第51讲　两直线的位置关系、对称问题课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“两直线位置关系、对称问题”核心考点，依据课标要求梳理了平行垂直判定、交点坐标、距离公式及中心对称、轴对称五大考查方向，通过教材母题与2025 - 2026年重庆渝中、浙江绍兴等地期中真题分析，明确距离公式应用、对称问题转化等高频考点，构建“知识梳理 - 真题演练 - 题型归纳”复习体系。 课件亮点在于“真题情境 + 方法提炼 + 素养渗透”，如以光线反射问题为例，用对称点转化法突破轴对称考点，培养数学思维与几何直观。“规律与技巧”模块总结参数讨论、公式应用等应试策略，助力学生掌握答题逻辑，教师可依托此课件精准定位学情，提升高考复习效率。

专题8　直线与圆、圆锥曲线 1 第51讲　两直线的位置关系、对称问题 目 录 课标要求 夯基固本 考点探究 01 03 02 课标要求 返回目录 夯基固本 知识梳理 >> k1＝k2且b1≠b2 k1≠k2 k1k2＝－1 返回目录 夯基固本 平行 垂直 返回目录 唯一解 无解 无穷多组解 返回目录 返回目录 返回目录 －y y 返回目录 －x x x,y －x y －y x 2a－x 2b－y x y 返回目录 返回目录 夯基固本 热身练习 >> D 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 D 2 3 4 5 1 返回目录 D 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 x－y＋1＝0 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 2x＋3y－5＝0 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 考点探究 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 两直线位置关系的判定 B 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 A 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 C 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 规律与技巧 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 B 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 5x＋3y－1＝0 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 C 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点2 距离公式的应用 A 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 3x＋4y－11＝0或x＝1 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 规律与技巧 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点3 对称问题 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 规律与技巧 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 2x－3y－1＝0 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 1.能判定两条直线平行或垂直的关系. 2.能用解方程组的方法判定并求两条直线相交的交点坐标. 3.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 4.掌握中心对称、轴对称等问题的几何特征和求解的基本方法，并能利用图形的对称性解决有关问题． 1．两条直线的平行与垂直 已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则： (1)l1∥l2⇔ ； (2)l1与l2相交⇔ ； (3)l1⊥l2⇔ ． 对于斜率不存在的情况，可以根据图形进行判断，若两条不重合直线的斜率都不存在，则这两条直线 ；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则这两条直线 . 2．两直线的交点 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一一对应． 相交⇔方程组有 ，交点的坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组 ； 重合⇔方程组有 ． eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)) 3．距离公式 (1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ ； (2)点到直线的距离公式：设点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0，P到l的距离为d，则有d＝ ； (3)两条平行直线间的距离公式：设两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0和l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)，它们之间的距离为d，则有d＝ ． eq \r((x1－x2)2＋(y1－y2)2) eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)) 4．中心对称 (1)设平面上的点M(a，b)，P(x，y)，P′(x′，y′)，若满足： eq \f(x＋x′,2)＝a， eq \f(y＋y′,2)＝b，那么，我们称P，P′两点关于点M对称，点M叫做对称中心． (2)点与点对称的坐标关系：设点P(x，y)关于M(x0，y0)的对称点P′的坐标是(x′，y′)，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x′＝2x0－x，,y′＝2y0－y.)) 5．轴对称 (1)设平面上有直线l：Ax＋By＋C＝0和两点P(x，y)，P′(x′，y′)，若满足下列两个条件：① ；② ，则点P，P′关于直线l对称． (2)对称轴是特殊直线的对称问题 对称轴是特殊直线时可直接通过代换法得解： ①关于x轴对称(以 代 )； PP′⊥直线l PP′的中点在直线l上 ②关于y轴对称(以 代 )； ③关于y＝x对称( 互换)； ④关于x＋y＝0对称(以 代 ，以 代 )； ⑤关于x＝a对称(以 代 )； ⑥关于y＝b对称(以 代 ). (3)对称轴为一般直线的对称问题 可根据对称的意义，由垂直平分列方程，从而找到坐标之间的关系： 设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0(AB≠0)对称，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(y2－y1,x2－x1)＝　 ，,A· ＋B· ＋C＝0.)) eq \b\lc\ (\a\vs4\al\co1(　\f(B,A)　,\f(x1＋x2,2)　 \f(y1＋y2,2)　)) 1．(教材母题选必修习题2.2T8)已知直线l经过点P(2，－1)，且与直线2x＋3y＋1＝0垂直，则直线l的方程是(　　) A．2x＋3y－7＝0 B．3x＋2y－8＝0 C．2x－3y－1＝0 D．3x－2y－8＝0 解析：因为直线l与直线2x＋3y＋1＝0垂直，故可设直线l的方程是3x－2y＋C＝0. 将P(2，－1)代入直线l中，6＋2＋C＝0，解得C＝－8，故直线l的方程为3x－2y－8＝0.故选D. 2．(教材母题选必修习题2.3T7改编)已知l1∥l2，l1：2x＋y＋4＝0，l2：6x＋ay＋2＝0，则它们间的距离为(　　) A． eq \f(2\r(5),15) B． eq \f(2\r(5),5) C． eq \f(\r(5),5) D． eq \f(2\r(5),3) 解析：因为l1∥l2，所以2a＝6，故a＝3，故l2：2x＋y＋ eq \f(2,3)＝0.故l1，l2之间的距离为 eq \f(|4－\f(2,3)|,\r(5))＝ eq \f(10,3\r(5))＝ eq \f(2\r(5),3)，故选D. 3．(2026·浙江绍兴期末)原点到直线l：λx＋y－λ＋1＝0(λ∈R)的距离的最大值为(　　) A． eq \f(\r(2),5) B． eq \f(2\r(2),5) C． eq \f(4\r(2),5) D． eq \r(2) 解析：(方法1)设原点到直线l的距离为d，由点到直线的距离公式得 d＝ eq \f(|－λ＋1|,\r(λ2＋1))＝ eq \r(\f(λ2－2λ＋1,λ2＋1))＝ eq \r(1－\f(2λ,λ2＋1))， 显然当λ<0时，有最大值，此时－ eq \f(2λ,λ2＋1)＝ eq \f(2,(－λ)＋(－\f(1,λ))). 因为(－λ)＋(－ eq \f(1,λ))≥2 eq \r((－λ)·(－\f(1,λ)))＝2， 当且仅当λ＝－1时等号成立， 所以 eq \f(2,(－λ)＋(－\f(1,λ)))≤ eq \f(2,2)＝1，所以dmax＝ eq \r(2). (方法2)由直线l：λx＋y－λ＋1＝0(λ∈R)过定点P(1，－1).当OP⊥l时，原点到直线l的距离最大，最大值为 eq \r((1－0)2＋(－1－0)2)＝ eq \r(2)，故选D. 4．(教材母题选必修习题2.2T3)若点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，那么直线l的方程为____________. 解析：由题意可得kAB＝ eq \f(a＋1－a,a－1－a)＝－1. 因为点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称， 所以直线l的斜率为1， 直线l过AB的中点( eq \f(2a－1,2)， eq \f(2a＋1,2))， 所以直线l的方程为y－ eq \f(2a＋1,2)＝x－ eq \f(2a－1,2)， 即x－y＋1＝0. 5．(2025·山东聊城期中)经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－6，4)的直线方程为________________． 解析：联立方程 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,2x－y＝1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，)) 即直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点为(1，1). 又直线的一个方向向量v＝(－6，4)， 所以直线的斜率为－ eq \f(2,3)， 故该直线方程为y－1＝－ eq \f(2,3)(x－1)，即2x＋3y－5＝0. 【例1】 (1)(2025·重庆渝中期中)已知直线2x＋y＋5＝0与直线kx＋2y＝0互相垂直，则它们的交点坐标为(　　) A．(－1，－3) B．(－2，－1) C．(－ eq \f(1,2)，－1) D．(－1，－2) 解析：因为2x＋y＋5＝0与kx＋2y＝0互相垂直， 所以2k＋2＝0，所以k＝－1， 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋y＋5＝0，,x－2y＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－1，)) 所以交点坐标为(－2，－1)，故选B. 【例1】 (2)(2025·安徽马鞍山期中)已知直线l1：2ax－4y－3＝0，l2：x－ay＋1＝0，则“a＝ eq \r(2)”是“l1∥l2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：当l1∥l2时，2a·(－a)－(－4)×1＝0，解得a＝± eq \r(2). 验证：当a＝ eq \r(2)时，l1：2 eq \r(2)x－4y－3＝0，l2：x－ eq \r(2)y＋1＝0，两直线平行， 当a＝－ eq \r(2)时，l1：－2 eq \r(2)x－4y－3＝0，l2：x＋ eq \r(2)y＋1＝0，两直线平行， 所以“a＝ eq \r(2)”是“l1∥l2”的充分不必要条件．故选A. 【例1】 (3)(2026·四川遂宁期中)已知直线ax＋y＋1＝0，x＋ay＋1＝0和x＋y＋a＝0能构成三角形，则实数a的取值范围是(　　) A．a≠－2 B．a≠±1 C．a≠－2且a≠±1 D．a≠－2且a≠1 解析：若三条直线能构成三角形，则两直线不平行，且三条直线不经过同一点． 若a＝0，则三条直线围成三角形． 若a≠0，则 eq \f(a,1)≠ eq \f(1,a)， eq \f(a,1)≠ eq \f(1,1)，解得a≠±1. 当a≠±1时， 由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ax＋y＋1＝0，,x＋y＋a＝0，))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－a－1，)) 代入x＋ay＋1＝0得1－a(a＋1)＋1＝0， 解得a＝1或a＝－2，因此a≠－2. 综上，a≠±1且a≠－2.故选C. (1)判断两直线的位置关系，当直线方程中含有参数时，常常要以斜率是否存在为依据进行讨论，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况． (2)在讨论两直线平行时，要注意验证两直线是否重合．对于斜率不存在是否符合要求，对斜率不存在的情况一般可结合图形进行判断．对含参数的问题还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件． 1．设a，b，c分别为△ABC中角A，B，C所对边的边长，则x sin A＋ay＋c＝0与bx－y sin B＋sin C＝0的位置关系是(　　) A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．重合 解析：由题可知，直线sin A·x＋ay＋c＝0与bx－sin B·y＋sin C＝0的斜率分别为－ eq \f(sin A,a)， eq \f(b,sin B).又在△ABC中 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)，所以－ eq \f(sin A,a)· eq \f(b,sin B)＝－1，所以两条直线垂直，故选B. 2．经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程为__________________． 解析：将直线l1，l2的方程联立，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x＋2y－1＝0，,5x＋2y＋1＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2，))即直线l1，l2的交点为(－1，2). 由题意得直线l3的斜率为 eq \f(3,5).又直线l⊥l3， 所以直线l的斜率为－ eq \f(5,3)， 则直线l的方程是y－2＝－ eq \f(5,3)(x＋1)，即5x＋3y－1＝0. 3．(2025·华师大二附中校考三模)已知三条直线l1：x－2y＋2＝0，l2：x－2＝0，l3：x＋ky＝0将平面分为六个部分，则满足条件的实数k的值共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 解析：当三条直线交于一点时，可将平面分为六个部分， 联立方程 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－2y＋2＝0，,x－2＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2，)) 则将 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2))代入l3：x＋ky＝0中，得2k＋2＝0，解得k＝－1； 当l3：x＋ky＝0与l1：x－2y＋2＝0平行时，满足要求，此时k＝－2； 当l3：x＋ky＝0与l2：x－2＝0平行时，满足要求，此时k＝0. 综上，满足条件的实数k的值共有3个．故选C. 【例2】 (1)若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　) A．3 eq \r(2) B．2 eq \r(2) C．3 eq \r(3) D．4 eq \r(2) 解析：依题意知AB的中点M的集合为到直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得 eq \f(|m＋7|,\r(2))＝ eq \f(|m＋5|,\r(2))|m＋7|＝|m＋5|m＝－6，即l：x＋y－6＝0.根据点到直线的距离公式，得点M到原点的距离的最小值 eq \f(|－6|,\r(2))＝3 eq \r(2).故选A. 【例2】 (2)过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且到点P(0，4)的距离为1的直线l的方程为 ． 解析：由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－2y＋3＝0，,2x＋3y－8＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，)) 所以l1，l2的交点为(1，2). 显然，直线x＝1满足条件； 当直线斜率存在时，设直线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0. 依题意有 eq \f(|－2－k|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝－ eq \f(3,4). 所以所求直线方程为3x＋4y－11＝0或x＝1. (1)运用距离公式时，要注意公式的运用条件．如运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般形式；运用两平行线间的距离公式时，首先要将x，y的系数变为对应相等． (2)求与距离有关的最值时，一般思路是转化为函数的最值．要注意挖掘问题的几何特点，进行合理联想和转化，利用几何直观常可简捷地解答． 4．在平面直角坐标系中，A(－4，0)，B(－1，0)，点P(a，b)(ab≠0)满足|AP|＝2|BP|，则 eq \f(4,a2)＋ eq \f(1,b2)的最小值为________. eq \f(9,4) 解析：由|AP|＝2|BP|， 得 eq \r((a＋4)2＋b2)＝2 eq \r((a＋1)2＋b2)，化简得a2＋b2＝4. 则 eq \f(4,a2)＋ eq \f(1,b2)＝( eq \f(4,a2)＋ eq \f(1,b2))· eq \f(1,4)·(a2＋b2)＝ eq \f(1,4)(4＋1＋ eq \f(4b2,a2)＋ eq \f(a2,b2)) ≥ eq \f(1,4)(5＋2 eq \r(\f(4b2,a2)·\f(a2,b2)))＝ eq \f(9,4)， 当且仅当a2＝2b2时取等号，所以 eq \f(4,a2)＋ eq \f(1,b2)的最小值为 eq \f(9,4). 5．已知两条平行直线分别过点P(－2，－2)，Q(1，3)，它们之间的距离为d，这两条直线各自绕点P，Q旋转并保持互相平行，则实数d的取值范围为____________． (0， eq \r(34)] 解析：当两平行直线的斜率存在时， 设平行直线的斜率为k，则直线l1：y＋2＝k(x＋2)，直线l2：y－3＝k(x－1). 由平行直线间的距离公式得d＝ eq \f(|3k－5|,\r(k2＋1))， 则d2＝ eq \f(9k2－30k＋25,k2＋1). 将问题转化为方程(d2－9)k2＋30k＋d2－25＝0. 由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(d2－9≠0，,Δ＝900－4(d2－9)(d2－25)≥0，))或d2－9＝0， 解得0<d≤ eq \r(34). 当两平行直线的斜率不存在时，两直线方程分别为x＝－2，x＝1，这时，d＝3.故0<d≤ eq \r(34). 【例3】 (1)已知直线l与直线l1：y＝1及直线l2：x＋y－7＝0分别交于点P，Q.若PQ的中点为点M(1，－1)，则直线l的斜率为______________． － eq \f(2,9) 解析：设P(a，1)， 则Q(2－a，－3). 由点Q在直线l2上， 得2－a－3－7＝0，a＝－8， 故P(－8，1)， 所以直线l的斜率为k＝ eq \f(1－(－1),－8－1)＝－ eq \f(2,9). 【例3】 (2)直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为____________________. 2x＋3y＋12＝0 解析：由ax＋y＋3a－1＝0得(x＋3)a＋(y－1)＝0，由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋3＝0，,y－1＝0，))得M(－3，1). 设直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为2x＋3y＋C＝0， 所以 eq \f(|－6＋3－6|,\r(4＋9))＝ eq \f(|－6＋3＋C|,\r(4＋9))，解得C＝12或C＝－6(舍)， 所以直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为2x＋3y＋12＝0. 【例3】 (3)如图，一次函数y＝x＋4的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，点C(－2，0)是x轴上一点，点E，F分别为直线y＝x＋4和y轴上的两个动点，当△CEF周长最小时，点E，F的坐标分别为(　　) A．E(－ eq \f(5,2)， eq \f(3,2))，F(0，2) B．E(－2，2)，F(0，2) C．E(－ eq \f(5,2)， eq \f(3,2))，F(0， eq \f(2,3)) D．E(－2，2)，F(0， eq \f(2,3)) C 解析：如图，作C(－2，0)关于y轴的对称点G(2，0)，作 C(－2，0)关于y＝x＋4的对称点D(a，b). 连接DG交y轴于F，交AB于E，所以FG＝FC，EC＝ED. 此时△CEF周长最小，即EC＋FC＋EF＝ED＋FG＋EF＝DG. 由C(－2，0)，直线AB的方程为y＝x＋4， 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(b,a＋2)＝－1，,\f(b,2)＝\f(a－2,2)＋4，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝2，)) 所以D(－4，2)， 可得直线DG的方程为 eq \f(y－0,2－0)＝ eq \f(x－2,－4－2)，即y＝－ eq \f(1,3)x＋ eq \f(2,3). 由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x＋4，,y＝－\f(1,3)x＋\f(2,3)，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－\f(5,2)，,y＝\f(3,2)，))所以E(－ eq \f(5,2)， eq \f(3,2)). 令x＝0可得y＝ eq \f(2,3)，所以F(0， eq \f(2,3)).故选C. (1)常见对称问题包括：中心对称与轴对称． 中心对称——关键是点与点的对称，利用中点公式． 轴对称——关键是点关于直线的对称，充分利用对称的特点(抓住垂直、平分两个条件). (2)对称问题应用很广泛，角平分线问题、光线的反射问题等都可考虑利用对称进行转化． 6．一条光线从点A(－1，1)出发射向x轴，经过x轴上的点P反射后经过点B(2，5)，则点P的坐标为____________． (－ eq \f(1,2)，0) 解析：由题意可得A(－1，1)关于x轴的对称点为(－1，－1). 而反射光线直线又过B(2，5)， 所以其直线为y＝ eq \f(5＋1,2＋1)(x－2)＋5，即y＝2x＋1. 当y＝0时，x＝－ eq \f(1,2)，即点P的坐标为(－ eq \f(1,2)，0). 7．已知△ABC的顶点A(1，2)，边AB上的中线CM所在的直线方程为x＋2y－1＝0，∠ABC的平分线BH所在直线方程为y＝x，则直线BC的方程为________________． 解析：由题意可知，点B在角平分线y＝x上，可设点B的坐标是(m，m)， 则AB的中点( eq \f(m＋1,2)， eq \f(m＋2,2))在直线CM上， 所以 eq \f(m＋1,2)＋2· eq \f(m＋2,2)－1＝0， 解得m＝－1，故点B(－1，－1). 设A关于y＝x的对称点为A′(x0，y0)， 则有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(y0－2,x0－1)＝－1，,\f(y0＋2,2)＝\f(x0＋1,2)，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝2，,y0＝1，)) 即A′(2，1)，又由A′在直线BC上， 可得直线BC的方程为 eq \f(y＋1,1＋1)＝ eq \f(x＋1,2＋1)， 即3(y＋1)＝2(x＋1)，即2x－3y－1＝0. 8．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，边AB，AD分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合．现将矩形ABCD沿某一条直线折叠，使点A落在线段CD上，设此点为A1. (1)若折痕所在的直线的斜率为k(k为常数)，则用k表示点A1的坐标为___________． (2)折痕所在的直线方程为______________________． (－ eq \f(k,2)， eq \f(1,2)) y＝kx＋ eq \f(k2,2)＋ eq \f(1,2) 解析：当k＝0时，A1(0，1)，折痕所在直线方程为y＝ eq \f(1,2). 当k≠0时，直线AA1的斜率为－ eq \f(1,k)，所以直线AA1的方程为y＝－ eq \f(1,k)x， 由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,k)x，,y＝1))解得x＝－k，所以A1(－k，1)， 所以AA1的中点坐标为(－ eq \f(k,2)， eq \f(1,2))， 所以折痕所在的直线方程为y－ eq \f(1,2)＝k(x＋ eq \f(k,2))，y＝kx＋ eq \f(k2,2)＋ eq \f(1,2). 当k＝0时，折痕y＝ eq \f(1,2)也符合上式， 综上所述，折痕所在的直线方程为y＝kx＋ eq \f(k2,2)＋ eq \f(1,2). $