5.2.1（第一课时）三角函数的概念教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

教案设计 科 目 数学 年 级 高一 主备教师 课 型 新授课 课时数 1 授课教师 设计主题 5.2.1 三角函数的概念（第一课时） 设计时间 授课时间 课标要求 1.借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义． 2.理解同角三角函数的基本关系式： ， 教材分析 三角函数是一类最典型的周期函数，是解决实际问题的重要工具，是学习数学和物理、天文等其他学科的重要基础. 传统上，人们习惯把三角函数看成是锐角三角函数的推广，利用象限角终边上点的坐标比定义三角函数.因为这一定义方法出自欧拉，因此更具权威性.然而，锐角三角函数的研究对象是三角形，是三角形中边与角的定量关系（三角比）的反映；而任意角三角函数的现实背景是周期变化现象，是“周而复始”变化规律的数学刻画.如果以锐角三角函数为基础进行推广，那么三角函数概念发生发展过程的完整性将受到破坏. 因此，任意角三角函数知识体系的建立，应与其他基本初等函数类似，强调以周期变化现象为背景，构建从抽象研究对象（即定义三角函数概念）到研究它的图象、性质再到实际应用的过程，与锐角三角函数的联系可以在给出任意角三角函数定义后再进行考察.这样处理内容，可以聚焦周期现象的数学刻画，发挥单位圆的作用，排除锐角三角函数的干扰；可以突出从现实背景到数学概念的逻辑主线，简捷地完成概念的抽象过程，促使学生形成清晰的三角函数概念；还可以体现学生思维的逻辑性，引导学生完整经历概念的抽象过程. 任意角三角函数的定义虽然符合函数的定义要求，但它的定义与前面学过的幂函数、指数函数、对数函数等基本初等函数的定义方式有着很大的不同.首先，任意角三角函数的定义需要借助于几何图形，而其它函数不用借助于任何图形；其次，任意角三角函数的对应关系是“ 与x、y直接对应”，无须计算，实际上是“几何元素间的对应”，而其他基本初等函数的对应关系都有明确的运算含义，是以“代数运算”为媒介的一种对应关系. 一般地，概念的形成应按“事实→概念”的路径，即要经历“背景→研究对象→对应关系的本质→定义”的过程，三角函数概念的形成要经历这个过程，同时，“顺便”就可得到值域、函数值的符号、诱导公式一及同角三角函数的基本关系等性质.其中有些性质不同于一般函数的“常规性质”，是圆的几何性质的直接反映.需要注意的是，这些性质看上去简单，但反映了三角函数的本质特征.其中，公式一体现了三角函数的取值具有周期性，这是三角函数的最重要的性质；同角三角函数的基本关系体现了三角函数的内在联系性. 三角函数概念的形成为后续研究三角函数的图象，性质及应用奠定了基础，并且在借助单位圆抽象三角函数定义的过程中，能反映出对应思想与数形结合的思想方法.本单元的学习，对发展数学抽象，数学建模、逻辑推理、直观想象等数学素养有着重要的作用. 学情分析 三角函数概念的学习，其认知基础是函数的一般观念以及对幂函数、指数函数和对数函数的研究经验，另外还有圆的有关知识.这些认知准备对于分析“周而复始”变化现象中涉及的量及其关系、认识其中的对应关系并给出定义等都能起到思路引领作用.然而，前面学习的基本初等函数，涉及的量（常量与变量）较少，解析式都有明确的运算含义，而三角函数中，影响单位圆上点的坐标变化的因素较多，对应关系不以“代数运算”为媒介，是“ 与x、y直接对应”，无须计算.虽然、x、y都是实数，但实际上是“几何元素间的对应”.所以，三角函数中的对应关系，与学生的已有经验距离较大，由此产生第一个学习难点：理解三角函数的对应关系，包括影响单位圆上点的坐标变化的因素分析，以及三角函数的定义方式的理解. 为了破除学生在“对应关系”认识上的定势，帮助他们搞清三角函数的“三要素”，应该根据一般函数概念引导下的“下位学习”的特点，先让学生明确“给定一个角，如何得到对应的函数值”的操作过程，然后再下定义，这样不仅使三角函数定义的引入更自然，而且由三角函数对应关系的独特性，可以使学生再一次认识函数的本质.具体地，可让学生先完成“给定一个特殊角，求它的终边与单位圆交点坐标”的任务，例如“当 时，找出相应点P的坐标”，并让学生明确点P的坐标的唯一确定性.再借助信息技术，让学生观察任意给定一个角∈R，它的终边与单位圆的交点坐标是否唯一，从而为理解三角函数的对应关系奠定基础.利用信息技术，可以很容易地建立单位圆上点的横坐标、纵坐标、角、弧之间的联系，并且可以在角的变化过程中进行观察，发现其中的规律性.所以，信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质. 对于定义“设是一个任意角 ∈R，它的终边与单位圆交于点 P(x,y)，那么y叫做的正弦函数，记作 sin，即 y=sin; x叫做 的余弦函数，记作 cos，即，可以通过如下几点帮助学生理解： 第一， 是一个任意角，同时也是一个实数（弧度数），所以“设 是一个任意角”的意义实际上是“对于R中的任意一个数 ”. 第二,“它的终边与单位圆交于点 P(x,y)”，实际上给出了两个对应关系，即 （1）实数（弧度）对应于点 P的纵坐标y； （2）实数（弧度）对应于点 P的横坐标x． 其中 y,x∈[-1,1].］.因为对于R中的任意一个数，它的终边唯一确定，所以交点 P(x,y)也唯一确定，也就是纵坐标 y和横坐标 x都由 唯一确定，所以对应关系（1）（2）分别确定了一个函数，这是理解三角函数定义的关键. 第三，引进符号sin、cos分别表示“ 的终边与单位圆交点的纵坐标”“的终边与单位圆交点的横坐标”,于是：对于任意一个实数，按对应关系（1），在集合B={z|-1≤z≤1}中都有唯一确定的数sin与之对应；按对应关系（2），在集合B中都有唯一确定的数cos与之对应．所以，sin、cos 都是一个由所唯一确定的实数. 这里，对符号sin、cos 和tan 的认识是第二个难点.可以通过类比引进符号 b 表示 b 中的，说明引进这些符号的意义. 本单元的第三个学习难点是对三角函数内在联系性的认识.出现这个难点的主要原因在于三角函数联系方式的特殊性，学生在已有的基本初等函数学习中没有这种经验，以及学生从联系的观点看问题的经验不足，对“如何发现函数的性质”的认识不充分从而导致的发现和提出性质的能力不强.为此，教学中应在思想方法上加强引导.例如，可以通过问题：“对于给定的角 ，点P(cos,sin）是 的终边与单位圆的交点，而 tan 则是点 P 的纵坐标与横坐标之比，因此这三个函数之间一定有内在联系.你能从定义出发，研究一下它们有怎样的联系吗？”引导学生探究同角三角函数的基本关系. 单元教学目标 1.学生知道与幂函数、指数函数、对数函数等一样，三角函数也是刻画一类现实世界中“周而复始”变化规律的数学模型.能分析单位圆上点的旋转中涉及的量及其相互关系，获得对应关系，并用函数的定义分析对应关系，抽象出三角函数概念；能根据定义求给定角的三角函数值. 2.能利用定义以及单位圆上点的横、纵坐标之间的关系，发现并提出“同角三角函数的基本关系”，并能用于三角恒等变换. 单元教学重点 难点 教学重点：正弦函数、余弦函数、正切函数的定义，诱导公式一.同角三角函数的基本关系. 教学难点：三角函数的对应关系，三角函数符号的含义，三角函数的内在联系性. 单元课时分配 本单元分3课时： 第1课时，三角函数的概念； 第2课时，三角函数的基本性质； 第3课时，三角函数的概念和性质的简单应用. 第一课时 课时学习目标 基础性目标：★ 通过任务一，借助单位圆认识三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. 拓展性目标：★★ 通过任务二，利用三角函数的定义，求解任意角的三角函数值. 挑战性目标: ★★★ 通过任务三，证明三角函数的一般定义，进一步加深对定义的理解. 课时学习重难点 教学重点：正弦函数、余弦函数、正切函数的定义． 教学难点：三角函数的对应关系，三角函数符号的含义． 课时学习评价 教学过程 教师活动 学生活动 教学效果 1、 创设情境，提出问题： 我们知道，现实世界中存在着各种各样的“周而复始”变化现象，圆周运动是这类现象的代表．如图5.2-1，O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转．在把角的范围推广到任意角后，我们可以借助角α 的大小变化刻画点 P的位置变化.又根据弧度制的定义，角α 的大小与⊙O的半径无关，因此，不失一般性，我们可以先研究单位圆上点的运动.现在的任务是： 如图5.2-2，单位圆⊙O上的点P以A为起点按逆时针方向旋转，建立一个函数模型，刻画点P的位置变化情况. 图5.2-1 2、 复习回顾： 问题1：根据已有的研究函数的经验，你认为我们可以按怎样的路径研究上述问题？ 答：研究路径是： 明确研究背景→对应关系的特点分析→下定义→研究性质. 三、目标一：借助单位圆认识三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. 任务一：学生能发现在单位圆中，角与其终边交点的坐标间的对应关系 如图5.2-2，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为（1,0)，点P的坐标为（x,y)．射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角，终止位置为OP.若任意给定一个角，它的终边OP 与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？ 图5.2-2 问题2：（1）当 时，点P的坐标是什么？唯一确定吗？ （2）当时，点P的坐标是什么？求点 P的坐标要用到什么知识？求点 P的坐标的步骤是什么？点 P的坐标唯一确定吗？ （3）如何利用上述经验求时点P的坐标？它们是唯一确定的吗？ （4）利用信息技术，任意画一个角，观察它的终边OP与单位圆交点P的坐标，你有什么发现？你能用函数的语言刻画这种对应关系吗？ 答： (1)P(0,1)；是唯一确定的． (2)；直角三角形的性质；画出 的终边OP，过点P作x轴的垂线交x轴于M，在RtOMP中，利用直角三角形的性质（sin= ; cos= ; tan= ），可得点P的坐标是；是唯一确定的. （3）可以发现，，而点P在第二象限，可得点P的坐标是；是唯一确定的. （4）对于R中的任意一个角，它的终边OP与单位圆的交点为P(x,y)，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的.这里首先有两个对应关系： f：实数（弧度）对应于点P的纵坐标y， g：实数 （弧度）对应于点P的横坐标x. 根据上述分析，由函数的定义可知这里的f和g都是从集合R到集合［-1,1］的函数． 评估一：学生能阅读课本，得出单位圆中三角函数的定义 问题3：请同学们先阅读教科书第178179页，再回答如下问题： （1）正弦函数、余弦函数和正切函数的对应关系各是什么？ （2）符号sin、 cos和 tan分别表示什么？在你以往的学习中有类似的引入特定符号表示一种量的经历吗？ （3）为什么说当时，tan的值是唯一确定的？ （4）为什么说正弦函数、余弦函数的定义域是R？而正切函数的定义域是Z}? 答：1.单位圆中三角函数的定义 （1）正弦函数的对应关系是：实数（弧度）对应于点P的纵坐标 y； 余弦函数的对应关系是：实数（弧度）对应于点P的横坐标 x； 正切函数的对应关系是：实数（弧度）对应于 。 （2）符号sin、cos和tan分别表示终边与单位圆交点的纵坐标 y、横坐标 x以及纵坐标与横坐标的比值 以前学习对数时，为了表示中的x，引进新的符号 b 。 （3）因为当时， 终边与单位圆交点的横坐标x和纵坐标y都是唯一确定的，所以，它们的比值 也是唯一确定的，即tan的值是唯一确定的. （4）由正弦函数、余弦函数、正切函数的定义可知，正弦函数、余弦函数无要求，正切函数的定义要求x 不为0，即的终边不能在 y轴上． 教师追问: 在初中我们学习了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数．设，把按锐角三角函数定义求得的锐角x的正弦记为，并把按本节三角函数定义求得的 的正弦记为与相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？ 答： 作出Rt△ABC，其中∠A= ，再将它放入直角坐标系中，使点A与原点重合，AC在 轴的正半轴上，得出。余弦、正切也有相同的结论。 四、目标二：利用三角函数的定义，求解任意角的三角函数值 任务二：利用三角函数的定义，求解任意角的三角函数值 例1.利用三角函数的定义求 的正弦、余弦和正切值. 解：在直角坐标系中，作，如图5.2-3所示． 图5.2-3 易知AOB的终边与单位圆的交点坐标为 所以， 评估二：学生能熟练求解任意角的三角函数值，能说出解答步骤 （小组合作）练习：（1）利用三角函数定义，分别求π和 的三个三角函数值. （2）说出几个使cos =1的 的值. 答： (1)sin =0，cos =-1，tan=0; sin=-1，cos =0，tan 不存在; (2) =0，2π，-2π等. 5、 目标三：证明三角函数的一般定义，进一步加深对定义的理解.简单应用定义确定角的终边上点的位置. 任务三：学生能证明三角函数的一般定义 例2. 如图5.2-4，设 是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为(x,y)，点 P与原点的距离为r. 求证： 图5.2-4 证明：如图5.2-5，设角 的终边与单位圆交于点， 分别过点P、作轴的垂线PM，，垂足分别为M， 则 ，. 图5.2-5 于是 ，即 . 因为与y同号，所以 即.同理可得 ; . 2.三角函数的一般定义： 一般地，设角 终边上任意一点 P（不与原点O重合）的坐标为（x,y)，点 P与原点的距离为 r.则 叫做角 的正弦，记为sin，即; 叫做角 的余弦，记为cos，即; 叫做角 的正切，记为tan，即 任务三：学生能简单应用定义确定角的终边上点的位置. 练习:已知点P在半径为 2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为1 rad/s．求 2s时点 P所在的位置. 答： 以坐标原点为圆心O，OP所在直线为 轴正方向建立平面直角坐标系．2s时点 P所在位置记为 Q． 因为点 P是在半径为 2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为1rad/s，所以圆心角∠POQ=-2rad． 所以2s时，点 P为（2cos（-2）,2sin（-2）)． 学生在独立思考的基础上进行交流，通过讨论后得出结论。 学生阅读问题背景，结合任意角的定义，理解交点P的坐标唯一确定。 学生自主思考，教师提示：回顾初中学习的锐角三角函数的定义，能求解前三个角的终边上点的坐标。 学生独立阅读课文，再举手回答上述问题 教师引导学生得出结论。 先由学生发言，再总结出从定义出发求三角函数值的基本步骤，并得出答案. 由学生自主思考，逐题写出答案，小组间核对答案，教师并要求学生说出解答步骤，最后可以总结为“画终边，找交点坐标，算比值（对正切函数）”. 学生自主思考，教师提问：“题中点 P的坐标与定义中的差别是什么？如何转化？据此如何求出角 的三个函数值？” 学生想到要利用点 P的坐标求出角 的终边与单位圆交点的坐标. 学生独立完成后，代表上台投影展示 以函数的对应关系为方向，从特殊到一般，使学生确认相应的对应关系满足函数的定义，角的终边与单位圆交点的横、纵坐标都是圆心角（弧度）的函数，为给出三角函数的定义做好准备. 在问题引导下，通过阅读教科书、辨析关键词等，使学生明确三角函数的“三要素”；引导学生类比已有知识（引入符号 b 表示中的 )，理解三角函数符号的意义. 建立锐角三角函数与任意角三角函数的联系，使学生体会两个定义的和谐性. 通过概念的简单应用，明确用定义求三角函数值的基本步骤，进一步理解定义的内涵. 检验学生对定义的理解情况. 从一个具体问题出发，抽象出一般定义，加深学生对三角函数定义的理解．提问引导学生分析差异，寻找思路，进而求解．引导学生从具体到一般进行抽象． 三角函数是刻画匀速圆周运动的数学模型，通过练习使学生从另一个角度理解三角函数的定义. 课堂小结 1.单位圆中三角函数的定义； 2.三角函数的一般定义； 学生作业 1.基础性作业：教科书第179页练习第1-4题； 答案： 1. 2. 设 角的终边与单位圆的交点是Ｐ(ｘ,ｙ),则ｙ＝－, ∴ｘ＝－=－, 即Ｐ(－,－) ∴sin＝－，cos＝－, tan＝. 3.点P到原点的距离是r＝＝13, ∴sin θ=,cos θ=－,tan θ=－. ４.设r为圆的半径,α为一个任意角,由题知,ｒ＝２,α＝－2rad ∴x＝rcos α＝２cos(－２),ｙ＝rsin α＝２sin(－２)， ∴点P的坐标为(２cos(－２),２sin(－２)). 2.提升性作业：教科书第184页习题5.2第1、2、3、4题； 答案：1. 2. ∵Ｐ(3,4),∴r＝5|｜.∴sin=,cos= . 当>0,即为第一象限角时,sin=，cos＝ ,tan＝ ； 当<0,即为第三象限角时,sin=-，cos＝- ,tan＝ . 3. (1)-10;(2) 15;(3)- ;(4)- . 4. (1)0;(2)(p-q)2 ;(3)(-b)2 ;(4)0. 3.拓展性作业:思考：任意角三角函数与锐角三角函数有什么关系？并画出本节课研究内容和方法的结构图． 板书设计 教学反思 成功之处 不足之处及原因 分析 改进措施 学科网（北京）股份有限公司 $