2026-2027学年高一上学期数学期中考试自编模拟测试卷（一）（范围：人教A版必修第一册第一章至第三章）

2026-2027学年高一上学期期中考试模拟测试卷（一） 满分150分，用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.试卷范围：必修一第一章至第三章 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 2.（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）命题“，”为假命题的一个必要不充分条件是（     ） A． B． C． D． 3.（26-27高一上·浙江杭州·阶段检测）已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（     ） A．和 B．和 C．和无法确定 D．和无法确定 4.（26-27高一上·四川成都·阶段检测）已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5.（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知关于的不等式组． 若该不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（     ）． A． B． C． D． 6.（26-27高一上·河南·阶段检测）设，为实数，且满足，则（   ） A．2 B．1 C． D． 7.（26-27高一上·四川成都·阶段检测）已知函数，对任意，定义集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8.（26-27高一上·河北石家庄·阶段检测）已知实数，函数，若对于一切实数x恒成立，又存在实数使得成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.（26-27高一上·湖北荆州·阶段检测）下列各选项给出的数学命题中，正确的是（    ） A．集合，表示相等集合 B．若是一次函数，满足，则 C．函数的值域为 D．若函数在上具有单调性，则实数k的取值范围是 10.（26-27高一上·贵州贵阳·阶段检测）设，，均为正实数，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则的最大值为 B．若，则的最小值为 C．若，则的最大值为1 D．若，则 11.（26-27高一上·湖北·阶段检测）若函数在区间（）与区间（）上的最大值与最小值均相等，则下列结论正确的是（     ） A． B．在区间上的最大值一定为 C．时， D．的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（26-27高一上·广东深圳·阶段检测）若集合只有1个元素，则a的取值集合是_____． 13.（26-27高一上·吉林四平·阶段检测）已知函数 的值域为，则实数的取值范围为______． 14.（26-27高一上·河南·阶段检测）已知不等式对任意正实数，且恒成立，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（满分13分） （26-27高一上·重庆江北·阶段检测）已知集合，． （1）当时，求： （2）若，且，求实数的取值范围． 16.（满分15分） （26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数的定义域为，且满足，． （1）求函数的解析式； （2）当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围； （3）求关于的不等式的解集． 17.（满分15分） （26-27高一上·云南昆明·阶段检测）某AI公司为提高经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入10万元，对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润，乙产品的利润与研发投入（单位：万元）分别满足，，设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总利润为（单位：万元）． （1）求的表达式； （2）试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大，最大总利润是多少万元？ 18.（满分17分） （26-27高一上·湖北·阶段检测）已知函数为奇函数，且． （1）求实数、的值并直接写出的单调区间； （2）设函数，，记在区间（）上的最小值为． ①求的表达式； ②若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围． 19.（满分17分） （26-27高一上·四川成都·阶段检测）设，，对于定义域为的函数与，，若函数是区间上的单调函数，则称与在区间上满足“性质”． （1）设，，，若与在区间上满足“性质”，求的取值范围； （2）设，，．若与在区间上满足“性质”，若函数在上单调递增，求的取值范围； （3）设，若对任意、，函数与在上都满足“性质”．求证：存在不全为零的实数、，使得函数为常值函数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期期中考试模拟测试卷（一） 满分150分，用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.试卷范围：必修一第一章至第三章 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【详解】由韦恩图可知，阴影部分表示的集合为．因为全集，，所以或因为，所以或．故选：D 2.（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）命题“，”为假命题的一个必要不充分条件是（     ） A． B． C． D． 【详解】命题“，”为假命题，命题“，”为真命题，即对任意的恒成立.令，为开口向上的二次函数，对称轴为；，当时，取得最大值，即；原命题为假的充要条件为，则 必要不充分条件对应的集合需真包含集合.对于A，对应的集合不包含，故A错误；对于B，对应的集合不包含，故B错误；对于C，真包含于对应的集合，故C正确；对于D，对应的集合真包含于，为充分不必要条件，故D错误.故选：C 3.（26-27高一上·浙江杭州·阶段检测）已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（     ） A．和 B．和 C．和无法确定 D．和无法确定 【详解】因为函数的定义域和值域都是，令，解得，所以函数的定义域为，由函数的值域得函数的值域为..故选：B 4.（26-27高一上·四川成都·阶段检测）已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】，其图象开口向上，对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，最小值为.又，且. 因为在 上的值域为 ， 所以区间 必须包含最小值点 ，即 ；同时不能大于，否则，值域会超出.所以当时，在上的最大值为，最小值为，值域为 . 即实数的取值范围为 .故选：C 5.（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知关于的不等式组． 若该不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（     ）． A． B． C． D． 【详解】由得，所以. 又该不等式组仅有一个整数解，故只需，所以.故选：B 6.（26-27高一上·河南·阶段检测）设，为实数，且满足，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【详解】设，因为是增函数，是增函数，所以为增函数.又，所以为奇函数. 将，化为，即，因为为奇函数，所以，又因为函数为增函数，所以，即．故选：D 7.（26-27高一上·四川成都·阶段检测）已知函数，对任意，定义集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，，，所以，，，令，即或，解得或，故或或，或， 或或，所以.故选：D 8.（26-27高一上·河北石家庄·阶段检测）已知实数，函数，若对于一切实数x恒成立，又存在实数使得成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【详解】若，则，则的解为，与题设矛盾；故，而对一切实数恒成立，故的图象开口向上，且与轴相切，所以 则令 令的最大值，令，则 当且仅当，即时，等号成立，有最小值.当时取等号，有最大值. 即满足题目中的条件，的最大值为故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.（26-27高一上·湖北荆州·阶段检测）下列各选项给出的数学命题中，正确的是（    ） A．集合，表示相等集合 B．若是一次函数，满足，则 C．函数的值域为 D．若函数在上具有单调性，则实数k的取值范围是 【详解】对于A，对每个实数，都存在实数，故．又因为，且对于任意，取，都有，所以．因此，故A错误．对于B，设，则.由，比较系数得.当 时，第二个等式变为，矛盾，故只能取，此时．所以，故B正确．对于C，因为，所以，从而．又当时，；随着增大，逐渐减小，始终大于，且可无限接近．因此该分式的取值范围是．所以，原函数的值域为，故C正确．对于D，，其对称轴为．因为抛物线开口向上，且在对称轴左侧单调递减、右侧单调递增，所以它在 上具有单调性的充要条件是，即或．所以的取值范围为，故D正确．故选：BCD 10.（26-27高一上·贵州贵阳·阶段检测）设，，均为正实数，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则的最大值为 B．若，则的最小值为 C．若，则的最大值为1 D．若，则 【详解】对于A选项，因为，所以， ，当且仅当即时取得最大值，符合，故A对.对于B选项，令，因为，均为正实数，所以， 由得，，又因为,所以化简得当且仅当时取得最小值，结合解得，符合，故B错.对于C选项，由，得，所以，因为，均为正实数，所以，当且仅当即时取得最大值，结合可得符合，，均为正实数，故C对.对于D选项，由得，，均为正实数，所以，代入得,因为，所以，化简得，当且仅当即时取得最小值，符合，故D对.故选：ACD 11.（26-27高一上·湖北·阶段检测）若函数在区间（）与区间（）上的最大值与最小值均相等，则下列结论正确的是（     ） A． B．在区间上的最大值一定为 C．时， D．的取值范围是 【详解】，图象如下： 若，在上单调递增，，，则在上，也需要满足，，但，，只有，，而时，单调递增，最大值会超过，不符合题意；若时，在上，，， 在上，也要满足，，则，令，解得（负根舍去）， 只要，可满足题意，若，在上，，， 在上，也要满足，，令，此时方程无解，不符合题意； 若，在上，，，在上单调递增，，不符合题意，综上，，，选项A正确； 在区间上的最大值不一定为，选项B错误；当时，在上，，，那么，选项C正确；由，得，又，所以，选项D错误.故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（26-27高一上·广东深圳·阶段检测）若集合只有1个元素，则a的取值集合是_____． 【详解】当时，原式为，解得，符合题目要求； 当时，因为只有一个元素故，解得，故a的取值集合是. 13.（26-27高一上·吉林四平·阶段检测）已知函数 的值域为，则实数的取值范围为______． 【详解】当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，若，则当时，，当且仅当，即时，等号成立，所以当，即，解得，即时，函数的值域为；若，则当时，，此时的值域为，不合题意；若，则当时，单调递增，当时，；当时，，故，即，综上所述，实数的取值范围为． 14.（26-27高一上·河南·阶段检测）已知不等式对任意正实数，且恒成立，则实数的取值范围是__________． 【详解】令，，则，因为正实数，满足，所以，， 设，则， 当且仅当，即时等号成立，所以不等式恒成立转化为，解得，即的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（满分13分） （26-27高一上·重庆江北·阶段检测）已知集合，． （1）当时，求： （2）若，且，求实数的取值范围． 【详解】（1）集合：由，解得或，故，. 当时，， 故， （2）由，可知，即，于是需满足，解得且，即，又已知，故实数的取值范围是. 16.（满分15分） （26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数的定义域为，且满足，． （1）求函数的解析式； （2）当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围； （3）求关于的不等式的解集． 【详解】（1）令，则．因此，故． （2）不等式等价于．因，，可化为．题设“有解”表示至少有一个满足，故只需不小于右式在该区间的最小值．由，等号在处成立，得最小值为0．所以．检验时取等号成立，故参数范围为． （3）要求解．当时，不等式为，解集为． 当时，二次项系数为负，两根为，不大于零的部分在两根外侧，解集为． 当时，，开口向上，解集为．当时，不等式为，解集为． 当时，，开口向上，解集为． 17.（满分15分） （26-27高一上·云南昆明·阶段检测）某AI公司为提高经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入10万元，对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润，乙产品的利润与研发投入（单位：万元）分别满足，，设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总利润为（单位：万元）． （1）求的表达式； （2）试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大，最大总利润是多少万元？ 【详解】（1）甲产品的投入为（单位：万元），则乙产品的投入为（单位：万元）， 则乙产品的利润 当时，，所以， 当时，，所以， 综上所述，. （2）当时，令，则，，则，当时，函数有最大值， 即当时，函数有最大值． 当时，， 当且仅当，即时等号成立因为．所以当甲投入26万元，乙投入74万元时，才能使总利润最大，最大总利润是204万元. 18.（满分17分） （26-27高一上·湖北·阶段检测）已知函数为奇函数，且． （1）求实数、的值并直接写出的单调区间； （2）设函数，，记在区间（）上的最小值为． ①求的表达式； ②若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）函数定义域为，，因为函数是奇函数，所以，因为不恒为，所以，因为，所以，解得，所以，令，且， 则，因为且，所以，，所以，即，所以函数在区间和上单调递增； （2）①函数，令，得，作出函数图象如下， 当时，由图象可得，当时，由图象可得， 所以， ②设的值域为，的值域为，由题意可得，又， 令，则，. 当，，矛盾，舍去； 当，是增函数，则，因为，则，解得，当，，矛盾，舍去；综上，可得的取值范围为. 19.（满分17分） （26-27高一上·四川成都·阶段检测）设，，对于定义域为的函数与，，若函数是区间上的单调函数，则称与在区间上满足“性质”． （1）设，，，若与在区间上满足“性质”，求的取值范围； （2）设，，．若与在区间上满足“性质”，若函数在上单调递增，求的取值范围； （3）设，若对任意、，函数与在上都满足“性质”．求证：存在不全为零的实数、，使得函数为常值函数． 【详解】（1）因为，在区间D上满足“性质”，故在上为单调函数，因为为开口向上的抛物线，对称轴为，故，即． （2）由题设有在上为单调函数，若即时，因为均为上的增函数，故在上为增函数，若即时，则均为上的增函数即在上为增函数，若，由双勾函数的性质可得：在上单调递减，在为单调递增，结合题设可得即.综上，当在上为单调函数时有，此时在上为单调增函数.又函数在上单调递增，故，故. （3）若函数为常值函数，取；同理，若函数是常值函数，取； 因此，以下考虑函数与都不为常值函数的情况．分别取和，可以得到函数与，不妨设函数与都是增函数（否则，若函数为减函数，将替换为）．由于函数与都不为常值函数，因此存在，使得且，令，其中．首先证明：对任意都有．反证法：假设存在使得，其中且，不妨设，取，，对于函数， 则， ，因此，，与是单调函数矛盾．同理可以证明对任意都有，因此，对任意，，所以为常值函数，取，则A、B不全为零，且为常值函数．得证. 1 学科网（北京）股份有限公司 $