云南省玉溪第一中学（南校区）2026-2027学年高二上学期期中考试数学试题

参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 B A B D C C A A ACD BC ACD 解答题： 15.（2.5.1　直线与圆的位置关系作业手册(A)9题） 解:(1)由题意知,圆C的圆心为(2,3),半径r=2. 1分 当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=4,此时直线l与圆C相切; 3分 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y+1=k(x-4),即kx-y-4k-1=0, 5分 若直线l与圆C相切,则=2,解得k=-, 7分 此时直线l的方程为3x+4y-8=0. 综上,直线l的方程为x=4或3x+4y-8=0. 8分 (2)当直线l的倾斜角为135°时,直线l的方程为y+1=-(x-4),即x+y-3=0, 10分 圆心到直线l的距离d==, 11分 故所求弦长为2=2×=2. 13分 16.(1)解：设点，由得点， 2分 又点P为椭圆上的动点，所以， 4分 整理得，所以点Q的轨迹方程是 6分 椭圆，易知点在椭圆C的内部， 设，， 则， 8分 ①-②得：， 10分 可知AB的斜率存在且不为0， ， ， ，， 12分 14分 直线，即 15分 17.由，得 1分 即， 3分 由正弦定理，， 4分 又，又 5分 由，代入得， 或2， 7分 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意， 8分 所以； 9分 ， ， 12分 在BC上，且为靠近C的三等分点， 13分 ， 14分 15分 18.由题意，知 2分 所以，，所以， 3分 所以椭圆E的标准方程为 4分 （ⅰ）根据题意，直线l的方程为，设，，联立整理，得， 6分 ，即， 所以，， 7分 所以， 即，解得或舍去， 所以 9分 所以直线 10分 （ⅱ）。点在以为直径的圆外. 12分 13分 带入，，结合韦达定理化简，分母恒正，只需分子大于0； 15分 解得或 16分 联立相交条件，取交集： 17分 19. （1）因为平面，平面，所以， 又因为，，所以， 1分 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 2分 又因为分别为的中点，所以，所以，......3分 又因为，所以，又，， 所以四边形是平行四边形，所以，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面； 5分 （2）以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ...............................6分 则， 设平面的一个法向量为， ，令，则， 所以平面的一个法向量为， 8分 又平面，所以为平面的一个法向量， 9分 设平面与平面的夹角为， 则， 又因为，所以， 所以平面与平面夹角余弦值的取值范围为.........................11分 （3）连接交于点，连接，过作于， 因为，为的中点，所以为的中点，且为的中点， 又为的中点，所以，，又， 所以，又因为平面，所以平面， 又平面，所以，所以，......3分 由（1）知平面平面，平面平面，， 所以平面，又动点在平面内，所以平面， 所以， 15分 所以动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又，所以在圆上，所以的最大值为； 17分 第4页，共8页 第5页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $双向细目表 2026-2027学年上学期期中考试高二数学双向细目表 项目 主要知识 主要指标 关键能力 题号 一级指标 二级指标 题型 分值 难度 系数 分值 逻辑推理能力 运算求解能力 空间想象能力 数学建模能力 创新能力 1 集合 两个集合的运算 单选 5 易 0.9 4.5 √ 2 简易逻辑 充要条件 单选 5 易 0.9 4.5 √ 3 解析几何 椭圆的方程 单选 5 易 0.85 4.2 √ 4 向量 已知模求数量积 单选 5 易 0.8 4 √ 5 函数 指数函数、对数函数的运算 单选 5 中 0.75 3.75 √ √ 6 三角函数 三角函数图象的性质 单选 5 中 0.65 3.25 √ √ 7 三角函数 三角恒等变换 单选 5 中 0.65 3.25 √ √ 8 函数 抽象函数奇偶性、单调性 单选 5 难 0.4 2 √ √ √ 9 概率 独立事件的概率 多选 6 易 0.85 5.1 √ √ 10 空间向量 空间向量的相关概念 多选 6 易 0.8 4.8 √ 11 解析几何 直线与圆方程，直线与圆、圆与圆位置关系 多选 6 中 0.75 4.5 √ √ 12 直线和圆 由两直线的位置关系，求参数的值 填空 5 易 0.85 4.25 √ 13 不等式 基本不等式求最值 填空 5 中 0.75 3.75 √ √ 14 立体几何 向量法解决空间几何体数量积范围 填空 5 难 0.35 1.75 √ √ 15 直线和圆 求圆的切线方程，直线和圆相交的弦长问题 解答 13 易 0.7 9.1 √ √ 16 椭圆 轨迹问题，直线与椭圆的位置关系，中点弦问题 解答 15 中 0.65 9.75 √ √ 17 解三角形 正弦，余弦定理解三角形，面积公式 解答 15 中 0.55 8.25 √ √ 19 椭圆 椭圆的综合问题：范围问题 解答 17 难 0.45 7.65 √ √ 18 立体几何 垂直的证明，平面与平面所成的角的计算 解答 17 难 0.45 7.65 √ √ √ √ 150 96 比例 $玉溪一中2026-2027学年上学期 高二年级期中考试数学答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 正确填涂 考 号 注意事项 1. 答题前请将姓名、班 级、考场、准考证号填写清 [o] [o] [o] [0] [o] [o] 缺考标记 楚。 [1] [1] [1] [1] [1] [1] 口 2.客观题答题，必须使用 [2] [2] [2] [2] [2] [2] 2B铅笔填涂，修改时用橡皮 [3] [3] [3] [3] [31 [3] 擦干净。 [4] [4] [4 [4] [4] [4] 3.必须在题号对应的答题 [5] 5] [5] [5] [5] [5] 日厨 区域内作答，超出答题区域 [6] [6] [6] [6] [6] [6] 书写无效。 [7] 71 7 71 71 [7] [8] 8] 81 8] 8] 8 [9] [9] 9] [9] 9] 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分， 共40分， 在每小题给出的四 个选项中，只有一个选项是正确的， 1[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][c][D] 4[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有 多个选项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9[A][B][C][D] 10[A][B][c][D] 11[A][B][c][D] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 14 囚囚■ 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.(13分) 囚囚■ 16.(15分) ■ 17.(15分) 1 1 囚■囚 18.(17分) 囚■囚 口 19.(17分) D B ■ 玉溪一中2026—2027学年上学期高二年级期中考 数学学科试卷 总分：150分，考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．设，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．离心率为，焦点在轴且长轴长为6的椭圆的标准方程为 A． B． C． D． 4．在中，若，，，则 A．6 B．4 C．-4 D．-6 5．已知函数则 A．2 B．4 C．6 D．8 6．设函数（）的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是 A． B． C． D． 7．已知，则 A． B． C． D． 8．已知是定义在上的函数，且，，若，则 A．2 B．0 C．-2 D．4 二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多个选项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．以人工智能、量子信息等颠覆性技术为引领的前沿趋势，将重塑世界工程科技的发展模式，对人类生产力的创新提升意义重大．某公司抓住机遇，成立了甲、乙、丙三个科研小组针对某技术难题同时进行科研攻关，攻克了该技术难题的小组都会受到奖励．已知甲、乙、丙三个小组各自独立进行科研攻关，且攻克该技术难题的概率分别为，，，则 A．甲、乙、丙三个小组均受到奖励的概率为 B．只有甲、丙小组受到奖励的概率为 C．只有一个小组受到奖励的概率等于 D．技术难题被攻克的概率为 10．给出下列命题，其中正确的命题是 A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．已知，，则向量在向量上的投影向量是 D．若空间向量，，满足，，则 11．已知圆：，直线：，直线与圆交于，两点，则 A．直线过定点 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．当圆上恰有三个点到直线的距离等于时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．直线的斜率是，直线经过点，，，则的值为________． 13．已知，则的最大值是________． 14．如图，平行六面体的所有棱长均为，，若点在线段上，则的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知圆：外有一点，过点作直线． （1）当直线与圆相切时，求直线的方程； （2）当直线的倾斜角为时，求直线被圆所截得的弦长． 16．（15分）已知为椭圆上一动点，为坐标原点，若． （1）求点的轨迹的方程； （2）是否存在过点的直线交曲线于，两点，使得为中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由． 17．（15分）已知锐角的内角，，所对的边分别，，，且，．若，，且． （1）求角和边； （2）若点满足，求的面积． 18．（17分）已知椭圆：（）的焦距和短轴长相等，上顶点为． （1）求椭圆的标准方程； （2）为椭圆的右顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，． （ⅰ）若弦长，求直线的方程； （ⅱ）若点落在以线段为直径的圆的外部，求的取值范围． 19．（17分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，、分别为，的中点． （1）证明：平面平面； （2）若，求平面与平面所成角的余弦值的取值范围． （3）若，动点在平面内，且，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $