精品解析：天津市南开中学2026-2027学年第一学期质量监测（一）高一数学试卷

南开中学 2026-2027 学年度第一学期质量监测（一） 高一数学试卷 考试时间：120 分钟 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共 150 分． 第Ⅰ卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）． 1. 已知集合是小于的正整数，，，则（　　） A. B. C. D. 2. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知命题：，，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知 ，，，，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 若 ，，则 B. 若 ，则 C. 若 ，，则 D. 若 ，则 5. 已知函数，则满足的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为定义在上的奇函数，当时，，那么时，（ ） A. B. C. D. 7. 已知幂函数是奇函数，且在上是增函数，则满足条件的不同有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则的解集为（） A. B. C. D. 9. 已知函数满足对于任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 11. 设，，若对于任意，总存在，使得 成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为 A. 16 B. 18 C. 25 D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分． 13. 已知集合，，若，则___________． 14. 设全集，，，则集合__________． 15. 若，且，则__________． 16. 函数 的单调递减区间是________． 17. 已知：（），：，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________． 18. 已知函数 ，若正实数 ， 满足 ，则 的最小值为________． 19. 函数 的值域为________． 20. 已知函数（），关于的不等式的解集为 ，且关于的不等式的解集中有且仅有7个整数，则满足条件的实数 的取值范围是________． 三、解答题：本大题共 4 小题，共 58 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 已知全集为，集合，，． （1）求，； （2）若，求实数的取值范围． 22. 已知函数 ． （1）当 时，解不等式 ； （2）解关于 的不等式 ； （3）若 ，求实数 的取值范围． 23. 已知函数是定义域为的奇函数． （1）求的值； （2）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； （3）已知，不等式对恒成立，求的取值范围． 24. 已知二次函数，其中， （1）若满足，求； （2）若，存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围； （3）当，若对任意实数，总存在，使得，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南开中学 2026-2027 学年度第一学期质量监测（一） 高一数学试卷 考试时间：120 分钟 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共 150 分． 第Ⅰ卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）． 1. 已知集合是小于的正整数，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题可知全集，， 故. 2. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】分，，先判断是否满足充分性，再判断是否满足必要性，即可得答案. 【详解】当时，，由可得； 当时，由，，不可得，如，但， 故充分性不满足； 当时，，由可得； 当时，，由可得； 故必要性满足； 所以“”是“”的必要不充分条件. 3. 已知命题：，，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】命题：，， 所以命题的否定是，. 4. 已知 ，，，，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 若 ，，则 B. 若 ，则 C. 若 ，，则 D. 若 ，则 【答案】D 【解析】 【详解】取 ，，，，则 ，故A错误； 取 ，，， 得 ，故B错误； 取 ，，，，则 ，故C错误； 由知，，所以， 在不等式的两边同时乘以得， 然后在不等式的两边同时乘以得，故D正确 5. 已知函数，则满足的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分情况讨论，当时，，解得；当时，，解得，最终取并集得到. 【详解】函数，当时，两者取交集得到； 当时，，两者取交集得到 综上，得到. 故选：D. 6. 已知为定义在上的奇函数，当时，，那么时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由奇函数的性质进行求解即可． 【详解】当时，得， 因为为定义在上的奇函数，所以， 则当时，， 故选：B 7. 已知幂函数是奇函数，且在上是增函数，则满足条件的不同有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数定义确定，确定或，再根据条件：函数在上是增函数，确定，确定或，再根据函数为奇函数验证的值即可求解. 【详解】因为函数幂函数， 所以，解得或， 因为函数在上是增函数， 所以，解得，所以（舍去）， 因为函数是奇函数，当时，幂指数，不合题意； 当时，幂指数，为奇函数，符合题意； 所以满足条件的为. 故选：A 8. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则的解集为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用偶函数的对称性判断函数在另一区间上的单调性及零点，进而确定在各个区间的正负号，最后将不等式转化为两个不等式组求解. 【详解】由是偶函数，得. 又在上单调递减，故在上单调递增. 所以当时，；当时，. 要求，即需满足以下两种情况之一： ，即，解得； ，即，解得. 综上，的解集为. 9. 已知函数满足对于任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可得函数在上单调递减，进而得，解出即可求解. 【详解】由有函数在上单调递减， 所以， 所以， 故选：C. 10. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等式消元，然后由基本不等式求得最小值. 【详解】因为，所以， 所以， 因为，所以，所以，所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以，当时取得最小值. 11. 设，，若对于任意，总存在，使得 成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对函数分和，运用二次函数的值域求法，可得的值域，运用一次函数的单调性求出函数的值域，由题意可得的值域包含在的值域内，可得的不等式组，解不等式可得的取值范围． 【详解】∵， 当时，， 当时，， 由，即，所以， ∴，故， 又因为，且，． 由递增，可得， 对于任意，总存在，使得成立， 可得， 可得 ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查函数恒成立问题以及函数值域的求法，注意运用转化思想，是对知识点的综合考查，属于中档题． 12. 如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为 A. 16 B. 18 C. 25 D. 【答案】B 【解析】 【详解】时，抛物线的对称轴为.据题意，当时，即..由且得.当时，抛物线开口向下，据题意得，即..由且得，故应舍去.要使得取得最大值，应有.所以，所以最大值为18.选B.. 考点：函数与不等式的综合应用. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分． 13. 已知集合，，若，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】由 ，且 ，得 ，即 或 . 当 时，，此时 ，与 中元素 重复，不满足集合元素的互异性，舍去. 当 时，，解得 或 . 若 ，则 ，，满足 且元素互异，符合题意； 若 ，则 ，与 中元素 重复，不满足互异性，舍去. 综上，. 14. 设全集，，，则集合__________． 【答案】 【解析】 【分析】由集合的交并补混合运算关系得到即可； 【详解】因为，， 所以集合中没有0,1,8,9， 又，所以集合中有2,4，同时 ，说明集合中没有5,7,10， 综上，集合， 故答案为：. 15. 若，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】令，利用换元法求解. 【详解】令，则， 因为， 所以， 故. 故答案为：. 16. 函数 的单调递减区间是________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，函数在的单调递减区间为， 函数在无单调递减区间. 17. 已知：（），：，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】解一元二次不等式和绝对值不等式求出命题和成立的等价条件（即对应的集合），然后根据是的充分不必要条件，得出对应的集合是对应集合的真子集，列出关于的不等式组求解. 【详解】由命题：，因式分解得. 因为，所以，解得.即命题成立对应的集合为. 由命题：，解得或，即或. 即命题成立对应的集合为. 因为是的充分不必要条件，所以. 是的子集，则必须完全包含在内，或者完全包含在内. ①若，则，解得.又已知，所以. ②若，则. 综上所述，实数的取值范围是. 18. 已知函数 ，若正实数 ， 满足 ，则 的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先判断函数为奇函数，结合条件推得，将目标式化简消元后利用“乘1”法与基本不等式即可求得其最小值. 【详解】函数 的定义域为， 且，即函数为奇函数. 当时，，因函数在上都是增函数， 故函数在上为增函数，则在上也为增函数. 又因正实数 ， 满足 ， 则，得. 于是， 由可得，且， 则， 当且仅当时，即时等号成立. 故 的最小值为. 19. 函数 的值域为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出该函数的定义域为，求出，再由换元整理得，求导判断其单调性即可求出其值域. 【详解】因， 由函数有意义，可得， 解不等式①得，解不等式可得， 故该函数的定义域为. 又因，易得 设，只考虑，则， 于是，， 求导得， 整理得， 因，则可得，即函数在上单调递增， 故，即，也即， 结合，可得函数的值域为. 20. 已知函数（），关于的不等式的解集为 ，且关于的不等式的解集中有且仅有7个整数，则满足条件的实数 的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由二次函数的性质得到的关系，由函数最小值求得的取值范围.将的关系代入不等式，解得不等式解集，根据题意建立不等式求得的取值范围，即可求得答案. 【详解】不等式的解集为， 因为函数是开口向上的二次函数，结合二次函数的对称性可得， 不等式的解集为，且函数的最小值不小于1， 所以，即，所以， 所以的最小值， 所以， 不等式整理得， 即，因为，所以， 所以不等式的解集为，由题意可知7个整数解为， 所以，所以， 所以. 三、解答题：本大题共 4 小题，共 58 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 已知全集为，集合，，． （1）求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【小问1详解】 由得，故； 由得． 所以或，或， 所以 ， 或． 【小问2详解】 因为，且． 当时，，即，符合题意； 当时，，需或， 解得或． 综上，实数的取值范围为． 22. 已知函数 ． （1）当 时，解不等式 ； （2）解关于 的不等式 ； （3）若 ，求实数 的取值范围． 【答案】（1） （2）当 时， ； 当 时， 或 ； 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ． （3） 【解析】 【小问1详解】 当 时，， 由 得 ， 解得 ，即解集为 ． 【小问2详解】 ． 当 时，不等式化为 ，解得 ； 当 时，，解得 或 ； 当 时，两根为 与 ，需比较大小： 若 ，则 ，解得 ； 若 ，则 ；若 ，则 ． 【小问3详解】 即 的解集，由题意它应包含于 ． 由（2）知，当 或 时，解集含区间 ，不合题意； 当 时，解集为 ，不合题意；当 时，解集为 ，符合题意； 当 时，解集为 ，需 ，即 ，得 ； 所以 的取值范围为 ． 23. 已知函数是定义域为的奇函数． （1）求的值； （2）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； （3）已知，不等式对恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）在上单调递减．证明如下： 由（1）知函数，设 ， 则， ， ， 因为，所以，， 即，， 所以，即，故在上单调递减． （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质求解. （2）利用函数的单调性定义进行判断. （3）先根据奇函数的性质将不等式进行转化，再结合函数单调性得到关于的不等式，最后根据的取值范围求解的取值范围. 【小问1详解】 因为是定义域为的奇函数，所以， 所以，即 ， 此时，满足． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为为奇函数，所以， 由（2）可知，在上单调递减，且， ，所以对恒成立， 即对恒成立，令，， 由对勾函数性质可得：在单调递减，在单调递增， 所以在单调递减，在单调递增， 所以在处取得最小值，，， 又因为，所以，则， 即的取值范围为． 24. 已知二次函数，其中， （1）若满足，求； （2）若，存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围； （3）当，若对任意实数，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由是偶函数，问题转化为时，与有两个不同的交点，进而分析求解即可； （3）问题转化为，分情况讨论的最值求解. 【小问1详解】 由已知， ， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 因为为偶函数，所以若关于的方程有四个不同的实根， 则时，方程有两个不同的实根， 即时，与有两个不同的交点， 当时，，， 而时，，当且仅当时等号成立， 所以当时，开口向下，对称轴在轴右侧，且最大值大于. 所以，解得且， 所以实数的取值范围为； 【小问3详解】 由已知可知，对任意实数，在恒成立， 因为的对称轴为，， 若，则在单调递增， ， 所以在恒成立， 因为在单调递增，所以，解得； 若，即，则在单调递减， ， 所以在恒成立， 因为在单调递减， 所以，解得； 当，即， ， 所以在恒成立， 因为在单调递增， 所以，解得； 当，即时， ， 所以在恒成立， 因为在单调递减， 所以，解得； 综上，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $