专题03 等比数列：定义、通项、基本量与性质应用（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题03等比数列：定义、通项、基本量与性质应用 常考题型·精准突破 考点一 等比数列通项公式 题型1 判断数列为等比数列 题型2 写出等比数列通项公式 题型3 由递推关系证明等比数列（高频） 考点二 等比数列性质 题型4 等比中项（重） 题型5 等比数列下标和性质（重） 考点三 等比数列的函数特征 题型6 等比数列通项公式的指数函数特征（高频） 题型7 等比数列单调性（难） 题型8 求等比数列中最大（小）项（难） 考点四 等比数列前n项和 题型9 求等比数列前n项和（重） 题型10 等比数列前n项和的基本量计算（重） 考点五 等比数列前n项和的性质 题型11 等比数列片段和性质（高频） 题型12 等比数列奇偶项和的性质（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 等比数列通项公式 ◆题型1 判断数列为等比数列 1．将公比为q的等比数列，，，，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列，，，…．此数列是（    ）． A．公比为q的等比数列 B．公比为的等比数列 C．公比为的等比数列 D．不一定是等比数列 2．已知数列，则“”是“为等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（26-27高二上·全国·课后作业）已知项数相同的等比数列，，公比分别为，给出下列数列：①；②；③；④；⑤．其中一定是等比数列的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知数列满足，，则下列结论正确的是（    ） A．数列是公差为的等差数列 B．数列是公差为2的等差数列 C．数列是公比为的等比数列 D．数列是公比为2的等比数列 5．（多选）（25-26高二上·甘肃兰州·期中）设是等比数列，则（   ） A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等比数列 D．是等差数列 ◆题型2 写出等比数列通项公式 6．（26-27高三上·湖北黄石·开学考试）等比数列的公比为2，且，，成等差数列，则数列的通项公式__________． 7．（25-26高三·全国·一轮复习）设为数列的前项和，若，则________． 8．（25-26高三·全国·一轮复习）设数列的前n项和为，已知，，，则通项公式______． 9．（25-26高二下·广东中山·阶段检测）在等比数列中． (1)若它的前三项分别为，求； (2)若，，，求； (3)已知，，求； 10．（25-26高三·全国·一轮复习）设数列的前n项和为，且．求数列的通项公式． ◆题型3 由递推关系证明等比数列 11.（26-27高二上·全国·课堂例题）已知数列的首项，且满足．求数列的通项公式； 12．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知数列的首项，且满足.求证:是等比数列. 13．（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知数列满足，． (1)求证：数列是等比数列； (2)求的通项公式． 14．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知数列满足，，且，试证明数列是等比数列，并求的通项公式． 15．（24-25高二上·天津武清·阶段检测）已知数列的前项和为，且．在数列中，． (1)求的通项公式； (2)证明：是等比数列． (3)求数列的通项公式． 考点二 等比数列性质 ◆题型4 等比中项 16．（25-26高二下·陕西安康·期末）3与9的等比中项为（     ） A． B． C． D． 17．（25-26高二下·北京海淀·期中）已知为4与9的等比中项，则的值为（    ） A．6 B．-6 C． D．36 18．（25-26高二下·广东惠州·期中）和的等差中项与等比中项分别为（    ） A． B． C． D． 19．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）若、、成等比数列，则（     ） A． B． C． D． 20．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）若正实数，，成等比数列，则的值为__________. ◆题型5 等比数列下标和性质 21．（25-26高二下·湖北·阶段检测）记数列为等比数列，已知，，则（    ） A．32 B．34 C．38 D．31 22．（26-27高三上·辽宁沈阳·阶段检测）已知数列为等比数列，，是方程的两个实数根，则___________. 23．（26-27高二上·全国·课后作业）在等比数列中，，，则______． 24．（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）已知等比数列各项均为正数，，则______． 25．（25-26高二下·吉林长春·期末）已知各项均为正数的等比数列中，，为函数的两个零点，则______． 考点三 等比数列的函数特征 ◆题型6 等比数列通项公式的指数函数特征 26．已知等比数列的前项和为，则点列在同一坐标平面内不可能的是（    ） A． B． C． D． 27．（2023·四川内江·一模）已知数列满足：，点在函数的图象上．则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 28．（23-24高二上·福建龙岩·阶段检测）设等比数列的前n项和为，若，则______. 29．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，是等比数列图象上的两点，则______． 30．下列说法正确的是______．（填序号） ①数列图像上的点都在函数的图像上； ②数列的图像与函数的图像相同； ③函数图像上存在满足数列通项公式的点； ④数列图像上可能存在不满足函数关系式的点． ◆题型7 等比数列单调性 31．（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）对于等比数列，则“”是“数列为单调递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 32．若数列是公比为的递增等比数列，则（    ） A． B． C． D． 33．（26-27高三上·北京海淀·开学考试）已知是无穷等比数列，则“”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 34．（25-26高一下·上海·期末）已知是无穷等比数列，q是公比，则“，”是“数列严格单调递增”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 35．（25-26高三上·湖南株洲·期中）已知等比数列，满足，则下面说法正确的是（    ） A．若，则数列是递增数列 B．若，则数列是递减数列 C．若，则数列是递增数列 D．若，则数列是递增数列 ◆题型8 求等比数列中最大（小）项 36．（24-25高二下·安徽·阶段检测）已知等比数列中，，，设数列的最大项为，最小项为，则（   ） A． B． C． D． 37．（2026·四川泸州·模拟预测）设为等比数列的前项和，若，，则的最小值为________． 38．（24-25高二下·北京大兴·期中）已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和的最大值； (3)若等比数列满足，，问：是否存在最大值与最小值？说明理由. 考点四 等比数列前n项和 ◆题型9 求等比数列前n项和 39．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知数列的前项和为，且满足，则（   ） A． B． C． D． 40．（山东德州市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题）已知数列是等比数列且是其前项和，，若，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 41．（25-26高二下·广东潮州·期末）设等比数列的前项和为，已知，，则________． 42．（25-26高一下·上海·期中）已知数列满足且，则数列的前1001项的和是___________ 43．已知数列的前项和为． (1)若是等差数列，且，求； (2)若是等比数列，且，，成等差数列，求． ◆题型10 等比数列前n项和的基本量计算 44．（25-26高二下·福建漳州·期末）已知等比数列中，，. (1)求的通项公式； (2)记为的前n项和，若，求k. 45．（25-26高二上·山西吕梁·阶段检测）已知数列的前项和为． (1)若为等比数列，，，求的公比； (2)若为等差数列，，，求． 46．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）（1）设是等差数列的前n项和，，，求数列的通项公式； （2）设等比数列的前n项和为.若公比，，，求n. 47．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知数列的前项和为，. (1)若是正项等比数列，且，求； (2)若，求. 48．（24-25高二下·江西赣州·期中）在等比数列中， (1)已知，求和； (2)已知，求和. 考点五 等比数列前n项和的性质 ◆题型11等比数列片段和性质 49．（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）已知等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．12或-15 B．15或-12 C．15 D．12 50．（25-26高二下·广东阳江·期末）已知等比数列的前项和为，，，则（     ） A．120 B．210 C．220 D．850 51．（25-26高二上·福建龙岩·阶段检测）已知等比数列的前项和为，若，则（       ） A．49 B．56 C．105 D．112 52．（25-26高二下·河南南阳·期中）已知等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．80 B．100 C．105 D．125 53．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知等比数列的前项和为，若，，则________． ◆题型12 等比数列奇偶项和的性质 54．（23-24高二上·重庆·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 55．已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（    ） A． B． C． D． 56．（2026高二·全国·专题练习）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则_____. 57．（2026高二·全国·专题练习）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是_____. 58．（24-25高二下·湖南常德·阶段检测）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为_________ 综合攻坚·知能拔高 1．（湖北武汉市2027届高中毕业生九月调研考试数学试题）某光电子产业基地汇聚众多高科技企业，在多个领域打破国际垄断、领跑全球.已知该地某芯片企业近个月的月产量构成等比数列，其中前个月总产量为万片，前个月总产量为万片，则该企业这个月的总产量为（    ） A．万片 B．万片 C．万片 D．万片 2．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知数列的前项和为，且满足，则（   ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·辽宁沈阳·阶段检测）已知数列1，，，，4，则是该数列成等比数列的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件 4．（26-27高二上·湖南邵阳·开学考试）已知正项等比数列，其前n项和为．若，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·四川泸州·阶段检测）正项等差数列的公差为d，已知，且三项成等比数列，则（    ） A．7 B．5 C．4 D．3 6．（25-26高二下·广东深圳·阶段检测）已知数列的前项和，将该数列排成一个数阵（如图），其中第行有个数，则该数阵第行从左向右第个数是（    ） A． B． C． D． 7．（26-27高三上·云南·开学考试）已知为等比数列的前项和，若，则（   ） A． B． C． D． 8．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）设数列满足，则的前2026项之和为（   ） A． B． C． D． 9．（26-27高三上·广东汕尾·阶段检测）已知正项等比数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C．15 D．40 10．（多选）（25-26高二下·广东阳江·期末）设等差数列的前项和为，，公差为，则下列说法正确的是（     ） A．是等比数列 B．当且仅当时，取得最大值 C．若，则的最大值为 D．若的前项和为，则 11．（多选）（25-26高二下·河南驻马店·期末）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，则（     ） A．，的等差中项为 B．，的等比中项为 C．，，，，…为等差数列 D．，，，，…为等比数列 12．（2026·福建泉州·模拟预测）已知等比数列，，则的值为______. 13．（26-27高二上·全国·课后作业）设等比数列的前项和为，，若，则数列的公比______． 14．（26-27高三上·北京·开学考试）中国古代以“三分损益法”确定十二律管的长度，从“黄钟”出发，交替进行“损一”和“益一”操作，依次生得十二律管．记“黄钟”长度为，第次损益后得到的律管长度为，已知损益规则为：，则__________． 15．（26-27高三上·黑龙江辽宁·开学考试）在数列中，，，． (1)证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式． 16．（26-27高三上·湖南·开学考试）已知公比为的等比数列的前项和为，且． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 17．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知数列的前项和为，其中． (1)若，记数列的前30项和为，求证：； (2)求的最大值； 18．（25-26高二下·福建漳州·期末）已知等比数列中，，. (1)求的通项公式； (2)记为的前n项和，若，求k. 19．（25-26高二下·辽宁本溪·期末）已知数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)设满足，求的前项和． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03等比数列：定义、通项、基本量与性质应用 常考题型·精准突破 考点一 等比数列通项公式 题型1 判断数列为等比数列 题型2 写出等比数列通项公式 题型3 由递推关系证明等比数列（高频） 考点二 等比数列性质 题型4 等比中项（重） 题型5 等比数列下标和性质（重） 考点三 等比数列的函数特征 题型6 等比数列通项公式的指数函数特征（高频） 题型7 等比数列单调性（难） 题型8 求等比数列中最大（小）项（难） 考点四 等比数列前n项和 题型9 求等比数列前n项和（重） 题型10 等比数列前n项和的基本量计算（重） 考点五 等比数列前n项和的性质 题型11 等比数列片段和性质（高频） 题型12 等比数列奇偶项和的性质（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 等比数列通项公式 ◆题型1 判断数列为等比数列 1．将公比为q的等比数列，，，，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列，，，…．此数列是（    ）． A．公比为q的等比数列 B．公比为的等比数列 C．公比为的等比数列 D．不一定是等比数列 【答案】B 【分析】根据等比数列的定义可得正确的选项. 【详解】设新数列为，则， 因为为等比数列，故，故， 而，故为等比数列且公比为， 故选：B. 2．已知数列，则“”是“为等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质进行充分性与必要性判断即可. 【详解】若为等比数列，则一定成立；若，则不一定为等比数列，比如 所以“”是“为等比数列”的必要不充分条件. 故选：B. 3．（26-27高二上·全国·课后作业）已知项数相同的等比数列，，公比分别为，给出下列数列：①；②；③；④；⑤．其中一定是等比数列的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据等比数列的定义判断即可. 【详解】解：①中，（常数），所以数列是等比数列； ②中，（常数），所以数列是等比数列； ③中，不妨设，则数列为，因为，所以数列不一定是等比数列； ④中，数列的项可能为0，故不一定是等比数列； ⑤中，（常数），所以数列是等比数列． 故①②⑤是等比数列． 4．已知数列满足，，则下列结论正确的是（    ） A．数列是公差为的等差数列 B．数列是公差为2的等差数列 C．数列是公比为的等比数列 D．数列是公比为2的等比数列 【答案】C 【分析】根据递推关系式，化简变形可得即可判断数列是公比为的等比数列. 【详解】∵， ∴， 既不是等比数列也不是等差数列； ∴， ∴数列是公比为的等比数列． 故选：C 5．（多选）（25-26高二上·甘肃兰州·期中）设是等比数列，则（   ） A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等比数列 D．是等差数列 【答案】AC 【分析】利用等比数列定义可判断A、C，令，可判断B，取等比数列为，可判断D. 【详解】因为是等比数列，所以设其公比为，即． 因为，所以是等比数列，所以A选项正确； 因为，所以是等比数列，所以C选项正确； 当时，，所以此时不是等比数列，所以B选项错误； 不妨设等比数列为，当时，不存在， 所以不是等差数列，所以D选项错误. 故选：AC ◆题型2 写出等比数列通项公式 6．（26-27高三上·湖北黄石·开学考试）等比数列的公比为2，且，，成等差数列，则数列的通项公式__________． 【答案】 【分析】根据等比数列通项公式，将用首项表示，由等差数列中项性质建立方程，求解首项，进而写出通项公式. 【详解】因为等比数列的公比为2， 所以， 因为，，成等差数列， 所以， 即，解得， 所以. 7．（25-26高三·全国·一轮复习）设为数列的前项和，若，则________． 【答案】 【分析】根据与的关系，结合等比数列的定义求解即可. 【详解】当时，，解得． 当时，，作差得，整理得． 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以． 又符合上式，故． 8．（25-26高三·全国·一轮复习）设数列的前n项和为，已知，，，则通项公式______． 【答案】 【详解】在数列中，由，得， 则，而，则， 因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，，即， 当时，，也满足此式， 所以． 9．（25-26高二下·广东中山·阶段检测）在等比数列中． (1)若它的前三项分别为，求； (2)若，，，求； (3)已知，，求； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在等比数列中，，，，而， 所以． （2）因为，又，，，则， 解得． （3）因为，，则 10．（25-26高三·全国·一轮复习）设数列的前n项和为，且．求数列的通项公式． 【答案】 【分析】利用递推式，取，求出，当时，得出，进而求出数列的通项公式． 【详解】当时，，解得， 当时，，， ，， ， 数列是以2为首项，4为公比的等比数列，则， 数列的通项公式为． ◆题型3 由递推关系证明等比数列 11．（26-27高二上·全国·课堂例题）已知数列的首项，且满足．求数列的通项公式； 【答案】 【分析】由已知及构造法得，再由等比数列的定义可得答案. 【详解】因为，，易知， 取倒数得，，即， 因为，所以，所以为常数， 所以是以为首项，为公比的等比数列； 所以，则， 所以，即数列的通项公式为. 12．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知数列的首项，且满足.求证:是等比数列. 【答案】 根据题意，， 则， 且， 所以是以为首项，为公比的等比数列. 【详解】略 13．（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知数列满足，． (1)求证：数列是等比数列； (2)求的通项公式． 【答案】(1)因为 所以 , 则， 又. 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， (2) 【分析】(1)根据已知证明为一个常数，即可得证； (2)由(1)求出数列的通项，从而得到答案. 【详解】（1）略 （2）由（1）得， 所以． 14．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知数列满足，，且，试证明数列是等比数列，并求的通项公式． 【答案】证明: 因为， 所以，即， 又，则， 所以， 又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以. 【分析】根据递推公式证明是等比数列，进而求出通项公式. 【详解】证明略，通项公式为． 15．（24-25高二上·天津武清·阶段检测）已知数列的前项和为，且．在数列中，． (1)求的通项公式； (2)证明：是等比数列． (3)求数列的通项公式． 【答案】(1) (2)证明:由，可得， 即，且， 所以是以为首项，为公比的等比数列. (3) 【分析】（1）根据题意由求解的通项公式即可； （2）由，可得，再结合等比数列定义求解； （3）根据（2），移项可得数列的通项公式. 【详解】（1）由题意知，当时， 因为， 所以的通项公式为 （2）略； （3）由（2）知是以为首项，为公比的等比数列，故， 所以. 考点二 等比数列性质 ◆题型4 等比中项 16．（25-26高二下·陕西安康·期末）3与9的等比中项为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查等比中项的定义，若成等比数列，则. 【详解】设与的等比中项为 由等比数列的等比中项定义可知，，解得. 17．（25-26高二下·北京海淀·期中）已知为4与9的等比中项，则的值为（    ） A．6 B．-6 C． D．36 【答案】C 【分析】由等比数列中项性质求解即可. 【详解】因为4与9的等比中项，即，解得. 18．（25-26高二下·广东惠州·期中）和的等差中项与等比中项分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差中项和等比中项的定义即可求解． 【详解】和的等差中项为， 和的等比中项为． 19．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）若、、成等比数列，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据 “三数成等比数列” 的条件，运用等比中项性质列出等式；再将等式两边展开整理，求出值即可. 【详解】、、成等比数列，， 整理可得，. 20．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）若正实数，，成等比数列，则的值为__________. 【答案】1 【详解】因为正实数成等比数列，所以， 解得或，因为，所以． ◆题型5 等比数列下标和性质 21．（25-26高二下·湖北·阶段检测）记数列为等比数列，已知，，则（    ） A．32 B．34 C．38 D．31 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为，，， 所以， 因为，而，， 所以，所以， 即， 而，，所以. 22．（26-27高三上·辽宁沈阳·阶段检测）已知数列为等比数列，，是方程的两个实数根，则___________. 【答案】 【详解】已知，是方程的两个实数根， 由韦达定理知，，，所以， 因为在等比数列中， 所以，因为，所以. 23．（26-27高二上·全国·课后作业）在等比数列中，，，则______． 【答案】 【分析】根据等比数列性质求解. 【详解】由等比数列的性质，可知，，，也成等比数列，设其公比为， 则，得，． 24．（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）已知等比数列各项均为正数，，则______． 【答案】 【详解】因为是等比数列，所以，因为,所以,所以. 25．（25-26高二下·吉林长春·期末）已知各项均为正数的等比数列中，，为函数的两个零点，则______． 【答案】/1.5 【分析】利用根与系数的关系求出的值，结合等比数列的下标性质与对数的运算性质求解即可. 【详解】因为，为函数的两个零点，所以，是方程的两个正根，根据根与系数的关系可得. 根据等比数列的性质，有，所以（负根舍去）. 所以. 考点三 等比数列的函数特征 ◆题型6 等比数列通项公式的指数函数特征 26．已知等比数列的前项和为，则点列在同一坐标平面内不可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等比数列通项公式和前项和公式确定正确答案. 【详解】设等比数列的首项为，公比为， A选项，时，，图象符合. B选项，时，，图象符合. C选项，时，，图象符合. D选项，由图可知，都是负数，所以， 但图象显示时，或为正数，矛盾，所以D选项图象不符合. 故选：D 27．（2023·四川内江·一模）已知数列满足：，点在函数的图象上．则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先通过求出，则可得数列的通项公式，代入可求得. 【详解】由已知， 则，解得， 故选：A. 28．（23-24高二上·福建龙岩·阶段检测）设等比数列的前n项和为，若，则______. 【答案】 【分析】根据数列前n项和求出数列的前3项，然后利用等比中项性质求解验证即可. 【详解】根据题意，等比数列中，有， 则，， ， 因为是等比数列，则有，解得. 当时，，当时，则； 当时，则，也满足； 故，符合题意. 故答案为：. 29．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，是等比数列图象上的两点，则______． 【答案】 【分析】根据等比数列的通项公式进行求解即可. 【详解】由题意知，，∴，∴， ∴． 故答案为： 30．下列说法正确的是______．（填序号） ①数列图像上的点都在函数的图像上； ②数列的图像与函数的图像相同； ③函数图像上存在满足数列通项公式的点； ④数列图像上可能存在不满足函数关系式的点． 【答案】①③ 【分析】根据等比数列通项公式的函数特征即可得出答案. 【详解】解：根据等比数列与指数型函数的关系知， 数列图像上的点都在函数的图像上，故①正确； 数列的图像是一系列分散在函数的图像上的点， 所以函数图像上存在满足数列通项公式的点，故③正确，②④错误. 故答案为：①③. ◆题型7 等比数列单调性 31．（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）对于等比数列，则“”是“数列为单调递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式，结合充分性和必要性的定义进行运算判断即可. 【详解】设该等比数列的公比为， ，或， 当时，显然满足，显然数列不是单调递增数列； 当数列为单调递增数列时，则有 ，或， 因此”是“数列为单调递增数列”的必要不充分条件， 故选：B 32．若数列是公比为的递增等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】举反例判断ACD错误，根据数列递增的性质判断B. 【详解】依题意，不妨设，数列是递增的等比数列，由此判断选项错误. 设，数列是递增的等比数列，由此判断A选项不正确. 因为数列是公比为的递增等比数列，所以或， 即故选项B正确. 故选：B. 33．（26-27高三上·北京海淀·开学考试）已知是无穷等比数列，则“”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】分别判断充分性和必要性，必要性由递增数列定义直接得证，充分性通过构造反例说明不成立. 【详解】首先证明必要性：若“是递增数列”，则根据递增数列的定义可知， 任意，均有，故，必要性成立. 充分性不成立，理由如下：数列，若， 那么，满足，但数列是摆动数列，不是递增数列. 所以“”是“是递增数列”的必要不充分条件. 34．（25-26高一下·上海·期末）已知是无穷等比数列，q是公比，则“，”是“数列严格单调递增”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】结合等比数列通项公式先验证充分性成立，再通过反例说明必要性不成立，即可判断条件类型． 【详解】① 充分性证明：对任意，等比数列通项为， 若，，则， 由，，，可得，即， 严格单调递增，充分性成立； ② 必要性验证：若严格单调递增，存在反例：取，公比，此时数列通项公式为， 所以， 所以数列严格单调递增，但不满足且，故必要性不成立； 综上，“，”是“数列严格单调递增”的充分非必要条件． 35．（25-26高三上·湖南株洲·期中）已知等比数列，满足，则下面说法正确的是（    ） A．若，则数列是递增数列 B．若，则数列是递减数列 C．若，则数列是递增数列 D．若，则数列是递增数列 【答案】D 【分析】先根据题意用表示出公比，再根据选项讨论当的取值范围不同时数列的增减情况即可. 【详解】由等比数列，则公比， 对于选项A，若，则公比，故，又，数列是递减数列，故选项A错误. 对于选项B，若，则公比，又，数列是递增数列，故选项B错误. 对于选项C，若，则公比，故，又，数列是递减数列，故选项C错误. 对于选项D，若，则公比，故，又，数列是递增数列，故选项D正确. 故选：D. ◆题型8 求等比数列中最大（小）项 36．（24-25高二下·安徽·阶段检测）已知等比数列中，，，设数列的最大项为，最小项为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设等比数列的公比为，根据题意求出、的值，可得出数列的通项公式，分析数列奇数项和偶数项的单调性，可得出、的值，即可得解. 【详解】设等比数列的公比为，由，解得， 所以，， 当为奇数时，； 当为偶数时，. 所以，数列的奇数项单调递增，偶数项单调递减， 故，，， 故选：D． 37．（2026·四川泸州·模拟预测）设为等比数列的前项和，若，，则的最小值为________． 【答案】 【详解】令公比为，且，则， 而，所以， 当为奇数时，当为偶数时， 所以最小出现在为偶数的情况，显然最小为. 38．（24-25高二下·北京大兴·期中）已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和的最大值； (3)若等比数列满足，，问：是否存在最大值与最小值？说明理由. 【答案】(1) (2)25 (3)存在，理由如下： 由（1）知，，， 因为等比数列满足，，所以，. 所以等比数列的公比为，.所以. 所以，. 故当时，取得最小值.当时，取得最大值. 【分析】（1）由等差数列的通项公式可求得，，从而得到结果； （2）利用等差数列前项和公式得到，由二次函数单调性易得的最大值； （3）先求出等比数列的通项公式，然后分奇偶项讨论单调性即得结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由题意知 解得，.所以的通项公式为. （2）的前n项和. 所以当时，取得最大值. （3）略 考点四 等比数列前n项和 ◆题型9 求等比数列前n项和 39．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知数列的前项和为，且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，所以， 当时，， 所以，所以是首项为1，公比为2的等比数列， 所以. 40．（山东德州市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题）已知数列是等比数列且是其前项和，，若，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】由解得,然后根据求和公式建立方程求解即可 【详解】在等比数列中，设公比为, 因为，所以,解得. ,解得. 41．（25-26高二下·广东潮州·期末）设等比数列的前项和为，已知，，则________． 【答案】5 【分析】根据等比数列的通项公式以及前项和公式，将题中所给条件用表示，然后建立方程求出的值，最后再利用等比数列前项和公式求出即可. 【详解】，解得.所以. 42．（25-26高一下·上海·期中）已知数列满足且，则数列的前1001项的和是___________ 【答案】499 【详解】因为，所以， ，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以 所以， 所以 43．已知数列的前项和为． (1)若是等差数列，且，求； (2)若是等比数列，且，，成等差数列，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设数列的公差为d，利用等差数列前n项和的基本量运算求出，然后代入等差数列通项公式求解即可； （2）设数列的公比为q，利用等差中项性质求得，然后利用等比数列前n项和公式求解即可． 【详解】（1）设数列的公差为d，由，得 ，解得， 所以． （2）设数列的公比为q，则 ，因为，，成等差数列， 所以，即，解得，所以 ． ◆题型10 等比数列前n项和的基本量计算 44．（25-26高二下·福建漳州·期末）已知等比数列中，，. (1)求的通项公式； (2)记为的前n项和，若，求k. 【答案】(1) 或 . (2) . 【分析】（1）利用等比数列通项公式建立关于公比q的方程，求出q后代入通项公式得到两种情况的通项； （2）分两种公比情况，分别写出等比数列前项和公式，令和等于求解正整数，舍去无解情形得到最终答案. 【详解】（1）设公比为，由及得 ， 即，解得或或（舍）， 故通项或 . （2） 若，，令，得 . 若，，令，化简得，无正整数解 . 综上. 45．（25-26高二上·山西吕梁·阶段检测）已知数列的前项和为． (1)若为等比数列，，，求的公比； (2)若为等差数列，，，求． 【答案】(1)1或 (2)-100 【分析】（1）根据等比数列的通项公式列出关于首项和公比的方程组，解方程组即可 （2）方法1：根据等差数列结合下标和性质即可求解；方法2，根据等差数列的公式列出关于和的方程组，解方程组即可. 【详解】（1）设数列的公比为，由题意得 两式相除，得，即， 解得，或． （2）法1：由，，得， 因为这些项成等差数列，且项数为80， 由等差数列的性质，得， 所以， 所以， 所以． 法2：设数列的公差为，由，，得 化简，得解得 所以． 46．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）（1）设是等差数列的前n项和，，，求数列的通项公式； （2）设等比数列的前n项和为.若公比，，，求n. 【答案】（1），（）；（2）． 【分析】（1）根据已知及等差数列的通项公式、前n项和公式列方程求基本量，进而写出通项公式； （2）由等比数列的通项公式、前n项和公式列方程求基本量即可. 【详解】（1）不妨设等差数列的首项、公差分别为，d， 由题意，，解得，， 所以，（）， 即数列的通项公式为，（）. （2）依题意， 由于，所以两式相除得，则， 所以，可得，故， 所以，可得. 47．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知数列的前项和为，. (1)若是正项等比数列，且，求； (2)若，求. 【答案】(1) (2)465 【分析】（1）利用等比数列前项和公式即可计算出，进而得； （2）由得是以为首项，公差为2的等差数列，是以为首项，公差为2的等差数列，利用等差数列前项和公式即可求解. 【详解】（1）因为是等比数列，设首项为，公比为， 由，知，， 所以①；② 得，又所以， 代入①得，所以 （2）因为，所以为常数 所以是以为首项，公差为2的等差数列， 是以为首项，公差为2的等差数列， 故 48．（24-25高二下·江西赣州·期中）在等比数列中， (1)已知，求和； (2)已知，求和. 【答案】(1)， (2) 当时，； 当时，, 【分析】（1）根据和的关系求解即可； （2）根据题意列方程求出和，进而求解即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 当时，； 当时，， 满足上式，所以，对任意的， 因此，. （2）设等比数列的公比为， 由，得， 解得或. 当时，； 当时，， 考点五 等比数列前n项和的性质 ◆题型11等比数列片段和性质 49．（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）已知等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．12或-15 B．15或-12 C．15 D．12 【答案】B 【详解】因为等比数列的前项和为，且，， 所以，且，两式相除得， 解得或， ，故或. 50．（25-26高二下·广东阳江·期末）已知等比数列的前项和为，，，则（     ） A．120 B．210 C．220 D．850 【答案】D 【分析】根据为等比数列计算. 【详解】由题意得，为等比数列， 则为等比数列，得公比为， 则，，得，. 51．（25-26高二上·福建龙岩·阶段检测）已知等比数列的前项和为，若，则（       ） A．49 B．56 C．105 D．112 【答案】A 【分析】利用等比数列前项和连续等长片段的和仍为等比数列的性质，结合等比中项公式求解. 【详解】由等比数列的性质可知，成等比数列. 已知，，因此，即为等比数列. 根据等比中项性质可得：，代入数值得， 计算得，解得. 52．（25-26高二下·河南南阳·期中）已知等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．80 B．100 C．105 D．125 【答案】C 【分析】结合等比数列前项和的性质求解. 【详解】易得的公比，则，，成等比数列， 所以，得. 53．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知等比数列的前项和为，若，，则________． 【答案】 【详解】由等比数列前n项和的性质可知，仍然成等比数列， 所以可看作是这个数列的前4项的和， 由，可知. ◆题型12 等比数列奇偶项和的性质 54．（23-24高二上·重庆·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质得到奇数项为，偶数项为，得到等比数列的公比q的值，然后用等比数列的前n项和的公式求出n即可． 【详解】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为， 得到奇数项为， 偶数项为，整体代入得， 所以前项的和为，解得. 故选：B 55．已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设这个等比数列共有项，公比为，利用偶数项之和与奇数项之和的比值求得的值，再利用等比数列的求和公式可求得的值，由此可得出该数列的项数. 【详解】设这个等比数列共有项，公比为， 则奇数项之和为， 偶数项之和为， ， 等比数列的所有项之和为，则， 解得，因此，这个等比数列的项数为. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列的求和公式求项数，同时也涉及了等比数列奇数项和偶数项之和的性质的应用，考查计算能力，属于中等题. 56．（2026高二·全国·专题练习）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则_____. 【答案】12 【详解】求出等比数列的公比，结合等比数列的性质可求出及，即可求得的值. 【分析】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍， 所以，故， 设等比数列的公比为，设该等比数列共有项， 则，所以， 因为，可得，因此. 57．（2026高二·全国·专题练习）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是_____. 【答案】120 【分析】设该数列奇数项之和为、偶数项之和为，则可得，，解出即可得. 【详解】设该数列奇数项之和为、偶数项之和为， 则， 故，故、， 则数列的所有项之和是. 58．（24-25高二下·湖南常德·阶段检测）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为_________ 【答案】10 【解析】设等比数列项数为项，公比为，由题意可求出，结合等比数列的性质和前项和公式可知，进而可求出项数. 【详解】设等比数列项数为项，公比为，则，， 由， 解得，因为是公比为的等比数列，则 ， 即，解得， 故答案为:10. 【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 综合攻坚·知能拔高 1．（湖北武汉市2027届高中毕业生九月调研考试数学试题）某光电子产业基地汇聚众多高科技企业，在多个领域打破国际垄断、领跑全球.已知该地某芯片企业近个月的月产量构成等比数列，其中前个月总产量为万片，前个月总产量为万片，则该企业这个月的总产量为（    ） A．万片 B．万片 C．万片 D．万片 【答案】C 【详解】设该芯片企业近个月的月产量构成等比数列，公比为，前项和为， 则，，， ，， 即该企业这个月的总产量为万片. 2．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知数列的前项和为，且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，所以， 当时，， 所以，所以是首项为1，公比为2的等比数列， 所以. 3．（26-27高三上·辽宁沈阳·阶段检测）已知数列1，，，，4，则是该数列成等比数列的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件 【答案】B 【分析】分别判断充分性、必要性是否成立，结合等比数列的定义与性质推导结论. 【详解】首先判断必要性：若数列1，，，，4为等比数列，设公比为，根据等比数列通项公式，第3项，由于，故，必要性成立； 再判断充分性： 若，取特殊值，此时数列是，相邻项的比值不恒定，不满足等比数列的定义，充分性不成立； 综上，是该数列成等比数列的必要不充分条件. 4．（26-27高二上·湖南邵阳·开学考试）已知正项等比数列，其前n项和为．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，则公比， 则，得，因为，所以. 5．（24-25高三上·四川泸州·阶段检测）正项等差数列的公差为d，已知，且三项成等比数列，则（    ） A．7 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】利用等比中项的性质结合等差数列通项公式列方程，舍去不符合正项条件的解即可求得公差. 【详解】因为，公差为，所以，， 由题意可得：， 即 ， 化简整理得， 解得或， 因为数列是正项等差数列，及公差，故. 6．（25-26高二下·广东深圳·阶段检测）已知数列的前项和，将该数列排成一个数阵（如图），其中第行有个数，则该数阵第行从左向右第个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用与之间关系可求得，结合等比数列前项和可确定所求项为，由通项公式可求得结果. 【详解】当时，； 当时，满足； 综上所述：； 该数阵前行共有：个数， 则第行从左向右第个数为. 7．（26-27高三上·云南·开学考试）已知为等比数列的前项和，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，由可得，两式作差可得出等比数列的公比，然后在等式中，令，可求出的值，进而可求出数列的通项，即可得出的值. 【详解】因为，所以当时，． 两式相减，得，所以，即等比数列的公比为． 当时，，解得，所以， 所以． 8．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）设数列满足，则的前2026项之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，； 当时，由， 得， 两式相减得，所以， 又不适合上式，所以的通项公式为. 所以. 9．（26-27高三上·广东汕尾·阶段检测）已知正项等比数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C．15 D．40 【答案】C 【分析】根据等比数列前项和公式，结合已知条件求出公比，再计算. 【详解】对于正项等比数列，其首项为，公比为， 前项和公式为，已知， 假设，则，那么，， 因为，所以，由可得： ，化简可得：， 根据立方差公式可得：， 因为且，所以，等式两边除以可得： ，化简可得：， 进一步化简得：，即，求解可得： 或，因为，所以，根据等比数列的前项公式可得： . 10．（多选）（25-26高二下·广东阳江·期末）设等差数列的前项和为，，公差为，则下列说法正确的是（     ） A．是等比数列 B．当且仅当时，取得最大值 C．若，则的最大值为 D．若的前项和为，则 【答案】ACD 【分析】先根据已知条件求出等差数列的通项公式和前项和公式，再根据公式逐一分析选项. 【详解】已知等差数列 中 ， 则，. 对于选项A，， 因为 是等差数列，公差 ，所以 ， 则 ，且 ， 所以 是以 为首项， 为公比的等比数列， A选项正确； 对于选项B，的图象开口向下，对称轴为 ， 因为 为正整数，所以当 或 时， 可以取得最大值， 而 ， 即 的最大值为 30 ，B选项错误； 对于选项C，令 ，即 ，解得 ； 因为为正整数，所以使 成立的的最大值为 11，C选项正确； 对于选项D，令 ，解得 ． 当 时， ；当 时，. ， ， ， 所以 ，D选项正确. 11．（多选）（25-26高二下·河南驻马店·期末）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，则（     ） A．，的等差中项为 B．，的等比中项为 C．，，，，…为等差数列 D．，，，，…为等比数列 【答案】AC 【分析】利用等差中项和等比中项的定义即可判断AB，利用等差数列前项和的性质和等比数列前项和的性质即可判断CD. 【详解】对于A，由为等差数列，所以的等差中项为，故A正确； 对于B，由为等比数列，所以的等比中项为，故B错误； 对于C，设等差数列的首项为，公差为， 所以， ， ， 所以， 所以，，，，…为等差数列，故C正确； 对于D：设等比数列的公比为， 当时，， 当为偶数时，， 所以，，，，…不是等比数列，故D错误. 12．（2026·福建泉州·模拟预测）已知等比数列，，则的值为______. 【答案】4 【分析】利用等比数列下标和相等则对应项乘积相等的性质，将前四项倒数和整理为与前四项和相关的形式，求出两项乘积后即可得到四项总乘积. 【详解】设等比数列的公比为q， 根据等比数列性质：若，则，可得， 记，则， 所以，所以. 13．（26-27高二上·全国·课后作业）设等比数列的前项和为，，若，则数列的公比______． 【答案】 【分析】根据题意，对公比进行分类讨论，结合等比数列的前项和公式和，列出方程，即可求出结果 【详解】当时，，，， 由，得，所以，与矛盾，故， 所以根据等比数列的前项和公式，有， 化简得，即， 又因为，所以，解得. 14．（26-27高三上·北京·开学考试）中国古代以“三分损益法”确定十二律管的长度，从“黄钟”出发，交替进行“损一”和“益一”操作，依次生得十二律管．记“黄钟”长度为，第次损益后得到的律管长度为，已知损益规则为：，则__________． 【答案】（或） 【分析】利用等比数列的前项和公式计算. 【详解】，当为奇数时，，， 所以奇数项构成以为首项，为公比的等比数列， 所以. 15．（26-27高三上·黑龙江辽宁·开学考试）在数列中，，，． (1)证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明：因为，所以， 又，所以， 所以， 所以是以3为首项，2为公比的等比数列． (2)． 【分析】（1）对递推式进行变形得出，结合已知条件求出首项，进而证明是等比数列； （2）由（1）得出，依次写出等比数列各项，进而利用累加法消项求和得出的通项公式． 【详解】（1）略 （2）由（1）得， 所以，，，…，， 以上各式左右相加，得， 所以， 又，符合上式，故． 16．（26-27高三上·湖南·开学考试）已知公比为的等比数列的前项和为，且． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)或． (2) 【分析】（1）由等比数列通项公式和求和公式得到方程组，求出首项； （2），分和两种情况，结合对勾函数性质可得答案 【详解】（1），由，得，又，，即或． 由，得，，或． 或． （2）由，得．由，得，或． 又． 由“对勾函数”的性质易知，当时，单调递增， 所以； 当时，单调递增， 所以， 综上，的取值范围是. 17．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知数列的前项和为，其中． (1)若，记数列的前30项和为，求证：； (2)求的最大值； 【答案】(1)因为所以 因此 即 故 ． (2). 【分析】（1）先求出 ，再将 裂项，利用裂项相消法求 ； （2）由 ，根据 的正负判断 的增减情况，从而求出最大值． 【详解】（1）略 （2）由，可知当 时，； 当 时，； 当 时，． 所以数列 先递增，在 ， 时取得相同的最大值，此后递减． 又. 且 ，故 的最大值为 ． 18．（25-26高二下·福建漳州·期末）已知等比数列中，，. (1)求的通项公式； (2)记为的前n项和，若，求k. 【答案】(1) 或 . (2) . 【分析】（1）利用等比数列通项公式建立关于公比q的方程，求出q后代入通项公式得到两种情况的通项； （2）分两种公比情况，分别写出等比数列前项和公式，令和等于求解正整数，舍去无解情形得到最终答案. 【详解】（1）设公比为，由及得 ， 即，解得或或（舍）， 故通项或 . （2） 若，，令，得 . 若，，令，化简得，无正整数解 . 综上. 19．（25-26高二下·辽宁本溪·期末）已知数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)设满足，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用与的关系即可求通项公式； （2）利用分组求和与等比数列的求和公式计算即得. 【详解】（1）当时，， 当时， 又不满足上式（） 综上所述，的通项公式为. （2）由（1）可得（），且， 综上所述，的前项和. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $