9.2 两直线的位置关系课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考一轮复习课件聚焦“两直线的位置关系”专题，依据高考评价体系梳理了平行垂直判定、交点坐标求解、距离公式（两点间、点到直线、平行线间）及对称问题、直线系方程五大核心考点，通过教材排查与改编题夯实基础，结合近5年高考真题分析明确平行垂直判定占30%、距离公式占25%的高频考点分布，归纳典例题型构建完整复习体系。 课件亮点在于“真题溯源+方法归纳+素养提升”的备考策略，以2024北京卷圆心到直线距离、2023新高考Ⅱ卷椭圆中距离比问题为实例，通过“解题感悟”总结位置关系判定方法、距离转化技巧，培养学生数学思维与运算能力。特设“易错陷阱警示”如斜率不存在情况，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，助力高效备考。

第2讲　两直线的位置关系 第九章　解析几何 第1页 高考一轮总复习·数学 软件使用 编辑修改 本课件使用office 2010版本制作，建议老师使用相应软件打开 全文可单击进行编辑修改，公式可双击跳转到编辑页面进行修改 课件说明 第页 高考一轮总复习·数学 第3页 高考一轮总复习·数学 慧学教材 01 题型研讨 02 限时跟踪检测（四十九）　两直线的位置关系 03 第4页 高考一轮总复习·数学 慧学教材 复习要点　1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.探索并掌握平面上两点间的距离、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 一　两条直线的位置关系 直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0，其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝ 　　（A1，B1）　，l4的法向量v2＝ 　　（A2，B2）　，它们的位置关系如下表： （A1， B1）　 （A2，B2）　 第页 高考一轮总复习·数学 位置 关系 法向量满 足的条件 l1，l2满 足的条件 l3，l4满 足的条件 平行 v1∥v2  　　k1＝k2且　  　　b1≠b2　  　　A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0　 垂直 v1⊥v2  　　k1·k2＝－1　  　　A1A2＋B1B2＝0　 相交 v1与v2不共线  　　k1≠k2　  　　A1B2－A2B1≠0　 k1＝k2且　 b1≠b2　 A1B2－A2B1＝0且A1C2 －A2C1≠0　 k1·k2＝－1　 A1A2＋B1B2＝0　 k1≠k2　 A1B2－A2B1≠0　 第页 高考一轮总复习·数学 二　三种距离公式 点P1（x1，y1），P2（x2，y2） 之间的距离 ｜P1P2｜＝ 点P0（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝ 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝ 【教材排查】　判断下列结论是否正确. （1）若两直线的斜率相等，则两直线平行，反之，亦然. （　✕　） （2）如果两条直线l1与l2垂直，那么它们的斜率之积一定等于－1. （　✕　） ✕ ✕ 第页 高考一轮总复习·数学 （3）已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0（其中A1，B1不同时为0），l2：A2x＋B2y＋C2＝0（其中A2，B2不同时为0），若A1B2－A2B1＝0，则直线l1∥l2. （　✕　） （4）直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离. （　√　） ✕ √ 第页 高考一轮总复习·数学 1. （人教A选修一P102复习参考题2T1（3））与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程为（　B　） A. 3x＋4y－5＝0 B. 3x＋4y＋5＝0 C. 3x－4y＋5＝0 D. 3x－4y－5＝0 解析：直线3x－4y＋5＝0的斜率是 ，与x轴的交点为（－ ，0），因此它关于x轴对称的直线方程是y＝－ （x＋ ），即3x＋4y＋5＝0. B 【教材改编】 第页 高考一轮总复习·数学 2. （苏教选修一P27练习T2改编）以点A（－1，1），B（2，－1），C（1，4）为顶点的三角形是（　B　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 解析：由A（－1，1），B（2，－1），C（1，4）可得kAB＝ ＝－ ，kBC＝ ＝－5，kAC＝ ＝ ，从而kAB·kAC＝－1，即AB⊥AC，∠A为直角. B 第页 高考一轮总复习·数学 3. （人教B选修一P100练习BT2改编）已知点B（m，6）到直线y＝3x＋6的距离为3，则实数m的值为 　± 　. 解析：直线方程化为3x－y＋6＝0， 由题意得 ＝3，解得m＝± . ± 　 第页 高考一轮总复习·数学 第12页 高考一轮总复习·数学 题型研讨 题型 　两条直线的平行与垂直 典例1　已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：（m－2）x＋3y＋2m＝0，根据下面l1与l2的位置关系，求实数m的值或取值范围. （1）相交；（2）垂直；（3）平行；（4）重合. 解：（1）当m＝0时，显然l1与l2相交； 当m≠0时，由－ ≠－ ，得m≠－1且m≠3. 所以当m≠－1且m≠3时，l1与l2相交. （2）当m＝0时，显然l1与l2不垂直； 当m≠0时，由（－ ）·（－ ）＝－1，得m＝ . 所以当m＝ 时，l1⊥l2. 第页 高考一轮总复习·数学 （3）若l1与l2平行，易知m≠0， 则－ ＝－ 且－ ≠－ ，∴m＝－1. （4）若l1与l2重合，易知m≠0， 则－ ＝－ 且－ ＝－ ，∴m＝3. 第页 高考一轮总复习·数学 【解题感悟】　两直线位置关系的判定方法 ❶已知两直线的斜率存在 ·两直线平行⇔两直线的斜率相等且两直线在坐标轴上的截距不相等； ·两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1. ❷已知两直线的斜率不存在 若两直线的斜率不存在，当两直线在x轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合. ❸已知两直线的一般式方程 设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. ❹巧用直线的方向向量或法向量判断两直线的位置关系可以避免讨论多种情况. 第页 高考一轮总复习·数学 对点练1　（1）（多选）（2026·黑龙江哈尔滨模拟）已知直线l1：x sin α＋y＝0与直线l2：x＋3y＋c＝0，则直线l1与直线l2的位置关系可能是（　ABC　） A. 相交 B. 重合 C. 平行 D. 垂直 解析：直线l1的斜率为k1＝－ sin α，过定点（0，0），直线l2的斜率为k2＝－ ，过点（－c，0）.若直线l1与l2相交，则 sin α≠ ，又－1≤ sin α≤1，所以 sin α≠ 可以成立，A正确；若直线l1与l2重合，则c＝0，且 sin α＝ ，又－1≤ sin α≤1，所以可以有 sin α＝ ，B正确；若直线l1与l2平行，则 sin α＝ 且c≠0，又－1≤ sin α≤1，所以可以有 sin α＝ ，C正确；若直线l1与l2垂直，则k1k2＝ sin α＝－1，则 sin α＝－3，与－1≤ sin α≤1矛盾，所以直线l1与l2不可能垂直，D错误.故选ABC. ABC 第页 高考一轮总复习·数学 （2）（多选）已知三条直线l1：2x－3y＋1＝0，l2：4x＋3y＋5＝0，l3：mx－y－1＝0.若l1，l2，l3三条直线构不成三角形，则m的值可能为（　ABC　） A. B. － C. － D. 解析：当m＝ 时，直线l1与l3平行，故三条直线构不成三角形；当m＝－ 时，直线l2与l3平行，故三条直线构不成三角形；当m＝－ 时，l1，l2，l3交于同一点 （－1，－ ），故三条直线构不成三角形；当m＝ 时，三条直线两两相交，且不过同一点，故三条直线能构成三角形，D不符合题意. ABC 第页 高考一轮总复习·数学 题型 　距离公式 典例2　（1）（2024·北京卷）圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为（　D　） A. B. 2 C. 3 D. 3 解析：由题意得圆x2＋y2－2x＋6y＝0，即圆（x－1）2＋（y＋3）2＝10，则其圆心坐标为（1，－3），则圆心到直线x－y＋2＝0的距离为 ＝3 .故选D. D 第页 高考一轮总复习·数学 （2）（2023·新高考Ⅱ卷）已知椭圆C： ＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m＝（　C　） A. B. C. － D. － 解析：由题意，得F1（－ ，0），F2（ ，0），△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍，即 ＝2× ，解得m＝－ 或m＝－3 （此时直线与椭圆C不相交，舍去）.故选C. C 第页 高考一轮总复习·数学 教材呈现 （人教A选修一P77练习T2）求下列点到直线的距离： （1）A（－2，3），l：3x＋4y＋3＝0； （2）B（1，0），l： x＋y－ ＝0； （3）C（1，－2），l：4x＋3y＝0. 点评：（1）（2）两道高考题与教材练习题非常类似，都是求点到直线的距离，2024年北京卷涉及求圆心，2023年新高考Ⅱ卷涉及直线与椭圆的位置关系，都是课本练习题的变式和引申，试题源于教材高于教材 第页 高考一轮总复习·数学 （3）已知直线l与m： x－y＋c＝0（c＜0）平行，且l，m之间的距离与点A（0，2）到l的距离均为1，则l在y轴上的截距为（　B　） A. －1 B. 0 C. 1 D. 4 解析：因为直线l与m： x－y＋c＝0（c＜0）平行，所以设直线l的方程为 x－y＋t＝0，因为l，m之间的距离与点A（0，2）到l的距离均为1， 所以 解得 所以直线l的方程为 x－y＝0，即y＝ x，故直线l在y轴上的截距为0.故选B. B 第页 高考一轮总复习·数学 【解题感悟】　❶点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式求解，注意直线方程应为一般式. ❷利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离. ❸使用两平行线间的距离公式前需把两平行线方程化为一般式，且x，y的系数对应相等，即一定要化成l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0的形式. 第页 高考一轮总复习·数学 对点练2　（1）（2026·河南豫南名校质检、河北金科联考）若直线l1：x＋ay－2＝0与l2：2x＋（a2＋1）y－2＝0平行，则两直线之间的距离为（　C　） A. B. 1 C. D. 2 解析：依题意得，2a＝a2＋1，解得a＝1，所以两直线方程分别为x＋y－2＝0，x＋y－1＝0，所以两直线之间的距离为 ＝ ，故选C. （2）（多选）（2026·河南部分学校联考）已知点M（1，3），N（－5，1）到直线l的距离相等，则直线l的方程可以是（　ABD　） A. x－3y－8＝0 B. 3x＋y＋4＝0 C. 3x－y＋6＝0 D. 2x＋y＋2＝0 C ABD 解析：由题意可知l过线段MN的中点或l∥MN，即l过点（－2，2）或kl＝ ，检验知选ABD. 第页 高考一轮总复习·数学 （3）已知两条平行直线分别过点A（6，2）和B（－3，－1），若各自绕点A，B旋转，则两平行线之间的距离的最大值为 　3 　，此时两平行直线的方程分别为 　3x＋y－20＝0，3x＋y＋10＝0　. 3 　 3x＋y－20＝0，3x＋y＋10＝0　 第页 高考一轮总复习·数学 题型 　对称问题 典例3　已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A（－1，－2）.求： （1）点A关于直线l的对称点A'的坐标； 解：（1）设A'（x0，y0），由已知条件得​ 解得 ∴A'（－ ， ）. 第页 高考一轮总复习·数学 （2）直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m'的方程； 解：（2）在直线m上取一点，如M（2，0），则M（2，0）关于直线l的对称点M'必在直线m'上. 设M'（a，b），则 得M'（ ， ）. 设直线m与直线l的交点为N， 由 得N（4，3）. 又∵m'经过点N（4，3）， ∴由两点式得直线m'的方程为9x－46y＋102＝0. 第页 高考一轮总复习·数学 （3）直线l关于点A（－1，－2）对称的直线l'的方程. 解：（3）方法一：在直线l上任取两点，如P（1，1），Q（4，3），则P，Q关于点A（－1，－2）的对称点P'，Q'均在直线l'上， 易得P'（－3，－5），Q'（－6，－7）. 再由两点式可得l'的方程为2x－3y－9＝0. 方法二：依题意可知l∥l'， 设l'的方程为2x－3y＋C＝0（C≠1）. ∵点A（－1，－2）到两直线l，l'的距离相等， ∴由点到直线的距离公式， 得 ＝ ，解得C＝－9. 第页 高考一轮总复习·数学 ∴l'的方程为2x－3y－9＝0. 方法三：设P（x，y）为l'上任意一点， 则P（x，y）关于点A（－1，－2）的对称点为P'（－2－x，－4－y），∵点P'在直线l上， ∴2（－2－x）－3（－4－y）＋1＝0， 即2x－3y－9＝0， 故直线l'的方程为2x－3y－9＝0. 第页 高考一轮总复习·数学 【解题感悟】　对称问题的解法 以光线反射为代表的很多实际问题，都可以转化为对称问题，关于对称问题，一般常见的有： ❶中心对称：转化为中点问题处理 ·点P（x，y）关于O（a，b）的对称点P'（x'，y'）满足 ·直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决. 有两种解法：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程. ②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程. 第页 高考一轮总复习·数学 ❷轴对称：转化为垂直平分线问题处理 ·已知点P（a，b）关于直线Ax＋By＋C＝0（B≠0）的对称点为A'（m，n），则有 ·直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决. 分两种情况：①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于对称轴的对称点，然后用点斜式求解. ②若直线与对称轴相交，则先求出交点，再取直线上一点（非交点），求该点关于对称轴的对称点，最后由两点式求解. 第页 高考一轮总复习·数学 对点练3　（1）（2026·四川资阳月考）已知点M（3，5），在直线l：x－2y＋2＝0和y轴上各找一点P和Q，则△MPQ的周长的最小值为（　D　） A. 3 B. 4 C. 3 D. 4 解析：设点M（3，5）关于直线l：x－2y＋2＝0的对称点为M1（x，y）， 则有 解得 故M1（5，1），点M（3，5）关于y轴的对称点为M2（－3，5），连接M1M2分别交直线l与y轴于点P，Q，如图所示，此时△MPQ的周长最小，最小值为｜M2M1｜＝ ＝4 .故选D. D 第页 高考一轮总复习·数学 （2）（2026·湖北武汉华师一附中模拟）设直线l1：x－2y－2＝0与l2关于直线l：2x－y－4＝0对称，则直线l2的方程是（　A　） A. 11x＋2y－22＝0 B. 11x＋y＋22＝0 C. 5x＋y－11＝0 D. 10x＋y－22＝0 A 第页 高考一轮总复习·数学 解得a＝ ，b＝－ ，故Q（ ，－ ）.由题意可知P，Q两点均在直线l2上， 所以直线l2的方程为 ＝ ，整理得11x＋2y－22＝0. 解析：设直线l1与l相交于点P，联立 解得 故P（2，0）. 取直线l1：x－2y－2＝0上一点（0，－1），设点（0，－1）关于直线l：2x－y－4＝0的对称点为Q（a，b），则 第页 高考一轮总复习·数学 题型 　交点及直线系方程 典例4　（1）求证：动直线（2＋λ）x－（1＋λ）y－2（3＋2λ）＝0（其中λ∈R）恒过定点，并求出定点坐标. 解：（1）证明：方法一：令λ＝0，则直线方程为2x－y－6＝0①. 令λ＝1，则直线方程为3x－2y－10＝0②. ①和②联立得方程组 得 将点（2，－2）的坐标代入方程（2＋λ）x－（1＋λ）y－2（3＋2λ）＝0中， 即（2＋λ）×2－（1＋λ）×（－2）－2（3＋2λ）＝0， 第页 高考一轮总复习·数学 故点（2，－2）的坐标恒满足动直线方程，所以动直线（2＋λ）x－（1＋λ）y－2（3＋2λ）＝0恒过定点（2，－2）. 方法二：将动直线方程按λ降幂排列整理， 得（x－y－4）λ＋（2x－y－6）＝0①， 不论λ为何实数，①式恒为零， 所以有 解得 故动直线恒过定点（2，－2）. 第页 高考一轮总复习·数学 （2）求经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程. 解：（2）由方程组 解得 ∴交点坐标为（－ ， ）. ∵所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直， ∴所求直线的斜率k＝ . 由点斜式，得y－ ＝ （x＋ ），整理得4x－3y＋9＝0. 故所求直线的方程为4x－3y＋9＝0. 第页 高考一轮总复习·数学 【解题感悟】　几种常用的直线系方程 ❶共点直线系方程：经过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0，其中A1B2－A2B1≠0，待定系数λ∈R. 在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A2x＋B2y＋C2＝0，因此它不能表示直线l2. ❷过定点（x0，y0）的直线系方程为y－y0＝k（x－x0）（k为参数）及x＝x0. ❸平行直线系方程：与直线y＝kx＋b平行的直线系方程为y＝kx＋m（m为参数且m≠b）；与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋λ＝0（λ≠C，λ是参数）. ❹垂直直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋λ＝0（λ为参数）. 如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，那么可选用直线系方程来求解. 第页 高考一轮总复习·数学 对点练4　（1）若直线l：y＝k（x＋ ）与直线x＋y－3＝0的交点位于第二象限，则直线l的倾斜角的取值范围是 　（ ， ）∪（ ， ）　. 解析：显然直线l过定点P（－ ，0），由图可知∠MPO＝ ，∠MHO＝ ，故所求倾斜角的取值范围是（ ， ）∪（ ， ）. （ ， ）∪（ ， ）　 第页 高考一轮总复习·数学 （2）求证：动直线（m2＋2m＋3）x＋（1＋m－m2）y＋3m2＋1＝0（其中m∈R）恒过定点，并求出定点坐标. 证明：方法一：令m＝0，则直线方程为3x＋y＋1＝0①. 令m＝1，则直线方程为6x＋y＋4＝0②. ①②联立得方程组 得 将点（－1，2）的坐标代入方程（m2＋2m＋3）x＋（1＋m－m2）y＋3m2＋1＝0中， 即（m2＋2m＋3）×（－1）＋（1＋m－m2）×2＋3m2＋1＝（3－1－2）m2＋（－2＋2）m＋2＋1－3＝0， 故点（－1，2）的坐标恒满足动直线方程，所以动直线（m2＋2m＋3）x＋（1＋m－m2）y＋3m2＋1＝0恒过定点（－1，2）. 第页 高考一轮总复习·数学 方法二：将动直线方程按m降幂排列整理，得m2（x－y＋3）＋m（2x＋y）＋3x＋y＋1＝0①， 因为不论m为何实数，①式恒为零， 所以有 解得 故动直线恒过定点（－1，2）. 第页 高考一轮总复习·数学 第41页 高考一轮总复习·数学 限时跟踪检测（四十九）　两直线的位置关系 一、单项选择题 1. （2026·江苏连云港调研）“λ＝－1”是“直线l1：x＋λy＋9＝0与直线l2：（λ－2）x＋3y＋3λ＝0平行”的（　A　） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：λ＝－1时，直线l2：－3x＋3y－3＝0即x－y＋1＝0，与直线l1：x－y＋9＝0平行，充分性成立； 若直线l1：x＋λy＋9＝0与直线l2：（λ－2）x＋3y＋3λ＝0平行，则有λ（λ－2）＝3，解得λ＝－1或λ＝3，当λ＝3时，两直线重合，舍去，故λ＝－1，必要性成立. 所以“λ＝－1”是“直线l1：x＋λy＋9＝0与直线l2：（λ－2）x＋3y＋3λ＝0平行”的充要条件.故选A. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 2. 若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为（1，p），则实数n的值为（　A　） A. －12 B. －2 C. 0 D. 10 解析：由题意得2m－20＝0，得m＝10. 由垂足（1，p）在直线mx＋4y－2＝0上， 得10＋4p－2＝0.∴p＝－2. 由垂足（1，－2）在直线2x－5y＋n＝0上， 解得n＝－12. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 3. （2026·山西大同月考）若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0（m＞0）与l2：x＋ny－3＝0之间的距离是 ，则m＋n＝（　A　） A. 0 B. 1 C. －2 D. －1 解析：由两直线平行，得n＝－2.又两平行线之间的距离d＝ ＝ ，且m＞0，所以m＝2，所以m＋n＝0.故选A. 4. 当点P（－1，0）到直线l：（3λ＋1）x＋（λ＋1）y－（4λ＋2）＝0的距离最大时，实数λ的值为（　B　） A. －1 B. 1 C. －2 D. 2 A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 解析：（3λ＋1）x＋（λ＋1）y－（4λ＋2）＝0，即λ（3x＋y－4）＋（x＋y－2）＝0， 由 可得 故直线l恒过点A（1，1）， 点P到直线l的最大距离为点P到A（1，1）的距离d＝ ＝ ，kPA＝ ＝ . 直线l：（3λ＋1）x＋（λ＋1）y－（4λ＋2）＝0的斜率k＝－ .由－ × ＝－1，解得λ＝1.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 5. 设直线l：3x＋2y－6＝0，P（m，n）为直线l上的动点，则（m－1）2＋n2的最小值为（　A　） A. B. C. D. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 解析：（m－1）2＋n2表示点P（m，n）到点A（1，0）距离的平方，点P到点A的距离的最小值为点A（1，0）到直线l的距离，即 ＝ ，则（m－1）2＋n2的最小值为 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 6. （2026·山东济宁期中）已知a，b，c，d为四个实数，且a－b＝－2，c－d＝0，a＋b＝c＋d，则 ＋ 的最小值为（　D　） A. － B. C. D. 5 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 解析：设a＋b＝c＋d＝k， 则a＝ ，b＝ ，c＝d＝ ， 所以 ＋ ＝ ＋ ＝ [＋ ]， 而 ＋ 可看作x轴上动点P（k，0）与两定点M（4，－2），N（5，5）的距离和，如图， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 由图可知当P运动到P1时， ｜PN｜＋｜PM｜最小，最小值为｜MN｜＝ ＝5 ， 所以 ＋ 的最小值为 ×5 ＝5.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 7. （2026·江西南昌模拟）直线l：y＝k（x＋2）上存在两个到原点距离等于1的不同点，则k的取值范围是（　D　） A. （－2，2） B. （－ ， ） C. （－1，1） D. （－ ， ） 解析：直线l：y＝k（x＋2）上存在两个到原点距离等于1的不同点，则原点到直线的距离小于1，所以 ＜1，解得－ ＜k＜ .故选D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 8. 若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点（m，n）到原点的距离的最小值为（　A　） A. B. C. 2 D. 2 解析：联立 解得x＝1，y＝2. 把（1，2）代入mx＋ny＋5＝0可得m＋2n＋5＝0，所以m＝－5－2n. 所以点（m，n）到原点的距离d＝ ＝ ＝ ≥ ， 当n＝－2，m＝－1时取等号. 所以点（m，n）到原点的距离的最小值为 . A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 二、多项选择题 9. （2026·福建福州期末）已知直线l：（a2＋a＋1）x－y＋1＝0，其中a∈R，则（　AC　） A. 当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直 B. 若直线l与直线x－y＝0平行，则a＝0 C. 直线l过定点（0，1） D. 当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等 AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 解析：对于A，当a＝－1时，直线l的方程为x－y＋1＝0，其斜率k1＝1，而直线x＋y＝0的斜率k2＝－1，故k1k2＝－1，因此当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直，A正确；对于B，若直线l与直线x－y＝0平行，则a2＋a＋1＝1，解得a＝0或a＝－1，B错误；对于C，当x＝0时，y＝1，与a无关，则直线l过定点（0，1），C正确；对于D，当a＝0时，直线l的方程为x－y＋1＝0，直线l在x轴，y轴上的截距分别是－1，1，不相等，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 三、填空题 10. 已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，若点A（5，0）到直线l的距离为3，则l的方程为 　x＝2或4x－3y－5＝0　. 解析：方法一：两直线的交点为（2，1），当直线l的斜率不存在时，所求直线方程为x－2＝0，此时A到直线l的距离为3，符合题意；当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则所求直线方程为y－1＝k（x－2），即kx－y＋1－2k＝0. 由点到直线的距离公式得d＝ ＝3，解得k＝ ，故所求直线方程为4x－3y－5＝0. 综上，所求直线方程为x＝2或4x－3y－5＝0. x＝2或4x－3y－5＝0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 方法二：经过两已知直线交点的直线系方程为（2x＋y－5）＋λ（x－2y）＝0，即（2＋λ）x＋（1－2λ）y－5＝0，所以 ＝3，解得λ＝2或λ＝ . 所以l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 11. （2026·山东学情质检）若A（3，4），B（－6，－3）两点到直线l：tx＋y－3＝0的距离相等，则t＝ 　－ 或－ 　. 解析：因为A（3，4），B（－6，－3）两点到直线l：tx＋y－3＝0的距离相等，所以 ＝ ，得到｜3t＋1｜＝｜6t＋6｜，解得t＝－ 或t＝ － . － 或－ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 12. （2026·山东临沂模拟）已知点A（－1，1），设动直线x＋ny＝0和动直线nx－y－4n＋2＝0（n∈R）交于点P，则｜PA｜的取值范围是 　[3－ ，3＋ ]　. 解析：如图所示，由条件可知两动直线x＋ny＝0，nx－y－4n＋2＝0（n∈R）分别过原点O和E（4，2），且两直线互相垂直，所以动点P的轨迹为以OE为直径的圆，OE＝2 ，设圆心为D，则D（2，1），显然当A，P，D三点共线时取得最值，故｜AB｜≤｜PA｜≤｜AC｜，即｜PA｜∈[3－ ，3＋ ]. [3－ ，3＋ ]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 四、解答题 13. 若直线经过点P1（x1，y1），P2（x2，y2），点P（x，y）分P1P2的比为λ，则 （λ为参数），已知△ABC三个顶点分别为A（－1，0），B（1，6），C（7，1），P为△ABC内的一点，且△PAB，△PBC，△PCA的面积之比为3∶1∶6，求点P的坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 由于S△PAB∶S△PCA＝1∶2，△PAB，△PCA有公共边AP，故B，C到直线PA的距离之比为1∶2. 解：如图所示， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 同理，A，C到直线BP的距离之比为3∶1，BC边上靠近B的三等分点为（ ， ），即（3， ）， 它与A点连线的直线方程为13x－12y＋13＝0. AC边上靠近C的四等分点为（ ， ），即（5， ）， 它与B点连线的直线方程为21x＋16y－117＝0. 由 解得点P的坐标为（ ， ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 14. （2026·江苏南通调研）已知函数f（x）＝ （ ≤x≤2），记d（k，m）为函数y＝f（x）图象上的点到直线y＝kx＋m的距离的最大值，那么d（k，m）的最小值为 　 　. 解析：如图，显然函数f（x）的图象可放在两条平行直线l1与l2之间，f（x）图象上的个别点在直线上. 设两条平行直线l1与l2之间的距离为d'. 只有l1经过点A（ ，2），B（2， ），l2与f（x）图象相切于点P时，d'取得最小值，d（k，m）的最小值为 d'. ​ 高分推荐题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 设P（x0， ）（ ≤x0≤2），对f（x）求导得f'（x）＝－ ，∵kAB＝－1，∴－ ＝－1，解得x0＝1，∴P（1，1）. 由点A，B的坐标可得直线AB的方程为y＝－x＋ .∴d'＝ ＝ （点P到直线AB的距离），∴d（k，m）的最小值为 d'＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第页 高考一轮总复习·数学 谢 谢 观 看 题组训练　突破高分必刷 $