第8章 第45讲 圆的方程(课件PPT)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

该高中数学高考复习课件聚焦“圆的方程”专题，依据课程标准要求梳理了圆的定义、方程（标准式与一般式）、点与圆的位置关系、轨迹问题及最值问题五大核心考点，通过近三年高考真题分析明确“圆的方程求解”“最值问题”占比超60%的高频考点，构建“定义理解-方程应用-综合拓展”的复习体系，对接高考评价体系中数学抽象与运算能力的考查要求。 课件亮点在于“真题溯源+分层突破+素养落地”，如以2022全国乙卷过四点求圆方程为例，详解待定系数法与几何性质法，培养学生数学思维；通过“轨迹问题坐标转化”“最值问题几何意义”等题型解析，强化数学语言表达。设“易错警示”（如一般方程成立条件）和“规律方法总结”，助力学生掌握解题技巧，教师可依托此课件实现考点精准突破，提升复习效率。

第45讲　圆的方程 高三总复习数学 广东专版 第八章 平面解析几何 课程标准 1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.　 2.能用圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 03 课时分层测评 02 考点探究　能力提升 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.圆的定义和圆的方程 微提醒　对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当D2＋E2－4F＞0时，此方程表示的图形是圆；当D2＋E2－4F＝0时，此方程表示一个点；当D2＋E2－4F＜0时，它不表示任何图形.　 定长 (a，b) 2.点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)｜MC｜＞r⇔M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2. (2)｜MC｜＝r⇔M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2. (3)｜MC｜＜r⇔M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2. 圆外 圆上 圆内 1.若二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则 2.圆的三条性质 (1)圆心在圆的任一弦的垂直平分线上. (2)圆心在过切点且与切线垂直的直线上. (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线. 3.圆的直径式方程 以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 常用结论 1.(多选)下列结论正确的是 A.确定圆的几何要素是圆心与半径 B.(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2，1)为圆心，a为半径的圆 C.方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0 D.若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则＋Dx0＋Ey0＋F＞0 √ √ √ 自测诊断 2.(链接人教A选择性必修一P85T2)下列各点中，在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的外部的是 A.(0，2) B.(3，3) C.(－2，2) D.(4，1) √ 由(0－1)2＋(2＋2)2＝17＜25知(0，2)在圆内；由(3－1)2＋(3＋2)2＝29＞25知(3，3)在圆外；由(－2－1)2＋(2＋2)2＝25知(－2，2)在圆上；由(4－1)2＋(1＋2)2＝18＜25知(4，1)在圆内.故选B. 3.(链接人教A选择性必修一P102T7)若方程x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圆，则实数a的取值范围是______________________. 根据题意知，(2a)2＋(－4a)2－4×(－10a)＞0，解得a＜－2或a＞0. (－∞，－2)∪(0，＋∞) 4.(链接人教A选择性必修一P85T3)已知两点A(4，9)和B(6，3)，则以AB为直径的圆的标准方程为_____________________. 根据题意得所求圆的圆心为线段AB的中点(，)，即(5，6)，半径为，所以所求圆的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10. (x－5)2＋(y－6)2＝10 返回 考点探究　能力提升 返回 1.(2022·全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为____________________________________________________ ____________________________. 考点一　圆的方程(高考超重点) 自主练透 根据题意，设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F＞0. 若过(0，0)，(4，0)，(－1，1)，则 满足D2＋E2－4F＞0，所以圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝13； (x－2)2＋(y－3)2＝13(或(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x－)2＋(y－ )2＝或(x－)2＋(y－1)2＝) 若过(0，0)，(4，0)，(4，2)，则 满足D2＋E2－4F＞0，所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y －1)2＝5； 若过(0，0)，(－1，1)，(4，2)，则 满足D2＋E2－4F＞0，所以圆的方程为x2＋y2－x－y＝0，即(x－)2＋(y－)2＝； 若过(4，0)，(－1，1)，(4，2)，则满足D2＋E2－4F＞0，所以圆的方程为x2＋y2－x－2y－＝0，即(x－)2＋(y－1)2＝. 溯源 (人教A选择性必修一P86例4)求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径. 透视 这两题考查相同的知识点，设问的本质也是一样的，都是考查求过三个点的圆的方程，两题的相似度极高 预测 已知点A(－2，1)，B(－1，0)，C(2，3)，M(a，2)四点共圆，则a＝_______. ± 溯源教材22 解析：设过A，B，C的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D2＋E2－4F＞0， 则所以过A，B，C的圆的方程为x2＋ y2－4y－1＝0.又因为点M在此圆上，所以a2＋4－8－1＝0，解得a2＝5，所以a＝±. 2.(一题多解)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在☉M上，则☉M的方程为____________________. 法一：设☉M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则所以☉M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. (x－1)2＋(y＋1)2＝5 法二：设☉M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则M(－，－)， 所以所以☉M的方程为x2＋y2－ 2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 法三：设A(3，0)，B(0，1)，☉M的半径为r，则kAB＝＝－，AB的中点坐标为(，)，所以AB的垂直平分线方程为y－＝3(x－)，即3x－y－4＝0.联立解得M(1，－1)，所以r2＝｜MA｜2＝(3－1)2＋[0－ (－1)]2＝5，所以☉M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 3.(一题多解)设圆心在x轴的圆C过点(1，1)，且与直线y＝2x－1相切，则圆C的标准方程为______________. (x－3)2＋y2＝5 法一：设圆C的圆心为(m，0)，则由于该点到直线y＝2x－1的距离d＝.结合圆C与直线相切，知圆C的半径为，所以圆C的标准方程是(x－m)2＋y2＝.而圆C过点(1，1)，所以(1－m)2＋12＝，解得m＝3.所以圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝5. 法二：因为点(1，1)在直线y＝2x－1上，所以圆C与直线y＝2x－1的切点为(1，1)，则过圆心C和切点(1，1)的直线方程为y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋.又因为圆心C在x轴上，则0＝－x＋，得x＝3，即C(3，0)，圆C的半径为，故圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝5. 求圆的方程的常用方法 1.直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程. 2.待定系数法：(1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值. (2)若已知圆经过已知点，往往选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F 的值. 规律方法 (1)已知点A(2，0)，O(0，0)，若点M满足｜MA｜2＋｜MO｜2＝12，则点M的轨迹方程为________________. 考点二　与圆有关的轨迹问题 师生共研 设点M(x，y)，则(x－2)2＋(y－0)2＋x2＋y2＝12，整理可得x2＋y2－2x－4＝0，即为点M的轨迹方程. 典例1 x2＋y2－2x－4＝0 (2)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，点M是圆上的动点，AM与圆相切，且｜AM｜＝2，则点A的轨迹方程为 A.y2＝4x B.x2＋y2－2x－2y－3＝0 C.x2＋y2－2y－3＝0 D.y2＝－4x √ 因为圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以圆心C(1，1)，半径r＝1.因为点M是圆上的动点，所以｜MC｜＝1.又AM与圆相切，且｜AM｜＝2，则 ｜AC｜＝.设A(x，y)，则(x－1)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2－2x－2y－3＝0，所以点A的轨迹方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0.故选B. 已知O为坐标原点，点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程. 典例2 解：设P(x，y)，N(x0，y0)， 因为四边形MONP为平行四边形，则，即(x，y)＝(－3，4)＋(x0，y0)， 即 又N(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上， 所以＝4，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4. 易知直线OM的方程为y＝－x， 联立 得 所以点P的轨迹为圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4除去点(－，)和(－，). 与圆有关的轨迹问题的四种求法 注意：(1)求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不符合题设条件的点或线等.(2)典例1(1)属于隐圆问题. 规律方法 对点练1.已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点. (1)求线段AP中点的轨迹方程； 解：设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知点P的坐标为(2x－2，2y). 因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4. 故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程. 解：设PQ的中点为N(x，y). 在Rt△PBQ中，｜PN｜＝｜BN｜. 设O为坐标原点，连接ON(图略)， 则ON⊥PQ，所以｜OP｜2＝｜ON｜2＋｜PN｜2＝｜ON｜2＋｜BN｜2， 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4. 故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 角度1　利用几何意义求最值 (多选)已知实数x，y满足x2＋y2－4y＋3＝0，则 A.当x≠0时，的最小值为－ B.x2＋y2的最小值为1 C.y－x的最小值为2－ D.｜x＋y＋3｜的最小值为2 考点三　与圆有关的最值问题 多维探究 √ 典例3 √ 由x2＋y2－4y＋3＝0，得x2＋(y－2)2＝1.该方程表示圆心为 C(0，2)，半径r＝1的圆.对于A，设＝k(x≠0)，则k表示圆 上的点(除去点(0，1)和(0，3))与原点O(0，0)连线的斜率， 由y＝kx(x≠0)，则≤1，解得k≥或k≤－，故A错误； 对于B，因为x2＋y2表示圆上的点到原点的距离的平方， 又圆心在y轴上，所以当x＝0，y＝1时，x2＋y2取得最小 值，且最小值为1，故B正确；对于C，设y－x＝b，则 y＝x＋b，b表示当直线y＝x＋b与圆有公共点时，直线 在y轴上的截距，则≤1，解得2－≤b≤2＋，即y－x的最 小值是2－，故C正确；对于D，｜x＋y＋3｜表示圆上的点到直线x＋y＋3＝0距离的倍，圆心(0，2)到直线x＋y＋3＝0的距离为d＝，则｜x＋y＋3｜的最小值为(－1)＝5－，故D错误.故选BC. 角度2　利用函数关系求最值 设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B (－2，0)，则·的最大值为_____. 根据题意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4.由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.由圆的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，所以当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12. 典例4 12 角度3　利用对称性求最值 已知点A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则｜PA｜＋｜PQ｜的最小值为______. 因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，故圆C的圆心坐标为C(2，1)，半径r＝.设点A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A'(m，n)，则 故A'(－4，－2)，所以｜PA｜ ＋｜PQ｜＝｜A'P｜＋｜PQ｜≥｜A'Q｜≥｜A'C｜－r＝2. 典例5 2 与圆有关的最值问题的求解方法 1.利用几何性质求最值 规律方法 2.利用函数关系求最值 根据题目条件列出关于所求式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用二次函数或基本不等式求最值. 3.利用对称性求解形如｜PM｜＋｜PN｜(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路： (1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离. (2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决. 规律方法 对点练2.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点.记d＝｜PB｜2＋｜PA｜2，其中A(0，1)，B(0，－1)，则d的最大值为____. 设P(x0，y0)，则d＝｜PB｜2＋｜PA｜2＝＋(y0＋1)2＋＋(y0－1)2＝2()＋2，表示圆上任一点到原点距离的平方，所以()max＝(5＋1)2＝36，所以dmax＝74. 74 对点练3.已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P是x轴上的动点，则｜PN｜－｜PM｜的最大值为__________. 根据题意知，C1(2，3)且半径r1＝1，C2(3，4)且半径r2＝3，所以｜C1C2｜＝r2－r1＝2，即圆C2包含圆C1.又M，N分别是圆C1，C2上的动点，P是x轴上的动点，要使｜PN｜－｜PM｜的值最大，P，M，N，C1，C2共线且M，N在C1，C2的两侧，所以(｜PN｜－｜PM｜)max＝｜C1C2｜＋r2＋r1＝4＋. 4＋ 已知M，N分别是曲线C1：x2＋y2－4x－4y＋7＝0，C2：x2＋y2－2x＝0上的两个动点，P为直线x＋y＋1＝0上的一个动点，则｜PM｜＋｜PN｜的最小值为 A. B. C.2 D.3 √ 教师备选 曲线C1：x2＋y2－4x－4y＋7＝0是以C1(2，2)为圆心， 半径为1的圆，C2：x2＋y2－2x＝0是以C2(1，0)为圆心， 半径为1的圆.由圆的对称性可得｜PM｜的最小值为 ｜PC1｜－1，｜PN｜的最小值为｜PC2｜－1. 过C2作直线x＋y＋1＝0的对称点B.设坐标为(m，n)，可得＝1，＋1＝0，解得m＝－1，n＝－2，即B(－1，－2).连接BC1，交直线于点P，连接PC2，可得｜PC1｜＋｜PC2｜＝｜PC1｜＋｜PB｜≥｜BC1｜＝＝5.当且仅当B，P，C1三点共线，可得｜PC1｜＋｜PC2｜的最小值为5，则｜PM｜＋｜PN｜的最小值为5－2＝3.故选D. 对点练4.已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求： (1)的最大值和最小值； 解：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆. 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设＝k，即y＝kx. 当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值(如图①)， 此时，解得k＝±. 所以，最小值为－. (2)y－x的最大值和最小值； 解：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆. y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值(如图②)，此时，解得b＝－2±. 所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－. (3)x2＋y2的最大值和最小值. 解：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆. x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，x2＋y2在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图③). 又圆心到原点的距离为2， 所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，最小值是(2－)2＝7－4. 返回 课 时 分 层 测 评 返回 1.(2022·北京卷)若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝ A. B.－ C.1 D.－1 √ 若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，圆心坐标为(a，0)，所以2a＋0－1＝0，解得a＝.故选A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 2.已知点M(3，1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则实数k的取值范围是 A.－6＜k B.k＜－6或k＞ C.k＞－6 D.k √ 因为圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝1－2k，所以圆心坐标为(1，－2)，半径r＝.若点M(3，1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则满足，且1－2k＞0，即13＞1－2k且k，即－6＜k.故选A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 3.圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1，2)的圆的方程为 A.x2＋(y－2)2＝1 B.x2＋(y＋2)2＝1 C.(x－1)2＋(y－3)2＝1 D.x2＋(y－3)2＝4 √ 根据题意可设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1.因为圆过点A(1，2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，所以所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.故选A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 4.(2025·河南新乡二模)曲线y＝(x≤)的长度为 A.2π B. C.π D. √ 由y＝(x≤)，得x2＋y2＝4(x≤，y≥0)，所 以曲线y＝(x≤)是以坐标原点O为圆心，2为 半径的圆弧，其中点A的横坐标为，则∠AOx＝， ∠AOB＝π－，故曲线y＝(x≤)的长度为2＝.故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 曲线y＝与x轴围成的区域的面积为 A.4π B.2π C.π D. 曲线的方程可化为(x＋1)2＋y2＝4(y≥0).所以这条曲线与x轴围成的区域是一个半径r＝2的半圆，面积为S＝πr2＝2π.故选B. 教师备选 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 5.(多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是 A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 B.所有圆Ck均不经过点(3，0) C.经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个 D.所有圆的面积均为4π √ 圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，故A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0.因为Δ＝36－40＝－4＜0，所以2k2－6k＋5＝0无实数根，故B正确；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0.因为Δ＝16－8＝8＞0，有两个不相等实根，所以经过点(2，2)的圆Ck有两个，故C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，故D正确.故选ABD. √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 6.(多选)已知圆C关于y轴对称，过点(1，0)，且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C的方程可能为 A.x2＋(y＋)2＝ B.x2＋(y－)2＝ C.(x－)2＋y2＝ D.(x＋)2＋y2＝ √ √ 根据已知得圆C的圆心在y轴上，且被x轴所截得的劣弧所对的圆心角为 .设圆心的坐标为(0，a)，半径为r，则rsin＝1，rcos＝｜a｜，解得r＝，即r2＝，｜a｜＝，即a＝±.故圆C的方程为x2＋或x2＋(y－)2＝.故选AB. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 7.已知定点B(3，0)，点A在圆x2＋y2＝1上运动，∠AOB的平分线交线段AB于点M，则点M的轨迹方程为________________. 设A(m，n)，则m2＋n2＝1.设M(x，y)，由OM为∠AOB的平分线，可得，即有，可得(x－m，y－n)＝(3－x，0－y)，即x－m＝1－x，y－n＝－y，可得m＝x－1，n＝y，则(x－1)2＋(y)2＝1，即为(x－)2＋y2＝. (x－)2＋y2＝ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 已知圆C：(x－3)2＋y2＝9，D是圆C上的动点，点E(2，4).若动点M满足＝2，则点M的轨迹方程为__________________. 设点M(x，y)，D(a，b).由＝2，得又点D在圆C上，所以(4－x－3)2＋(8－y)2＝9，即(x－1)2＋(y－8)2＝9. 教师备选 (x－1)2＋(y－8)2＝9 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 8.如图，某个圆拱桥的水面跨度是20 m，拱顶离水面4 m；当水面下降1 m后，桥在水面的跨度为_______ m. 建立如图所示平面直角坐标系，则B(10，0)，C(0，4). 设圆拱所在圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2，则 解得b＝－，r2＝()2.所以圆的方程为x2＋(y＋)2＝()2.取y＝－1，得x2＝()2－()2＝5＝120，所以x＝±2.则当水面下降1 m后，桥在水面的跨度为4 m. 4 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 9.(10分)已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点. (1)求点M的轨迹方程； 解：圆C：x2＋(y－4)2＝42，故圆心为C(0，4)，半径为4，点P在圆C内部. 当C，M，P三点均不重合时，∠CMP＝90°， 所以点M的轨迹是以线段PC为直径的圆(除去点P，C). 线段PC的中点为(1，3)， ｜PC｜＝， 故M的轨迹方程为(x－1)2＋(y－3)2＝2(点(0，4)，(2，2)除外). 当C，M，P三点中有重合的情形时，即点M的坐标为(2，2)或(0，4)，符合题意. 综上可知，点M的轨迹是一个圆，轨迹方程为(x－1)2＋(y－3)2＝2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)当｜OP｜＝｜OM｜时，求l的方程及△POM的面积. 解：圆C：x2＋(y－4)2＝42，故圆心为C(0，4)，半径为4，点P在圆C内部. 由(1)可知点M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆. 根据题意知O在线段PM的垂直平分线上. 又P在圆N上，从而ON⊥PM. 因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，故l的方程为y－2＝－(x－2)，即x＋3y－8＝0. 又易得｜OM｜＝｜OP｜＝2，点O到l的距离为， ｜PM｜＝2. 所以△POM的面积为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 10.(多选)在平面直角坐标系中，点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，7)，动点P满足｜PA｜＝｜PB｜，则 A.点P的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝8 B.△PAB面积最大时，｜PA｜＝2 C.∠PAB最大时，｜PA｜＝2 D.点P到直线AC的距离的最小值为 √ √ √ 设P(x，y)，由｜PA｜＝｜PB｜得｜PA｜2＝2｜PB｜2，所以[x－(－1)]2 ＋(y－0)2＝2[(x－1)2＋(y－0)2]，化简得(x－3)2＋y2＝8，故A正确； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 由对A的分析知y∈[－2，2]，所以△PAB的面积S＝｜AB｜·｜y｜∈(0，2]，当△ABP面积最大时，P点坐标为(3，2)或(3，－2)，此时｜PA｜＝＝2，故B正确；记圆(x－3)2＋y2＝8的圆心为D，则D(3，0)，当∠PAB最大时，PA为圆D的切线，连接PD，则｜PA｜2＝｜AD｜2－｜PD｜2＝42－(2)2＝8，｜PA｜＝2，故C错误；直线AC的方程为7x－y＋7＝0，所以圆心D(3，0)到直线AC的距离为，所以点P到直线AC的距离的最小值为－2，故D正确.故选ABD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 11.(多题同解)(1)已知P(x0，y0)是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上任意一点，则的最大值为______. 　 设k＝，变形可得k(x0－3)－y0－1＝0，则的几何意义为直线k(x－3)－y－1＝0的斜率，圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以圆C的圆心为C(1，1)，半径为1.因为P(x0，y0)是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上任意一点，所以圆C与直线k(x－3)－y－1＝0有公共点，即圆C的圆心C(1，1)到直线k(x－3)－y－1＝0的距离不大于圆C的半径，所以≤1，解得≤k≤，即. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)已知P(x0，y0)是曲线y＝－上的任意一点，则的最小值为____. 曲线y＝－表示以(1，0)为圆心，2为半径的 下半圆，如图所示，表示点P(x0，y0)与Q(4，2)连线 的斜率k，当直线PQ与圆相切时，设直线方程为y－2＝ k(x－4)，即kx－y－4k＋2＝0，圆心到直线的距离d＝＝2，解得k＝0或k＝.因为y≤0，所以k＝，当直线经过点A(－1，0)时，kQA＝.由图可知≤k≤，所以. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 12.(15分)在平面直角坐标系Oxy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C. (1)求实数b的取值范围； 解：令x＝0，得抛物线与y轴交点是(0，b)， 令f(x)＝x2＋2x＋b＝0， 根据题意得b≠0，且Δ＝4－4b＞0，解得b＜1，且b≠0. 即实数b的取值范围是{b｜b＜1，且b≠0}. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)请问圆C是否经过某定点，且定点坐标与b无关？请证明你的结论. 解：圆C经过定点且坐标与b无关. 证明如下：设所求圆C的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 根据题意得函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴的三个交点即为圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0和两坐标轴的交点. 