两直线的位置关系 课件-2027届高三数学一轮复习

两直线的位置关系 2027年高考数学 · 一轮复习 1 【教学目标】 1. 能用斜率（或方向向量）判断两直线平行与垂直； 2. 掌握两直线交点坐标的求法（方程组）； 3. 掌握点到直线的距离公式、两平行线间的距离公式，并能简单应用。 【教学重点】 · 两直线平行与垂直的判定；点到直线的距离公式。 【教学难点】 · 斜率不存在时的分类讨论；距离公式的灵活变形与应用。 第47课时 两直线的位置关系 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间 的距离. 第47课时 两直线的位置关系 3 【近五年考频考点】及备考建议 两直线的位置关系是高考常考基础（5年约4考），常与对称、距离、圆综合。 备考建议： 1、平行⇔k₁=k₂（或方向向量共线）且截距不等； 2、垂直⇔k₁k₂=-1（或方向向量数量积为0）； 3、点到直线距离 ，对斜率不存在情形要单独讨论。 第47课时 两直线的位置关系 一、两条直线的位置关系 1.位置关系 斜截式 一般式 方程 , , 相交 垂直 ____ ________________ 平行 ,且________ 或 重合 ,且________ 第47课时 两直线的位置关系 5 微判断（1）若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行.( ) × （2）若两条直线平行,则它们的斜率相等.( ) × （3）若两条直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则这两条直线 相交.( ) √ （4）若两条直线的斜率都不存在,则这两条直线平行或重合.( ) √ 在判定两条直线平行（垂直）时，不要忽略了两条直线（一条直线）斜率不 存在的情况. 第47课时 两直线的位置关系 6 2.交点坐标 若直线 , 相交,则与 的交点坐标就是方程组 的解. 第47课时 两直线的位置关系 7 二、三种距离公式 1.两点间的距离公式 （1）条件：点, . （2）结论： . （3）特例：点到原点的距离 . 2.点到直线的距离 点到直线的距离 . 3.两条平行直线间的距离 两条平行直线与间的距离 . 第47课时 两直线的位置关系 8 点到直线、两条平行线间的距离公式的使用条件 （1）在求点到直线的距离时,应先将直线方程化为一般式. （2）在求两条平行线之间的距离时,应先将两条直线方程化为一般式,且, 的系数要 对应相等. 第47课时 两直线的位置关系 9 关键考点·核心突破 10 两条直线的平行与垂直 例1 （北师大选修一P19T3改编）已知直线 ， ，根据下列这两条直线的位置关系分别求实数 的值或 取值范围. （1）平行；（2）重合；（3）相交；（4）垂直. 第47课时 两直线的位置关系 11 解析 （1）若与平行，则且，解得 . （2）若与重合，则且，解得 . （3）当时，显然与 相交； 当时，由，解得且 .故 . （4）当时，显然与 不垂直； 当时，由，解得 . 第47课时 两直线的位置关系 12 感悟提升 两条直线位置关系的判断方法 已知两条直线 的斜率存在 两条直线平行 两条直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不相 等.两条直线垂直 两条直线的斜率之积为 已知两条直线 的斜率不存在 当两条直线在 轴上的截距不相等时，两条直线平行，否则两条直 线重合 已知两条直线 的一般式方程 设直线， . （1） 且 . （2） . 此法可避免对斜率是否存在进行讨论 第47课时 两直线的位置关系 13 1.设，则“”是“直线与直线 平行”的 ( ). A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 若直线与直线 平行，则 ，解得或 . 经检验，当或时,两直线平行，故“”是“直线 与直 线 平行”的充分不必要条件.故选A. 第47课时 两直线的位置关系 14 2.若，为正实数，直线与直线 互相垂直， 则 的最小值为__. 解析 由两直线垂直得，即 ，所以 ，当且仅当 ，即时，等号成立，故的最小值为 . 第47课时 两直线的位置关系 15 两条直线的交点与距离问题 题组 （1）已知直线过直线与 的交点，且平 行于，则直线 的方程为______________. （2）（苏教选修一P48T13改编）已知直线过点，且, 两点到直 线的距离相等，则直线的方程为_____________________________ （3）（苏教选修一P48T12改编）已知直线和 互相平 行,则它们之间的距离是_ ____.若点, 分别在两条直线上运动，则 的最小值为__, 的最小值为___. 或 第47课时 两直线的位置关系 16 解析 （1）由解得即与的交点坐标为 . 设所求直线方程为 ， 因为所求直线过点，所以，解得 ， 所以所求直线方程为 . （2）当直线的斜率不存在时，此时方程为，,到直线 的距离不 相等，舍去；当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，则 ，解得或，故直线的方程为 或 ，即或 . 第47课时 两直线的位置关系 17 （3）由直线平行可得,解得,因此直线 的方程为 ,即,则所求距离是 . 的几何意义是点到点距离的平方，故其最小值为点 到直线的距离的平方，即，所以 的 最小值为 . 的几何意义是点, 之间距离的平方,因此其 最小值即两条平行直线之间的距离的平方,故 的最小值为 . 第47课时 两直线的位置关系 感悟提升 1.求过两条直线交点的直线方程的方法 求过两条直线交点的直线方程，先解方程组求出两条直线的交点坐标，再结合其他 条件写出直线方程. 2.利用距离公式解题的注意点 （1）点到直线的距离，到直线的距离 ； （2）在应用两条平行线间的距离公式时，要把两条直线方程中, 的系数分别化为 相等的系数. 第47课时 两直线的位置关系 19 两条直线的对称问题 考向1 中心对称问题 例2 直线关于点 对称的直线方程是________________. 解析 设对称的直线上一点的坐标为,则其关于点 对称的点的坐标为 .因为点在直线 上,所以 ,即 . 第47课时 两直线的位置关系 20 感悟提升 中心对称问题的解法 （1）若点关于的对称点为,则 （2）直线关于点的对称问题可转化为点关于点的对称问题来解决. 第47课时 两直线的位置关系 21 考向2 轴对称问题 例3 （1）已知直线与直线垂直,则点 关于 直线 对称的点的坐标为______. （2）直线关于直线 对称的直线方程是______________. 第47课时 两直线的位置关系 22 解析 （1）直线与直线 垂直,则 ,故,所以直线的方程为 . 设所求对称点的坐标为,则 解得故对称点的坐标为 . （2）设为所求直线上任意一点,点关于直线 的对称点为 , 第47课时 两直线的位置关系 23 由得 因为点在直线 上,所以所求直线方程为 ,即 . 第47课时 两直线的位置关系 感悟提升 轴对称问题的解法 （1）若点关于直线的对称点为 , 则 （2）直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题来解决. 第47课时 两直线的位置关系 25 （一题练透）已知直线,点 . （1）求点关于直线的对称点 的坐标; （2）求直线关于直线的对称直线 的方程; （3）求直线关于点的对称直线 的方程. 第47课时 两直线的位置关系 26 解析 （1）设，由已知条件得 解得所以, . （2）在直线上取一点，则关于直线的对称点必在直线 上. 设对称点 ， 则 第47课时 两直线的位置关系 27 解得所以, . 设直线与直线的交点为，由得 . 又直线经过点 ， 所以由两点式得到直线的方程为 . （3）设对称直线上的一点的坐标为 , 则其关于点对称的点的坐标为 . 因为点在直线 上, 所以的方程为,即 . 第47课时 两直线的位置关系 直线系方程 思维进阶 （1）过点的直线系方程为 ，不全为零 ; （2）平行于直线的直线系方程为 ; （3）垂直于直线的直线系方程为 ; （4）过两条已知直线和 的交点的直 线系方程为 （这个直线系方程不包括直线 ，解题时注意检验 是否满足题意）. 第47课时 两直线的位置关系 29 典例 （一题练透）已知直线与的交点为 ，直线 . （1）求过点且与直线平行的直线 的方程； （2）求过点且与直线垂直的直线 的方程； （3）求过点且与点,等距离的直线 的方程. 第47课时 两直线的位置关系 30 解析 （1）（法一：利用平行直线系方程）设所求直线 的方程为 ，解直线与直线的方程组成的方程组得到交点 ， 代入的方程，解得，所以直线的方程为 . （法二：利用过两直线交点的直线系方程）因为与不平行，所以设所求直线 的 方程为，即.因为 ， 所以，解得，所以直线的方程为 . （2）（法一：利用垂直直线系方程）设所求直线的方程为 ，解直线 与直线的方程组成的方程组得到交点，代入直线的方程，解得 ， 所以直线的方程为 . 第47课时 两直线的位置关系 31 （法二：利用过两直线交点的直线系方程）因为与不垂直，所以设所求直线 的 方程为，即 .因为 ，所以，解得，所以直线 的方程为 . （3）设直线的方程为 ，即 .当,在直线的同侧时，直线与直线 平行， 由两点式可得直线的方程为，则 ，解得 ，所以直线的方程为.当,在直线的异侧时，直线过 的中点，代入，解得，所以直线 的 方程为.综上，直线的方程为或 . 第47课时 两直线的位置关系 作业：完成两直线的位置关系限时练 第47课时 两直线的位置关系 33 THANKS 34 $