在轴正半轴上，在第一象限，梯形面积为与交于点在 上，点在 上，其中 （用表示 （求使这样的梯形存在的的取值范围。 图C1 解 （高为设则由在第二条曲线上，得整理为于是 （因为在第一象限，必须即反过来，任取以上公式给便可构成满足所有条件的梯形，因此该条件充分且必要。 时等式变为不存在有限的点时与第一象限矛盾。故边界不能取。 C2 如图在 的图象上。作垂足在线段内部。中，°，以为顶点的三角形与相似。记符合条件的点的个数为讨论与的关系。 图C2 解 设分和两类，并分上下两侧。 ①比为在下方：第一象限要求故当时点，时点，时点。 ②比为在上方：时，从严格增加到但不取两端，故时点，其他无点。 ③比为在下方：纵坐标负，整类舍去。 ④比为在上方：时，与都严格增加，故时点，其他无点。 各类的点互不重合，合并得：时时时时时 对应某类垂足为不在线段内部，所以要排除，不能把这两个端点按闭区间处理。 C3 如图为原点，在的第一象限图象上，在的第一象限图象上，其中且 （是否存在使三点共线？若存在，求 （在该值下，同一个还对应另一个符合条件的点求此时的面积。 图C3 仅表示的两种可能位置。 解 设相似给或在第一象限，故曲线条件为 （若则的横坐标小于的横坐标、纵坐标却更大，二者不可能在第一象限同一射线上。若共线的充要条件是即因此存在，且 此时所以二者均为正且确有故不是只有必要条件。 （另一个点为用外接矩形割补：矩形面积为三个角上直角三角形的面积分别为因此 共线时只使退化，题设相似的仍不退化，因此不能擅自删去第（问的解。 D组 中考真题 D1 （2026江苏无锡中考第27题）如图点在反比例函数 的图象上，过分别作轴、轴的平行线，与反比例函数 的图象相交于点过作轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点 其中为常数，且 （若点则＿＿＿＿。 （若点的横坐标为且求与之间的数量关系。 （延长相交于点当点在函数图象上运动时，的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。 图D1 解 （在左侧，且故 （于是 由得所以约去非零的得 （是定值。本问重新运动，横坐标不再固定为设则因此 由得设到的距离为则解得 所以到的距离为与无关。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科九下第7章反比例函数中的相似三角形 学生版 反比例函数中的相似三角形 相似专题复习讲义2026一2027学年 苏科版九年级数学下册第7章学生版 目录导航 知识与方法 2 题型1梯形交点与双曲线系数的联动 6 题型2斜边垂足与曲线交点的筛选 9 题型3斜向相似中的坐标联动 12 题型4含参截距三角形中的对应分类 15 A组基础识别 18 B组条件综合 20 C组分类与边界 23 D组中考真题 26 姓名： 班级： 第1页共27页 苏科九下第7章反比例函数中的相似三角形 学生版 知识与方法 1梯形交点与双曲线系数的联动 平行关系先确定相似。设梯形AOBC中AC‖OB,AB与OC交于E,则 ∠EAC=∠EBO、∠ECA=∠EOB,所以△EAC一△EBO。对应边为AC与BO、EA与 EB、EC与EO。 若OB:AC=r:1,则AE:EB=CE:EO=1:r。但E在OC上靠近哪一端应由分段比判断： OE:OC=r:(r+1),不是1：(r+1)。 设AC=c,A(p,h),OB=c。C的横坐标为p+c。过E、C作x轴的垂线，由辅助直角 三角形相似，得到ED+,h)。这里纵坐标是点到×轴的距离，不能误写成梯形 r+1’r+1 上部的小高。 点A、E若同在y=k上，应同时满足ph=k和xEyE=k:若分属两条双曲线，则应分别代 X 入各自的系数。相似条件与乘积条件缺一不可。 面积比辨析：△EAC与△EBO相似，它们的面积比是AC2:OB;而△AOB与△COB同底 等高，面积相等。这两种依据不能混用。 易错提醒：只知道ACOB,不能把梯形看成矩形；只知道两点同在双曲线上，也不能断 言由它们构成的任意两个三角形相似。 图知1 哥一遍，再决定是否能用：若A、E同在一条曲线上，约去h>0,有D19, (2r+1)p=rc。于是k=ch 2r+1 。这里用到了“同一条曲线”，分属两条曲线时必须重列乘 积条件。 第2页共27页 苏科九下第7章反比例函数中的相似三角形 学生版 几何范围不能丢：c>0、h>0、r>0时，上式给p>0。若OB>AC,还需r>1。反求r时 出现负根，应依据线段比为正舍去，不是根据图形外观舍去。 第3页共27页 苏科九下第7章反比例函数中的相似三角形 学生版 2斜边垂足与曲线交点的筛选 当B(a,0)、C0,a),且a>0时，BC与两坐标轴所成的锐角都是45°。H在线段BC内 部，可设H(a-au,au),0<u<1。这个设法同时记录了BH:BC=u:1和垂足的范围。 若PH⊥BC,且给定△BHP一△DEF,应按B对应D、H对应E、P对应F配边。因直角 在丑、E,得到能=。不能因两个三角形都直角就直接认定相位 I-2u.设弼-，A0,则P-71au.由45辅助直角三角形，H到r的横、纵 变化量的绝对值均为入au。P在BC下方时两坐标同时减小，上方时同时增大。 由此得到下方P(a-(1+入)au,1-入)au)，上方P(a+(入-1)au,(1+入)au)。这两个式子由长 度和方向推出，不是直线垂直的高中公式。每一道题应重新根据给定比确定入。 把P代入y=k后，一般得到关于u的二次方程。筛选必须同时看x>0、y>0、0<u<1及 点在BC哪一侧。若要求P在△OBC内部，还要排除上方分支。 易错提醒：垂足在直线BC上与在线段BC内部不同；山=0或u=1是端点，不能混入内部 解。相似顺序改变后，入可能变成它的倒数。 D B x 图知2 以a=4、册号且P在下方为例，可得P(4-6u,2u。消去，得到x43y=4.相似条件 实际上把P限制在这条斜线的一段上，双曲线与该线段的交点才是所求点。 求出方程根后的检查顺序：先看P是否在所需象限，再看0<u<1，最后看P在BC哪一 侧。若只保留方程而删掉这些不等式，常会多出端点、另一侧或坐标轴上的解。 第4页共27页 苏科九下第7章反比例函数中的相似三角形 学生版 3斜向相似中的坐标联动 相似条件写明顺序后，对应顶点已经确定，但第三点仍可能出现在对应边的两侧。边长 比例不能区分这两种朝向，解题时要保留两类，再根据象限筛选。 设S0,4)、U(2,4)、V(2,6),则SU=2、SV=2V2。若△SUP一△SVQ,按顺序可得 是器-光-夜。直角边平方或两点距离的平方均可直接由勾股定理写出。 设P(t,0)、Q(r,s)。比例平方后得到r2+(s-42=2(t+16), (r-22+(s-6=2[(t-22+16]。两式湘减，可先消去r2、s2、t2,得到一次关系 r+S=2t+4。 将一次关系代回，可求出Q的两类坐标。此法只用勾股定理和相似性质，不需要旋转矩 阵、向量或三角函数加法公式。平方后的侯选点最后应以三边成比例检验相似。 当P、Q各在一条双曲线上时，必须同时满足两个坐标乘积条件。同一P可能对应两个 Q;两组三角形虽然各自相似，由O、P、Q构成的三角形面积却未必相同。 易错提醒：△SUP一△SVQ中的U对应V,不是S对应V。图上的线段相交并不说明交点 是中点；象限条件也是题设的一部分，不能最后遗漏。 图知3 把r+s=2t+4代回SQ=2SP2,可得2(r-t2=32,所以r=t+4或t-4。两种结果分别给 Q(t+4,t)、Q(t-4,t+8),图知3示意同一个P对应的两个朝向，此时尚未加入Q在某条 双曲线上的限制。 检验时不用再次测角：若三组对应边平方比均为2，则对应边长度比均为2，三边对应 成比例(SSS)即可保证相似。面积或共线条件涉及另一个三角形时，应单独检验，不能把 它的退化等同于题设三角形退化。 第5页共27页 苏科九下第7章反比例函数中的相似三角形 学生版 4含参截距三角形中的对应分类 本题型中，直线l:y=-x+m(m>0)与两轴交于A(m,0)、B(0,m)。独立参考三角形DEF 满足∠DEF=90°、DE=2、EF=1。参考三角形与△AOB的形状不同，不能把它们的边 比混用。 若△BAM一△DEF,顺序已说明直角在A,且AB:AM=2:1。若只说以A、B、M为顶 点的三角形与△DEF相似，就必须进一步判断AB作直角边还是斜边。 当直角在A时，AM⊥AB。AB与坐标轴成45°，M在第一象限，设t>0,可写 M(m+t,t);由勾股定理得AB=V2m、AM=2t。直角在B时，同理可设M(t,m+t)。 AB作直角边时，另一条直角边与AB之比为1：2或2：1，所以=受或=2m。这里须同时 考虑直角顶点和两条直角边的对应。 AB作斜边时，直角在M。由AB=2m及参考直角边平方比1：4，得AM、BM分别为 和8四，或互换。把距离平方相流，先求xy:再相加建立关于x+y的=次方程， 最后筛掉非第一象限的点。 易错提醒：给定点M不一定符合相似条件；同一个也可能对应两个不同的点M。题目 问点的个数、参数值个数或有序点对组数时，要分别计数，不能直接数分类条数。 B M 图知4 AB作直角边时，第一象限的候选共有四类：M3受、M3m,2m、M受，3、 2,2 M(2m,3m)。它们是相似条件允许的位置，还未必在给定双曲线上。 AB作斜边时。第一桌限候选为M1,、M口，口。其余两支有负坐标，应别 5,5 除。两种角色合起来共六类候选，再分别代入y=k，可以防止漏掉直角在M的情形。 第6页共27页 苏科九下第7章反比例函数中的相似三角形 学生版 题型1梯形交点与双曲线系数的联动 例1如图1，在平面直角坐标系xOy中，梯形AOBC的顶点B在x轴正半轴上，A、C在 第一象限，AC‖OB,AB与OC交于E。已知OB=4,AC=2,梯形AOBC的面积为18。 点A在y套(X0的图象上，点E在y袋x>0的图象上。 (1)求AE:EB; (2)求k及点E的坐标。 B x 图1 思考路线先用平行线得分段比，再用投影把E坐标写出，最后把两个点分别代入曲线。 解答： 第7页共27页 苏科九下第7章反比例函数中的相似三角形 学生版 变式1-1如图1-1，梯形AOBC中，B在x轴正半轴上，A、C在第一象限，AC‖OB, AB与OC交于E。点A、E都在y=长(x>0的图象上。已知△EAC的面积为2，△EB0 的面积为8。求k。 图1-1 解答： 变式1-2如图1-2，梯形AOBC中，B在x轴正半轴上，A、C在第一象限，AC‖OB, AB与OC交于E。反比例函数y是（x>0,的图象经过A、E.若梯形A0BC的面织为 15,求OB:AC。 图1-2 解答： 第8页共27页 苏科九下第7章反比例函数中的相似三角形 学生版 变式1-3如图1-3，梯形AOBC中，ACOB,OB>AC,AB与OC交于E,A、C在第 一象限，B在x轴正半轴上。A、E都在y-★〔k>0,×>0的图象上，梯形的面积为S。 (1)设OB:AC=r:1,求关于r的表达式： 2)求证：k<s。 y B X 图1-3 解答： 第9页共27页 苏科九下第7章反比例函数中的相似三角形 学生版 题型2斜边垂足与曲线交点的筛选 例2如图2，在平面直角坐标系x0y中，B(4,0,C(0,4)。P在y-文(x>0)的图象上， 且位于△OBC内部。作PH⊥BC,垂足为H。另有Rt△DEF,∠DEF=90°，DE=2, EF=1。若△BHP一△DEF,求P的坐标。 D H B 图2 思考路线用“表示垂足，再把相似边比转成横纵变化量；联立曲线后逐个检查区域。 解答： 第10页共27页 苏科九下第7章反比例函数中的相似三角形 学生版 变式2-1如图2-1，B(4,0,C(0,4),P在y=(x>0的图象上。作PH1BC,垂足H 在线段BC内部。Rt△DEF中，∠DEF=90°，DE=2,EF=1。若△BHP一△DEF,求P 的所有坐标。 , 局部放大 图2-1 解答： 变式2-2如图2-2，B(4,0),C(0,4),P在y=(x>0的图象上。作PH⊥BC,垂足H 在线段BC内部。Rt△DEF中，∠DEF=9O°，DE=2,EF=1。若以B、H、P为顶点的 三角形与△DEF相似，求P的所有坐标。 局部放大 0 图2-2 解答： 第11页共27页 苏科九下第7章反比例函数中的相似三角形 学生版 变式2-3如图2-3，B(4,0,C(0,4)。P在y=k(k>0,x>0的图象上，且位于△0BC 内部。作PH⊥BC,垂足为H。Rt△DEF中，∠DEF=90°，DE=2,EF=1,且 △BHP一△DEF。讨论符合条件的点P的个数，并求只有一个点时P的坐标。 C H B 图2-3 解答： 第12页共27页 苏科九下第7章反比例函数中的相似三角形 学生版 题型3斜向相似中的坐标联动 例3如图3，S04),U24),V2,6).点P在x轴上，点Q在y=的第四象限图象 上。若△SUP一△SVQ,求所有符合条件的P、Q的坐标。 Q 图3 思考路线按顺序列两组边长平方比，相减消去平方项，保留两种朝向，再用曲线和点域筛选。 解答： 第13页共27页 苏科九下第7章反比例函数中的相似三角形 学生版 变式3-1如图3-1，S(0,4)，U(2,4),V(2,6),P在x轴上，Q在y=的第四象限图象 上，其中k<0。若△SUP一△SVQ,讨论符合条件的有序点对(P,Q)的组数，并求只有一 组时点P、Q的坐标。 图3-1 解答： 变式3-2如图3-2，S0,4),U(24,V2,6,P在×轴上，Q在反此例函数y=是的图 象上。若△SUP一△SVQ,求所有符合条件的点P、Q的坐标。 图3-2 解答： 第14页共27页 苏科九下第7章反比例函数中的相似三角形 学生版 变式3-3如图3-3,0为原点，A(1,0,B(1,1)。点P在y=的第一象限图象上，点Q 在y=的第一象限图象上。若△OAP-△OBQ,求P、Q的所有坐标，并分别求△OPQ 的面积。 y Q B 图3-3 解答： 第15页共27页 苏科九下第7章反比例函数中的相似三角形 学生版 题型4含参截距三角形中的对应分类 例4如图4，直线l:y=x+m(m>0分别与x轴、y轴交于A、B。点M在y=是(x>0) 的图象上。Rt△DEF中，∠DEF=90°，DE=2,EF=1。若△BAM一△DEF,求m的 值、点M的坐标及△ABM的面积。 B M A 图4 思考路线先按固定边AB的角色分类，再定直角顶点和直角边对应，最后代入y=k恢复尺度。 解答： 第16页共27页 苏科九下第7章反比例函数中的相似三角形 学生版 变式41如图4-1，直线1：y=X+m(m>0)与两轴交于A、B,点M在y=是(x>0的图 象上。Rt△DEF中，∠DEF=90°，DE=2,EF=1。若AB是△ABM的一条直角边，且以 A、B、M为顶点的三角形与△DEF相似，求所有符合条件的m的值及点M的坐标。 M 图4-1 解答： 变式42如图4-2，直线1：y=-x+m(m>0)与两轴交于A、B,点M在y=是(x≥0的图 象上。Rt△DEF中，∠DEF=90°，DE=2,EF=1。若AB是△ABM的斜边，且以A、 B、M为顶点的三角形与△DEF相似，求所有符合条件的m的值及点M的坐标。 y B D M A 图4-2 解答： 第17页共27页 苏科九下第7章反比例函数中的相似三角形 学生版 变式43如图4-3，A2,0,B(0,2,M在y=k(k>0,x>0)的图象上。R△DEF中， ∠DEF=90°，DE=2,EF=1。若以A、B、M为顶点的三角形与△DEF相似，讨论符合 条件的点M的个数，并写出存在时的坐标。 B D.T 1 M A 图43 解答： 第18页共27页 苏科九下第7章反比例函数中的相似三角形 学生版 A组基础识别 A1如图A1,A(2,8、B(44在反比例函数y=6(X0)的图象上。分别作AH⊥x 轴、BK⊥x轴，垂足为H、K。△OHA与△OKB(填相似”或不相似")。 y 图A1 解答： A2如图A2,梯形AOBC中，AC|OB,OB=2AC,AB与OC交于E。A、E在y= (x>0)的图象上，A、C在第一象限，B在x轴正半轴上。求△EAC的面积。 图A2 解答： 第19页共27页 苏科九下第7章反比例函数中的相似三角形 学生版 A3如图A3,B(60,C(06,P2,1)在y2(x0)的图象上。作PH1BC,垂足为 H。Rt△DEF中，∠DEF=90°，DE=3,EF=5。证明△BHP与△DEF相似，并按正确 的对应顺序写出相似关系。 为 D dE 3 H B 图A3 解答： A4如图A4,A20,B0,2),M1,3在y=是(x>0的图象上。R△DEF中， ∠DEF=90°，DE=2,EF=1。△ABM的直角顶点为点。 按正确的对应顺序写 出△ABM与△DEF的相似关系。 图A4 解答： 第20页共27页 苏科九下第7章反比例函数中的相似三角形 学生版 B组条件综合 B1如图B1,梯形AOBC中，B在x轴正半轴上，A、C在第一象限，AC‖OB, OB=2AC,AB与OC交于E。点A、E都在y=k(x0的图象上。若△OAE的面积为 9,求k。 B x 图B1 解答： 第21页共27页 苏科九下第7章反比例函数中的相似三角形 学生版 B2如图B2,B(40),C(0,4)。反比例函数y=长(k>0,x>0)的图象上有两个不同点 P1、P2,它们均在△OBC内部。分别作PH1⊥BC、P,H,⊥BC,垂足为H1、H,且 BH,=2P1H1,BH,=2P,H,。 (1)求线段P1P2的中点坐标； (2)若P1P2=10,求k。 Hi P H2 P2B 图B2 解答： 第22页共27页 苏科九下第7章反比例函数中的相似三角形 学生版 B3如图B3,0为原点，A(1,0,B(1,1。点P在y=的第一象限图象上，且 OP=而。点Q在反比例函数y-《的第四象限图象上。若AOAP-△OBQ,求k及P、Q 的坐标。 D 图B3 解答： B4如图B4,直线1：y=-X+m与两轴交于A、B,m≥1。点M在y=3(x>0)的图象上， 且M的横坐标大于纵坐标。Rt△DEF中，∠DEF=90°，DE=2,EF=1。若AB是 △ABM的直角边，且以A、B、M为顶点的三角形与△DEF相似，求m的值及点M的坐 标。 y M 图B4 解答： 第23页共27页 苏科九下第7章反比例函数中的相似三角形 学生版 C组分类与边界 C1如图C1,梯形AOBC中，B在x轴正半轴上，A、C在第一象限，AC‖OB, 0B=4,AC=2,梯形面积为18，AB与OC交于E。点A在y=女(x0)上，点E在y=败 (x>0)上，其中k>0,q>0。 (1)用q表示k; (2)求使这样的梯形存在的q的取值范围。 y B X 图C1 解答： 第24页共27页 苏科九下第7章反比例函数中的相似三角形 学生版 C2如图C2,B4,0,C0,4,P在y=k(k>0,x>0的图象上。作PH⊥BC,垂足H 在线段BC内部。Rt△DEF中，∠DEF=9O°，DE=2,EF=1。以B、H、P为顶点的三 角形与△DEF相似。记符合条件的点P的个数为N,讨论N与k的关系。 y H B X 图C2 解答： 第25页共27页 苏科九下第7章反比例函数中的相似三角形 学生版 C3如图C3,0为原点，A(1,0,B1,1)。P在y名的第一象限图象上，Q在y=的第 一象限图象上，其中k>0,且△OAP一△OBQ。 (1)是否存在k,使O、P、Q三点共线？若存在，求k; (2)在该k值下，同一个P还对应另一个符合条件的点Q。求此时△OPQ的面积。 y Q1 Q2 B A 图C3 Q1、Q,仅表示Q的两种可能位置。 解答： 第26页共27页 苏科九下第7章反比例函数中的相似三角形 学生版 D组中考真题 D1 (2026江苏无锡中考第27题)如图D1,点A在反比例函数y=k(X>0)的图象 上，过A分别作x轴、y轴的平行线，与反比例函数y=k(x>0的图象相交于点B、C, 过C作x轴的平行线，与反比例函数y的图象相交于点D。 其中k1、k2为常数，且k1>k2>0。 (1)若点A(3,5),，AB=2,则k2= (2)若点A的横坐标为2，且△ABC一△CAD,求k1与k2之间的数量关系。 (3)延长CB,DA相交于点P,当点A在函数图象上运动时，△PCD的面积是否为定 值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。 P A B y=k1/x y=k2/x D X 图D1 解答： 第27页共27页