令y＝0得，x2＋Dx＋F＝0，根据题意可得，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b. 令x＝0得，y2＋Ey＋F＝0， 根据题意可得，此方程有一个根为b，代入此方程得E＝－b－1， 所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0(b＜1，且b≠0). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 把圆C的方程改写为x2＋y2＋2x－y－b(y－1)＝0， 令 故圆C过定点(0，1)和(－2，1). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 13.已知圆x2＋y2＝8上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，若∠AOB＝120°，则｜x1＋y1－4｜＋｜x2＋y2－4｜的最大值为 A.8 B.6 C.8 D.12 √ 由圆x2＋y2＝8上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，得｜OA｜＝ ｜OB｜＝2.设弦AB的中点为E，则OE⊥AB.由∠AOB ＝120°，得∠ABO＝∠BAO＝30°，所以｜OE｜＝ ｜OA｜＝，所以点E的轨迹是以为半径，O为圆心的圆， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 ｜x1＋y1－4｜＋｜x2＋y2－4｜＝ )，表示A，B两点到直线x＋y－4＝0的 距离之和的倍.因为E为弦AB的中点，故A，B两点到直线x＋y－4＝0的距离之和等于点E到直线x＋y－4＝0的距离的2倍，圆心O到直线x＋y－4＝0的距离为＝2，所以点E到直线x＋y－4＝0的距离的最大值为2＝3，所以｜x1＋y1－4｜＋｜x2＋y2－4｜的最大值为32＝12.故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 14.(多选)数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，曲线C：x2＋y2＝｜x｜＋｜y｜就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列结论正确的是 A.曲线C围成的图形的周长是2π B.曲线C围成的图形的面积是2π C.曲线C上的任意两点间的距离不超过2 D.若P(m，n)是曲线C上任意一点，｜3m＋4n－12｜的最小值是 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 当x≥0，y≥0时，曲线C的方程可化为(x－)2＋(y－)2 ＝；当x≤0，y≥0时，曲线C的方程可化为(x＋)2＋ (y－)2＝；当x≥0，y≤0时，曲线C的方程可化为 (x－)2＋(y＋)2＝；当x≤0，y≤0时，曲线C的方程可化为(x＋)2＋(y＋)2＝.曲线C如图所示，由图可知，曲线C是四个半径为的半圆围成的图形，即曲线C围成的图形的周长是42×π＝2π，故A正确； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 曲线C所围成图形的面积为四个半圆的面积与边长为 的正方形的面积之和，从而曲线C所围成图形的面积为 4π＋()2＝2＋π，故B错误；由曲线C可知，曲线 C上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形 的边长之和，即2＋＝2＞2，故C错误；因为P(m，n)到直线3x＋4y－12＝0的距离为d＝，所以｜3m＋4n－12｜＝5d，当d最小时，易知P(m，n)在第一象限内， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 因为曲线C在第一象限内的部分是圆心为(，)，半径为 的半圆，所以圆心(，)到3x＋4y－12＝0的距离d'＝ ，从而dmin＝d'－，即 ｜3m＋4n－12｜min＝，故D正确.故选AD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (多选)(2025·甘肃武威一模)已知曲线C：x2＋y2＝2｜x｜－2｜y｜，则以下说法正确的是 A.点(1，－1)在曲线内部 B.曲线关于原点对称 C.曲线与坐标轴围成的面积为2π－4 D.曲线的周长是π 教师备选 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 当x＞0，y＞0时，曲线C的方程为x2＋y2＝2x－2y，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2，表示圆心为(1，－1)，半径为的圆在第一象限的部分，同理，当x≤0，y≥0时，曲线C的方程化为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2，当x＜0，y＜0时，曲线C的方程化为(x＋1)2＋(y－1)2＝2，当x＞0，y＜0时，曲线C的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝2，作出曲线C，如图①所示. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 对于A，当x＝1时，得1＋y2＝2－2｜y｜，即y2＋2｜y｜－1＝0，因为｜y｜≥0，故｜y｜＝－1，故y＝－1或1－.因为－1＜1－，故点(1，－1)在曲线外部，故A错误；对于B，将x换成－x，将y换成－y，方程C：x2＋y2＝2｜x｜－2｜y｜不变，故曲线关于原点对称，故B正确； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 对于C，将x换成－x，方程C：x2＋y2＝2｜x｜－2｜y｜ 不变，故曲线关于y轴对称，设曲线在第一象限与坐标 轴围成的面积为S，则曲线与坐标轴围成的面积为4S， 当x＞0，y＞0时，方程C：x2＋y2＝2x－2y，即(x－1)2 ＋(y＋1)2＝2，其所在圆的圆心坐标为C(1，－1)，半 径为r＝，如图②所示，当y＝0时，得x＝0或x＝2，故弦长OA＝2.由OC2＋CA2＝OA2，故∠OCA＝，则S＝πr2－r2＝π－1，故4S＝2π－4，故C正确；对于D，由题意可知曲线的周长为4＝42πr＝2π，故D错误.故选BC. 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 谢 谢 观 看 圆的方程 $