精品解析：山东省北镇中学2026～2027学年高一上学期期中考试数学试题

暮秋·深耕考——高一年级期中考试数学试题 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列五个关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合元素的无序性以及空集的性质，逐一验证选项即可. 【详解】对于①，由于集合具有无序性，所以，故①正确; 对于②，因为和表示同一个集合，且任何集合都是其自身的子集， 所以正确，故②正确; 对于③，集合包含一个确定的元素 ，而空集不包含任何元素， 两者不相等，故③错误; 对于④，空集是任何集合的子集，因此正确，故④正确; 对于⑤，和都表示集合，其关系为包含并非属于，故⑤错误. 2. 命题“” 的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】命题“” 的否定是“”. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，可得，故解集为． 4. 已知函数，且，则实数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】采用配凑法可求得，代入可构造方程求得结果. 【详解】，， ，解得：. 故选：D. 5. 已知关于的不等式的解集中有且仅有4个正整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对参数分类讨论求解不等式，再根据解的情况分析可得实数的取值范围. 【详解】由可得 当时，不等式的解集为，不符合题意，舍去， 当时，不等式的解集为，其正整数解至多有1个，不符合题意，舍去， 当时，不等式的解集为，因为有且仅有4个正整数解，故正整数解为1，2，3，4，所以， 所以实数的取值范围是. 6. 设，则下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数的运算性质可判断各选项的正误. 【详解】对于A，，错误； 对于B，，错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确， 故选：D. 7. 若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式将已知等式转化为关于的一元二次不等式即可求得最小值. 【详解】因为，由基本不等式可得， 即， 因为，解得，当且仅当时，等号成立, 8. 已知 ，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 7 【答案】D 【解析】 【详解】由，得，两边同时平方得， 所以，得，得，故. 二、多项选择题：本题共 3 小题，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 当时，的最小值是 D. 若正数满足，且，则均为定值 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合基本不等式的使用条件一正、二定、三相等逐一分析选项，对A由一正排除；对B先求定义域，再用基本不等式可得最大值；对C通过凑配，再用基本不等式可得最小值；对D先令，再由基本不等式得，再结合条件可得，并结合不等式成立的条件可得的值. 【详解】选项A： 基本不等式求最值要求变量为正：当时，为负数，不可能取得最小值，该式没有最小值，A错误； 选项B：先求定义域：，即，所以， 由基本不等式得，当且仅当，即时取等号， 因此，最大值为，故B正确； 选项C：当时，，由基本不等式， ，当且仅当​，即时取等号， 因此的最小值为，故C正确； 选项D：令，由且，由基本不等式， 由条件得​，因此有​，整理得，即， 结合，所以，因此，得， 因此，此时不等式取等号，满足，即， 结合，可解得​，因此均为定值，故D正确. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 命题“若，则”为真命题． B. “”是“”的充分不必要条件． C. 空集是任何集合的真子集． D. 命题“若，则且”为真命题． 【答案】ABD 【解析】 【详解】当时，，A选项正确； 当时，，则或， 所以“”是“”的充分不必要条件.B选项正确； 空集是任何非空集合的真子集，C选项错误； 因为，所以当，则且，所以D选项正确. 11. 若函数，定义域为，下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. ，使 C. 在和上单调递减 D. 的值域为 【答案】AC 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性判断A；令，求出的值和定义域比较判断B；分别在和研究函数单调性判断C；求出函数的值域判断D. 【详解】对于A，，定义域为，关于原点对称， ， 所以为偶函数，关于轴对称，故A正确； 对于B，，则， 即，解得，与定义域矛盾， 所以不存在，使，故B错误； 对于C，， 因为当和，单调递增， 所以单调递减，即单调递减，故C正确； 对于D，由选项C可知，， 因为且，则且， 所以且，即且， 所以的值域为，故D错误， 故选：AC. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 已知，不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先将分式不等式移项通分，转化为且分母不为零，再由比较两根大小写出解集． 【详解】由，则， 即 因为，所以， 解不等式得 所以不等式的解集为. 13. 设集合，，且，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用集合的性质求解即可. 【详解】由集合中元素的互异性，可知， 因为，所以，或， 解得，所以. 14. 我校数、理、化竞赛时，高一某班有名学生参加数学竞赛，名学生参加物理竞赛，名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有名，只参加数、物两科的有名，只参加物、化两科的有名，只参加数、化两科的有名若该班学生共有名，则没有参加任何竞赛的学生共有__________名. 【答案】 【解析】 【分析】根据韦恩图，分别求出单独参加物理、数学和化学的人数，即可求出参赛人数，进而求出没有参加任何竞赛的学生. 【详解】由韦恩图知： 因为有名学生参加数学竞赛，名学生参加物理竞赛，名学生参加化学竞赛， 参加数、理、化三科竞赛的有名，只参加数、化两科的有名， 只参加数、物两科的有名，只参加物、化两科的有名， 所以单独参加数学的有人， 单独参加物理的有人，单独参加化学的有人， 故参赛人数共有人， 没有参加任何竞赛的学生共有人． 故答案为：10. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，求的最小值． （2）已知正数满足，求的最小值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）运用基本不等式进行求解即可； （2）用整体代换，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为，则， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. （2）因为正数满足， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 16. 已知集合． （1）若，求； （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由集合的并集运算，即可得到结果； （2）根据题意，将问题转化为是的真子集，然后分A是否为空集讨论，列出不等式求解，即可得到结果． 【小问1详解】 当时，，又， 所以． 【小问2详解】 因“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集， 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述，实数的取值范围是． 17. 北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件． （1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ （2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价． 【答案】（1）元 （2）当该商品改革后的销售量至少达到万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为元． 【解析】 【分析】（1）设每件定价为元，根据题意求出此定价下的销售量，即可求得现在的销售的总收入，再根据与原收入的关系，解关于的一元二次不等式； （2）根据改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，列出关于，的不等式，问题转化为关于，的不等式有解，再结合基本不等式即可求解． 【小问1详解】 设每件定价为元，依题意得， 整理得，解得． 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元． 【小问2详解】 依题意知，当时，不等式有解， 等价于当时，有解， 由于，当且仅当，即时等号成立， 所以． 所以当该商品改革后的销售量至少达到万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为元． 18. 已知幂函数为偶函数. （1）求的解析式； （2）若在上不是单调函数，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义和函数的奇偶性求出的值, 求出函数的解析式即可; (2) 求出函数的对称轴, 根据函数的单调性求出的范围即可. 【小问1详解】 由题意 , 解得: 或 3 , 若 是偶函数,则， 故 ; 【小问2详解】 , 的对称轴是 , 若 在上不是单调函数, 则 , 解得: . 所以实数的取值范围为. 19. 二次函数的图像关于y轴对称，且恒有，函数，且恒有． （1）求a，b，c的值； （2）若函数在内单调递减，在内单调递增，求实数k的值； （3），若对任意，，，都有，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，分别求解即可； （2）利用换元法，设，再结合复合函数的单调性即可求解； （3）若对任意，，，都有等价于，再利用换元法分类讨论的最值即可求解． 【小问1详解】 因为二次函数的图像关于y轴对称，所以， 因为，所以， 所以，，， 又，所以． 【小问2详解】 ， 设，则， 因为函数在上单调递减， 所以函数在内单调递减，在内单调递增等价于在递减，在递增， 所以，解得． 【小问3详解】 若对任意，，，都有等价于， ， 设，则 ， 当时，， 当时，，设，， ①当时，即时，，所以， 由得，解得； ②当时，即时，，所以， 由得，解得； ③当时，即时，，恒成立； 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 暮秋·深耕考——高一年级期中考试数学试题 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列五个关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“” 的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，且，则实数等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的不等式的解集中有且仅有4个正整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设，则下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知 ，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 7 二、多项选择题：本题共 3 小题，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 当时，的最小值是 D. 若正数满足，且，则均为定值 10. 下列结论正确的是（ ） A. 命题“若，则”为真命题． B. “”是“”的充分不必要条件． C. 空集是任何集合的真子集． D. 命题“若，则且”为真命题． 11. 若函数，定义域为，下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. ，使 C. 在和上单调递减 D. 的值域为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 已知，不等式的解集为___________． 13. 设集合，，且，则________. 14. 我校数、理、化竞赛时，高一某班有名学生参加数学竞赛，名学生参加物理竞赛，名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有名，只参加数、物两科的有名，只参加物、化两科的有名，只参加数、化两科的有名若该班学生共有名，则没有参加任何竞赛的学生共有__________名. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，求的最小值． （2）已知正数满足，求的最小值． 16. 已知集合． （1）若，求； （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17. 北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件． （1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ （2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价． 18. 已知幂函数为偶函数. （1）求的解析式； （2）若在上不是单调函数，求实数的取值范围. 19. 二次函数的图像关于y轴对称，且恒有，函数，且恒有． （1）求a，b，c的值； （2）若函数在内单调递减，在内单调递增，求实数k的值； （3），若对任意，，，都有，求实数k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $