圆的方程 课件-2027届高三数学一轮复习

圆的方程 2027年高考数学 · 一轮复习 1 【教学目标】 1. 掌握圆的标准方程与一般方程，理解圆心、半径的几何意义； 2. 能根据条件求出圆的方程（待定系数法）； 3. 了解圆与平面几何性质（如垂径定理）在解题中的作用。 【教学重点】 · 圆的标准方程与一般方程；由已知条件求圆的方程。 【教学难点】 · 圆的一般方程表示圆的充要条件（D²+E²-4F>0）；几何法求圆心与半径。 第48课时 圆的方程 1.掌握圆的标准方程的特征,能根据所给条件求圆的标准方程. 2.掌握圆的一般方程,能对圆的一般方程与标准方程进行互化,了解二元二次方程表示 圆的条件. 第48课时 圆的方程 3 【近五年考频考点】及备考建议 圆的方程是解析几何核心基础（5年约4考），承上启下，常与直线与圆的位置关系、弦长综合。 备考建议： 1、标准方程 (x-a)²+(y-b)²=r² 突出圆心(a,b)与半径 r； 2、一般方程 x²+y²+Dx+Ey+F=0 需满足 D²+E²-4F>0； 3、善用“圆心到弦中点连线垂直于弦”等平面几何性质简化计算。 第48课时 圆的方程 一、圆的定义与方程 定义 平面上到______的距离等于______的点的集合叫作圆 标准方程 圆心坐标为______ 半径为 一般方程 充要条件：_________________ 圆心坐标： 半径： 定点 定长 第48课时 圆的方程 5 微判断（1）圆心的位置和圆的半径确定,圆就唯一确定.( ) √ （2）方程 一定表示圆.( ) × （3）方程表示圆的充要条件是 ， ， .( ) × （1）圆的一般方程（,, 为常数）满足 . （2）设,,以 为直径的圆的方程是 .#1.5 第48课时 圆的方程 6 （3）几种特殊位置的圆的方程#1.6 标准方程 一般方程 圆心在原点 过原点 圆心在 轴上 圆心在 轴上 与 轴相切 与 轴相切 第48课时 圆的方程 7 二、点与圆的位置关系 点与圆 的位置关系： （1）若 在圆外,则_________________________; （2）若 在圆上,则_________________________; （3）若 在圆内,则_________________________. 第48课时 圆的方程 8 关键考点·核心突破 9 圆的方程 题组1 （北师大选修一P39习题1-2T2改编）分别根据下列条件，求圆的方程. （1）圆心为，且经过点 ； （2）经过，两点，且圆心在直线 上； （3）经过，， 三点； （4）（一题多法）以, 为直径的两个端点. 第48课时 圆的方程 10 解析 （1）因为圆心为，且经过点 ，所以半径 ，故圆的方程为 . （2）设圆的方程为 ， 因为圆心坐标为，且在直线 上， 所以 ， ① 又圆过点， ， 所以 ， ② ， ③ 联立①②③，得，， ， 第48课时 圆的方程 11 所以圆的方程为 . （3）设圆的方程为 ， 因为圆经过点，， ， 所以解得 所以圆的方程为 . （4）（法一）由题意，设圆心，半径为，则, , , 故圆的方程为 . （法二）由题意得，圆的方程为 ，整理可得 . 第48课时 圆的方程 题组2（1）（经典高考真题）设点在直线上,点和 均在 上,则 的方程为______________________. 解析 因为点在直线上,所以设点.又因为点和 均在上,所以点到两点的距离相等且为半径 ,所以 ,即 ,解 得,所以, , 所以的方程为 . 第48课时 圆的方程 13 （2）（经典高考真题,结论开放题）过四点,,, 中的三点的一个 圆的方程为 ______________________________________________________________ _________________________________________________________________________. 解析 依题意,设圆的方程为 . 若过点,, , 则解得 所以圆的方程为,即 . 或 或 或,写出其中一个即可 第48课时 圆的方程 14 若过点,,,则解得 所以圆的方程为,即 . 若过点,,,则解得 所以圆的方程为,即 . 第48课时 圆的方程 若过点,,,则解得 所以圆的方程为,即 . 第48课时 圆的方程 感悟提升 求圆的方程的常用方法 （1）直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程. （2）待定系数法 ①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程，求出，， 的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于，， 的方程组，进而求出 ，， 的值. 注意：在解答圆的有关问题时,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质. 第48课时 圆的方程 17 与圆有关的轨迹问题 例1（1）（RA选修一P89T8改编）若长为的线段的和两个端点分别在轴和 轴 上滑动,则线段的中点的轨迹方程为_____________ 解析 如图,设线段的中点为,当点运动时,它到原点 的距离为定长,即 的斜边上的中线长为定长. 因为,即点 , 所以点的轨迹方程为 . 第48课时 圆的方程 18 （2）（RA选修一P89T9改编）已知动点到,两定点的距离的比值为 , 则动点 的轨迹方程为____________________. 解析 如图,设点的坐标为,根据题设有 ,根据已知条件得 ， 化简整理得点的轨迹方程为 . 第48课时 圆的方程 19 （3）（RA选修一P89T10改编）在平面直角坐标系中,若点的坐标 满足 ，其中 为参数,则点 的轨迹方程为____________________ ___. 解析 因为点的坐标满足其中 为参数,所以 可得,所以点 的轨迹方程为 . 第48课时 圆的方程 20 感悟提升 解决与圆有关的点的轨迹问题的两种方法 （1）直接法：当题目条件中含有与该点有关的等式时,可设出该点的坐标,用坐标表 示等式,直接求解轨迹方程. （2）代入法：当题目条件中已知某动点的轨迹方程,而要求的点与该动点有关时,常 找出要求的点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式求轨迹方程. 第48课时 圆的方程 21 已知点与两个定点,的距离的比为,则点 的轨迹方程为__________ ____________ 解析 设点的坐标为,由题意知 ,两边平方化简得 ,即,所以点 的轨迹方程为 . 第48课时 圆的方程 22 与圆有关的最值（范围）问题 例2（1）（湘教选修一P112T9改编）已知为圆 上的动点， 则点到直线 的距离的最小值为___，最大值为___. 2 4 解析 设圆心为,半径为,把圆的方程化为标准方程，得 ,则圆 心为，圆的半径 ， 则圆心到直线的距离,所以点 到直线 的距离的最小值为，最大值为 . 第48课时 圆的方程 23 （2）（高考改编）已知实数,满足方程 . ①求 的取值范围; ②求 的取值范围; ③求 的取值范围. 第48课时 圆的方程 24 解析 将圆的一般方程化为标准方程，得 . ①因为,所以点在圆的外部,则 表示圆上的点 与点 连线的斜率. 设,则直线与圆 有公共点, 所以圆心到直线的距离,解得 , 即的取值范围为, . ②设,则直线与圆 有公共点,所以 圆心到直线的距离,解得 , 即的取值范围为 . 第48课时 圆的方程 25 ③由（1）知点在圆的外部,则 表 示圆上的点与点 的距离的平方. 因为圆心到点 的距离为4，圆的半径为3，所以 ，即 的取值范围为 . 第48课时 圆的方程 26 感悟提升 与圆有关的最值（范围）问题的求解方法 （1）借助几何性质求最值：求形如，， 的式子的最值. （2）建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系 式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值. （3）求解形如（其中， 均为动点）且与圆有关的折线段之和的最值 问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化 直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两条线段之和，一般要通过对称性解决. 第48课时 圆的方程 27 1.已知点,,是坐标原点,是圆 上的动点,则 的最大值为___. 解析 由,可得圆心,半径.由点, , 可得为直线上的动点.因为是坐标原点, 是圆 上的动点,所以 . 第48课时 圆的方程 28 如图所示,设点关于直线对称的点为 , 可得 解得即,故点在圆上.设直线 与直线 的交点为 , 易知直线的方程为,由解得 即,则.当点与点 重合时, ,此时 取得最大值,最大值为 , 所以,即 的最大值为4. 第48课时 圆的方程 29 2.设是圆上的动点,且点,,则 的最大 值为____. 解析 由题意知,, , 所以,由于 是圆上的点, 故其坐标满足方程,故 , 所以 . 由圆的方程,易知,所以当时, 的值最大,最 大值为 . 第48课时 圆的方程 30 阿波罗尼斯圆 典例 （多选题）已知点，，动点满足 ，则( ). ABD A.点的轨迹方程为 B.点到原点 的距离的最大值为5 C.面积的最大值为4 D. 的最大值为18 第48课时 圆的方程 31 解析 设动点，则由，得 ，即 ，化简得 ，即 ，所以A正确; 因为点的轨迹是圆心坐标为，半径为2的圆，所以点到原点 的距离的最大 值为 ，所以B正确; 因为点，和点轨迹的圆心都在轴上，且，所以 面积的最大值为 ，所以C错误; ，因 为，所以 ，则 ，所以D正确.故选 . 第48课时 圆的方程 32 深耕定义 平面内到两个定点，的距离之比为正数 的点的 轨迹是以为圆心， 为半径的圆，即阿波罗尼斯圆.通常阿波罗尼斯 圆问题的题设中没有明确给出圆的相关信息，比如典例中给出的条件是“ ”， 要通过分析、转化发现圆（圆的方程），从而利用圆的知识来求解. 第48课时 圆的方程 33 作业：完成圆的方程限时练 第48课时 圆的方程 THANKS 35 $