8.3圆的方程课件-2027届高三数学一轮复习

8.3　圆的方程 第八章 2027 课标要求 回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程与一般方程. 备考指导 圆的方程是高考命题的重点,在高考中以选择题或填空题的形式为主,难度中等.主要考查圆的标准方程和圆的一般方程的应用,经常与直线知识进行综合考查,有时也与椭圆、双曲线、抛物线知识相融合. 本节常用的方法有公式法、代入法、待定系数法.要强化知识在实际情境的应用,加强逻辑推理、数学运算、直观想象和数学建模的素养. 内容索引 01 02 03 第一环节　必备知识落实 第二环节　关键能力形成 第三环节　学科素养提升 第一环节　必备知识落实 【知识筛查】 1.圆的定义与方程 温馨提示1.当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0只有实数解 ,它表示一个点. 2.当D2+E2-4F<0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解,它不表示任何图形. 2.点与圆的位置关系 已知圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圆心为C(a,b),半径为r,点M(x0,y0). 【知识巩固】 1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”. (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(　　) (2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的圆.(　　) (4)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以AB为直径的圆的方程是 (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.(　　) √ × × √ √ 2.(2024北京,3)圆x2+y2-2x+6y=0的圆心到x-y+2=0的距离为(　　) A.2 B.2 C.3 D. C 圆的方程为(x-1)2+(y+3)2=10,圆心坐标为(1,-3), ∴圆心到直线x-y+2=0的距离为d==3.故选C. 3.(多选)圆x2+y2-4x-1=0(　　) A.关于点(2,0)对称 B.关于直线y=0对称 C.关于直线x+3y-2=0对称 D.关于直线x-y+2=0对称 ABC 圆的方程可化为(x-2)2+y2=5,可知圆心为(2,0), 故圆关于点(2,0)对称,且关于经过点(2,0)的直线对称. 4.(2024江西模拟)若点(1,1)在圆x2+y2-x-a=0的外部,则实数a的取值范围为 (　　) A.(-,1) B.(,1) C.(-∞,1) D.(1,+∞) A 因为点(1,1)在圆x2+y2-x-a=0的外部,所以 解得-<a<1,所以a的取值范围为(-,1). 5.已知方程x2+y2-4x+2my+2m2-2m+1=0表示圆,则实数m的取值范围为 　　　　　　　.  (-1,3) x2+y2-4x+2my+2m2-2m+1=0可化为(x-2)2+(y+m)2=3+2m-m2, 故有3+2m-m2>0,解得-1<m<3. 第二环节　关键能力形成 能力形成点1 求圆的方程 例1　(1)过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程为(　　) A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4 C 由题意易知线段AB的垂直平分线的方程为y=x, 所以所求圆的圆心坐标为(1,1),半径为2, 所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.故选C. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 (2)已知圆的圆心在直线x+y=0上,该圆与直线x-y=0相切,且在直线x-y-3=0上截得的弦长为 ,则该圆的方程为　　　　　　　　　　.  (x-1)2+(y+1)2=2 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 解题心得在求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说,求圆的方程有两种方法: (1)几何法:通过研究圆的性质,求出圆的圆心及半径等基本量.在确定圆心的坐标时,常用到三个性质:①圆心在过切点且垂直切线的直线上;②圆心在任意一条弦的垂直平分线上;③当两圆内切或外切时,切点与两圆圆心共线. (2)代数法:设出圆的方程,用待定系数法求解. ①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,求出a,b,r的值; ②若已知圆上三点的坐标,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,求出D,E,F的值. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 对点训练1 (1)已知圆C的半径为5,圆心在x轴的负半轴上,且在直线3x+4y+4=0上截得的弦长为6,则圆C的方程为(　　) A.x2+y2-2x-3=0 B.x2+y2+16x+39=0 C.x2+y2-16x-39=0 D.x2+y2-4x=0 B 设圆心坐标为(a,0)(a<0), 解得a=-8,则圆C的方程为(x+8)2+y2=25,即x2+y2+16x+39=0. 故选B. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 (2)已知圆C与直线x+y=0及x+y-4=0都相切,圆心在直线x-y=0上,则圆C的方程为(　　) A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y+1)2=2 C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2 C 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点2 与圆有关的轨迹问题 例2　如图,已知点A(-1,0),B(1,0),C是圆x2+y2=1上的动点,连接BC并延长至点D,使得|CD|=|BC|,求AC与OD的交点P的轨迹方程. 解 设动点P(x,y),由题意可知P是△ABD的重心. 设动点C(x0,y0)(y0≠0),依题意,C为BD的中点,B(1,0), 则D(2x0-1,2y0).又A(-1,0), 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 解题心得在求与圆有关的轨迹方程问题时,根据题设条件的不同,常采用以下方法: (1)直接法:直接根据题目提供的条件求出轨迹方程. (2)定义法:根据圆、直线等定义求出轨迹方程. (3)几何法:利用圆的几何性质求出轨迹方程. (4)相关点代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式,进而求出轨迹方程. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 对点训练2 已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点. (1)求线段AP中点的轨迹方程; (2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 解 (1)由题意知A,P两点不重合,设AP的中点为M(x,y), 则点P的坐标为(2x-2,2y),其中x≠2. 因为点P在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4,即(x-1)2+y2=1. 故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x≠2). (2)设PQ的中点为N(x,y).在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|. 设O为坐标原点,连接ON,图略,则ON⊥PQ, 所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2, 所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4, 即x2+y2-x-y-1=0. 故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点3 与圆有关的最值问题 命题角度1 斜率型最值问题 例3　已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,求 的最大值和最小值. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 命题角度2 截距型最值问题 例4　在例3的条件下求y-x的最大值和最小值. 解 y-x可看作直线y=x+b在y轴上的截距. 如图,当直线y=x+b与圆相切时, 纵截距b取得最大值或最小值, 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 命题角度3 距离型最值问题 例5　在例3的条件下求x2+y2的最大值和最小值. 解 如图,x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 命题角度4 利用函数或基本不等式求最值问题 例6　设圆x2+y2=2的切线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A,B,当|AB|取最小值时,切线l的方程为　　　　　　　　　　　　.  x+y-2=0 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 解题心得求解与圆有关的最值问题的两种思路: (1)借助几何性质求最值 ①形如 的最值问题,可转化为定点(a,b)与圆上的动点(x,y)的斜率的最值问题; ②形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题; ③形如u=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (2)利用函数或基本不等式求最值 首先根据题目条件列出关于所求目标的关系式,然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、基本不等式等方法解决问题. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 对点训练3 (1)已知实数x,y满足x2-4x+3+y2=0,则 的取值范围为　　　　　. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 (2)已知实数x,y满足(x-2)2+(y+1)2=1,则2x-y的最大值为　　　　　,最小值为　　　　　.  令b=2x-y,则b为直线2x-y=b在y轴上的截距的相反数, 当直线2x-y=b与圆相切时,b取得最值. (3)已知点P(x,y)在圆C:(x-1)2+(y-1)2=1上移动,则x2+y2的最小值为　　　. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 (4)设P为直线3x-4y+11=0上的动点,过点P作圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,切点分别为A,B,则四边形PACB的面积的最小值为　　　　　.  能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 第三环节　学科素养提升 轨迹问题易忘记检验特殊点致错 典例　设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,求点P的轨迹. 解题心得1.本题易遗漏四边形MONP为平行四边形,导致未除去两个特殊点. 2.本题易把求点P的轨迹理解成只求点P的轨迹方程,应注意求一动点满足的轨迹除了要求出轨迹方程,还要说明方程对应的是什么曲线. 变式训练 已知Rt△ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0).求: (1)直角顶点C的轨迹方程; (2)直角边BC的中点M的轨迹方程. (2)设M(x,y),C(x0,y0),因为B(3,0),M是BC的中点, 由(1)知,点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0), 将x0=2x-3,y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1. 故动点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(y≠0). x=-, y=- (3)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆心为,半径为的圆.(　　) (5)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则+Dx0+Ey0+F>0. (　　) 由 (方法一)∵所求圆的圆心在直线x+y=0上, ∴设所求圆的圆心为(a,-a). 又所求圆与直线x-y=0相切,∴半径r=|a|. 又所求圆在直线x-y-3=0上截得的弦长为, 圆心(a,-a)到直线x-y-3=0的距离d=, ∴d2+=r2,即=2a2, 解得a=1.故所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2. (方法二)设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), 则圆心(a,b)到直线x-y-3=0的距离d= 又所求圆在直线x-y-3=0上截得的弦长为, ∴r2=,即2r2=(a-b-3)2+3.① ∵所求圆与直线x-y=0相切,∴r=,即(a-b)2=2r2.② ∵所求圆的圆心在直线x+y=0上,∴a+b=0.③ 联立①②③,解得 故所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2. 由题意知圆心到直线3x+4y+4=0的距离d==4, 设圆心坐标为(a,a), 则, 即|a|=|a-2|,解得a=1. 所以圆心坐标为(1,1),半径r= 所以圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=2. 所以所以 代入x2+y2=1,整理得+y2= 又y0≠0,所以y≠0.故所求轨迹方程为+y2=(y≠0). 解 原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心,为半径的圆. 因为的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率, 所以设=k,即y=kx. 如图,当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值, 此时,解得k=± 所以的最大值为,最小值为- 此时,解得b=-2± 故y-x的最大值为-2+,最小值为-2- 因为圆心到原点的距离为=2, 所以x2+y2的最大值是(2+)2=7+4,最小值是(2-)2=7-4 设点A,B的坐标分别为A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),则直线AB的方程为=1, 即bx+ay-ab=0.因为直线AB和圆相切, 所以圆心到直线AB的距离d=,可知2(a2+b2)=(ab)2≥4ab, 所以ab≥4,当且仅当a=b=2时取等号. 又|AB|=2,所以|AB|的最小值为2, 此时a=b=2,切线l的方程为=1,即x+y-2=0. k= x2-4x+3+y2=0可化为(x-2)2+y2=1,表示以(2,0)为圆心,半径为1的圆. =1+表示圆上的点(x,y)与定点A(1,-3)连线的斜率k加上1.如图,当切线为AB时,k最小,k+1最小. 当切线为AC时,k不存在,k+1不存在. 设AB的方程为y+3=k(x-1),即kx-y-k-3=0, 则=1,解得k= 由图可知k,则k+1故的取值范围为[,+∞). 由圆心C(1,1)得|OC|=,则|OP|min=-1,即()min=-1, 故x2+y2的最小值为(-1)2=3-2 5+ 5- 由=1,解得b=5±, 故2x-y的最大值为5+,最小值为5- 3-2 圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心为点C(1,1),半径为r=1, 根据对称性可知,四边形PACB的面积为 2S△APC=2|PA|r=r, 要使四边形PACB的面积最小,只需|PC|最小. |PC|最小为圆心C到直线l:3x-4y+11=0的距离d==2,即|PC|min=2. 故四边形PACB面积的最小值为 解:如图,设P(x,y),N(x0,y0), 则线段OP的中点坐标为, 线段MN的中点坐标为. 由于平行四边形的对角线互相平分, 故. 从而 又N(x+3,y-4)在圆上,故(x+3)2+(y-4)2=4. 因为四边形MONP构成平行四边形,所以O,M,N三点不共线. 直线OM的方程为y=-x,与(x+3)2+(y-4)2=4联立, 解得 所以应除去这两个点. 故点P的轨迹是以(-3,4)为圆心,2为半径的圆, 除去两点. 解 (1)(方法一)设点C(x,y),因为A,B,C三点不共线,所以y≠0. 因为AC⊥BC,且BC,AC斜率均存在,所以kAC·kBC=-1. 又kAC=,kBC=, 所以=-1,整理得(x-1)2+y2=4. 所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0). (方法二)设AB的中点为D,则D(1,0),|CD|=|AB|=2. 由圆的定义知,动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆,除去与x轴的交点. 所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0). 所以x=,y=,所以x0=2x-3,y0=2y. $