5.2.1 三角函数的概念 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.2.1 三角函数的概念 教学设计

（人教A版《数学》必修第一册 第五章 三角函数）

第1课时 三角函数的概念

一、教材分析

本节课选自人民教育出版社《普通高中教科书·数学·必修第一册》（人教A版）第五章《三角函数》，是继5.1节“任意角和弧度制”之后的概念课。在初中，学生已经学习过锐角三角函数，知道在直角三角形中，锐角的三角函数可以用相应边长的比值表示；随着角的概念推广到任意角，并引入弧度制之后，三角函数的自变量变成了实数（角的弧度数），它与三角形已经“脱离”了关系，原有的定义方式遇到挑战，三角函数的概念需要重新建构。

教材借助单位圆这一核心工具，把角的终边与单位圆交点的纵坐标定义为该角的正弦，横坐标定义为该角的余弦，纵坐标与横坐标的比值定义为该角的正切，实现了由“三角形内的比值定义”向“单位圆上的坐标定义”的跨越。这一建构过程充分体现了数形结合与化归的思想。本课时只研究三角函数的定义与定义域，三角函数值在各象限的符号、公式一等内容留待下一课时学习。

二、教学目标与核心素养

（一）课程目标

1、经历用坐标刻画圆周上动点位置的抽象过程，借助单位圆理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，体会定义的合理性；

2、能根据定义求特殊角的三角函数值，能求终边经过给定点的角的三角函数值，初步学会运用定义分析和解决简单问题；

3、体验三角函数概念的产生与发展过程，领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的活动经验。

（二）数学学科素养

1.数学抽象：任意角三角函数的定义；

2.逻辑推理：由锐角三角函数到任意角三角函数的概念推广过程；

3.数学运算：运用定义求三角函数值；

4.直观想象：借助单位圆理解三角函数的对应关系。

三、教学重难点

重点：任意角的正弦、余弦、正切函数的定义；

难点：任意角三角函数概念的建构过程，即理解“终边与单位圆交点的坐标”为什么可以定义为三角函数。

四、教学方法和工具

教学方法：以学生为主体、教师为主导，采用问题驱动下的诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体课件、GeoGebra动态数学软件、导学案。

五、教学过程

（一）情景导入

2026年寒假，哈尔滨冰雪大世界的“雪花摩天轮”再度成为热门打卡地：游客乘座舱匀速升空，绕圆心转动一周后平稳回到出发点，座舱离地面的高度与水平位置随转动周而复始地变化。如图1，把摩天轮抽象成圆O，座舱抽象成圆上的动点P，座舱从起点A出发按逆时针方向做匀速圆周运动。

图1 “雪花摩天轮”情境示意图

提问1：座舱的位置随转动角不断变化，这种“周而复始”的变化规律，适合用什么样的数学模型刻画？

提问2：物体在直线上运动可以用一次函数刻画，在抛物线上运动可以用二次函数刻画，那么圆周上的运动，需要建立怎样的函数？

要求：让学生自由发言，教师不做判断，而是引导学生抓住“旋转角”这一关键量——点P的位置由以射线OA为始边、射线OP为终边的角唯一确定，从而引出本节课题。

（二）预习课本，引入新课

阅读课本第五章5.2.1节，思考并完成以下问题：

1、初中锐角三角函数是怎样定义的？把角推广到任意角之后，这一定义遇到了什么困难？

2、为什么要先研究单位圆上动点的运动情况？

3、任意角的正弦、余弦、正切分别是怎样用坐标定义的？它们的定义域分别是什么？

要求：学生独立完成，以小组为单位组内交流，最终选出代表回答问题。

（三）新知探究

1.从锐角三角函数到坐标表示

探究：如图2，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴建立直角坐标系，点A的坐标为，单位圆上的点P以A为起点按逆时针方向旋转。设角的始边为射线OA，终边为射线OP。

图2 单位圆上的动点P与角α

追问1：当为锐角时，点P的坐标与的锐角三角函数值有什么联系？

（引导学生发现：此时|OP|＝1，设点P的坐标为，由初中锐角三角函数的定义可知，。例如当时，点P的坐标为，恰好有，。）

追问2：当超过90°甚至为负角时，直角三角形不存在了，此时“终边与单位圆的交点”还存在吗？交点坐标还能唯一确定吗？

（交点存在且唯一确定。这说明交点坐标由角唯一确定，可以用交点坐标来定义任意角的三角函数。）

2.三角函数的定义

设是一个任意角，，它的终边与单位圆交于点，则：

（1）纵坐标y叫做的正弦，记作，即；

（2）横坐标x叫做的余弦，记作，即；

（3）当时，把纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即。

正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数。

3.定义域