精品解析：山东济南市莱芜区2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026—2027学年度第一学期诊断性检测九年级 数学试题（A卷） 注意事项： 1．本试题共8页，分选择题部分和非选择题部分，选择题部分满分为40分，非选择题部分满分为110分．全卷满分为150分．考试时间为120分钟． 2．答题前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名、座位号写在答题卡的规定位置． 3．答题时，选择题部分每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题部分，用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．直接在试题上作答无效． 4．本考试不允许使用计算器．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 选择题部分共40分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各数中，属于负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若干桶方便面摆放在桌子上，实物图片左边所给的是它的三视图，则这一堆方便面共有（） A. 5桶 B. 6桶 C. 9桶 D. 12桶 3. 年月日“世界读书日”期间，济南市图书馆联合泉城书房推出“夜读泉城”系列活动，活动首周累计到馆总人次约为．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 中国古代建筑中的窗格图案美观大方，寓意吉祥，下列绘出的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形是（） A. B. C. D. 5. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则应满足( ) A. B. 且 C. 且 D. 7. 计算：的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 某人经过两个十字路口，每一个路口可能会遇到红、绿、黄三种交通信号灯，可能性相同．则此人两次都遇到绿灯的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，以为圆心，以长为半径画弧交于点；以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于，两点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在平行四边形内交于点，连接并延长交于点，连接，，分别交，于，两点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数（，，为常数，）图象的对称轴为直线，该函数图象经过点，且．下列结论：①关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；②当时，的值随值的增大而增大；③；④；⑤对于任意实数，总有．其中正确的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 非选择题部分共110分 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写答案．） 11. 分解因式：_____． 12. 向如图所示的区域（小正方形的边长相等）随机掷一枚石子，石子落在空白部分的概率是________． 13. 如图，在圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，连接，若，则阴影部分的面积为________． 14. 甲、乙两人沿雪野湖环湖步道匀速徒步前行，甲比乙早出发，甲从出发经过抵达目的地．两人之间的距离和甲出发后的时间之间的关系如图所示，则乙从出发到抵达目的地所用的时间是________． 15. 如图，正方形的边长为6，点是边的三等分点（），是边上一动点，连接，将沿翻折得到，当最小时，________． 三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 17. 解不等式组：，并求出它的整数解． 18. 如图，在中，点，点在上，且，求证：． 19. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量，两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内．请根据以上数据求： （1）的距离； （2）楼与之间的距离的长．（结果精确到．参考数据：，，，） 20. 如图，内接于，为的直径，于点，将沿所在的直线翻折，得到，点的对应点为点，延长交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的周长． 21. 为响应“阳光体育”号召，某中学随机抽取九年级部分学生，统计学生全天体育总时长（包含上、下午大课间活动，体育课时间不计入统计）（时长用表示，单位：分钟），并对数据时长进行统计整理，下面给出了部分信息： ．统计数据时墨水遮盖住其中一些数据，如下表所示： ．下面是不完整的频数分布直方图和扇形统计图： 请根据以上信息完成下列问题： （1）随机抽取的学生人数为________，并补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中第4组对应的圆心角的度数是________度； （3）若第4组这组数据的中位数是63.5，则第4组中被墨水盖住的数字是________； （4）该校九年级共有1200名学生，请估算该校全天体育总时长不少于50分钟的学生人数． 22. 为助力乡村文旅发展，某村落改造A、B两类特色民宿客房接待游客．已知一间A类客房占地面积比一间B类客房多5平方米；2间A类客房和3间B类客房总占地面积为85平方米．改造A类客房每平方米费用110元，改造B类客房每平方米费用90元． （1）求每间A、B类客房占地面积各为多少平方米？ （2）该村计划改造A、B两类客房一共24间，且B类客房的数量不超过A类客房数量的2倍．如何规划A、B两类客房改造数量，使改造总费用最少？求出最低费用是多少元？ 23. 在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，在轴上，点的坐标为．反比例函数的图象经过的中点，与交于点． （1）如图1，求的值： （2）如图2，将直线沿轴平移得到直线，交的图象于点，若，求直线的解析式； （3）如图3，将直线绕点顺时针旋转后与第一象限的双曲线交于点，求点的横坐标． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，点是第一象限内抛物线上的一动点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，连接，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，连接，过点作交抛物线于点，连接，试问直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 25. 如图①，在中，，，以为斜边在上方作等腰． （1）如图②，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，延长交于点，连接．点，分别是，的中点，连接．，． ①求证：； ②求线段的长； （2）如图③，点在直线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点在直线上，连接，．请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期诊断性检测九年级 数学试题（A卷） 注意事项： 1．本试题共8页，分选择题部分和非选择题部分，选择题部分满分为40分，非选择题部分满分为110分．全卷满分为150分．考试时间为120分钟． 2．答题前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名、座位号写在答题卡的规定位置． 3．答题时，选择题部分每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题部分，用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．直接在试题上作答无效． 4．本考试不允许使用计算器．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 选择题部分共40分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各数中，属于负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴ D选项的数是负数． 2. 若干桶方便面摆放在桌子上，实物图片左边所给的是它的三视图，则这一堆方便面共有（） A. 5桶 B. 6桶 C. 9桶 D. 12桶 【答案】B 【解析】 【分析】从俯视图中可以看出最底层方便面的个数及摆放的形状，从主视图可以看出每一层方便面的层数和个数，从左视图可看出每一行方便面的层数和个数，从而算出总个数． 【详解】综合三视图，这堆方便面底层有桶，第二层有2桶，第三层有1桶，因此共有桶． 故选B． 【点睛】本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力． 3. 年月日“世界读书日”期间，济南市图书馆联合泉城书房推出“夜读泉城”系列活动，活动首周累计到馆总人次约为．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 4. 中国古代建筑中的窗格图案美观大方，寓意吉祥，下列绘出的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答，即可求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选B 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握根轴对称图形的性质：有一条直线是对称轴，图形沿轴折叠，折叠后互相重合；根据中心对称图形的性质：有一个对称中心，图形绕中心旋转180°，旋转后互相重合是解题的关键． 5. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项：，原选项计算错误； B选项：，原选项计算错误； C选项：，原选项计算错误； D选项：，原选项计算正确． 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则应满足( ) A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根． ∴，且． 整理得．解得． ∴的取值范围是且． 7. 计算：的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解： 8. 某人经过两个十字路口，每一个路口可能会遇到红、绿、黄三种交通信号灯，可能性相同．则此人两次都遇到绿灯的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：画树状图如下： ∴经过两个十字路口共有9种等可能的结果， ∵两次都遇到绿灯的结果仅有1种， ∴所求概率为 9. 如图，在中，以为圆心，以长为半径画弧交于点；以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于，两点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在平行四边形内交于点，连接并延长交于点，连接，，分别交，于，两点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由作图可得，，平分，由角平分线的定义结合平行线的性质得出，推出，结合，得，则，再证明，得出，再证明，得出，即可求解. 【详解】解：由作图可得，，平分； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是菱形； ∵， ∴，则， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 10. 已知二次函数（，，为常数，）图象的对称轴为直线，该函数图象经过点，且．下列结论：①关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；②当时，的值随值的增大而增大；③；④；⑤对于任意实数，总有．其中正确的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】D 【解析】 【分析】由对称轴得与的关系，结合已知点推导与的关系，判断开口方向，利用对称性得抛物线与轴的另一交点，再逐一验证各结论． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴，即． ∵函数图象经过点， ∴． 将代入，得，即． ∵， ∴， 解得，故③错误． ∵， ∴抛物线开口向下． 由对称性可得该函数图象经过点， ∴当时，，故④错误． 方程可变形为． 抛物线顶点纵坐标为． ∵， ∴，即顶点纵坐标大于0． ∵， ∴直线与抛物线有两个不同交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故①正确． ∵抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小，故②错误． 整理： ． 将代入，得． ∵，， ∴，即对任意实数，总有，故⑤正确． 综上，正确的结论为①⑤，共2个． 非选择题部分共110分 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写答案．） 11. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了十字相乘法的分解因式，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．根据十字相乘法分解因式即可得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 向如图所示的区域（小正方形的边长相等）随机掷一枚石子，石子落在空白部分的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】我们设每个小正方形的边长为1，可得整个大正方形区域总面积为9，通过切割平移得空白部分的总面积为5，根据几何概型概率公式，用空白部分面积除以总面积即可得到石子落在空白部分的概率． 【详解】解：设每个小正方形的边长为1，那么整个大正方形的总面积为 ． 如图，通过切割平移，阴影部分面积占4块． 空白部分面积 = 大正方形总面积 - 阴影面积 = ． 根据几何概型的概率公式，石子落在空白部分的概率为空白面积除以总面积，即 ​． 13. 如图，在圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，连接，若，则阴影部分的面积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，取的中点O，连接，根据为直径可知，在等腰直角三角形中，，，根据三线合一得到，得出，再由，得到，因此阴影部分的面积可以看作是扇形的面积与的面积之差，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接，取的中点O，连接， ∵在中，， ∴， ∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∴点D是的中点， ∴，， ∴， ∵点O是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点O是的中点， ∴， ∴ 即． ∴ ． 14. 甲、乙两人沿雪野湖环湖步道匀速徒步前行，甲比乙早出发，甲从出发经过抵达目的地．两人之间的距离和甲出发后的时间之间的关系如图所示，则乙从出发到抵达目的地所用的时间是________． 【答案】50 【解析】 【分析】根据30分钟的路程时间关系求出甲的速度，再根据60分钟的路程和时间关系求出乙的速度，进而可以求得乙从出发到抵达目的地所用的时间． 【详解】解：甲从出发到抵达目的地用时，由图可知甲走了， ∴甲的速度为： ∴环湖步道总路程为甲全程的路程：， ∵甲比乙早出发，即乙在甲出发后才开始出发， ∴ 当甲出发时，甲已经走完全程，此时两人相距， ∴乙在自己出发的内，走的路程为， ∴乙的速度为：， ∵总路程为，乙的速度为， ∴乙从出发到抵达目的地的总时间为：． 15. 如图，正方形的边长为6，点是边的三等分点（），是边上一动点，连接，将沿翻折得到，当最小时，________． 【答案】3 【解析】 【分析】连接，则，即当点B、G、F三点共线时，取得最小值．过点G作，交于点M，交于点N，可得，，根据同角的余角相等得到，进而得出．在中，求得，即可求解． 【详解】解：连接， ∵正方形的边长为6， ∴， 由折叠可得， ∵， ∴当点B、G、F三点共线时，取得最小值，如图， 过点G作，交于点M，交于点N， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， 由折叠有， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵点F是的三等分点， ∴， ∴在中，， ∵， ∴． 三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 17. 解不等式组：，并求出它的整数解． 【答案】，0，1，2 【解析】 【分析】首先解不等式组，确定不等式组的解集；然后再确定整数解即可． 【详解】解： 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴原不等式组的解集是：， ∴原不等式组的整数解为：0，1，2． 18. 如图，在中，点，点在上，且，求证：． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ． 【解析】 【详解】略 19. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量，两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内．请根据以上数据求： （1）的距离； （2）楼与之间的距离的长．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】（1） （2）楼与之间的距离的长约为 【解析】 【分析】（1）由三角形外角的性质求出，然后利用等角对等边得到； （2）延长和分别与直线交于点和点，证明四边形是矩形，得到，然后解直角三角形求出，，进而求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，，，， ， ， ； 【小问2详解】 解：延长和分别与直线交于点和点，如图， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ， 由题意得：，，，， ∵， ， ∵， ∴， ， ． 答：楼与之间的距离的长约为． 20. 如图，内接于，为的直径，于点，将沿所在的直线翻折，得到，点的对应点为点，延长交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的周长． 【答案】（1）证明：连接， 沿翻折得到，， ，， ， ， ， ，即， 又是半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）由翻折的性质，可得，且；由，等边对等角得到，在中，，等量代换得到，即，结合是半径，即可证得切线； （2）已知，先得到,由（1），在中算出，又，所以是等边三角形，得到半径，阴影部分周长由三段组成：线段、线段、，在中，，利用含直角三角形边角关系求出、；再用弧长公式算出弧的长度，最后把三段相加就是阴影周长． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：， ， ， 中，， ，， 为等边三角形， ， 在中，，， ，， 的长， ∴阴影部分的周长的长． 21. 为响应“阳光体育”号召，某中学随机抽取九年级部分学生，统计学生全天体育总时长（包含上、下午大课间活动，体育课时间不计入统计）（时长用表示，单位：分钟），并对数据时长进行统计整理，下面给出了部分信息： ．统计数据时墨水遮盖住其中一些数据，如下表所示： ．下面是不完整的频数分布直方图和扇形统计图： 请根据以上信息完成下列问题： （1）随机抽取的学生人数为________，并补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中第4组对应的圆心角的度数是________度； （3）若第4组这组数据的中位数是63.5，则第4组中被墨水盖住的数字是________； （4）该校九年级共有1200名学生，请估算该校全天体育总时长不少于50分钟的学生人数． 【答案】（1）随机抽取的学生人数为20人，补全频数分布直方图如下： （2）72 （3）60 （4）660 【解析】 【分析】（1）用第一组的人数除以所占的比例即可得出随机抽取的学生人数，求出第二组、第四组的人数，即可补全频数分布直方图； （2）用乘以第四组人数所占的比例即可得出结果； （3）根据中位数的定义求解即可； （4）用1200乘以该校全天体育总时长不少于50分钟的学生人数所占的比例即可得出结果． 【小问1详解】 解：（人）， ∴随机抽取的学生人数为人； ∴第四组人数为（人），第二组人数为（人）， 补全频数分布直方图如图略； 【小问2详解】 解：， ∴扇形统计图中第四组的圆心角的度数是度； 【小问3详解】 解：∵第四组数据的中位数是63.5， ∴第四组中被盖住的数字为； 【小问4详解】 解：（人）， ∴估算该校全天体育总时长不少于50分钟的学生人数为660人． 22. 为助力乡村文旅发展，某村落改造A、B两类特色民宿客房接待游客．已知一间A类客房占地面积比一间B类客房多5平方米；2间A类客房和3间B类客房总占地面积为85平方米．改造A类客房每平方米费用110元，改造B类客房每平方米费用90元． （1）求每间A、B类客房占地面积各为多少平方米？ （2）该村计划改造A、B两类客房一共24间，且B类客房的数量不超过A类客房数量的2倍．如何规划A、B两类客房改造数量，使改造总费用最少？求出最低费用是多少元？ 【答案】（1）每间A类客房占地面积20平方米，每间B类客房占地面积15平方米． （2）改造类客房8间，类客房16间时总费用最少，最少费用39200元． 【解析】 【分析】（1）设每间A占地平方米，每间B占地平方米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设改造A类客房间，B类客房间，根据题意列出不等式，得出，设改造客房的总费用为元，进而列出一次函数关系式，根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设每间A占地平方米，每间B占地平方米， 由题意得：， 解得：， ∴每间A类客房占地面积20平方米，每间B类客房占地面积15平方米． 【小问2详解】 设改造A类客房间，B类客房间， 由题意得， 解得， 设改造客房的总费用为元， 由题意得， ， 随的增大而增大， ∴当时，有最小值， ，此时， ∴改造类客房8间，类客房16间时总费用最少，最少费用39200元． 23. 在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，在轴上，点的坐标为．反比例函数的图象经过的中点，与交于点． （1）如图1，求的值： （2）如图2，将直线沿轴平移得到直线，交的图象于点，若，求直线的解析式； （3）如图3，将直线绕点顺时针旋转后与第一象限的双曲线交于点，求点的横坐标． 【答案】（1） （2）当点在点的左侧时，为，此时直线为，当点在点的右侧时，为，此时直线为； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质和中点坐标公式求点的坐标，然后代入反比例函数解析式求k值即可； （2）先求出直线的解析式，由直线平移得，利用平行线间距离相等推出，结合三角形面积公式求出的长度和F点坐标，即可求解； （3）作辅助线构造直角三角形，由是顺时针旋转所得，证为等腰直角三角形，得，再证，求出点坐标，求直线的解析式，与反比例函数解析式联立，求解并结合第一象限条件得点Q的横坐标． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形，，点是的中点， ，即点， 将代入中，得：； 【小问2详解】 解： ， 则设直线解析式为， ， 解得， 直线为， 设直线与轴的交点为，连接，如图 ， ，， ，解得， 当点在点的左侧时，为，此时直线为， 当点在点的右侧时，为，此时直线为； 【小问3详解】 解：过作交于点，作轴的平行线交轴于点，过作轴的平行线，交于点， ， 又， ， 又， ， ， ， 又，， ， ， ，， ，即， 设的解析式为，将代入得：， 解得：， 的解析式为， 联立得：， 解得， 又， ， 点的横坐标是． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，点是第一象限内抛物线上的一动点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，连接，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，连接，过点作交抛物线于点，连接，试问直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】（1） （2）当时，点到的距离最大值为 （3）直线恒过点 【解析】 【分析】（1）根据对称轴求出，再将代入解析式求出，即可求解； （2）过点作轴，垂足为，交于点，先求出、的坐标，进而得到，则，得到，求出直线的解析式为，设，则，得到， 则当时，有最大值，此时最大，即可求解； （3）过点作轴的平行线，过点作，垂足为，过点作，垂足为，设，，则，，结合题意可推出，根据三角函数得到，即 ，整理得， 设直线的表达式为，联立直线和抛物线并结合根与系数的关系得到，，则，得到直线的表达式即可判定． 【小问1详解】 解：， ， ， 将代入，得， 解得， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 过点作轴，垂足为，交于点， 令得， 解得，， ， 令，则， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， ， 设，则， ， 当时，有最大值，此时最大， ； 将代入，解得， 当时，点到的距离最大值为； 【小问3详解】 过点作轴的平行线，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 设，，则，， ，， ， ，即， ， 即， 设直线的表达式为， 令， 整理得， ，， ， 解得， ， 直线恒过点． 25. 如图①，在中，，，以为斜边在上方作等腰． （1）如图②，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，延长交于点，连接．点，分别是，的中点，连接．，． ①求证：； ②求线段的长； （2）如图③，点在直线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点在直线上，连接，．请直接写出的最小值． 【答案】（1）①证明：∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， ， 即， 在和中 ， ， ； ② （2） 【解析】 【分析】（1）①由线段绕点顺时针旋转得，得到、，又是等腰直角三角形，，。通过同角减去，推导出，凑出和的全等条件，全等之后直接得到； ②先由①的全等，结合，是中点，得到，再证，得到等腰，建立和的数量关系；再证明，得到，算出长度；再利用中位线定理得到，代入等腰直角三角形的边角关系，求出； （2）先由旋转得到DQ，结合等腰，证明，得到，确定动点的轨迹是过点且垂直于BC的定直线；要求最小，作点关于这条定直线的对称点D'，根据轴对称性质，则，当，，三点共线时取最小值，最后构造直角三角形，用勾股定理算出的长，即为最小值． 【小问1详解】 解：①略 ②连接，， ，分别是，边上的中线，， ，， ， ，即， ∴是等腰直角三角形， ， ， ，即， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， ， 点是的中点， ∵点是的中点， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：的最小值． 理由：如图，连接， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段，是等腰直角三角形， ，，，， ，即， 在和中： ， ， ， ， ∴点在与垂直且垂足为点的直线上运动， 以直线为对称轴，作的对称点，连接交直线于点， 连接交直线于点，此时，最短， 过点作于点， ∴四边形为矩形， ，， 在等腰中，， 在等腰中，， ， 过作的垂线，交的延长线于点， 则四边形为矩形， ，， ， 在中，， 的最小值． 【点睛】本题是几何变换综合题，围绕等腰直角三角形的性质、旋转的全等特性、中点模型、最值转化四大核心考点展开，解题的关键思路锚定旋转构造全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $