精品解析：黑龙江绥化市第五中学校2026-2027学年九年级上学期11月期中测试数学试题

2026-2027学年度第一学期初四数学期中测试题 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A. 图象经过 B. 图象位于二、四象限 C. 图象关于直线对称 D. 随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】由反比例函数解析式确定，结合其图象与性质逐一判断各选项正误． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴， 将代入解析式，得，故图象经过点，A正确，不符合题意； ∵， ∴图象位于第二、四象限，B正确，不符合题意； 反比例函数图象关于直线对称，C正确，不符合题意； ∵， ∴在每个象限内，随的增大而增大，D选项未限定在每个象限内，表述错误，符合题意． 2. 若反比例函数的图象，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵当时，随的增大而增大， ∴， 解得． 3. 下列几何体中，主视图可能是三角形的是（ ） A. 球体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 长方体 【答案】C 【解析】 【分析】根据主视图是从物体正面看即可求解． 【详解】解：根据主视图是从物体正面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的主视图： A、球的主视图是圆，不符合题意； B、圆柱的主视图是矩形，不符合题意； C、圆锥的主视图是三角形，符合题意； D、长方体的主视图是长方形，不符合题意． 故选C． 【点睛】本题主要考查了简单几何体的主视图知识，解题关键是熟练掌握主视图的定义． 4. 在中，，a、b、c分别是、、的对边，下列关系式中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵在中，， ∴，，，． ∴，，，即A、B、C均正确． 由得，故D错误． 5. 一根笔直的小木棒（记为线段，它的正投影为线段，则下列各式中一定成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行投影、正投影的定义，注意同一物体的所处的位置不同得到正投影也不同．投影线垂直于投影底幕面时，称正投影，根据木棒的不同位置可得不同的线段长度． 【详解】解：根据正投影的定义，当与投影面平行时，，当与投影面不平行时，大于．当垂直于投影面时，投影为点． ． 故选：． 6. 一个几何体由一些大小相同的小正方体摆成的，其主视图和俯视图如图，则组成这个几何体的小正方体最多有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】由俯视图确定底层小正方体的个数及位置，由主视图确定每一列的最大层数，即可求出最多数量． 【详解】解：由俯视图可知，该几何体底层有个小正方体，分为左、右两列，左面个，右面个， 由主视图可知，左边一列最高为层，右边一列最高为层， 要使小正方体数量最多，则左边一列的上下层均摆放个小正方体，右边一列只摆放1个小正方体， ∴最多有（个）． 7. 如图，中，是斜边上的高，则下列各式不能表示的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直角三角形的性质及余角的性质求出，再利用正弦的定义即可得出选项． 【详解】解：∵在中，是斜边上的高， ， ，， ， A、在中，，不符合题意； B、在中，，不符合题意； C、在中，，不符合题意； D、在中，，符合题意． 8. 如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，，则DE：EC=【 】 A. 2：5 B. 2：3 C. 3：5 D. 3：2 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF∶S△ABF=4∶25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出DE∶AB的值，由AB=CD即可得出结论． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD ∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE ∴△DEF∽△BAF ∴ ∵， ∴DE：AB=2：5 ∵AB=CD， ∴DE：EC=2：3 故选B． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 9. 如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】过B点作BD⊥AC，如图， 由勾股定理得，AB=，AD=， cosA===， 故选D． 10. 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ） A. ∠ABP=∠C B. ∠APB=∠ABC C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．当∠ABP=∠C时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； B．当∠APB=∠ABC时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； C．当时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确． 故选：D． 11. 如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点，向两坐标轴作垂线段，已知，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例系数k的几何意义得到，由得，然后计算． 【详解】解：根据反比例系数k的几何意义可知：， ∵， ∴， ∴． 12. 正方形中，点E是上的一点，连接，过点B作于点G，交于点F，下列结论正确的个数为（ ） ①； ②； ③若E是中点，则 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵正方形，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，故②正确； 设正方形的边长为， ∵E是中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 综上，①②③都是正确的． 二、填空题（每小题3分，共30分） 13. 已知，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质、代数式求值等知识点．由，设，，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴． 故答案为：． 14. 已知正比例函数与反比例函数的图象交于两点，若点的坐标为，则点的坐标为____． 【答案】 【解析】 【分析】先求点坐标，得出反比例函数解析式，再求两函数图象的交点坐标即可得解． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于两点，点的坐标为， ∴，解得：． ∴． ∴． 由解得：． 当时，， ∴点的坐标为：． 15. 如图，已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三边对应成比例判定，利用相似三角形对应角相等得出，再结合角的和差关系即可得出结论． 【详解】解：， ， ， ， ． 16. 的顶点A的坐标是，以原点O为位似中心，按的相似比放大得到，求出点A的对应点的坐标为________ 【答案】或 【解析】 【分析】以原点为位似中心的位似变换中，对应点存在与原图形同侧、异侧两种位置关系，需结合相似比分别计算，避免漏解． 【详解】解：∵ 位似中心为坐标原点，原图形与放大后图形的相似比为，即放大后图形的对应边长为原图形的倍． ∴ 点的对应点的坐标分两种情况． 当与点在原点同侧时，坐标为原坐标乘以． 代入，得的坐标为． 当与点在原点异侧时，坐标为原坐标乘以． 代入，得的坐标为． 17. 在中，、满足，则是__________三角形． 【答案】等边 【解析】 【分析】根据非负数的性质得到三角函数值的等式，结合特殊角的三角函数值求出对应锐角的度数，再通过三角形内角和定理计算第三个角的度数，判断三角形类型． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∵三角形的每个内角都 ∴由可得 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形． 18. 如图是三个反比例函数的分支，则、、由小到大的顺序为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数图象所在象限判断系数的符号，再利用反比例函数的图象离原点越近的绝对值越小比较的大小即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象分支在第二象限， ，  ∵反比例函数与的图象分支均在第一象限，  ，，  又∵在第一象限内，反比例函数的图象离原点更近， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.2米，在同一时刻旗杆AB的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，测得落在地面上的影长BD=9.6米，留在墙上的影长CD=2米，则旗杆的高度AB为____米. 【答案】10 【解析】 【分析】根据三个角是直角的四边形是矩形，可得四边形BDCE为矩形，利用矩形的对边相等，可得CE=CE=9.6米，BE=CD=2米，利用“在同一时刻物高与影长的比相等”，可得，从而求出AE的长，继而求出AB的长. 【详解】解：如图， 过点C作CE⊥AB于点E，可得四边形BDCE为矩形， ∴CE=CE=9.6米，BE=CD=2米， 由题意可得：， ∴AE=8(米)， ∴AB=AE+BE=8+2=10(米). 故答案为10. 【点睛】此题考查相似三角形的应用，解题关键在于做辅助线构建直角三角形. 20. 如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE，若BE=9，BC=12，则cosC=_____． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：线段中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等.根据DE是BC的中垂线可得CE=BE=9，CD=BC=6，∠EDC=90°，则cosC=. 考点：中垂线的性质、三角形函数. 21. 已知反比例函数，当时，y的取值范围是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性，结合给定的的取值范围计算边界对应的函数值，即可得出答案． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴图象位于一、三象限，在每个象限内随的增大而减小， 当时，，当时，， ∵， ∴的取值范围是． 22. 在中，，点D是的中点，点E在上，若要使与相似，那么_________． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． 根据题意，进行分类讨论：当时，当时，即可解答． 【详解】解：∵，点D是的中点， ∴， 当时， ，即 解得：， 当时， ，即 解得：， 故答案为：3或． 三、解答题（共6小题，共54分） 23. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 24. 如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成一个正方形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，那么这个正方形的边长是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】设正方形的边长为，表示出的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵高，四边形是正方形， ∴，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 答：这个正方形的边长是． 25. 如图，已知双曲线与直线交于点和点 （1）求双曲线和直线的解析式； （2）直接写出线段的长，当时的取值范围． 【答案】（1）双曲线的解析式为，直线的解析式为 （2），或 【解析】 【分析】（1）把代入双曲线函数中，即可求出双曲线的解析式，然后把代入双曲线的解析式中，即可求得，利用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）利用平面直角坐标系中两点、线段长度公式，即可求得线段的长；根据图像即可得的取值范围． 【小问1详解】 ∵在双曲线上 ∴ ∴双曲线的解析式为 ∵在双曲线上 ∴， 即 ∵，在直线上 ∴代入可得： 解得 ∴直线的解析式为 【小问2详解】 ∵由双曲线与直线函数的图像可知 当时，或 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及函数图像的性质，熟练掌握函数图像与函数表达式之间的关系是解题关键． 26. 如图，在中，，动点P从点A出发沿边向点B以的速度运动，动点Q同时从点B出发沿边向点C以的速度运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．那么何时与相似？ 【答案】秒和2秒后和相似． 【解析】 【分析】先由点P与点Q的运动速度，表示出与，再根据边成比例分情况讨论和相似，列式求解即可． 【详解】解：设经过秒钟与相似． 已知点从点开始沿边向点以的速度移动， 点从点开始沿边向点以的速度移动， 可得，， 因为，所以， 分两种情况讨论： 情况一：当时，， 将，，，代入， 可得：，可得， 解得； 情况二：当时，． 将，，，代入， 可得：，可得， 解得． 因为点从点移动到点所需时间为， 点从点移动到点所需时间为， 而和都在这个范围内，所以这两个值都符合题意． 综上所述：秒和2秒后和相似． 27. 如图，小明晚上从路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的顶部．已知小明的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是多少？ 【答案】30m． 【解析】 【分析】根据条件易证AP=BQ，求两路灯之间的距离的问题可以转化为求AP的长度的问题，设，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解． 【详解】∵EP⊥AB， FQ⊥AB， AC⊥AB， BD⊥AB， AC=BD=9，， △APE≌△BQF， AP=BQ， △APE∽△ABD， 设AP=BQ=， 则， 即，， ， ∴两路灯之间的距离是：30m． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 28. 在四边形中，平分为中点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的值． 【答案】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：∵，为的中点， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）； （3） 【解析】 【分析】(1)先根据角平分线得出，进而判断出，根据相似三角形性质即可得出结论； (2)先利用直角三角形斜边中线的性质得出，可得出，根据角平分线的定义得到，从而，再根据”内错角相等，两直线平行”即可得出结论； (3)证，根据相似三角形性质可得：，进而即可得到的值． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期初四数学期中测试题 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A. 图象经过 B. 图象位于二、四象限 C. 图象关于直线对称 D. 随的增大而增大 2. 若反比例函数的图象，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列几何体中，主视图可能是三角形的是（ ） A. 球体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 长方体 4. 在中，，a、b、c分别是、、的对边，下列关系式中，错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 一根笔直的小木棒（记为线段，它的正投影为线段，则下列各式中一定成立的是( ) A. B. C. D. 6. 一个几何体由一些大小相同的小正方体摆成的，其主视图和俯视图如图，则组成这个几何体的小正方体最多有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7. 如图，中，是斜边上的高，则下列各式不能表示的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，，则DE：EC=【 】 A. 2：5 B. 2：3 C. 3：5 D. 3：2 9. 如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ） A. ∠ABP=∠C B. ∠APB=∠ABC C. D. 11. 如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点，向两坐标轴作垂线段，已知，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 12. 正方形中，点E是上的一点，连接，过点B作于点G，交于点F，下列结论正确的个数为（ ） ①； ②； ③若E是中点，则 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（每小题3分，共30分） 13. 已知，则的值是______． 14. 已知正比例函数与反比例函数的图象交于两点，若点的坐标为，则点的坐标为____． 15. 如图，已知，则__________． 16. 的顶点A的坐标是，以原点O为位似中心，按的相似比放大得到，求出点A的对应点的坐标为________ 17. 在中，、满足，则是__________三角形． 18. 如图是三个反比例函数的分支，则、、由小到大的顺序为__________． 19. 如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.2米，在同一时刻旗杆AB的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，测得落在地面上的影长BD=9.6米，留在墙上的影长CD=2米，则旗杆的高度AB为____米. 20. 如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE，若BE=9，BC=12，则cosC=_____． 21. 已知反比例函数，当时，y的取值范围是__________． 22. 在中，，点D是的中点，点E在上，若要使与相似，那么_________． 三、解答题（共6小题，共54分） 23. 计算 （1） （2） 24. 如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成一个正方形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，那么这个正方形的边长是多少？ 25. 如图，已知双曲线与直线交于点和点 （1）求双曲线和直线的解析式； （2）直接写出线段的长，当时的取值范围． 26. 如图，在中，，动点P从点A出发沿边向点B以的速度运动，动点Q同时从点B出发沿边向点C以的速度运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．那么何时与相似？ 27. 如图，小明晚上从路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的顶部．已知小明的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是多少？ 28. 在四边形中，平分为中点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $