精品解析：江苏省南京市建邺区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年第一学期期中学业质量监测九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名，考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名，考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 解一元二次方程，下列配方正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【详解】∵， ∴， ∴（添加一次项系数一半的平方）， ∴． 故选：C． 2. 已知的直径为，点在外，则长可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，本题先求解圆的半径，再利用点在圆外，可得，从而可得答案；熟知点和圆的位置与圆的半径的关系是解题的关键． 【详解】解：∵的直径为，点在外， ∴的半径为， ∴， ∴长可能是． 故选：A． 3. 已知一组数据：3，4，5，6，7．若再添加一个数据5，得到一组新数据．与原数据相比，发生变化的统计量是（　　） A. 平均数 B. 中位数 C. 极差 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、极差、方差． 比较原数据和新数据的平均数、中位数、极差、方差，判断是否发生变化． 【详解】解：原数据：3，4，5，6，7， 平均数， 中位数， 极差， 方差； 新数据：3，4，5，5，6，7， 平均数， 中位数， 极差， 方差； 可知平均数、中位数、极差均不变，方差发生变化． 故选：D． 4. 如图，在中，以为圆心，为半径画分别交，于点，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解决问题的关键．连接，先根据等腰三角形的性质得出，由可得，则，根据三角形外角的性质得，然后根据三角形内角和定理计算出的度数，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 5. 如图，的周长为26，，与三边分别相切于点，，，若，则的长为（　　） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质、切线长定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．连接，根据切线长定理得到，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，再根据等边三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵的周长为26， ∴， ∵， ∴， ∵与三边分别相切于点D，E，F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵分别与相切于点E，F， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 故选：C． 6. 对于一元二次方程为常数，且，下列条件：；②；；若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式． 通过判别式判断方程有实数根的条件，分析每个条件是否足以保证判别式非负． 【详解】解：一元二次方程有实数根的条件是判别式． ①：， ∴，又， ∴，故方程有实数根． ②：， 反例：，则，但，无实数根，故②不能判定． ③：，即， ∴Δ===， ∵， ∴，， ∴，故方程有实数根． ∴正确条件的序号是①和③． 故选：B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 方程的根是______． 【答案】 或 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练利用因式分解法解一元二次方程是解题关键，根据因式分解法解一元二次方程，即可得出答案． 【详解】解：， 移项得， 因式分解得， 或， 解得或． 故答案为：或． 8. 设，是方程的两个根，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若，是该方程的两个实数根，则，，据此可得，，代入即可得到答案． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴． 故答案为：2． 9. 四边形是内接四边形，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角． 根据圆内接四边形的性质得，，则利用可计算出，然后利用互补计算出． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴，， ∵， 设，则，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 10. 某校足球队共有队员人，其中岁的有5人，岁的有9人，岁的有6人，则该校足球队队员的平均年龄是_____岁． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平均数，掌握平均数的定义是解题的关键． 根据平均数的计算公式进行计算即可． 【详解】解：该校足球队队员的平均年龄为：（岁） 故答案为：． 11. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，根据方程有两个不相等的实数根求解即可得到答案； 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 如图，学校计划用长的篱笆围成一个面积为的长方形菜地，菜地的一边利用墙、设菜地垂直于墙的一边长为，可列方程是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．由篱笆的总长及垂直于墙的篱笆长度，可得出平行于墙的篱笆长为，根据长方形菜地的面积为，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：∵要用长的篱笆围成一个面积为的长方形菜地，垂直于墙的边长为， ∴平行于墙的边长为， 根据题意，可得． 故答案为：． 13. 如图，在正八边形中，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理． 连接、、，易知四边形为正方形，根据正方形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接、、， 在正八边形中， ∵，，， ∴（）， ∴，， ∴， 同理，， ∴四边形为正方形， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在四边形中，，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．根据得点A，B，C在以点O为圆心，以为半径的圆上，再根据圆心角与圆周角的关系得，然后根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴点A，B，C在以点O为圆心，以为半径的圆上，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 已知非零常数满足等式，则关于的一元二次方程的根是______． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，利用换元法求解是解题关键．通过设，将原方程化为关于y的一元二次方程，再利用已知条件求出系数关系，进而求解方程． 【详解】解：设，则原方程化为， 由，得， 代入得， 代入方程得， 因，两边除以得， 因式分解得，解得或， 由，得或， 解得：，， 故答案为：，． 16. 如图，弓形纸片所在的半径为为弦．将纸片沿折叠，若折叠后与相切，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠图形轴对称的性质，设折叠后的圆心G，然后构造，证明，推出，易证是的中位线，从而求出关于的数量关系，进而根据轴对称的性质求出的长度，再由勾股定理求出，即可由垂径定理求出的长度，最后根据的取值范围得出的取值范围． 【详解】解：如图，折叠后与相切于点F，设点G为的圆心，点E为中点，连接，延长交于点P，交于点M， 设， 根据题意，得点G与点O关于对称，， ∵，点E为中点， ∴， ∵， ∴， ∵折叠后与相切， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，即点为的中点，点为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵点G与点O关于对称， ∴，， ∴点M是中点， 在中，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的折叠，轴对称图形的性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理等知识点，求出关于长度的数量关系是解答本题的难点． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，解题方法多样，关键在于熟练掌握解一元二次方程的步骤，第（2）题要特别注意先进行移项使方程右边为零． （1）根据配方法求解即可； （2）先移项，使方程右边为零，然后将方程左边进行因式分解，使分解后的两个一次因式分别为零，即可解答． 【小问1详解】 解：整理得， 配方得，即， 开方得， 解得，； 【小问2详解】 解：整理得， 因式分解得，即可， 则或， 解得，． 18. 已知．小明同学作出如下结论：无论取什么实数，都不等于．你是否同意他的说法？并说明你的理由． 【答案】同意，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是将题意转化为利用根的判别式判断一元二次方程无解问题． 假设，则，利用根的判别式判断一元二次方程无解，从而得出结论无论取什么实数，都不等于． 【详解】解：同意，理由如下： 假设， 则， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根， ∴无论取什么实数，都不等于， ∴同意小明的说法． 19. 跳绳是便捷又健康的运动．甲、乙两位同学各进行了5组“3分钟跳绳”的练习，成绩如下（单位：个）： 甲：380，422，416，397，385； 乙：398，402，406，401，393． （1）填表： 平均数 中位数 方差 甲 ________ _______ 乙 400 401 _________ （2）请你运用所学的统计知识做分析，从两个不同的角度评价甲、乙两位同学的跳绳成绩． 【答案】（1）400，397，； （2）①从中位数看，乙的中位数略大于甲的中位数，说明乙的成绩略好于甲；②从方差看，乙的方差小于甲的方差，且两人的平均成绩相同，说明乙的成绩比甲更稳定． 【解析】 【分析】本题考查了算术平均数、中位数以及方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． （1）根据算术平均数、中位数的定义和方差的公式进行解答即可； （2）从中位数和方差的意义进行分析即可． 【小问1详解】 解：甲的平均数为， 把甲的成绩从小到大排列为380，385，397，416，422，故中位数为397， 乙的方差为， 故答案为：400，397，； 【小问2详解】 解：①从中位数看，乙的中位数略大于甲的中位数，说明乙的成绩略好于甲； ②从方差看，乙的方差小于甲的方差，且两人的平均成绩相同，说明乙的成绩比甲更稳定． 20. “燃情苏超”火爆出圈，“欢乐经济”席卷南京．某烧烤店六月份的营业额为1万元，七、八月份的营业额持续上涨，且八月份营业额的增长率是七月份的2倍．若该烧烤店八月份的营业额为3万元，求八月份营业额的增长率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设七月份营业额的增长率为x，则八月份营业额的增长率为，利用该烧烤店八月份的营业额该烧烤店六月份的营业额（七月份营业额的增长率）（八月份营业额的增长率），可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值代入中，即可求出结论． 【详解】解：设七月份营业额的增长率为x，则八月份营业额的增长率为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴． 答：八月份营业额的增长率为． 21. 如图，点在上，，．求证． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．根据圆心角、弧、弦的关系，先由得，由得，则，求出，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 关于的方程． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程有两个负数根，求的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解方程以及根据根的条件求参数范围． （1）通过因式分解方程得到两根，证明它们总不相等即可； （2）利用两根均为负数的条件建立不等式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵方程可化为， ∴，． ∵， ∴不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：由（1）得方程的两个根为，． ∵方程有两个负数根， ∴， 解得， ∴的取值范围是． 23. 如图，是的直径，点在上，是的中点，过点作，垂足为点． （1）求证：是的切线； （2）过点作弦，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，连接交于点H，连接，证明，由垂径定理得出，得出，由切线的判定定理可得出答案； （2）连接根据勾股定理求出的长，过点D作出直角三角形斜边上的高，用面积法求出这个高，再利用题目给出的平行，结合（1）中的结论能够推出全等的三角形，再根据垂径定理得出结论． 【小问1详解】 证明：连接，连接交于点H，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接，延长交于点M，过点D作，G为垂足， ∴， ∵， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了圆心角定理，垂径定理，切线的判定定理，全等三角形的判定与性质，用面积法求高，题目的综合性很强． 24. 已知是的弦，分别根据下列要求，用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． （1）如图①，点在上，作弦，使； （2）如图②，点在内，过点作弦，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图——基本作图，过圆外一点，作圆的切线，线段的垂直平分线，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了点与圆的位置关系，垂径定理． （1）如图①，以P点为圆心，的长为半径画弧交于点Q、点，则和满足条件； （2）先过O点作于E点，再以O点为圆心，的长为半径作圆，接着连接，再作的垂直平分线得到的中点F，然后以F点为圆心，的长为半径作圆交半径为的圆于G、Q点，直线交于C、D两点，直线交于两点，则和满足条件． 【小问1详解】 解：如图①，和为所作； 【小问2详解】 解：如图②，和为所作． 由作图知是半径为的圆的切线，切点分别为点，点， ∴，， 连接，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 同理，得． 25. 在“奉献真情，结对帮扶”的爱心义卖活动中，某班级有30件手工作品待售，每件成本4元．调查发现，每件售价7元，所有作品均可售出；售价每增加1元，未售出的作品就增加2件．活动结束后，该班级将剩余作品寄往帮扶学校，并承担每件2元的邮费．另外，制作义卖海报花费6元． （1）若每件作品售价为10元，则售出_____件作品； （2）若计划在活动中筹集100元善款，则每件作品的售价是多少元？（善款总销售额总支出） 【答案】（1）24 （2）9元或11元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用售出的作品数（每件作品的售价），即可求出结论； （2）设每件作品的售价是x元，则售出件，利用善款总销售额总支出，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【小问1详解】 解：根据题意得：（件）， ∴若每件作品售价为10元，则售出24件作品． 故答案为：24； 【小问2详解】 解：设每件作品的售价是x元，则售出件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：每件作品的售价是9元或11元． 26. （1）某冰激凌纸筒展开后得到半径为，弧长为的扇形，则该纸筒的侧面积为____； （2）如图①，某纸杯展开它的侧面得到扇环（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分），其中的长为的长为的长为．求扇环的面积： （3）如图②，梯形面积为，扇环面积为，且等于的长，等于的长，，则______（选填“”、“”或“”）． 【答案】（1）54；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积，扇形面积计算公式为或（其中圆心角是，圆的半径为R的扇形面积为S，l为扇形的弧长）．也考查了弧长公式和梯形的面积公式． （1）直接利用扇形的面积公式计算即可； （2）设，根据弧长公式得到，进而求出，再利用扇形的面积公式得到扇环的面积，则可计算出扇环的面积； （3）设梯形的高为h，由（2）得，根据梯形的面积公式得到，然后利用，即可得到结论． 【详解】解：（1）该纸筒的侧面积为； 故答案为：54； （2）设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴扇环的面积为 ， ∵， ∴扇环的面积为； （3）设图形的高为h， 由（2）得， ∵等于的长，等于的长， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 27. 某型号路由器的信号覆盖范围是半径为的圆形区域．现需要为正方形场地布置该型号的路由器，使信号覆盖场地的每个区域． （1）如图①，在点处布置一台路由器，则正方形场地边长的最大值是______； （2）如图②，在点处各布置一台路由器，且．请画出最大正方形场地的示意图，并求此时正方形场地的边长： （3）若布置三台路由器，则正方形场地边长的最大值是_____． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆内接正方形性质，利用等腰直角三角形直接求解即可． （2）根据轴对称的性质，判定正方形的中心为线段的中点，过点O分别作正方形的两条对角线与两圆的交点即可确定最大内接正方形． （3）为使三台路由器覆盖范围内接正方形最大，另三台路由器采用等边三角形布放且边长等于每台路由器的覆盖半径，利用三台路由器的覆盖范围为轴对称图形，作等边的外接正方形，且正方形的定点在覆盖区域的边缘上，再利用正方形对角线的长度即可求解正方形边长的最大值． 小问1详解】 解：如图，正方形为内接正方形． 根据题意正方形场地为路由器覆盖的圆形内接正方形，则为等腰直角三角形． ∴正方形边长． 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图，设点O为中点，直线交内接正方形于E，F， ∵正方形是轴对称图形， ∴点O为对角线和的交点， 设正方形边长， ∵和为等腰直角三角形，点为与的切点， ∴， ∴． 在中，， ∴，即， 解得， 则． 故此时正方形场地的边长为． 【小问3详解】 解：为使内接正方形最大，三台路由器P、Q、R按照等边三角形布放，且．如图所示， 则，为等边三角形， 连接并延长交于点A，分别连接并延长交于点B、点D， 由于三个圆围成的区域关于直线对称， 则，为等腰直角三角形． 又∵， ∴四边形为正方形， ∵为等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案：． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，切线的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，轴对称的性质等知识点，熟练应用轴对称图形的性质是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中学业质量监测九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名，考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名，考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 解一元二次方程，下列配方正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知的直径为，点在外，则长可能是（　　） A. B. C. D. 3. 已知一组数据：3，4，5，6，7．若再添加一个数据5，得到一组新数据．与原数据相比，发生变化的统计量是（　　） A. 平均数 B. 中位数 C. 极差 D. 方差 4. 如图，在中，以为圆心，为半径画分别交，于点，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，周长为26，，与三边分别相切于点，，，若，则的长为（　　） A. 4 B. C. 5 D. 6. 对于一元二次方程为常数，且，下列条件：；②；；若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 方程的根是______． 8. 设，是方程的两个根，则________． 9. 四边形是的内接四边形，若，则______． 10. 某校足球队共有队员人，其中岁的有5人，岁的有9人，岁的有6人，则该校足球队队员的平均年龄是_____岁． 11. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 12. 如图，学校计划用长的篱笆围成一个面积为的长方形菜地，菜地的一边利用墙、设菜地垂直于墙的一边长为，可列方程是_______． 13. 如图，在正八边形中，若，则_______． 14. 如图，在四边形中，，若，，则______． 15. 已知非零常数满足等式，则关于的一元二次方程的根是______． 16. 如图，弓形纸片所在的半径为为弦．将纸片沿折叠，若折叠后与相切，则的取值范围是_______． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 已知．小明同学作出如下结论：无论取什么实数，都不等于．你是否同意他说法？并说明你的理由． 19. 跳绳是便捷又健康的运动．甲、乙两位同学各进行了5组“3分钟跳绳”的练习，成绩如下（单位：个）： 甲：380，422，416，397，385； 乙：398，402，406，401，393． （1）填表： 平均数 中位数 方差 甲 ________ _______ 乙 400 401 _________ （2）请你运用所学的统计知识做分析，从两个不同的角度评价甲、乙两位同学的跳绳成绩． 20. “燃情苏超”火爆出圈，“欢乐经济”席卷南京．某烧烤店六月份营业额为1万元，七、八月份的营业额持续上涨，且八月份营业额的增长率是七月份的2倍．若该烧烤店八月份的营业额为3万元，求八月份营业额的增长率． 21. 如图，点在上，，．求证． 22. 关于的方程． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程有两个负数根，求的取值范围． 23. 如图，是的直径，点在上，是的中点，过点作，垂足为点． （1）求证：是的切线； （2）过点作弦，若，求长． 24. 已知是的弦，分别根据下列要求，用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． （1）如图①，点在上，作弦，使； （2）如图②，点在内，过点作弦，使． 25. 在“奉献真情，结对帮扶”的爱心义卖活动中，某班级有30件手工作品待售，每件成本4元．调查发现，每件售价7元，所有作品均可售出；售价每增加1元，未售出的作品就增加2件．活动结束后，该班级将剩余作品寄往帮扶学校，并承担每件2元的邮费．另外，制作义卖海报花费6元． （1）若每件作品售价为10元，则售出_____件作品； （2）若计划在活动中筹集100元善款，则每件作品的售价是多少元？（善款总销售额总支出） 26. （1）某冰激凌纸筒展开后得到半径为，弧长为扇形，则该纸筒的侧面积为____； （2）如图①，某纸杯展开它的侧面得到扇环（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分），其中的长为的长为的长为．求扇环的面积： （3）如图②，梯形面积为，扇环面积为，且等于的长，等于的长，，则______（选填“”、“”或“”）． 27. 某型号路由器的信号覆盖范围是半径为的圆形区域．现需要为正方形场地布置该型号的路由器，使信号覆盖场地的每个区域． （1）如图①，在点处布置一台路由器，则正方形场地边长的最大值是______； （2）如图②，在点处各布置一台路由器，且．请画出最大正方形场地的示意图，并求此时正方形场地的边长： （3）若布置三台路由器，则正方形场地边长的最大值是_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $