4.1-4.2数列概念及等差数列综合练习卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

数列概念及等差数列 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知数列，则是它的(    ) A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项 【答案】C  【解答】 解：数列，，，，， 可得其规律为：， 令，可得． 故是它的第项． 故选：． 2.已知数列满足若为递减数列，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解答】 解：依题意可知  且  ， 由于  为递减数列， 所以  ，  ，  ， 所以  ． 故选：． 3.已知数列的前项和为，数列满足：，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查与的关系，根据数列递推关系求通项公式，属中档题． 由以及递推关系，通过累加法可得，代入即可． 【解答】 解：由， 得 ， 累加可得， 则， 故选C． 4.已知数列满足，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了已知数列的递推式求数列的通项公式． 此类题目可以取倒数法，构造新数列可得结果． 【解答】 解：已知数列满足， ，， ，令，则， 可得，则数列为等差数列，公差为， 且首项为， 故， 故． 故选D． 5.在数列中，，，则等于(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查数列递推式，考查累加法的应用，属于基础题． 由，利用累加法即可求得． 【解答】 解：由题意可得， 所以，，，， 上式累加可得 ， 又，所以． 故选B． 6.若等差数列的前项和为，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查等差数列的性质和通项公式、求和公式，属于基础题． 由等差数列的性质可得的值，再利用等差数列的求和公式、通项公式可得结果． 【解答】 解：由题意得， 得，则， 所以． 7.在等差数列中，如果，那么(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查等差数列的性质，属于中档题． 由等差数列的性质可知，，，，也成等差数列，即可求解． 【解答】 解：设等差数列的公差为， 由等差数列的性质可知，，，，也成等差数列，公差为， ，， ， ． 故选B． 8.已知数列满足递推关系：，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查等差数列的概念和等差数列的通项公式． 利用数列递推关系，结合等差数列的定义得数列是首项为，公差为的等差数列，再利用等差数列的通项公式计算得结论． 【解答】 解： ， ． 又， 数列是首项为，公差为的等差数列． ， 即． 故选C． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，，，，，，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”记斐波那契数列为，其前项和为，则(    ) A. B. C. D. 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查了数列的前项和及与的关系，根据数列的递推公式求通项公式，属于中档题． 利用给定定义逐个选项分析数列性质求解即可． 【解答】 解：依题意可得， A正确； 由， B错误； ， C正确； ， 累加得， D正确． 故选：． 10.数列满足，则下列说法正确的是(    ) A. 数列是等差数列 B. 数列有最小项 C. 数列的通项公式为 D. 数列为递减数列 【答案】AD  【解析】【分析】 本题主要考查等差数列的通项公式，同时考查了递推公式，属于中档题． 首先根据得到，从而得到是以首项为，公差为的等差数列，再依次判断选项即可． 【解答】 解：因为，， 所以，即， 所以是以首项为，公差为的等差数列， 故A正确 B.因为是以首项为，公差为的等差数列， 所以，所以， 故数列有最大项，不存在最小项， 故B错 C.数列的通项公式为，故C错 D.因为，所以数列为递减数列，故D正确 故选AD． 11.已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，下列说法正确的有(    ) A. B. 当时， C. 当时，不是数列中的项 D. 若是数列中的项，则的值可能为 【答案】ABD  【解析】【分析】 本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列的性质，属于中档题． 对，根据等差数列通项公式求解即可；对，分析  的公差再求解即可；对，由中通项公式判断即可；对，根据题意判断等差数列中的项在新的等差数列中对应的下标是以为首项，为公差的等差数列即可． 【解答】 解：对，  ，故A正确； 对，当  时，  公差  ，此时  ，故B正确； 对，当  时  ，此时  ，  ，即  是数列  中的项，故C错误； 对，插入个数，则，，，，，则等差数列中的项在新的等差数列中对应的下标是以为首项，为公差的等差数列，则， 而是数列的项，令，当时，，D正确． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知数列的前项和为，仅在处取到最大值，则的范围是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了数列的函数特征及数列的递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 由仅在处取到最大值，可知中没有项，且，，从而利用数列的递推关系，可得关于的方程组，解之即可． 【解答】 解：因为仅在处取到最大值， 故中没有项，且，， 又当时，， 故解得， 则的范围是． 故答案为． 13.已知数列满足，，则           ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查等差数列的判定或证明，等差数列的通项公式，属于中档题． 根据求出和的关系式，构造新数列即可求解． 【解答】 解：因为， 所以， 所以， 令，所以，因为， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以， 所以， 同理， 所以． 故答案为：． 14.若函数的四个零点成等差数列，则________． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了函数的的零点及等差数列的性质，属于中档题． 根据给定条件，求出函数的个零点，再借助对称性及等差中项列式求解即得． 【解答】 解：设四个零点从左到右依次为，，，， 则， ，且，， 又，，，成等差数列， ， ， ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知数列满足． 求和； 证明：数列为单调递增数列． 【答案】解： 因为， 当时，， 当时，， 由得，所以， 当时，，所以也满足， 当时，， 故，， ，． 由知，，易知，则， 又对一切恒成立，所以， 得到对一切恒成立， 所以数列为单调递增数列． 【解析】本题考查数列的递推式和数列的单调性，考查转化思想和运算能力，属于中等题． 根据条件，取，即可求出，再利用数列的第项与前项和间的关系即可求出结果； 根据中结果，通过证明，即可证明结果． 16.本小题分 已知数列的前项积为，，且． 求的通项公式； 若存在，使得恒成立，求的取值范围． 【答案】解：因为，当时，， 所以， 又因为，所以， 因为，，所以数列中奇数项为负，偶数项为正， 所以 所以 要使得恒成立， 若为奇数，且， 所以， 若为偶数，，且， 所以， 所以， 故的取值范围为  【解析】本题考查数列的递推关系及数列的通项公式，考查数列的函数特征，属于中档题． 由条件结合数列的递推关系可得，，即可得，结合可得的通项公式 由条件可得，为奇数，；为偶数，，即可得的取值范围． 17.本小题分 已知数列满足，且，且 求，； 证明：数列是等差数列； 求数列的通项公式． 【答案】解：，； 证明：，且， ，且，即，且， 数列是首项为，公差的等差数列． 由，得， ．  【解析】本题主要考查了数列的递推关系，构造等差数列求解是关键，属于中档题． 利用递推关系分别取，即可得出．  由，且，得到，且，根据等差数列的定义即可判断数列是等差数列． 由，得，可得答案． 18.本小题分 数列满足，，． Ⅰ当时，求实数及； Ⅱ当时，设，求数列的通项公式； Ⅲ是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出其通项公式，若不存在，说明理由． 【答案】解：Ⅰ，，，， 故，所以． Ⅱ当时，，两边同除以，得：， 所以，是一个以为首项，以为公差的等差数列， 所以：， 所以的通项公式为． Ⅲ，， ， 若数列为等差数列，则， ，，方程没有实根， 故不存在实数，使得数列为等差数列．  【解析】本题考查数列的项的求法，通项公式的求法，灵活应用等差数列的关系，考查转化思想，函数与方程的思想，属于中档题． Ⅰ 通过，时，利用，直接求实数及； Ⅱ当时，推出是一个以为首项，以为公差的等差数列，然后求数列的通项公式． Ⅲ数列为等差数列，推出，得到，方程有解则存在，求出其通项公式，否则不存在． 19.本小题分 在数列中，，，数列满足，． 求数列的通项公式； 是否存在正整数，，使得是与的等差中项？若存在，求出，；若不存在，请说明理由． 【答案】解：由，知数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，从而． 又， ，，，，，累加得， 所以，也符合，故，． 假设存在正整数，，使得是与的等差中项， 从而有，即，，， ，，当，即时，舍去； 当，即时，，符合题意． 故存在正整数，，使得是与的等差中项． 【解析】本题考查累加法求数列的通项公式，等差数列与方程结合，考查运算求解能力和逻辑思维能力． 先求得，再结合累加法可求得数列的通项公式； 假设存在正整数，，使得是与的等差中项，结合等差数列的性质得求得，再分析式子可求得，，故可判断得答案． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数列概念及等差数列 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知数列，则是它的(    ) A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项 2.已知数列满足若为递减数列，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 3.已知数列的前项和为，数列满足：，，，则(    ) A. B. C. D. 4.已知数列满足，，则(    ) A. B. C. D. 5.在数列中，，，则等于(    ) A. B. C. D. 6.若等差数列的前项和为，，则(    ) A. B. C. D. 7.在等差数列中，如果，那么(    ) A. B. C. D. 8.已知数列满足递推关系：，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，，，，，，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”记斐波那契数列为，其前项和为，则(    ) A. B. C. D. 10.数列满足，则下列说法正确的是(    ) A. 数列是等差数列 B. 数列有最小项 C. 数列的通项公式为 D. 数列为递减数列 11.已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，下列说法正确的有(    ) A. B. 当时， C. 当时，不是数列中的项 D. 若是数列中的项，则的值可能为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知数列的前项和为，仅在处取到最大值，则的范围是          ． 13.已知数列满足，，则           ． 14.若函数的四个零点成等差数列，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知数列满足． 求和； 证明：数列为单调递增数列． 16.本小题分 已知数列的前项积为，，且． 求的通项公式； 若存在，使得恒成立，求的取值范围． 17. 本小题分 已知数列满足，且，且 求，； 证明：数列是等差数列； 求数列的通项公式． 18. 本小题分 数列满足，，． Ⅰ当时，求实数及； Ⅱ当时，设，求数列的通项公式； Ⅲ是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出其通项公式，若不存在，说明理由． 19.本小题分 在数列中，，，数列满足，． 求数列的通项公式； 是否存在正整数，，使得是与的等差中项？若存在，求出，；若不存在，请说明理由． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $