专题03 数列求和的技巧 压轴题专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册
|
2份
|
26页
|
126人阅读
|
2人下载
内容正文：
专题03 数列求和的技巧
数列 · 章级培优 压轴题专项训练
解题通法
题型归纳
题型一、公式法与片段和
题型二、倒序相加与分组并项
题型三、裂项相消
题型四、错位相减
题型五、含绝对值与前n项和的混合求和
压轴挑战
▍ 解题通法
数列求和的第一步不是动笔计算，而是看清通项的结构：能拆成等差与等比两块的走分组，相邻两项异号的先并项再按 的奇偶分类，分母因子之差为常数的补上系数裂开相消，「等差乘等比」的写出两式错位相减，项的符号发生变化的则要抓住符号改变的临界项把和式分段．片段和 ，， 在等差中成等差、在等比中成等比，是求和公式的延伸，也是检验结果的一把尺；倒序相加把首末配成等和的对子，正是等差数列前 项和公式的由来．无论走哪条路，求出闭式后都要代 与 同逐项累加核对，并对 、临界项恰为 这类边界情形单独说明．
▍ 题型归纳
▍ 题型一、公式法与片段和
▸ 典例 1 已知 ：，，， 为有穷整数数列．给定正整数 ，若对任意 ，在 中存在连续若干项 ，，，（），使得 ，则称 为 -连续可表数列．
（1）判断 ：，， 是否为 -连续可表数列，是否为 -连续可表数列，并说明理由；
（2）若 ：，，， 为 -连续可表数列，证明： 的最小值为 ．
▍ 题型模版
1.特征：已知若干组前 项和之间（或和与项之间）的等量关系，要求通项、公差、公比，或要求某一段项之和与 的最值，或判断各段连续项之和能否取满给定的范围．
2.方法：等差用 与 ，等比用 （）；连续 项的片段和 ，， 在等差中成等差、在等比中成等比（公比 ）；和与项混合的条件一律用 （）转化；一段连续项之和写成两个前 项和之差， 项数列的连续段共 个，覆盖类问题先用段数取下界再用具体数列构造取等．
3.提醒：等比求和必须先讨论 是否可能；片段和成等比要求各项非零；求 最值时 只能取正整数，对称轴不在整数上时要比较它两侧相邻的两个整数；不同段的和可能相等，覆盖类问题数的是不同取值的个数，不是段的个数．
▸ 变式 1-1 一个等比数列的各项均为正数，前 项的和等于 ，前 项的和等于 ，则这个数列的公比等于 ．
▸ 变式 1-2 已知等差数列 的公差不为零， 为其前 项和．若 ，则 ，，， 这 个数中不同值的个数为 ．
▍ 题型二、倒序相加与分组并项
▸ 典例 2 设数列 是等差数列，其前 项和为 （）；数列 是公比大于 的等比数列，其前 项和为 （）。已知 ，，，．
（1）求 与 ；
（2）若 ，求正整数 的值．
▍ 题型模版
1.特征：通项由等差与等比两块拼成，或符号按奇偶交替，或由分段递推给出奇偶两套规则，或以 、 这类和数列为对象再求一次前 项和，要求把和式拆开重组．
2.方法：分组求和：把 拆成若干能分别套公式的组，各组各自求和后再合并；并项求和：含 的通项先把相邻两项配成一对；倒序相加：把和式正写与倒写相加，每一对之和相等，等差数列前 项和公式即由此得到；分段递推先求隔项数列 ，再回到 ；对 、 求和时先把内层闭式写成「幂项减常数」的形态，幂项走等比、常数走等差，两端同形的幂项可以整体消去．
3.提醒：按 的奇偶分类时 与 两类都要给出，并代 ， 检验；配对后若有剩余尾项要单独加上，不能把 对之和直接当作 ；倒序相加要求首末配对的和为常数，不满足时不能硬用；分组时各组的项数要分别数清，合并后仍要代小的 与逐项累加比对．
▸ 变式 2-1 已知 为等差数列，数列 满足：当 （）时 ，当 （）时 ．记 ， 分别为数列 ， 的前 项和，，．
（1）求 的通项公式；
（2）证明：当 时，．
▸ 变式 2-2 已知数列 的通项公式为 ，求 的前 项和 ．
▍ 题型三、裂项相消
▸ 典例 3 已知数列 的前 项和 ，数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 的前 项和 ，并证明 ．
▍ 题型模版
1.特征：通项是分式，分母是若干个因子的乘积且各因子之差为常数；或分母是 一类的两根式，可有理化后相消．
2.方法：先量出分母两因子之差 ，按 补上系数 ，分子已是 时拆项系数与分子相抵，可直接写成两项之差；三因子先用 降阶；根式型用 ；书写按「通项拆开—和式铺开—划去抵消项」三行进行，最后数清首尾各剩几项．
3.提醒：拆项系数漏乘是最常见的错误；隔 项相消时首尾各剩 项，不要只留一项；求出 后代 与 同逐项相加比对，漏项当场暴露；用相消结果作不等式估计时要说明放缩方向与等号能否取到．
▸ 变式 3-1 已知数列 的通项公式为 ，求 的前 项和 ．
▸ 变式 3-2 设数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
▍ 题型四、错位相减
▸ 典例 4 设数列 满足 ，（）．
（1）计算 ，，猜想 的通项公式并加以证明；
（2）求数列 的前 项和 ．
▍ 题型模版
1.特征：通项是等差与等比的乘积，形如 （ 且 ）；分式型 与含 的交错型都归入此类．
2.方法：正写 ，两边同乘公比 得 并让同次幂项整体错开一位，两式相减把中间化为等比数列求和，首项与末项单独抄下，再由 的形态整理出闭式；通项要先由递推或猜想定出，再判它是不是「等差乘等比」．
3.提醒：相减后首项与末项各多出一项，不能写成「中间全部抵消」； 或 为分数时相减得到的是 ，最后要除以 ；公比含参时要单独讨论公比等于 的退化情形，再给出一般闭式；结果必须代 与 同逐项相加核对．
▸ 变式 4-1 求数列 ，，，，，（ 为实数）的前 项和 ．
▸ 变式 4-2 设数列 是公比不为 的等比数列，且 为 ， 的等差中项．
（1）求 的公比；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．
▍ 题型五、含绝对值与前n项和的混合求和
▸ 典例 5 记 为等差数列 的前 项和，已知 ，．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
▍ 题型模版
1.特征：数列的项先负后正（或先正后负），要求 ；或条件同时涉及 与 的大小关系、两个数列和式的差．
2.方法：先解不等式 与 找出符号改变的临界项 ，再分段写出：先正后负时 取 、 取 ；先负后正时 取 、 取 ；涉及 与 混合的不等式，把两者都写成 的函数后作差，因式分解再结合 取解．
3.提醒：临界项恰为 时两种分界写法结果相同，但分段范围要写清 与 ； 时 要减去两次，只减一次是最常见的错误；用 时该式只在 成立， 需单独验证；不等式取等号的端点要代回原式检验．
▸ 变式 5-1 记 是公差不为 的等差数列 的前 项和，若 ，．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求使 成立的 的最小值．
▸ 变式 5-2 记 为等差数列 的前 项和，已知 ，．
（1）求 的通项公式；
（2）求 的值．
▍ 压轴挑战
1．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发学习数学的兴趣，他们推出「解数学题获取软件激活码」的活动，这款软件的激活码是下面数学问题的答案：已知数列 ，，，，，，，，，，，，，，，，其中第一项是 ，接下来的两项是 ，，再接下来的三项是 ，，，依此类推。求满足如下条件的最小整数 ： 且该数列的前 项和为 的整数幂，那么该款软件的激活码是 （ ）
A． B． C． D．
2．已知数列 的前 项和为 ，则数列 的前 项和为 （ ）
A． B． C． D．
3．记 为等差数列 的前 项和，若 ，，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5． （ ）
A． B． C． D．
6．记 为等差数列 的前 项和．若 ，则公差 ．
7．设 为等差数列 的前 项和，若 ，，则 ．
8．设等差数列 的公差为 ，且 ．令 ，记 ， 分别为数列 ， 的前 项和．
（1）若 ，，求 的通项公式；
（2）若 为等差数列，且 ，求 ．
1 / 10
学科网（北京）股份有限公司
$
专题03 数列求和的技巧
数列 · 章级培优 压轴题专项训练
解题通法
题型归纳
题型一、公式法与片段和
题型二、倒序相加与分组并项
题型三、裂项相消
题型四、错位相减
题型五、含绝对值与前n项和的混合求和
压轴挑战
▍ 解题通法
数列求和的第一步不是动笔计算，而是看清通项的结构：能拆成等差与等比两块的走分组，相邻两项异号的先并项再按 的奇偶分类，分母因子之差为常数的补上系数裂开相消，「等差乘等比」的写出两式错位相减，项的符号发生变化的则要抓住符号改变的临界项把和式分段．片段和 ，， 在等差中成等差、在等比中成等比，是求和公式的延伸，也是检验结果的一把尺；倒序相加把首末配成等和的对子，正是等差数列前 项和公式的由来．无论走哪条路，求出闭式后都要代 与 同逐项累加核对，并对 、临界项恰为 这类边界情形单独说明．
▍ 题型归纳
▍ 题型一、公式法与片段和
▸ 典例 1 已知 ：，，， 为有穷整数数列．给定正整数 ，若对任意 ，在 中存在连续若干项 ，，，（），使得 ，则称 为 -连续可表数列．
（1）判断 ：，， 是否为 -连续可表数列，是否为 -连续可表数列，并说明理由；
（2）若 ：，，， 为 -连续可表数列，证明： 的最小值为 ．
【答案】（1）：，， 是 -连续可表数列，不是 -连续可表数列；（2）证明见解析．
【分析】一段连续项之和就是片段和，可写成两个前 项和之差 ； 项数列的连续段按起止下标计共有 个，不同段之和的个数至多也是 ，要表满 到 就必须有 ，这是下界；再写出一段和恰能取满 到 的具体数列，这是构造．
【详解】解：（1）：，， 的连续段只有六段，其和分别为单项段 ，，，两段相邻的 ，，三段 ，故能表出的数是 ，，，，，．
因为 ，，，， 全部能表出，所以 ：，， 是 -连续可表数列；而 不在上述六个数中，即 表不出，所以 不是 -连续可表数列．
（2） 项数列以 开始、以 结束的连续段共有 个，一段对应一个和，故不同段之和的个数至多为 ．
若 是 -连续可表数列，则 ，，， 这 个不同的数都要被表出，于是 ，即 ．当 时 ，故必须 ．
再证 能够取到：取 ：，，，，其连续段之和为 单项段 ，，，；两段 ，，；三段 ，；四段 ．
去重后得 ，，，，，，， 恰好齐全，所以该 是 -连续可表数列，说明 可行．
综合两方面， 的最小值为 ．
检验： 时段数 ，上述构造中 与 各被两段重复表出，去重后恰余 个值，与要表出的个数相符； 时段数只有 ，无论如何排列都不可能表满 到 ，与所证下界一致．
▍ 题型模版
1.特征：已知若干组前 项和之间（或和与项之间）的等量关系，要求通项、公差、公比，或要求某一段项之和与 的最值，或判断各段连续项之和能否取满给定的范围．
2.方法：等差用 与 ，等比用 （）；连续 项的片段和 ，， 在等差中成等差、在等比中成等比（公比 ）；和与项混合的条件一律用 （）转化；一段连续项之和写成两个前 项和之差， 项数列的连续段共 个，覆盖类问题先用段数取下界再用具体数列构造取等．
3.提醒：等比求和必须先讨论 是否可能；片段和成等比要求各项非零；求 最值时 只能取正整数，对称轴不在整数上时要比较它两侧相邻的两个整数；不同段的和可能相等，覆盖类问题数的是不同取值的个数，不是段的个数．
▸ 变式 1-1 一个等比数列的各项均为正数，前 项的和等于 ，前 项的和等于 ，则这个数列的公比等于 ．
【答案】
【分析】把前 项和拆成两个连续 项的片段和，用「片段和成等比」直接得到 ，再由各项为正确定 ．
【详解】解：设公比为 ，记前 项和为 ，则第 项到第 项之和为 ．
因为 ，，， 分别是 ，，， 的 倍，所以 ，即 ，．
又数列各项均为正数，故 ，于是 ，所以公比为 ，故填 ．
检验： 时 ，，与题设一致．
▸ 变式 1-2 已知等差数列 的公差不为零， 为其前 项和．若 ，则 ，，， 这 个数中不同值的个数为 ．
【答案】
【分析】把 化成关于 的二次式，由 定出 ，得 ；再利用二次函数的对称轴 数出相等的取值对，其余按单调性各不相同．
【详解】解：设公差为 （）．由 得 ．
于是 ，记 （），因 ， 的不同值个数即 的不同值个数．
的对称轴为 ，故 ，．
当 时 ，即 ，，， 这 个数严格递增、两两不同．
又 与 相同、 与 相同，都不带来新值，所以这 个数中不同值的个数为 ，故填 ．
检验：取 ，则 ，， 符合题设；逐项算出 ，，而 起 ，，，， 严格递增，两对之外无重复．
▍ 题型二、倒序相加与分组并项
▸ 典例 2 设数列 是等差数列，其前 项和为 （）；数列 是公比大于 的等比数列，其前 项和为 （）。已知 ，，，．
（1）求 与 ；
（2）若 ，求正整数 的值．
【答案】（1），；（2）．
【分析】第一问由 定出公比，再用 与 两条等差中项关系定出 的首项与公差；第二问的落点是 的前 项和—— 是「等比块加常数组」，分组后各套一次公式，代回条件时指数项 在两端同时出现并整体抵消，只剩一个关于 的二次方程，正根即所求．
【详解】解：（1）设 的公差为 ， 的公比为 （）。由 与 得 ，即 ，亦即 ，因 得 ，故 ，。
于是 ，。由 ，而等差数列中 ，得 ，即 。
由 得 ，故 ，于是 ，，所以 ，。
（2）先求 的前 项和： 由一个等比块与一个常数组拼成，分组求和得 。
又 ，所以 。
把 、 与 代回条件 ，得 。
两端消去 ，再同乘 ，得 ，整理为 ，即 。
因为 是正整数， 舍去，故 。
检验： 时 ，而 至 为 ，，，，其和 ，左端 ；右端 ，两端相等。又 时左端 、右端 ； 时左端 、右端 ； 时左端 、右端 ，均不等，故正整数解只有 。
另用二次方程复核： 即 ， 代回得 ，成立。
▍ 题型模版
1.特征：通项由等差与等比两块拼成，或符号按奇偶交替，或由分段递推给出奇偶两套规则，或以 、 这类和数列为对象再求一次前 项和，要求把和式拆开重组．
2.方法：分组求和：把 拆成若干能分别套公式的组，各组各自求和后再合并；并项求和：含 的通项先把相邻两项配成一对；倒序相加：把和式正写与倒写相加，每一对之和相等，等差数列前 项和公式即由此得到；分段递推先求隔项数列 ，再回到 ；对 、 求和时先把内层闭式写成「幂项减常数」的形态，幂项走等比、常数走等差，两端同形的幂项可以整体消去．
3.提醒：按 的奇偶分类时 与 两类都要给出，并代 ， 检验；配对后若有剩余尾项要单独加上，不能把 对之和直接当作 ；倒序相加要求首末配对的和为常数，不满足时不能硬用；分组时各组的项数要分别数清，合并后仍要代小的 与逐项累加比对．
▸ 变式 2-1 已知 为等差数列，数列 满足：当 （）时 ，当 （）时 ．记 ， 分别为数列 ， 的前 项和，，．
（1）求 的通项公式；
（2）证明：当 时，．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】第一问把 与 全部翻译成 与 的方程；第二问按奇偶把 拆成「奇数项贡献 、偶数项贡献 」两组分别求和，再对 与 两类分别判定正负．
【详解】解：（1）设 的公差为 ，则 ，即 ．
又 ，由 得 ．
联立 与 ，两式相减得 ，进而 ，故 ．
（2）按项的下标奇偶把 逐项配对：当 为奇数时 ；当 为偶数时 ．
设 （），则 ．
当 时 ，于是 ，即 ．
设 ，由 且 ，得 ．
当 即 时，，所以 ．
两类合起来即知：当 时恒有 ．
检验： 时 至 为 ，，而 ， 与 （）相符； 时 ，， 与 （）相符； 时 ，，两式相等， 在 时也给出 ，说明条件 恰是使 成立的分界，不可放宽．
▸ 变式 2-2 已知数列 的通项公式为 ，求 的前 项和 ．
【答案】
【分析】各项符号正负交替，去掉符号后 是等差数列，把相邻两项配成一对，每对之和为常数 ，再对 的奇偶分别收尾．
【详解】解：，，，，相邻两项异号，考虑两两并项．
对 ，，即每一对之和都是常数 ．
当 时， 对之和为 ．
当 时，前 项配成 对，故 ，其中 ．
两种情形合写为 ．
检验： 得 ； 得 ； 得 ； 得 ，均与逐项相加一致．
▍ 题型三、裂项相消
▸ 典例 3 已知数列 的前 项和 ，数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 的前 项和 ，并证明 ．
【答案】（1）；（2），证明见解析．
【分析】第一问是 的基本动作（ 单独验证）；第二问分母是两个相邻奇数之积，两因子之差为 ，拆项系数取 ，展开后只剩首尾两项．
【详解】解：（1） 时 ；当 时 ，且 时该式也给出 ，故 （）．
（2）由（1）得 ．分母两因子之差为 ，所以拆项系数为 ，即 ．
展开并把每一对拆开的差式列出：．
括号内从第二组起， 与 、 与 依次抵消，只剩下首项 与末项 ，故 ．
检验：；，而 ，吻合．
因为 且 ，所以 ，即 对一切 成立．
▍ 题型模版
1.特征：通项是分式，分母是若干个因子的乘积且各因子之差为常数；或分母是 一类的两根式，可有理化后相消．
2.方法：先量出分母两因子之差 ，按 补上系数 ，分子已是 时拆项系数与分子相抵，可直接写成两项之差；三因子先用 降阶；根式型用 ；书写按「通项拆开—和式铺开—划去抵消项」三行进行，最后数清首尾各剩几项．
3.提醒：拆项系数漏乘是最常见的错误；隔 项相消时首尾各剩 项，不要只留一项；求出 后代 与 同逐项相加比对，漏项当场暴露；用相消结果作不等式估计时要说明放缩方向与等号能否取到．
▸ 变式 3-1 已知数列 的通项公式为 ，求 的前 项和 ．
【答案】
【分析】两因子之差为 ，拆项系数为 ；每一项的负部要等到后两项的正部才抵消，故首尾各剩两项．
【详解】解：，系数 由两因子之差 决定．
展开：．
正部 与负部 相消要求负部出现在第 项，故 才消得掉，于是正部剩下 与 ；同理负部剩下 与 ．
所以 ．
检验： 时 ； 时 ，而 ，吻合．
▸ 变式 3-2 设数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）；（2）．
【分析】第一问是以未知系数累加的和式条件给出数列，把 换成 后两式相减，左边只剩带最长系数的末项 ， 另用原式取出；第二问把通项代入后分母是两个相邻奇数之积，两因子之差为 ，而分子恰是 ，拆项系数 与分子相抵，可以直接写成两项之差，展开后首尾各剩一项．
【详解】解：（1） 时原式为 ．
当 时，以 代 得 ，与原式相减，左边只剩末项，得 ，即 ．
因为 时该式也给出 ，所以 （）．
（2）代入得 ．分母两因子之差为 ，拆项系数取 ，与分子的 相抵，故 ．
于是 ，括号内从第二组起正负成对抵消，只剩首项 与末项 ，得 ．
检验：，而 ；，而 ；，而 ，三处都与逐项累加一致．
另按相消的一般规律核对： 中每个负项 恰与下一项的正部 抵消，首尾各剩一项，与上面代 、、 的数值完全吻合．
▍ 题型四、错位相减
▸ 典例 4 设数列 满足 ，（）．
（1）计算 ，，猜想 的通项公式并加以证明；
（2）求数列 的前 项和 ．
【答案】（1），，；（2）．
【分析】第一问先把 ， 逐项算出，认出 ，， 的等差结构猜想 ，再用递推把猜想坐实；第二问的通项 是等差 与等比 的乘积，两边乘公比 让同次幂错位对齐，相减后中间 至 化为等比和，末项 单独抄下，注意相减左端是 ，最后要乘 还原．
【详解】解：（1），。两值与 在 、 处的取值一致，故猜想 。
证明：当 时 ，猜想成立；设 时 ，则 ，猜想对 也成立。由数学归纳法， 对一切 成立。
另证（构造）：。记 ，则 ，而 ，故一切 ，即 。
（2）由（1）得 。正写：。
两边同乘公比 ，得 。
两式相减，把同次幂的项对齐相减（系数恰差 ），首项与末项单独抄下：。
中间一段 ，且 ，故 。
两端同乘 ，得 。
检验： 时 ； 时 ； 时 ； 时 ，均与逐项累加一致。
▍ 题型模版
1.特征：通项是等差与等比的乘积，形如 （ 且 ）；分式型 与含 的交错型都归入此类．
2.方法：正写 ，两边同乘公比 得 并让同次幂项整体错开一位，两式相减把中间化为等比数列求和，首项与末项单独抄下，再由 的形态整理出闭式；通项要先由递推或猜想定出，再判它是不是「等差乘等比」．
3.提醒：相减后首项与末项各多出一项，不能写成「中间全部抵消」； 或 为分数时相减得到的是 ，最后要除以 ；公比含参时要单独讨论公比等于 的退化情形，再给出一般闭式；结果必须代 与 同逐项相加核对．
▸ 变式 4-1 求数列 ，，，，，（ 为实数）的前 项和 ．
【答案】 时 ； 时 ．
【分析】通项是等差 与等比 的乘积，公比含参必须分类： 时是连续奇数求和； 时两边乘 错位相减，中间 项化为等比数列之和，最后乘 还原系数．
【详解】解：当 时，．
当 时，正写 ；两边同乘 ，得 ．
两式相减，同次幂项对齐相减（系数恰差 ），首项与末项单独抄下：．
括号内是首项 、公比 的 项等和，等于 ，故 ．
两边同乘 并通分整理，得 ．
综上， 时 ； 时 （ 时该式也给出 ，与各项取值一致）．
检验： 时闭式为 ；、 时逐项和为 ，闭式为 ；、 时逐项和为 ，闭式为 ，均吻合．
▸ 变式 4-2 设数列 是公比不为 的等比数列，且 为 ， 的等差中项．
（1）求 的公比；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）；（2）．
【分析】第一问把「 为 ， 的等差中项」翻译成 ，再以 ， 代入，约去非零的 得关于 的二次方程，两根中 被题设舍去；第二问的通项 是等差 与公比 的等比之积，两边同乘公比 使同次幂对齐，相减后左端是 而不是 ，中间一段是首项为 、公比为 的等比和，末项 单独抄下，最后除以 还原．
【详解】解：（1）设公比为 （）．因为 为 ， 的等差中项，所以 ．
以 ， 代入得 ．等比数列各项均不为 ，故 ，两端同除以 ，得 ，即 ．
由题设 ，舍去 ，所以 的公比为 ．
（2）由 与（1）得 ，于是数列 的通项为 ，是等差 与公比 的等比之积．
正写：；两边同乘公比 ，得 ．
两式相减，同次幂项对齐相减（系数差 ，首项与末项单独抄下），左端为 ，故 ．
其中 ，所以 ．
两端同除以 ，得 ．
检验： 时 ； 时 ； 时 ； 时 ，均与逐项累加一致．
另按差比数列求和的一般闭式复核：，以 代入，分子为 ，分母为 ，与上面所得完全一致；本题公比为负，相减得到的是 ，若照搬公比为正的经验把左端写成 就会整体出错．
▍ 题型五、含绝对值与前n项和的混合求和
▸ 典例 5 记 为等差数列 的前 项和，已知 ，．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）；（2） 时 ， 时 ．
【分析】由 与 列出关于首项与公差的方程组；解 得 ，符号改变的临界项为 ，再按 时 、 时 分段写出．
【详解】解：（1）设公差为 ．由 ，（即 ），两式联立解得 ，，故 ．
（2）令 ，即 ，得 ，即 ；又 ，，从第 项起各项为负， 是符号改变的临界项．
又 ，且 ．
当 时各项为正，．
当 时，前 项取绝对值不变，第 项起取绝对值即整体变号，故 ．
综上， 时 ； 时 ．
检验： 时 ； 时 ； 时 ； 时 ，且 与题设一致，均与逐项累加吻合．
▍ 题型模版
1.特征：数列的项先负后正（或先正后负），要求 ；或条件同时涉及 与 的大小关系、两个数列和式的差．
2.方法：先解不等式 与 找出符号改变的临界项 ，再分段写出：先正后负时 取 、 取 ；先负后正时 取 、 取 ；涉及 与 混合的不等式，把两者都写成 的函数后作差，因式分解再结合 取解．
3.提醒：临界项恰为 时两种分界写法结果相同，但分段范围要写清 与 ； 时 要减去两次，只减一次是最常见的错误；用 时该式只在 成立， 需单独验证；不等式取等号的端点要代回原式检验．
▸ 变式 5-1 记 是公差不为 的等差数列 的前 项和，若 ，．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求使 成立的 的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】两个条件都翻译成 与 的方程，先用 得到 ，再代入第二式并用 约分；第二问把 与 都写成 的表达式后作差因式分解．
【详解】解：（1）设公差为 （）．由 得 ，即 ．
由 得 ，代入 得 ，即 ．
因为 ，两边同除 得 ，进而 ，故 ．
（2）．
即 ，整理得 ，因式分解为 ，解得 或 ．
因为 ， 无解，所以 ， 的最小值为 ．
检验： 时 且 ，两者相等，不满足严格不等号； 时 ，， 成立．此时 ，，，从 起各项为正， 为 的最小值，说明 与 的大小关系确实随 改变．
▸ 变式 5-2 记 为等差数列 的前 项和，已知 ，．
（1）求 的通项公式；
（2）求 的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】 说明第 项到第 项之和为 ，这连续五项的和等于 ，由此定出 与公差；再找符号改变的临界项 ，把绝对值和写成 ．
【详解】解：（1）设公差为 ．由 得 ，这是项数为奇数的连续五项，其和等于中间项的 倍，即 ，故 ．
由 得 ，即 ，于是 ．
（2）令 得 ，令 得 ，故 是符号改变的临界项．
当 时各项非负，，．
当 时 ，故 ．
所以 ．
用分段公式校验：由 ， 得 ，，故 ，，题设 成立．于是所求绝对值和可写成 ，与前一算法一致．
▍ 压轴挑战
1．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发学习数学的兴趣，他们推出「解数学题获取软件激活码」的活动，这款软件的激活码是下面数学问题的答案：已知数列 ，，，，，，，，，，，，，，，，其中第一项是 ，接下来的两项是 ，，再接下来的三项是 ，，，依此类推。求满足如下条件的最小整数 ： 且该数列的前 项和为 的整数幂，那么该款软件的激活码是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】按「第 组有 项，组内依次是 ，，，」分组，组内和为 ；前 组共 项，和为 。任意 都可唯一写成前 组再加第 组的前 项（），于是 ，再用 的整数幂把 与 卡住。
【详解】解：第 组（）含 项 ，，，，组内和为 。
前 组共有 项，其和为 。
任取正整数 ，可唯一写成 （，），即前 组再添第 组的前 项，后者之和为 ，故 。
当 时 ，且 ，所以 若为 的整数幂，只可能等于 。
令 得 ，即 。依次取 ，得 ；其中 要求 ，故可行的 为 、、。
对应的 分别为 、、。满足 的最小者为 ，选 A。
检验： 时前 组共 项，和为 ；第 组的前 项为 至 ，其和 ；故 ，确为 的整数幂。 时 也是 的整数幂，但 ，不合条件。
错项溯源：漏去 会停在 ；把组内和写成 而忘记减 ，或把前 组的项数误记为 ，都会得到偏离 的数。
2．已知数列 的前 项和为 ，则数列 的前 项和为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先用 （ 单独验证）求出通项，解 定出符号改变的临界项 ，绝对值前 项和写成 一次算出．
【详解】解： 时 ；当 时 ，且 时该式也给出 ，故 ．
令 得 （），从 起各项为负， 是符号改变的临界项．
计算 ，．
前 项非负、第 项到第 项为负，故绝对值前 项和为 ，选 C．
检验：逐项列出前 项为 ，正项之和 ，负项之和 ，取绝对值后合计 ，与分段公式一致．
3．记 为等差数列 的前 项和，若 ，，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把 与 都写成 ，得到关于 与 的二元一次方程组，解出后代入 ．
【详解】解：设公差为 ，则 ，即 ；，即 ．
两式相减得 ，代回得 ．
所以 ，选 B．
校验：数列为 ，前 项和为 ，前 项和为 ，前 项和为 ，与题设吻合．
4．已知数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】通项是等差 与等比 的乘积，两边乘公比 错位对齐后相减，中间 到 化为等比和，末项 单独抄下，再除以 还原．
【详解】解：正写 ；两边同乘 ，得 ．
两式相减，同次幂项对齐相减（系数差 ），首项与末项单独抄下：．
其中 ，故 ．
两边同乘 ，得 ，选 A．
检验： 时 ； 时 ； 时 ，均与逐项累加一致．
错项溯源：把末项 的幂次写成 即得选项 B；相减时漏抄末项即得选项 C；把首项的符号弄反即得选项 D．
5． （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】通项为 ，两因子之差为 ，先数清项数再补系数 相消．
【详解】解：第 项为 ．
末项的分母 对应 ，即 ，所以共 项．
相消后只剩首项的正部 与末项的负部 ，故原式 ，选 A．
若不补系数 会得到 ，即选项 B；把项数误数成 会得到 ，即选项 D．
6．记 为等差数列 的前 项和．若 ，则公差 ．
【答案】
【分析】把 与 都写成 与 的式子， 会被整体消去，只留下关于 的一次方程．
【详解】解：，，代入 得 ．
两边消去 ，得 ，即 ，故公差 ，故填 ．
另用片段和验证：，条件化为 ，即 ，同样得 ，．
7．设 为等差数列 的前 项和，若 ，，则 ．
【答案】
【分析】由 定出公差，再用 或 求和．
【详解】解：由 得 ，解得 ．
于是 ，．
用 复核，故填 ．
8．设等差数列 的公差为 ，且 ．令 ，记 ， 分别为数列 ， 的前 项和．
（1）若 ，，求 的通项公式；
（2）若 为等差数列，且 ，求 ．
【答案】（1）；（2）．
【分析】第一问把 化成 ，两个和式都用 表示后解关于 的二次方程并按 取舍；第二问设 ，用恒等式 比较系数，分 与 两支分别求 与 ．
【详解】解：（1）由 得 ，整理得 ，故 ，．
此时 ，所以 ．
由 得 ，两边乘 再除以 ，得 ，即 ．
因为 ，所以 ，故 ．
（2）设 是公差为 、首项为 的等差数列，即 ，则由 得恒等式 对一切 成立．
把右边按 的降幂展开：．
比较 的同次幂系数得 ，，．
若 ，由 与第二式得 ，此时 ，，故 ，．
代入 并两边乘 ，得 ，即 ，，解得 或 ，都与 矛盾，此情形不成立．
若 ，则第二式给出 ，即 ，又 ，此时 ，，故 ，．
代入 并两边乘 ，得 ，即 ，．
因为 ，所以 ．
检验：把 代入 ，得 ，成立；此时 ，，， 确为等差数列．
1 / 10
学科网（北京）股份有限公司
$
资源预览图
